上海市十大名校2020年高三数学联考试卷

上海市十大名校2020年高三数学联考试卷

一、填空题：（本大题满分48分）本大题共有12题，要求直接写出结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分。

1． 若集合}2006{},)2006({-=

===-x y y N y y M x

，则N M = 。

2．已知b a bx ax x f +++=3)(2

是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += 。 3．函数)0(12

>+=-x y x

的反函数是 。

4．函数x x y cos sin +=的最小正周期是 。 5．函数),2

,(tan Z k k x R x x y ∈+

≠∈=π

π的对称中心是 。

6．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且a 1,a 3,a 9成等比数列，则

10

429

31a a a a a a ++++= ；

7． 在实数集R 上定义运算∽：x ∽y=x(1-y.),若(x-a)∽(x+a)<1对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 。

8．已知直线1)13()2(--=-x a y a ，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是 。

9．在000，001，…，999,这1000个连号的自然数中抽奖，若抽到一个号码中，仅出现两个相同偶数则中奖，则一个号码能中奖的概率是 。

10．ΔABC 的两条边上的高的交点为H ，外接圆的圆心为O ，

)(OC OB OA m OH ++=，则实数m= 。

11．如图，在ΔABC 中BC=2，AB+AC=3，中线AD 的长为y ，若AB 的长为x ，则y 与x 函数关系式为 。

第11题图

12．若12

332lim 21

1

12=⋅+⋅-++-∞→n n n n n a a ，则=a 。 二、

三、选择题：（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四

个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分．

13．设A 、B 是锐角三角形的两个内角，则复数i A B A B z )cot (tan )tan (cot -+-=对应点位于复平面的（ ）。

A ． 第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 14．直线x y 3

3

=

绕原点逆时针方向旋转300后，所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（ ）。

A ．直线过圆心

B ．直线与圆相交，但不过圆心

C ．直线与圆相切

D ．直线与圆没有公共点

15．如图，OA 是双曲线实半轴，OB 是虚半轴，F 是焦点，且

)336(1

,300-=

=∠∆ABF S BAO ，则双曲线的方程是（ ）

第15题图

A ．

19322=-y x B ．1392

2=-y x C ．13322=-y x D ．13

322=-y x 16．在ΔABC 中，1cos 3sin 4,6cos 4sin 3=+=+A B B A ，则C 等于（ ） A ．300

B ．1500

C ．300或1500

D ．600或1200

三、解答题：（本大题满分86分）本大题共6题，解答各题必须写出必要的步骤。 17.（本题满分12分）已知x ∈R ,z ∈C,x,z 满足0432=+++i z zx x 。 （1） 若z 在复平面内对应的点Z 在第一象限，求x 的范围； （2） 是否存在这样x,使i z 20052006-=

成立。

18.（本题满分12分，第（1）6分，第（2）6分）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元／m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2,再在四个空角（如ΔDQH 等）上铺草坪，造价为80元/m 2。

（1） 设总造价为S 元，AD 长为xm,试建立S 与x 的函数关系； （2） 当x 为何值时，S 最小？并求这个最小值。

第18题图

19. （本题满分14分，第（1）小题6分，（2）小题8分）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，对任意实数x,都有)()2(x f x f -=+，当11≤≤-x 时，3

)(x x f =。 （1） 试证：1=x 是函数)(x f 的一条对称轴；

（2） 证明函数)(x f 是以4为周期的函数，并求]5,1[∈x 时，)(x f 的解析式。

20. （本题满分14分，第（1）小题6分，（2）小题8分）在平面直角坐标系中，若

}2,{},2,{-=+=y x b y x a 8=+b a 。

（1） 求动点),(y x M 的轨迹C 的方程；

（2） 过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这

样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程，不存在，说明理由。

21. （本题满分16分，其中第（1）小题8分，第（2）小题8分）已知存在实数φω,（其中Z ∈≠ωω,0）使得函数)cos(2)(φω+=x x f 是奇函数，且在⎪⎭

⎫

⎝⎛4,0π上是增函数。 （1） 试用观察法猜出两组ω与φ的值，并验证其符合题意； （2） 求出所有符合题意的ω与φ的值。

22. （本题满分18分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）如图所示，是树形图形．第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n 层．设树形图的第n 层的最高点到水平线的距离为第n 层树形图的高度。

1)求第三层及第四层树形图的高度H 3，H 4； 2)求第n 层树形图的高度H n ；

3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”。显然，当2,1=n 时是“矮小”的，是否存在Z m ∈。使得当m n >时，该树形图是“高大”的?