陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学试题(解析版)
2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)
分）
（3）因为 X ~ N(110,144) ，所以 110 ， 144 12 ，
理科数学 第 6页（共 10页）
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y
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(2k 2
4)x k2
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MF
(a, a
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3T 4
（其中 T
为函数
f
(x) 的最小正周期），即 2
3 4
2π
，即
3π 4
，故选
A．
12．【答案】C
【解析】由 (a 1)x ln x b 2 0 ，得 ln x (a 1)x b 2 ，若存在唯一实数 x0 ，使得 f (x0 ) 0 ，则
直线 y (a 1)x b 2 与曲线 y ln x 相切，设切点为 P(t,ln t) ，则切线方程为 y ln t 1 (x t) ，即 t
5
5
∴ CD AC cosC 7 5 7 5 ，∴ BC 2CD 14 5 ，（3 分）
55
5
∴ BE2 BC2 EC2 2BC EC cosC 196 22 2 14 5 2 5 32 ，
陕西省2019届高三第三次教学质量检测数学(理)试题(扫描版)pdf
∴ＥＦ∥ＡＤ．
综上，ＥＦ⊥ＢＣ． （４分）
注：亦可取 ＡＤ中点 Ｇ、连接 ＧＢ，ＧＣ，可证 ＡＤ⊥
平面 ＧＢＣ，则可证 ＥＦ⊥平面 ＧＢＣ，即证得 ＥＦ⊥
ＢＣ．
（Ⅱ）∵平面 ＡＢＣ⊥平面 ＤＢＣ，ＡＯ平面 ＡＢＣ， 平面 ＡＢＣ∩平面 ＤＢＣ＝ＢＣ，ＡＯ⊥ＢＣ．
即 ａ＞０，
（６分）
{ 由韦达定理有
ｔ１＋ｔ＝２槡２， 根据参数的几 ｔ１·ｔ２ ＝－８ａ＋２，
点对称，∴ｇ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝－ｘ２＋２ｘ．
（２分） ∴原不等式可化为 ｜ｘ－１｜≥２ｘ２，即 ｘ－１≥２ｘ２ 或 ｘ－１≤ －２ｘ２，解 得 不 等 式 的 解 集 为
则 ｇ（ｘ）单调递增． 综上，ｇ（ｘ）极小值 ＝ｇ（１）＝ｅ－２， 无极大值． （４分）
２０．【解析】（Ⅰ）由题意得
ｃ＝３，
ｃ ａ
＝槡２３，
（Ⅱ）∵ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＋ １ ２（３ｘ２ ＋ｘ－３ｋ）≥０．
∴ａ＝２槡３． （２分）
又因为 ａ２＝ｂ２＋ｃ２，∴ｂ２＝３．
∴ｃｏｓ＜→ｍ→，ｎ＞＝→→｜ｍｍ·｜→→｜ｎｎ｜＝槡５５，
２１．［解析］（Ⅰ）∵ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘｘ）＝ｅｘ
－ｘ２ ｘ
－１．
∴ｇ′（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）ｘ２－ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘｅ２ｘ－ｘ－１）（ｘ
＞０）． （２分） 设 ｔ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－１，则 ｔ′（ｘ）＝ｅｘ－１＞０，即 ｔ（ｘ）
— ２—
ｘ０ － １２）＋ １ ２ｘ２ ０ ＋ １ ２ｘ０ －１＝ １２（ｘ２０ －ｘ０ －３）
（１０分）
∵ｘ０∈（－１，０），∴ｈ（ｘ０）∈（－３２，－１２），
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学答案
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陕西省榆林市2019届高三第三次模拟测试数学(理科)答案
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三 解 答 题 本 大 题 共 % 小 题 共 ,& 分 !,!本 小 题 满 分 !# 分
陕西省安康市2019届高三第三次联考理科数学试题
陕西省安康市2019届高三第三次联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D 2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 3.定积分10(2)x x e dx +⎰的值为（ ）.2A e + .1B e + .C e .1D e -4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ） .2n Aa n = .2(1)n B a n=- .2n n C a = 1.2n n D a -=5.已知底面边长为1，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 9.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =- （C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+11．设函数f （x ）=3|x ﹣1|﹣2x +a ，g （x ）=2﹣x 2，若在区间（0，3）上，f （x ）的图象在g （x ）的图象的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（3，+∞） D ．[3，+∞）12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A ．3 B ．2 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为．14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m=．15．若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则a﹣b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2．（1）求sin∠BCA；（2）求BB′及AC′的长．18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC ⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点，=3．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．四.请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m （m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．陕西省安康市2019届高三第三次联考理科数学试题参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D 【答案】 B【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.定积分10(2)x x e dx +⎰的值为（ ）.2A e + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n nD a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.已知底面边长为1，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】 D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===8.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 B 【解析】B z z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=10.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（B ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（B ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 【答案】 A 【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=11．设函数f （x ）=3|x ﹣1|﹣2x +a ，g （x ）=2﹣x 2，若在区间（0，3）上，f （x ）的图象在g （x ）的图象的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（3，+∞） D ．[3，+∞） 【考点】函数恒成立问题． 【分析】由题意可得3|x ﹣1|﹣2x +a ＞2﹣x 2在0＜x ＜3上恒成立，即有a ＞2﹣x 2+2x ﹣3|x ﹣1|的最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得x=1时，右边取得最大值，即可得到a 的范围．【解答】解：由题意可得3|x ﹣1|﹣2x +a ＞2﹣x 2在0＜x ＜3上恒成立， 即有a ＞2﹣x 2+2x ﹣3|x ﹣1|的最大值，由h （x ）=2﹣x 2+2x ﹣3|x ﹣1|=3﹣（x ﹣1）2﹣3|x ﹣1|，当x=1∈（0，3）时，h （x ）取得最大值，且为3﹣0﹣1=2， 即有a ＞2． 故选A ．12．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A ．3 B ．2 C ．2 D ．3 【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a 与高h 的关系，作出图形，则球心O 在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R 的表达式，将问题转化为求R 何时取得最小值的问题． 【解答】解：设底面边长AB=a ，棱锥的高SM=h ， ∵V 棱锥S ﹣ABCD =•a 2•h=9，∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（1，1），由z=x+y得：y=﹣x+z，显然直线过B时z最小，z的最小值是2，故答案为：2．14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m=2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆mx2+y2=1的方程变形为标准方程可得+=1，比较与1的大小可得该椭圆的焦点在y轴上，且b=，进而依据题意可得m=2，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆mx2+y2=1的方程可以变形为+=1，又由m＞1，则＜1，故该椭圆的焦点在y轴上，则b=，又由该椭圆的短轴长为m，则有m=2，解可得m=2；故答案为：2．15．若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是[，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则f′（x）=≥0在（2，3）上恒成立，进而得到答案．【解答】解：若函数f（x）=在（2，3）上为增函数，则f′（x）=≥0在（2，3）上恒成立，则9a+1≥0，解得：a∈[，+∞），故答案为：[，+∞）．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则a﹣b=5．【考点】数列的求和．【分析】通过计算得出数列{a n}前8项的值，进而联立S4=a+b、S8﹣S4=3a+b，进而解方程组，计算即得结论．【解答】解：①当n=4k﹣3时，a n（2+1）=n（2﹣1），a n=；②当n=4k﹣2时，a n（2+0）=n（2+1），a n=n；③当n=4k﹣1时，a n（2﹣1）=n（2﹣1），a n=n；④当n=4k时，a n（2+0）=n（2+1），a n=n；∵S4n=an2+bn，∴S4=a+b=+•2+3+•4=+12，S8﹣S4=（4a+2b）﹣（a+b）=3a+b=•5+•6+7+•8=+28，∴（3a+b）﹣（a+b）=（+28）﹣（+12），解得：a=+8，b=+12﹣a=（+12）﹣（+8）=﹣+4，∴a﹣b=（+8）﹣（﹣+4）=5，故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2．（1）求sin∠BCA；（2）求BB′及AC′的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）利用△ABC≌△AB′C，可得∠BCA=∠B′CA，利用cos∠BCB′=，即可求sin∠BCA；（2）利用余弦定理求出BB′，利用正弦定理求出BB′，即可求出AC′的长．【解答】解：（1）∵△ABC≌△AB′C，∴∠BCA=∠B′CA，∴cos∠BCB′=2cos2∠BCA﹣1，∵cos∠BCB′=，∴cos2∠BCA=，∴sin2∠BCA=，∴sin∠BCA=；（2）∵BC=2，∴BB′2=8+8﹣2×=4，∴BB′=2∵，∴AB=，设BB′与AC交于O，则AO=1，CO==，∴AC=+1．18．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC ⊥平面PAB，且E，M，N分别为PD，CD，AD的中点，=3．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，推导出EO ∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O，G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，又=3，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD的中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG，∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），则=（2，2，0），=（0，1，1），平面ABCD的一个向向量=（0，0，1），设平面AEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），∴cos＜＞==，由图知二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为﹣．19．在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．（1）求μ，σ；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由茎叶图得这20个数据的平均数，再由这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），结合题意能求出μ和σ．（2）（i）∵由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，能求出该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率．（3）由从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185，能求出这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的数学期望．【解答】解：（1）由茎叶图得这20个数据的平均数：=（79+80+81+82+87+87+88+88+89+90×4+91+92+93+93+100+101+109）=90，∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），∴μ=90﹣0.9=89.1，σ==7．（2）（i）∵英语成绩服从正态分布N（89.1，49），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，∴P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，如图，依题意P（82.1＜X＜96.1）=0.6826，P（75.1＜X＜103.1）=0.9544，即曲边梯形ABCD的面积为0.9544，曲边梯形EFGH的面积为0.6826，其中A、E、F、B的横坐标分别是75.1、82.1、96.1、103.1，由曲线关于直线x=89.1对称，可知曲边梯形EBCH的面积为0.9544﹣=0.8185，即该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．（3）∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．∴从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，X的数学期望E（X）=0.8185×10000=8185．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF⊥x轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；（2）设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x2﹣x1，解方程即可得到所求定值．【解答】解：（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，则|AF|=y1，可得AF⊥x轴，则x1=，即有d=+=3，即p=3，则抛物线的方程为y2=6x；（2）证明：设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得k2x2+p（k2﹣2）x+=0，由△=p2（k2﹣2）2﹣k4p2＞0，即为k2＜1，x1=，x2=，由d=2λp，可得x1+=2λp，由+λ=，M（﹣，0），可得x1+=λ（x2﹣x1），即有2p=x2﹣x1=，解得k2=．故直线AB的斜率的平方为定值．21．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，令g（t）=t2﹣t+，则g′（t）=，令g′（t）=0，解得：t=1，而2t2+t+1＞0恒成立，∴≤t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，1＜t≤2时，g′（t）＞0，g（t）递增，∴g（t）的最大值是max{g（），g（2）}，而g（）=＜g（2）=，∴g（t）在[，2]的最大值是g（2）=，又t2﹣t∈[﹣，2]，∴2a≥或2a≤﹣，解得：a≥或a≤﹣，故a的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．四.请考生从第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m （m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，∴3ρ=2，∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，∴．∴实数m的取值范围是（，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+，∴﹣10＜a+b＜10，∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36=37﹣（+9x）≤37﹣2=25，∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣35第21页（共21页）。
精品解析：【省级联考】陕西省2019届高三第三次教学质量检测理科数学试题(解析版)
2019年高三第三次教学质量检测理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i i z +=-1)1(，则复数z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. iD. i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，复数i i z +=-1)1(，则()()()()11121112i i i iz i i i i +++====--+，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.设集合{|12,}A x x x N =-≤≤∈，集合{2,3}B =，则B A 等于（ ） A. {1,0,1,2,3}- B. {0,1,2,3}C. }3,2,1{D. {2}【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|12,}{0,1,2}A x x x N =-≤≤∈=，根据集合的并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|12,}{0,1,2}A x x x N =-≤≤∈=， 又由集合{2,3}B =，所以0,1,3}2,{AB =，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合A ，熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.若向量(1,1)a =，(1,3)b =-，(2,)c x =满足(3)10a b c +⋅=，则=x （ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =，(1,3)b =-，(2,)c x =，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=， 所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 13-B.13C. -3D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A. 110B. 114C. 124D. 125【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行， 令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和n 2， 其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112nn n S -==--，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=， 令(1)152n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为（ ）A. 223+B. 3C. 2+D. 3【答案】A 【解析】 【分析】 由11112()(2)3n m m n m n m n m n+=+⋅+=++，利用基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为12=+n m ，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为223+，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为ln 5，则在判断框内应填（ ）A. 5i ≤B.4≤iC. 6i <D. 5i >【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合程序的输出值模拟程序的运行过程可知4i =时，程序需要继续执行，5i =时，程序结束，据此确定判断框内的内容即可. 【详解】程序运行过程如下： 首先初始化数据，0,1S i ==，第一次循环，执行1ln 10ln 2ln 2S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，12i i =+=，此时不应跳出循环；第二次循环，执行13ln 1ln 2lnln 32S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，13i i =+=，此时不应跳出循环； 第三次循环，执行14ln 1ln 3lnln 43S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，14i i =+=，此时不应跳出循环； 第四次循环，执行15ln 1ln 4lnln 54S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，15i i =+=，此时应跳出循环； 4i =时，程序需要继续执行，5i =时，程序结束，故在判断框内应填4?i ≤. 故选B .【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8.已知在三棱锥ABC P -中，1PA PB BC ===，2=AB ，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.B.3C. 2πD. 3π【答案】D 【解析】 【分析】求出P 到平面ABC 的距离为2，AC 为截面圆的直径, AC = 2222212R d d 骣琪=+=+-琪桫桫桫求出R ，即可求出球的表面积。
2019届高三年级第三次联考理科数学试卷含解析
陕西省2019届高三年级第三次联考
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可.
【详解】，，
则.故应选 D.
【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.
2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.
【详解】∵，∴z的实部为．
故应选B．
【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，
则，
.。
陕西省西安2019届高三第三次模拟考试数学试题(理科)
陕西省西安2019届高三第三次模拟考试数学试题(理科)注意事项：1、选择题请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B铅笔外，其余各题按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。
2、按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣84．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件D．既不充分也不不要条件6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A ．8B ．9C ．10D ．77．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上过F 的两个端点，设线段AB 的中点M 在l 上的摄影为N ，则的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．28．在△ABC 中， =5， =3，D 是BC 边中垂线上任意一点，则•的值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 9．已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 1=60°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．B ．4C ．2D ．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（ ） A ．8π B ．12π C ．πD ．3π11．已知函数f （x ）=，若函数g （x ）=f （x ）﹣mx 有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1，4] B ．（﹣∞，0] C ．（﹣∞，4] D ．（﹣∞，0]∪[1，4] 12．把曲线C ：y=sin （﹣x ）•cos （x +）上所有点向右平移a （a ＞0）个单位，得到曲线C ′，且曲线C ′关于点（0，0）中心对称，当x ∈[π，π]（b 为正整数）时，过曲线C ′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卡中的横线上）． 13、为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为0.850.25y x ∧=-. 由以上信息,得到下表中c 的值为 ．E B C 114、51+2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中整理后的常数项为 ．15、已知直线l ：y ＝k (x －2) 与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF|＝3|BF|，则直线l 的倾斜角为 ．16、已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)(x f '，且满足0)1(=f ，当0>x 时，)(2)(x f x f x <'，则使0)(>x f 成立的x 的取值范围为 ．三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17、（本小题满分12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10,12]的人数； （2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都成立．记2log n n b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：19、（本小题满分12分）已知直三棱柱111ABC A BC -中，△ABC 为等腰直角三角形，乙甲∠BAC ＝90°，且1AB AA =，D 、E 、F 分别为1B A 、1C C 、BC 的中点．（1）求证：直线DE ∥平面ABC ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为F （1,0）。
陕西省2019届高三数学第三次联考试题理含解析
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，则（）1.，已知B. A.C. D.D 【答案】【解析】【分析】. 分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可，【详解】，D.则.故应选【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.已知复数（是虚数单位），则的实部为（2. ）D. C.B. A.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.．的实部为【详解】∵，∴z ．故应选B【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.）（，则已知3.D. B. A. C.【答案】B【解析】【分析】，结合条件得正切，代入求解即可.由【详解】由已知得，.B.故应选. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题），则与4.的夹角为（已知向量， C.D.A. B.A 【答案】【解析】【分析】. 直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案与的夹角；又；【详解】；为．故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.，则线段的焦点，的中点5.已知是该抛物线上的两点，是抛物线到准线的距离为（）D. 3C. 1B. A.B 【答案】【解析】【分析】．进而得，从而得中点横坐标，，由抛物线的定义可得.进而得解，准线方程【详解】∵是抛物线，的焦点，∴，根据抛物线的定义可得，设，，.∴的中点横坐标为，，∴线段解得的中点到准线的距离为∴线段B..故应选【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.，的面积为，则三，三个内角，若6.已知的对边分别为角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定A 【答案】【解析】【分析】，结合，进而得由三角形的面积公式和余弦定理化简条件可得. 的范围可得解角A，【详解】∵，∴，，可得，∴可得，可得，可得：∵，∴， A.故应选解得：【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题.）（阅读如图所示的程序框图，则输出的7.A. 30B. 29C. 90D. 54D 【答案】【解析】【分析】，直到满足条件，退出循环，即可得解和S.模拟程序的运行，不断计算i，执行循环体，；，，【详解】模拟程序的运行，可得；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，，执行循环体，；，，执行循环体，不满足条件，退出循环，输出的值为此时，满足条件54.D.故应选【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.，则枚硬币均正面向上的次数为4次，设2的数学期望是28.同时抛掷枚质地均匀的硬币（）D. C. 2A. 1B.A 【答案】【解析】【分析】枚正面向上的概率，进而利用二项分2枚质地均匀的硬币，恰好出现2先计算依次同时抛掷．布求数学期望即可.枚正面向上的概率为，【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2.∴，∴A.故应选. 【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，属于基础题的中点，则上的射影为已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，9.在底面与）所成的角的余弦值为（异面直线 B. C.A.D.【答案】B【解析】【分析】，进而通过计算所成的角（或其补角）即为异面直线的各边长，与易知利用余弦定理求解即可.、，【详解】设的中点为，连接、所成的角（或其补角）；即为异面直线与易知的侧棱与底面边长为1，设三棱柱，，则，.由余弦定理，得B.故应选【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.函数的图像大致为（）10.B. A.D. C.【答案】B【解析】当时A，，义域，为排除定采试题分析：用排除法，函数B.，排除D，当时，，故选，排除C. 考点：函数图象的，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲11.已知双曲线，则双曲线线的渐近线方程为（截得的弦长为（）为双曲线的离心率）A. B.C. D.D 【答案】【解析】【分析】和由，从而可，得方程和双曲线相交得弦长为，化简可得.，进而可得渐近线方程得的下焦的准线：【详解】∵抛物线，它正好经过双曲线点，截得的弦长为，∴准线被双曲线，∴∴，，∴，∴的渐近线方程为∴双曲线.故应选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程及双曲线的通经长，及双曲线的渐近线的求解，属于基础题.，当时，已知函数的奇函数，且满足是定义域为12.上的解的个数是（在区间），则方程C. 7B. 5A. 3 D. 9D 【答案】【解析】【分析】进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得时的根为由条件通过解方程可得，. 的解得个数【详解】∵当时，，.，解得，则令是周期为，∴函数4∵的周期函数.是定义域为的奇函数，又∵函数，，上，∴在区间，，在区间上的解有0，1，2，3，4，5，则方程6，7，8共9个.D.故应选时有定义必有x=0【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求方程的根，奇函数在，.是解本题的关键，属于易错题的周期函数，必有4是周期为奇函数20二、填空题（每题5分，满分分，将答案填在答题纸上）．______已知函数13.，则处的切线方程是的图像在10【答案】．【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，.切点处的导数为切线斜率，所以，所以【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.，则的最大值是______． 14.满足已知实数14 【答案】【解析】【分析】.作出不等式的可行域，通过平移直线，当纵截距最大时即可所求作出可行域如图，【详解】由约束条件，解得，联立时，直线在化目标函数轴上的截为，由图可知，当直线过距最大，有最大值为14.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.则____．将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，15.【答案】【解析】【分析】，，即可得解通过函数图象平移得到.为偶函数，进而由的图像，个单位得到的图像向左平移【详解】将函数.，所以，其图像关于，又轴对称，所以有【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接16.，则该三棱柱体积的最大值为______．球的体积为【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用. 勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，解得，则，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，，∴，∴．∴时“＝”成立．∴．当且仅当∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．PABCPAPBPCPAaPBb，＝，＝两两互相垂直，且，，构成的三条线段，，，若球面上四点(2)．2222caPCcRb求解．＋＝＝，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4＋三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分，17.满足已知正项等比数列.的通项公式；）求数列（1项和，求数列）记.的前（2【答案】（）．（2）．1 【解析】【分析】，解出基本量即可得到数列(1) 由题意得的通项公式；. ）知，由（ (2) 1，利用裂项相消法求和，由已知，1【详解】（）设数列的公比为q由题意得，．所以解得，．．因此数列的通项公式为）知，1 ，2）由（（∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：；（（2） 3）；(1)；此外， 4（；）需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：（万年产量7.46.776.67.17.2件）；）根据表中数据，求关于的线性回归方程（1（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：，元）与年产量满足的函数关系式为且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（1）求得样本中心点t=7）年该农产品的产量； t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（）①将（2727yyyyS×10+4.5=（–0.3②由题，先表示出，销售额（=4.5–0.3））×10ySy=7.5，可得结果. 取得最大值，只有y=7.56最靠近可知，当=7.5时，函数【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3） +0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，222222=17.5．0.5）+2.5+0.5=（–2.5） +（–1.5）+1.5+（–，得，由，得，又ty的线性回归方程为关于．∴t）知，当1=72时，，）①由（（所以预测2019年该农产品产量为7.56万吨．727ySyyyy）×10（–×10=0.3（元）②当年产量为+4.5时，销售额4.5=（–0.3，）的yyS，，7.2，7.4当，=75时，函数7.56}取得最大值，又因∈{6.6，6.7，7，7.1ty =7时，即2019年销售额最大．计算得当=7.56，即【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较. 为基础题，AC的中E，D，分别是ABC平面的所有棱长都是2，19.如图，三棱柱点．求证：平面；求二面角的余弦值．）2）见解析； .（1【答案】（【解析】【分析】；1，进而证得平面（）利用线面垂直的判定和性质，得到的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二和面DBE）建立空间直角坐标系，求面2（．面角的余弦值.）∵（1AC【详解】的中点，∴，，D是，∴平面平面平面ABC∵ABC，，∴平面∴．，分别是ACD，EAD≌△ACE的中点，易证得∴△A 又∵在正方形中，1DA+∠CAE=90° ,即．∴∠ADA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A11平面．又，∴，则又中点F，以DF，DA，DB为x，y，z2（轴建立空间直角坐标系）取，，，，，，，的一个法向量为DBE，设平面则，，令，则的一个法向量为，设平面，则，令，则，观察可知为锐角，设二面角的平面角为．的余弦值为故二面角．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.，且过点20..已知椭圆的离心率为 1）求椭圆的标准方程；（，当，并延长交椭圆于点作直线与椭圆交于另一个点是左焦点，连接（2）过右顶点. 面积最大时，求直线的方程.2）【答案】（1；）（【解析】【分析】）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；1 （，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得）由（2又斜率不存在时，，可得，，，令.从而得最大值，）设椭圆方程为【详解】（1，解之得，由题意知：所以椭圆方程为.，，当直线斜率存在时，所在直线为设，由题知，2（），①，.，，代入①式得，，，则令时，.当斜率不存面积最大时，轴，此时直线的斜率为故当垂直于，则直线的方程：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的解法，着重考查了运算能力，属于中档题.，为自然对数的底数，，21..已知函数，求函数（1）若的单调区间；. ）若有2，方程个解，求的值（）单调增区间为【答案】（10.，单调减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；在区间内单调递增，（2，求函数的导数可得）设，整理得，，结合条件.的范围可得解，结合基本不等式及，其定义域为1）当，时，【详解】（，，得，解解，得，的单调增区间为.，单调减区间为所以函数）设2 ，（个零点，有由题意知．，，∵，，则记内单调递增知.在区间，又∵，内存在唯一的零点，∴在区间，即，.于是单调递减；时，当，单调递增，.时，当∴，时，取等号当且仅当.，得，由即.∴没有零点.，即函数【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立已知直线的参数方程为（为参数）的极坐标方程为.极坐标系，曲线）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；1 （，求.（不同于原点）（2）若直线，与直线交于点的值与曲线交于点.）2）1【答案】（:（;;: 【解析】．【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B(2) 到原点的距离，作差得出|AB|．）∵（1，∴，【详解】的直角坐标方程为C．∴曲线，∴．的参数方程为（t∵直线l为参数）的极坐标方程为．∴直线l得的极坐标方程2（，）将代入曲线C点的极坐标为．∴A，解得．的极坐标方程得将代入直线l点的极坐标为∴B，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.）解不等式1（；，使得不等式成立，求实数（2的取值范围）.）2（；【答案】（1）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；即，只需恒成立，设2（）去绝对值得，对于. 可得解，可化为1（【详解】），或或∴．或或无解.分别解得所以不等式的解集为.，2. ）由题意：（成立，只需，，，要想设，在上单调递增，∴∵，∴的取值范围为，∴∴.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
2019届陕西省安康市高三第三次联考理科数学试卷【含答案及解析】
2019届陕西省安康市高三第三次联考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若集合 ,则（）A．_____________________________________ B．C． D．2. 设复数 ,则复数的共轭复数为（）A．______________________________ B．_________________________________ C．______________________________ D．3. 如图, 在平行四边形中, 为的中点, 且,则（）A．______________________________________B．C．D．4. 若是等比数列的前三项, 则（）A．___________________________________ B． C．D．5. 已知函数的部分图象如图所示,则函数的图象的一条对称轴方程为（）A．_________________________________ B．___________________________________ C．___________________________________ D．6. 已知 ,则二项式的展开式中的系数为（）A． B．___________________________________ C．D．7. 设双曲线的一条渐近线与直线的一个交点的纵坐标为 ,若 ,则双曲线的离心率的取值范围是（）A．_________________________________ B．____________________________ C．____________________________D．8. 执行如图所示的程序框图, 则输出的（）A． B． C．D．9. 设命题 ,命题若圆与圆相切, 则 ,那么, 下列命题为假命题的是（）A． B．___________________________________C．______________ D．10. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为（）A． B． C．D．11. 设函数 .若在区间上, 的图象在的图象上方,则实数的取值范围为（）A．______________________________ B．______________________________ C．_________________________________D．12. 若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为 ,当其外接球的体积最小时, 它的高为（）A． B． C．___________________________________ D．二、填空题13. 已知实数满足 ,则的最小值为 _________ ．14. 椭圆的短轴长为，则 __________ ．15. 若函数在上为增函数, 则实数的取值范围是_________ ．16. 已知为数列前项和, 若 ,且,则 _________ ．三、解答题17. 如图, 在四边形中,.（ 1）求；（ 2）求及的长.18. 在如图所示的四棱锥中, 四边形为正方形,平面 ,且、、分别为、、的中点, .（ 1）证明：平面；（ 2）若 ,求二面角的余弦值.19. 在一次全国高中五省大联考中, 有万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布 .用茎叶图列举了名学生的英语成绩, 巧合的是这个数据的平均数和方差恰好比所有万个数据的平均数和方差都多 ,且这个数据的方差为 .（ 1）求；（ 2）给出正态分布的数据：①若从这万名学生中随机抽取名, 求该生英语成绩在的概率；②若从这万名学生中随机抽取万名, 记为这万名学生中英语成绩在的人数, 求的数学期望.20. 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点 ,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离 .（ 1）若 ,求抛物线的标准方程；（ 2 ）若 ,求证：直线的斜率的平方为定值.21. 已知函数为常数）的图象在处的切线方程为 .（ 1）判断函数的单调性；（ 2 ）已知 ,且 ,若对任意 ,任意与中恰有一个恒成立, 求实数的取值范围.22. 选修4-1：几何证明选讲如图, 三边上的点、、都在上, 已知.（ 1）求证：直线与相切；（ 2）若 ,且 ,求的长.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标中, 直线的方程为 ,曲线的方程为 .（ 1）求直线与极轴的交点到极点的距离；（ 2 ）若曲线上恰好有两个点到直线的距离为 ,求实数的取值范围.24. 选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为 .（ 1）求集合；（ 2 ）若 ,不等式恒成立, 求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学
理科数学参考答案
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2019-2020学年陕西省安康市高三下学期第三次联考数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年陕西省安康市高三第二学期第三次联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．[0，]B．[0，1]C．[1，2]D．[，+∞）2．若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．已知a＞0且a≠1，函数，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝（）A．2B．C．D．4．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．将函数f（x）＝sin x﹣cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝﹣D．x＝6．已知α，β是两个不重合的平面，直线m∥α，直线n⊥β，则“α⊥β“是“m∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线y2＝6x的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若|AF|+|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．28．若sin（α+）＝，则cos（+2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣9．梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若•＝2•，则•＝（）A．12B．16C．20D．2410．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生．薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种B．360种C．240种D．120种11．已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），给出下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中所有正确命题的编号是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④12．设P、A、B、C、D是表面积为36π的球的球面上五点，四边形ABCD为正方形，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为（）A．B．18C．20D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为．14．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝，sin A＝，b＝，则△ABC的面积为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a（a为常数），则曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为．16．已知F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥BF1，|AF2|＝|BF2|，则C的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，{b n}满足a n+b n＝2n+1，且{b n}为等比数列，a1＝1，a4＝﹣7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求当S n+2n+1≥50时，正整数n的最小值．18．安康市某中学在1月1日举行元旦歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示．（1）写出这16名选手得分的众数和中位数；（2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元、40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为X，求X的分布列与数学期望．19．如图，几何体ABCDEF中，正方形CDEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DC＝CB，AB∥CD，∠DAB＝60°，H为AB的中点．（1）证明：平面BDF⊥平面CFH；（2）求二面角B﹣HF﹣D的余弦值．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交E于A、C两点，AC的中点坐标为（﹣，）．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线BD和AC相交且交E于B、D两点，求四边形ABCD面积的最大值．21．已知函数f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0）．（1）证明：函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为1，求a的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a2|+|x+2a﹣5|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若不等式f（x）＜5的解集非空，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．[0，]B．[0，1]C．[1，2]D．[，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤}，B＝{x|x≥0}，故选：A．2．若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入z﹣2＝1+3i，整理后利用复数相等的条件求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．解：设z＝a+bi（a，b∈R），由z﹣2＝1+3i，得（a+bi）﹣2（a﹣bi）＝3+3i，∴z＝﹣1+i，则|z|＝．故选：A．3．已知a＞0且a≠1，函数，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝（）A．2B．C．D．【分析】先根据f（a）＝3求得a，进而求得结论．解：∵f（a）＝log a a+a＝3，∴a＝2，故选：C．4．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝，得解．解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：故选：B．5．将函数f（x）＝sin x﹣cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝﹣D．x＝【分析】由题意函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．解：将函数f（x）＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得y＝sin（x﹣）的图象．故g（x）的对称轴方程为x＝2kπ+，k∈Z．故选：A．6．已知α，β是两个不重合的平面，直线m∥α，直线n⊥β，则“α⊥β“是“m∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用线面的位置关系即可判断出结论．解：m∥n时，m∥α，n⊥β，则α⊥β；反之不成立．∴α⊥β是m∥n的必要不充分条件．故选：B．7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线y2＝6x的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若|AF|+|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．2【分析】先由抛物线的定义知|AF|+|BF|＝x A+x B+p＝5，于是可得x A+x B的值，再利用中点坐标公式即可得解．解：由抛物线的定义可知，p＝3，|AF|+|BF|＝x A+x B+p＝5，∴x A+x B＝5﹣3＝6，故选：B．8．若sin（α+）＝，则cos（+2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用二倍角公式求得sin2α＝﹣，再利用诱导公式进行化简三角函数式，得到结果．解：∵sin（α+）＝（sinα+cosα）＝，平方求得sin3α＝﹣，则cos（+2α）＝sin2α＝﹣，故选：D．9．梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若•＝2•，则•＝（）A．12B．16C．20D．24【分析】利用向量的数量积，结合向量的基本定理转化求解即可．解：因为•＝2•，所以•﹣•＝•＝•，所以2||＝，可得＝4，故选：C．10．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生．薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种B．360种C．240种D．120种【分析】根据题意，按当人脸识别方向的人数分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①当人脸识别方向有2人时，有种安排方法，②当人脸识别方向有1人时，将其他5人分成6组，安排进行其他4个个方向展开研究，有种安排方法，则一共有120+240＝360种分配方法；故选：B．11．已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），给出下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中所有正确命题的编号是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④【分析】利用函数f（x）的图象和性质，逐个结论验证，选出正确选项．解：函数f（x）＝的图象如右图所示，则x1+x4＝﹣2，故①错误；则log2（x3x4）＝0，∴x3x6＝1，故②正确；则＜x3＜1，∴x1+x4+x3+x4＝x3+﹣2∈（3，），故③正确；∴x1x2x3x4＝﹣x12﹣2x3∈（0，1），故④正确．故选：D．12．设P、A、B、C、D是表面积为36π的球的球面上五点，四边形ABCD为正方形，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为（）A．B．18C．20D．【分析】由球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为h ＝3+x，再把棱锥底面边长用x表示，写出棱锥体积，利用导数求最值．解：设球的半径为r，则4πr2＝36π，即r＝3.设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为h＝3+x，则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝，由V′＝0，得x＝1或x＝﹣3．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝x﹣y过点C（1，0）时，故答案为：．14．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝，sin A＝，b＝，则△ABC的面积为．【分析】先根据条件求得cos A，结合余弦定理求得c，进而得到结论．解：∵a＜b，∴A＜B，，由余弦定理得，代入a＝，b＝，∴△ABC的面积．故答案为：．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a（a为常数），则曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为x+y+2﹣π＝0．【分析】由奇函数的性质可得f（0）＝0，求得a＝1，再求x＞0时，f（x）的解析式，注意运用f（﹣x）＝﹣f（x），求得x＞0时，f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．解：由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a，当x＞3，即有﹣x＜0，f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣cos（﹣x）+1＝﹣sin x﹣cos x+1，则导数为f′（x）＝cos x﹣sin x，又切点为（π，﹣2），即x+y+6﹣π＝0．故答案为：x+y+2﹣π＝0．16．已知F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥BF1，|AF2|＝|BF2|，则C的离心率为．【分析】作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值．解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB设F8A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝6a，由勾股定理可得（4a）2+（5a）2＝（2c）2，则e＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，{b n}满足a n+b n＝2n+1，且{b n}为等比数列，a1＝1，a4＝﹣7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求当S n+2n+1≥50时，正整数n的最小值．【分析】（1）由a1＝1，a1+b1＝3，可得b1＝2．由a4＝﹣7，可得b4．根据等比数列可得通项公式可得公比q，及其b n，进而得出a n．（2）由（1）利用求和公式可得S n，利用S n+2n+1≥50可得结论．解：（1）∵a1＝1，a1+b1＝3，∴b6＝2．∵a4＝﹣7，∴b4＝9﹣a4＝9﹣（﹣7）＝16．∴q3＝＝8，解得q＝2，∴a n＝2n+5﹣2n．∴S n+2n+1≥50可化为n2+2n﹣48≥0，解得n≥6，∴正整数n的最小值为6．18．安康市某中学在1月1日举行元旦歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示．（1）写出这16名选手得分的众数和中位数；（2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元、40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为X，求X的分布列与数学期望．【分析】（1）根据茎叶图数据得出众数和中位数；（2）根据超几何分布的概率公式计算X的取值对应的概率，得出分布列和数学期望．解：（1）众数为86，中位数为＝87.5．（2）X的可能取值有80，110，140，170，故X的分布列为：X80110140170PE（X）＝80×+110×+140×+170×＝120．19．如图，几何体ABCDEF中，正方形CDEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DC＝CB，AB∥CD，∠DAB＝60°，H为AB的中点．（1）证明：平面BDF⊥平面CFH；（2）求二面角B﹣HF﹣D的余弦值．【分析】（1）先证BD⊥CH，再根据面面垂直的性质定理可得CF⊥BD，进而得到BD ⊥平面CFH，再证明平面BDF⊥平面CFH；（2）建立空间直角坐标系，求出平面DHF及平面BHF的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：由已知得∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，∴CH∥AD，∴BD⊥CH，∴CF⊥平面ABCD，则CF⊥BD，∵CH∩CF＝C，∴平面BDF⊥平面CFH；设AD＝2，则，设平面DHF的法向量为，则，同理可求得平面BFH的法向量为，由图可知二面角B﹣HF﹣D为钝角，∴所求二面角的余弦值为．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交E于A、C两点，AC的中点坐标为（﹣，）．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线BD和AC相交且交E于B、D两点，求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线AC的方程，联立椭圆方程，可得A，C的坐标．设B（x3，y3），D（x4，y4），且直线BD的斜率存在，设方程为y＝kx（k＜k OC＝），联立椭圆方程，可得B，D的横坐标，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝|AC|•（d1+d2），（d1，d2分别表示B，D 到直线AC的距离），运用点到直线的距离公式和换元法、基本不等式可得所求最大值．解：（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），可得+＝1，+＝2，将x1+x2＝﹣，y1+y2＝代入上式，即k AC•（﹣）＝﹣，又c＝，即有a7﹣b2＝c2＝3，则椭圆E的方程为+＝1；联立解得或，设B（x3，y3），D（x4，y4），且直线BD的斜率存在，设为k，方程为y＝kx（k＜k OC ＝），所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝|AC|•（d1+d2），（d6，d2分别表示B，D到直线AC 的距离），＝|1﹣k|•|x3﹣x7|＝|1﹣k|•|x3|＝4•＝4＝8，故S四边形ABCD＝4≤4×＝4，当且仅当t＝，即t＝3，k＝﹣时，四边形ABCD的面积取得最大值4．21．已知函数f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0）．（1）证明：函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为1，求a的值．【分析】（1）求出原函数的导函数f′（x）＝，可得f′（x）在（0，+∞）上单调递增，再利用导数证明f′（0）＜0，f′（a+1）＝e﹣＞0，可得函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点；（2）由（1）可知，存在唯一的零点x0∈（0，+∞），使得，即，结合（1）求出f（x）的最小值，得＝1，显然x0+a ＝1是方程的解，结合y＝是单调递减函数，可知方程＝1有且仅有唯一解x0+a＝1，把x0＝1﹣a代入即可求得a的值．【解答】（1）证明：∵f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0），∴f′（x）＝，∵e x﹣a在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（0，+∞）上单调递减，又f′（0）＝＝，则g（a）在（0，+∞）上单调递减，g（a）＜g（0）＝﹣1，故f′（0）＜8．∴函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点；即．∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＜2，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴＝1，显然x0+a＝1是方程的解．把x0＝2﹣a代入，得e1﹣2a＝8，即a＝．∴所求a的值为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线交于A，B两点，求|AB|．【分析】（1）根据条件可知曲线C与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的圆和一个直角边分别为1与的直角三角形，然后求出其面积即可；（2）根据条件求出曲线C与曲线的两交点A，B的坐标，然后求出|AB|的长．解：（1）由曲线C的极坐标方程，可知曲线C与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的圆和一个直角边分别为1与的直角三角形，（2）由得，其直角坐标为，化直角坐标方程为，∴，∴|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a2|+|x+2a﹣5|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若不等式f（x）＜5的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，由绝对值的意义，结合零点分区间法，去绝对值，解不等式即可；（2）原不等式等价为[f（x）]min＜5，运用绝对值不等式的性质，可得其最小值，解二次不等式可得a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，f（x）＜7等价为或或，综上，解集为（﹣2，4）；由|x+a2|+|x+2a﹣5|≥|x+a5﹣x+5﹣2a|＝a2﹣2a+5，则a2﹣2a+8＜5，解得0＜a＜2．则a的取值范围是（0，2）．。
2019年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2019年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=√4−x2}，B={x|y=lg(x+1)}，则A⋂B=（）A. [−2,2]B. (1,+∞)C. (−1,2]D. (−∞,−1]⋃(2，+∞)2.复数z满足（1+i）z=i（i为虚数单位），则在复平面上，复数z对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知平面向量a⃗=（l，x），b⃗ =（4，2），若向量2a⃗+b⃗ 与向量b⃗ 共线，则x=（）A. −13B. 12C. 25D. −274.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（）x12345y1015304550A. 60万元B. 63万元C. 65万元D. 69万元5.程序框图如图，当输入x为2019时，输出y的值为（）A. 18B. 1C. 2D. 46.已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若sinCsinB＜cosA，则△ABC的形状为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形7.在正方体ABCD-ABC l D l中，E、F分别是AB、B1C1的中点，则异面直线A1E、FC所成角的余弦值为（）A.√105B. √1010C. √102D. 458.函数f(x)=ln|x|e x的大致图象是（）A. B. C. D.9.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A. 1213B. 1314C. 2129D. 141510.若a＞0，b＞0，二项式（ax+b）6的展开式中x3项的系数为20，则定积分∫2axdx+∫2bxdx的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 311.已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e1，e2，则1e12+1e22=（）A. 32B. 2C. 52D. 312.已知函数y=f（x）为R上的偶函数，当x∈[0，l）时f'（x）＜0当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，且f（x）≥-m2+2m对m∈R恒成立，函数g（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一个周期内的图象与函数f（|x|）的图象恰好有两个公共点，则g（x）=（）A. −cosπxB. −sinπxC. −cosπx2D. −sinπx2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=3，则sin2α+cos2α的值为______．14.某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本．现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书；乙说：甲或丙得到英语书；丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书．最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲得到的书是______15.已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，且f（3）=3，则f（-1）=______16.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且|FA||FB|=6，则|AB|=______．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，S n是前n项和，且a2+a6=l6，S5=30．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：b n=4a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18.随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如表：序号12345678910组合学科物化生物化政物化历物化地物化政物生历物生地物政历物政地物历地人数20人5人10人5人5人15人10人5人0人5人11121314151617181920合计化生政化生历化生地化政历化政地化历地生政历生政地生历地政历地5人…………………………10人5人……25人200人为了解学生成绩与学生模拟选课情况之问的关系，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析（I）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率：（Ⅱ）从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学习地理的人数为x，求随机变量X的分布列和数学期望．19.已知点Q是圆M：(x+√5)2+y2=36上的动点，点N（√5，0），若线段QN的垂直平分线MQ于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程（Ⅱ）若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．20.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD=BD=2，AB=2√2，CD=4，点M是EC的中点．（Ⅰ）求证：平面ADEF⊥平面BDE（Ⅱ）求二面角E-BD-M的余弦值．21.设函数f（x）=e x+ae-x，a∈R．（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并求极值；（Ⅱ）若a=-1，且对所有x≥0都f（x）≥mx成立，求实数m的取值范围．22.设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．直线C1{y=1+tsinαx=1+tcosα（t 为参数），曲线C2：ρ2-2ρcosθ-8=0．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）直线C1与曲线C2交相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹的普通方程．23.设函数f（x）=|2x-4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）-2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|-2≤x≤2}，B={x|x＞-1}；∴A∩B=（-1，2]．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：∵（1+i）z=i，∴．∴复数z对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，得到z的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：；∵与共线；∴12-4（2x+2）=0；∴．故选：B．可求出，根据向量与向量共线即可得出12-4（2x+2）=0，解出x即可．考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量的坐标关系．4.【答案】B【解析】解：由表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（10+15+30+45+50）=30，回归方程，其中，∴=-=30-11×3=-3，∴=11x-3，x=6，=11×6-3=63，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为63万元．故选：B．由表中数据计算、，求出回归方程，利用方程计算x=6时的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵2019÷3=673，∴经过673次循环后x=0，满足条件．x≥0，则x=0-3=-3，此时x≥0不成立，输出y=2-3=，故选：A．根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵由已知可得：sinC＜sinBcosA，∴可得：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB＜sinBcosA，整理得：sinAcosB＜0，∵sinA≠0，∴cosB＜0．∵B∈（0，π），∴B为钝角，三角形ABC为钝角三角形．故选：A．已知不等式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到sinAcosB＜0，根据sinA不为0得到cosB＜0，进而可得B为钝角，即可得解．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：以A为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-ABC l D l中棱长为2．则A1（2，0，2），E（2，1，0），F（1，2，2），C（0，2，0），=（0，1，-2），=（-1，0，-2），设异面直线A1E、FC所成角为θ，则cosθ===．故异面直线A1E、FC所成角的余弦值为．故选：D．以A为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E、FC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；当x→-∞时，ln|x|→+∞，e x→0，∴当x→-∞时，→+∞，故选：A．由x→-∞时，ln|x|→+∞，e x→0即可得答案．本题考查函数的图象及图象变换，考查极限思想方法，是基础题．9.【答案】C【解析】解：设水深为x尺，则（x+2）2=x2+52，解得x=，即水深尺．又葭长尺，则所求概率P=，故选：C．设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查勾股定理的应用，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，二项式（ax+b）6的展开式为T r+1=C6r（ax）3b3，当r=3时，有T4=20a3b3x3，若二项式（ax+b）6的展开式中x3项的系数为20，则有a3b3=1，又由a＞0，b＞0，则ab=1，=x 2+x 2=a2+b2，又由ab=1，则=a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b时，等号成立；即定积分的最小值为2；故选：C．根据题意，求出二项式（ax+b）6的展开式，令r=3时，求出其展开式中x3项的系数，进而分析可得ab=1，进而由定积分的计算公式可得=a2+b2，由基本不等式的性质计算可得答案．本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，涉及基本不等式的应用，关键是求出a、b的值．11.【答案】B【解析】解：可设A（-c，0），C（c，0），B为第一象限内的点，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），双曲线的方程为-=1（m，n＞0），可设|AB|=s，|CB|=t，可得s+t=2a，s-t=2m，解得s=a+m，t=a-m，在直角三角形ABC中，可得4c2=s2+t2=2a2+2m2，即有+=2，即+=2，故选：B．可设A（-c，0），C（c，0），B为第一象限内的点，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），双曲线的方程为-=1（m，n＞0），可设|AB|=s，|CB|=t，运用椭圆和双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理和离心率公式，化简可得所求值．本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由-m2+2m=-（m-1）2+1≤1，又f（x）≥-m2+2m对m∈R恒成立，所以f（x）min=1，又已知函数y=f（x）为R上的偶函数，当x∈[0，l）时f'（x）＜0当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，则函数y=f（x）在[0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，即当且仅当x=±1时，f（x）=1，又函数g（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一个周期内的图象与函数f（|x|）的图象恰好有两个公共点，则公共点为（-1，1），（1，1），则T=，即ω=π，又g（1）=1，所以sin（π+φ）=1，所以sinφ=-1，cosφ=0，所以g（x）=sin（πx+φ）=sinπxcosφ+cosπxsinφ=-cosπx，故选：A．由不等式恒成立问题得：f（x）≥-m2+2m对m∈R恒成立，所以f（x）min=1，由函数图象的性质得：函数y=f（x）在[0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，即当且仅当x=±1时，f（x）=1，又函数g（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一个周期内的图象与函数f（|x|）的图象恰好有两个公共点，则公共点为（-1，1），（1，1），则T=，即ω=π，又g（1）=1，所以sin（π+φ）=1，所以sinφ=-1，cosφ=0，所以g（x）=sin（πx+φ）=sinπxcosφ+cosπxsinφ=-cosπx，得解．本题考查了不等式恒成立问题及函数图象的性质，属中档题．13.【答案】710【解析】解：∵tanα=3，∴sin2α+cos2α==．故答案为：．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.【答案】化学【解析】解：由甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，且丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书．则甲得到的书是英语或化学，当甲得到英语书．则乙说：甲或丙得到英语书；是正确的，与题设矛盾，故甲得到化学书．故答案为：化学．先阅读再结合简单的合情推理得：甲得到的书是英语或化学，当甲得到英语书．则乙说：甲或丙得到英语书；是正确的，与题设矛盾，故甲得到化学书．得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．15.【答案】3【解析】解：根据题意，函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，则f（3）=-f（1）=3，则有f（1）=-3又由f（x）为奇函数，则f（-1）=-f（1）=3，即f（-1）=3，故答案为：3．根据题意，由函数的对称性可得f（3）=-f（1）=3，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的对称性，属于基础题．16.【答案】6【解析】解：抛物线的焦点坐标为F（1，0），设直线AB方程为y=k（x-1），联立方程组，消去y得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1，抛物线的准线方程为x=-1，故|FA|=x1+1，|FB|=x2+1，∴|FA||FB|=（x1+1）（x2+1）=x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2=6，∴|AB|=|FA|+|FB|=x1+x2+2=6．故答案为：6．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，联立方程组消元，根据跟与系数的关系和弦长公式即可得出|AB|的值．本题考查了抛物线的简单性质，直线和抛物线的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）数列{a n}是公差为d的等差数列，S n是前n项和且a2+a6=16，S5=30，可得2a1+6d=16，5a1+10d=30，解得a1=d=2，则a n=2n；（Ⅱ）b n=4a n a n+1=42n⋅2(n+1)=1n-1n+1，{b n}的前n项和T n=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1．【解析】（Ⅰ）数列{a n}是公差设为d的等差数列，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得==-，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意知样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且化学的学生中随机抽取3人，这3人中至少有2人要学习生物的概率为：p=C42C51+C43C5C93=1742．（Ⅱ）由题可知样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=C73C93=3584，P（X=1）=C72C21C93=4284，P（X=2）=C71C22C93=784，X 0 1 2P35844284784∴E（X）=0×3584+1×4284+2×784=23．【解析】（Ⅰ）由题意知样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且化学的学生中随机抽取3人，由此能求出这3人中至少有2人要学习生物的概率．（Ⅱ）由题可知样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】（I ）解：由垂直平分线的性质可得：|PN |=|PQ |，则：|PM |+|PN |=|PM |+|PQ |=6＞2√5，∴动点P 的轨迹E 为椭圆．设标准方程为：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）．则2a =6，c =√5，b 2=a 2-c 2．联立解得a =3，b 2=4．∴动点P 的轨迹E 的方程为x 29+y 24=1．（Ⅱ）证明：由题意可设直线l 的方程为：y =kx +m ，（k ≠0）．A （-3，0），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）． 联立{y =kx +m x 29+y 24=1，解得（4+9k 2）x 2+18kmx +9m 2-36=0，△=144（9k 2-m 2+4）＞0． ∴x 1+x 2=-18km4+9k 2，x 1x 2=9m 2−364+9k 2．k AB +k AC =y 1x1+3+y 2x2+3=(kx 1+m)(x 2+3)+(kx 2+m)(x 1+3)(x 1+3)(x 2+3)=2kx 1x 2+(3k+m)(x 1+x 2)+6m x 1x 2+3(x 1+x 2)+9=2k⋅9m 2−364+9k 2+(3k+m)⋅−18km4+9k 2+6m 9m 2−364+9k 2+3×−18km4+9k 2+9=83(m−3k)．由直线l 经过点（-3，8），∴8=-3k +m ， ∴k AB +k AC =13．∴直线AB 、AC 的斜率之和为定值． 【解析】（I ）由垂直平分线的性质可得：|PN|=|PQ|，可得：|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=6＞2，由椭圆定义可得动点P 的轨迹E 为椭圆．（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为：y=kx+m ，（k≠0）．A （-3，0），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），与椭圆方程联立可得（4+9k 2）x 2+18kmx+9m 2-36=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k AB +k AC ，即可证明直线AB 、AC 的斜率之和为定值． 本题考查了定义法求轨迹方程、综合考查了直线与圆锥曲线方程联立解决复杂的存在探究问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20.【答案】证明：（Ⅰ）由题意知AD =BD =2，AB =2√2，则AD 2+BD 2=AB 2，根据勾股定理得BD ⊥AD ，∵正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，则ED ⊥平面ABCD ， 则ED ⊥BD ，∵AD ∩ED =D ，∴BD ⊥平面ADEF ，∵BD ⊄平面BDE ，∴平面ADEF ⊥平面BDE ．解：（Ⅱ）以D 为坐标原点，分别以DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 由题得D （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），E （0，0，2）， C （-2√2，2√2，0），M （-√2，√2，1）， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√2，√2，1），DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0）， 由（Ⅰ）可得AD ⊥平面BDE ，则可取平面BDE 的法向量n⃗ =（2，0，0）， 设平面BDN 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2x +√2y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取z =2，得m⃗⃗⃗ =（√2，0，2）， 设二面角E -BD -M 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√33， ∴二面角E -BD -M 的余弦值为√33．【解析】（Ⅰ）推导出BD ⊥AD ，ED ⊥BD ，从而BD ⊥平面ADEF ，由此能证明平面ADEF ⊥平面BDE ．（Ⅱ）以D 为坐标原点，分别以DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-M 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（I ）f ′（x ）=e x -ae -x ，当a ≤0时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在R 上单调递增．当a ＞0时，由f ′（x ）=0，解得x =ln √a ，在x ∈（-∞，ln √a ），f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减．在x ∈（ln √a ，+∞），f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．∴x =ln √a 时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （ln √a ）=2√a ． （II ）令F （x ）=f （x ）-mx =e x -e -x -mx ，F （0）=0．x ≥0． F ′（x ）=e x +e -x -m ，F ′（0）=2-m ． 令H （x ）=e x +e -x -m ． H ′（x ）=e x -e -x ≥0．∴函数H （x ）在（0，+∞）上单调递增． ∴F ′（x ）在[0，+∞）上单调递增．若m ≤2，F ′（x ）≥2-m ≥0，得F （x ）在[0，+∞）上单调递增，有F （x ）≥F （0）=0，符合题意． 若m ＞2，令F ′（x ）＜0，解得0≤x ≤ln m+√m2−42．∴F （x ）在（0，ln m+√m2−42）上单调递减，有F （x ）＜F （0）=0，不符合题意，舍去．∴实数m 的取值范围是（-∞，2]． 【解析】（I ）f′（x ）=e x -ae -x ，对a 分类讨论，即可得出单调性与极值．（II ）令F （x ）=f （x ）-mx=e x -e -x -mx ，F （0）=0．x≥0，利用导数研究其单调性即可得出范围．本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）C 2 的直角坐标方程为：（x -1）2+y 2=9．（Ⅱ）将C 1 代入C 2 得t 2+（2sinα）t -8=0， 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t M =t 1+t 22=-sinα，所以AB 的中点M 的轨迹方程为{y =1−sin 2αx=1−sinαcosα（α为参数）， 消去参数α，得M 点的轨迹的普通方程为（x -1）2+（y -12）2=14． 【解析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式可得；（Ⅱ）将C 1 代入C 2 得AB 的中点M 对应的参数，得点M 的轨迹的参数方程，消去参数可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）≥x +3，即|2x -4|+1≥x +3，则2|x -2|≥x +2，当x ≥2时，解得x ≥6， 当x ＜2，解得x ≤23，所以原不等式的解集为（-∞，23）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式f （x ）-2|x +2|≥a 在实数范围内有解可得： a ≤2|x -2|-2|x +2|+1在实数范围内有解，令g （x ）=2|x -2|-2|x +2|+1，则a ≤g （x ）min ，因为g （x ）=2|x -2|-2|x +2|+1≤2|（x -2）-（x +2）|+1=9， 所以a ≤g （x ）min =9，即a ∈（-∞，9]． 【解析】（Ⅰ）分2段去绝对值解不等式组在相并；（Ⅱ）分离参数转化为求函数的最小值，利用绝对值不等式的性质可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学试卷含详解
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可.【详解】，，则.故应选D.【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合条件得正切，代入求解即可.【详解】由已知得，.故应选B.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题.4.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.【详解】；；又；与的夹角为．故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A. B. C. 1 D. 3【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义可得，进而得，从而得中点横坐标，进而得解.【详解】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，根据抛物线的定义可得，，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积公式和余弦定理化简条件可得，进而得，结合角A 的范围可得解.【详解】∵，，∴，可得，可得，∴可得，∵，可得：，∴，解得：故应选A.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题.7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A. 30B. 29C. 90D. 54【答案】D【解析】【分析】模拟程序的运行，不断计算i和S，直到满足条件，退出循环，即可得解.【详解】模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；此时，满足条件，退出循环，输出的值为54.故应选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可.【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，∴，∴.故应选A.【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，属于基础题.9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可.【详解】设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）；设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则，，，由余弦定理，得.故应选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.10.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：采用排除法，函数定义域为，排除A，当时，，排除D ，当时，，排除C，故选B.考点：函数的图象. 11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由和双曲线相交得弦长为，得方程，化简可得和，从而可得，进而可得渐近线方程.【详解】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故应选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程及双曲线的通经长，及双曲线的渐近线的求解，属于基础题.12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数.【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求方程的根，奇函数在x=0时有定义必有，奇函数是周期为4的周期函数，必有是解本题的关键，属于易错题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】10【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，切点处的导数为切线斜率，所以，所以.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】14【解析】【分析】作出不等式的可行域，通过平移直线，当纵截距最大时即可所求.【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为14.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】【解析】【分析】通过函数图象平移得到为偶函数，进而由，，即可得解.【详解】将函数的图像向左平移个单位得到的图像，其图像关于轴对称，所以有，，又，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1)由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2)由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份2013 2014 2015 2016 2017 2018年份代码 1 2 3 4 5 6年产量（万6.6 6.7 77.1 7.2 7.4件）（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较为基础题.19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的解法，着重考查了运算能力，属于中档题.21.已知函数，，，为自然对数的底数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，方程有个解，求的值.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）0.【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；（2）设，求函数的导数可得在区间内单调递增，，，结合条件，整理得，结合基本不等式及的范围可得解.【详解】（1）当时，，其定义域为，，解，得，解，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，由题意知有个零点，∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.即.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解. 【详解】（1）可化为，∴或或，分别解得或或无解.所以不等式的解集为.（2）由题意：，.设，要想，成立，只需，∵，∴在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学试卷(带解析)
陕西省2019届高三年级第三次联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B进而求并集即可.【详解】，，则.故应选D.【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】∵，∴z的实部为．故应选B．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合条件得正切，代入求解即可.【详解】由已知得，.故应选B.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题.4.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.【详解】；；又；与的夹角为．故选：A．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A. B. C. 1 D. 3【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义可得，进而得，从而得中点横坐标，进而得解. 【详解】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，根据抛物线的定义可得，，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积公式和余弦定理化简条件可得，进而得，结合角A的范围可得解.【详解】∵，，∴，可得，可得，∴可得，∵，可得：，∴，解得：故应选A.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于中档题.7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A. 30B. 29C. 90D. 54【答案】D【解析】【分析】模拟程序的运行，不断计算i和S，直到满足条件，退出循环，即可得解.【详解】模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；不满足条件，执行循环体，，；此时，满足条件，退出循环，输出的值为54.故应选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可.【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，∴，∴.故应选A.【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，属于基础题.9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可.【详解】设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）；设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则，，，由余弦定理，得.故应选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.10.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：采用排除法，函数定义域为，排除A ，当时，，排除D，当时，，排除C，故选B.考点：函数的图象. 11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由和双曲线相交得弦长为，得方程，化简可得和，从而可得，进而可得渐近线方程.【详解】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故应选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程及双曲线的通经长，及双曲线的渐近线的求解，属于基础题.12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数. 【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.【点睛】本题主要考查了利用函数的性质求方程的根，奇函数在x=0时有定义必有，奇函数是周期为4的周期函数，必有是解本题的关键，属于易错题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】10【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，切点处的导数为切线斜率，所以，所以.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】14【解析】【分析】作出不等式的可行域，通过平移直线，当纵截距最大时即可所求.【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为14.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】【解析】【分析】通过函数图象平移得到为偶函数，进而由，，即可得解.【详解】将函数的图像向左平移个单位得到的图像，其图像关于轴对称，所以有，，又，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1)由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2)由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份2013 2014 2015 2016 2017 2018年份代码 1 2 3 4 5 6年产量（万6.6 6.7 77.1 7.2 7.4件）（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t 的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品的产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较为基础题.19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC ，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE 和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC 的中点，∴，∵平面ABC ，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC ，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定和应用空间向量求二面角的余弦值，在解题的过程中，注意对角的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的解法，着重考查了运算能力，属于中档题.21.已知函数，，，为自然对数的底数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，方程有个解，求的值.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）0.【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；（2）设，求函数的导数可得在区间内单调递增，，，结合条件，整理得，结合基本不等式及的范围可得解.【详解】（1）当时，，其定义域为，，解，得，解，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，由题意知有个零点，∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.即.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解. 【详解】（1）可化为，∴或或，分别解得或或无解.所以不等式的解集为.（2）由题意：，.设，要想，成立，只需，∵，∴在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
2019届陕西省榆林市高考第三次模拟测试数学(理)试题(解析版)
2019届陕西省榆林市高考第三次模拟测试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意进行补集运算和交集运算即可确定的结果.【详解】∵，，则，故选D.【点睛】本题主要考查补集的定义，交集的定义，属于基础题.2．已知复数满足，则复数（）A．2 B．-2 C．D．【答案】B【解析】由题意可得，利用复数的运算法则计算即可.【详解】，故选B.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.3．已知向量与向量的模均为2，若，则它们的夹角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意结合数量积的运算法则可得，据此确定其夹角即可. 【详解】∵，∴，∴，故选A.【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．已知，则（）A．B．C．-3 D．3【答案】A【解析】由题意可知，由题意结合两角和的正切公式可得的值.【详解】，故选A.【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．在等差数列中，其前项和为，且满足若，，则（）A．24 B．32 C．40 D．72【答案】C【解析】由题意结合等差数列的性质可得，，则，进一步可得的值.【详解】∵，，∴，，∴，∴，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.6．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上递减，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数为偶函数和函数的单调性可将原问题转化为求解对数不等式的问题，据此即可确定不等式的解集.【详解】∵函数是定义在上的偶函数，，∴，∵函数在上递减，∴，即：，∴或，解得：，故选D.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，对数不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为，则在判断框内应填（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意结合程序的输出值可知时，程序需要继续执行，时，程序结束，据此确定判断框内的内容即可.【详解】时，程序需要继续执行，时，程序结束，故在判断框内应填.故选B . 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8．已知一个确定的二面角l αβ--， a 和b 是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a 和b 所成的角也确定的是（ ） A ．//a α且//b β B ．//a α且b β⊥ C ．a α⊆且b β⊥ D ．a α⊥且b β⊥ 【答案】D【解析】试题分析： 如图，若a α⊥且b β⊥，过A 分别作直线,a b 的平行线，交两平面,αβ分别为,C B ，设平面ABC 与棱l 的交点为O ，连接,,BO CO 易知四边形ABOC 为平面图形，可得BOC ∠与BAC ∠互补，因为二面角l αβ--是大小确定的一个二面角，而BOC ∠就是它的平面角，所以BOC ∠是定值，所以BAC ∠也是定值，即a 和b 所成的角为定值.故选D ．【考点】1、直线与平面的位置关系；2、异面直线所成的角；3、二面角．9．已知，则二项式的展开式中的系数为（ ）【解析】a=2cos dx=2sin=-2,则,故T r+1=x2(5-r)=(-2)r x10-3r.令10-3r=1,得r=3.故展开式中x的系数为(-2)3=-80.本题选择D选项.10．西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）A．今天是周四B．今天是周六C．车周三限行D．车周五限行【答案】A【解析】由题意首先考查选项A，利用推理的方法找到符合题意的选项之后即可排除其余的选项.【详解】首先考查选项A：若今天是周四，，，，，五辆车分别在周一，周三，周二，周五，周四，满足题意，据此可排除B，C，D，故选A.【点睛】本题主要考查推理案例的处理方法，特殊值法处理选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知抛物线交双曲线的渐近线于，两点（异于坐标原点），若双曲线的离心率为，的面积为32，则抛物线的焦点为（）【解析】由题意可得，设点A位于第一象限，且，结合图形的对称性列出方程组确定p的值即可确定焦点坐标.【详解】，∴，设点A位于第一象限，且，结合图形的对称性可得：，解得：，∴抛物线的焦点为，故选B.【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．已知函数，若存在互不相等的实数，，，，满足，则（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】由题意可得，，据此求解的值即可.【详解】如图，，即：，∴，同理可得：，∴，故选A.【点睛】本题主要考查函数图像的应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．设，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】2【解析】首先做出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值时的点的坐标，据此求解最大值即可.【详解】作出不等式组的可行域，如图所示，作直线：，在可行域内平移当过点时，取得最大值.由得：，∴.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.14．已知圆的圆心在轴上，且过点，，则圆的标准方程是__________．【答案】【解析】注意到AB中点坐标为为圆心坐标，结合圆过点求得即可确定圆的标准方程.【详解】，的中点为，圆的圆心在轴上，∴，设圆的标准方程为：，将代入得：，故圆的标准方程为：.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．15．如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则__________．【答案】【解析】易知三棱锥的外接球的球心为，据此分别求得球的体积和三棱锥的体积即可求得其比值.【详解】易知三棱锥的外接球的球心为，∴，∴，很明显到底面的距离为1，∴，∴.【点睛】本题主要考查球的表面积与体积公式，棱锥外接球的判定与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．已知是数列的前项和，数列满足，则__________．【答案】【解析】由题意利用作差法可得数列的通项公式为，结合等比数列前n项和公式求解的值即可.【详解】∵，∴，∴，∴，而时，可得：也满足，∴，∴.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等比数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小:(2)若点为的中点，且,求的值的值【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一问利用正弦定理将题中的条件转化为，从而求得，结合三角形内角的取值范围，求得，第二问利用余弦定理，得到，将代入上式，整理得到，结合正弦定理求得.详解：（1）在中，由正弦定理得，，，则，，（2）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，，整理得，，由正弦定理得点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的过程中，得到，在求角的时候，必须将角的范围写上.18．如图，和所在平面互相垂直，且，，、分别为、的中点，连接、、.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）过作于，由题意结合几何关系可证得平面，利用线面垂直证明线线垂直即可；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量为，平面的法向量为，据此可得二面角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系求解二面角的正弦值即可.【详解】（1）过作于，连结，∵，∴，∴平面，∴；（2）∵和所在平面互相垂直，∴平面，∵平面，∴，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，故，，设平面的法向量为，由可得：，令，则，取平面的法向量为，则，∴，故二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知某种细菌的适宜生长温度为，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：）变化的规律，收集数据如下：/繁殖数量对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：其中，.（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型（结果精确到0.1）；（2）当温度为时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考数据：.【答案】（1）见解析；（2）245【解析】（1）首先绘出散点图，由散点图确定符合题意的回归方程类型即可；（2）结合(1)的结论可得，结合线性回归方程计算公式可得回归方程为，据此可预测当温度为时的细菌繁殖量.【详解】（1）绘出的散点图如图所示，根据散点图判断更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型；（2）∵，∴，∴，，∴，，当温度为时，该种细菌的繁殖数量的预报值为.【点睛】本题主要考查非线性回归分析及其应用，属于中等题.20．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点且倾斜角为钝角，为弦的中点，当最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意列方程组可得，，据此可得椭圆方程；（2）设，直线的方程为：，联立直线方程与椭圆方程可得，结合向量知识可得，由等号成立的条件可得直线方程.【详解】（1）由题意：，∴，，∴椭圆的标准方程为：；（2）设，直线的方程为：，联立方程可得：，∴，取的方向向量为，取的方向向量为，∴，当且仅当，即：时取等号，此时最大，直线的方程为：.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．已知函数.（1）若函数，，求函数的极值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）【解析】（1）由题意可得，则在上递减，在上递增，据此可得函数的极值.（2）原问题等价于，构造函数，由导函数研究函数的性质可知存在唯一的使得，据此可得的最大值为.【详解】（1），，∵在上恒成立，∴当，，当，，∴在上递减，在上递增，∴在取得极小值，极小值为，无极大值；（2）即：，令，在上递增，∵，，故存在唯一的使得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵，∴，∵，，∴的最大值为-1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的最值，导数处理恒成立问题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），与交于两点.（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）若成等比数列，求的值.【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的方程为通方程为；（2）.【解析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程，消去参数，即可得到直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角方程中，得到，再根据题意成等差数列，列出方程，即可求解实数的值.【详解】（1）由，两边同乘，得，化为普通方程为，将消去参数，得直线的普通方程为..（2）把代入，整理得,，，由，得或，，，,,成等差数列，,由的几何意义得且，即,，即，解得又，.【点睛】该题考查的是坐标系与参数方程的有关问题，涉及的考点有极坐标方程与直角坐标方程的转换，参数方程与普通方程的转化，还有直线与曲线相交有关线段的长度借用直线的参数方程中参数的几何意义来完成，这样可以简化解题步骤，并且还容易理解，再者，该题需要保证直线与抛物线有两个交点，此时判别式大于零就显得尤为重要.23．已知定义在上的函数..存在实数使成立，(1) 求实数的值:(2)若，且求证，求证【答案】（1）1；（2）见解析【解析】分析：第一问首先将存在类问题转化为最值来处理，在求含绝对值的式子的最值时用到的是有关绝对值不等式的性质，最后再结合的取值，最后求得结果；第二问根据题中所给的参数的范围，将绝对值符号去掉，结合，可以整理成，该题就转化为已知两个正数的整式形式和为定值，求其分式形式和的最值的问题，相乘之后应用基本不等式求得结果，该过程中，要注意乘1才是不变的.详解：（1）解：存在实数使成立，，则解得，，（2）证明：由（1）知，，，，，同理，，，即当且仅当，又，得，时取等号.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是注意将有关存在类问题向最值靠拢，从而建立关于参数所满足的不等关系式，从而求得结果，二是根据题中所给的参数的取值范围，从而求得这样一个整式形式和为定值的式子，在求解关于其分式形式和的最值的问题时，注意相乘即可建立关于积为定值的式子，从而应用基本不等式求得结果，但是需要注意在乘的过程中，时刻注意一个代数式乘以1才是不变的.。
2019届陕西省宝鸡市高三第三次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019届宝鸡市高三三模考试
数学（理）试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.已知函数的值域为集合A ，集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A,再求得解.
【详解】由题得A=(0,+∞)，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的并集运算和指数函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算出z=1-i ,再确定复数z在复平面内对应的点在第四象限.
【详解】由题得复数z=,
所以复数z对应的点位于复平面第四象限，
故选：D
3.平面向量与的夹角为120°，，，则（）
1 / 21。
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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
12.已知函数 是定义域为 的奇函数，且满足 ，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是（）
A.3B.5C.7D.9
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件通过解方程可得 时的根为 ，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得 的解得个数.
【详解】∵当 时， ，
令 ，则 ，解得 .
∵ ，∴函数 是周期为4的周期函数.
【详解】∵ 是抛物线 的焦点，∴ ，准线方程 ，
设 ， ，根据抛物线的定义可得 ， ，
∴ .
解得 ，∴线段 的中点横坐标为 ，
∴线段 的中点到准线的距离为 .故应选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.
6.已知 的面积为 ，三个内角 的对边分别为 ，若 ， ，则三角形是（）
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定
【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题.
2.已知复数 （ 是虚数单位），则 的实部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.
【详解】∵ ，∴z的实部为 ．
故应选B．
【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设 ，
=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．
由 ，得 ，
又 ，得 ，
∴y关于t的线性回归方程为 ．
（2）①由（1）知 ，当t=7时， ，
所以预测2019年该农产品 产量为7.56万吨．
②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），
【分析】
直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.
【详解】 ； ；又 ； 与 的夹角为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.
5.已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的两点， ，则线段 的中点到准线的距离为（）
A. B. C.1D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可得 ，进而得 ，从而得中点横坐标，进而得解.
故应选D.
【点睛】本题主要考查了循环结构的计算功能，正确识别何时循环结束是解决这类问题的关键，属于基础题.
8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为 ，则 的数学期望是（）
A.1B. C.2D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可.
16.直三棱柱 的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为 ，则该三棱柱体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.
【详解
设外接球的半径为r，则 ，解得 ，
∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，
∴ ．∴ ，∴ ，
∴ ．当且仅当 时“＝”成立．
∴三棱柱的体积 ．
故答案为：
【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角），进而通过计算 的各边长，利用余弦定理求解即可.
【详解】设 的中点为 ，连接 、 、 ，
易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）；
设三棱柱 的侧棱与底面边长为1，
则 ， ， ，
由余弦定理，得 .
故应选B.
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好做，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.
A.30B.29C.90D.54
【答案】D
【解析】
【分析】
模拟程序的运行，不断计算i和S，直到满足条件 ，退出循环，即可得解.
【详解】模拟程序的运行，可得 ， ，执行循环体， ， ；
不满足条件 ，执行循环体， ， ；
不满足条件 ，执行循环体， ， ；
不满足条件 ，执行循环体， ， ；
此时，满足条件 ，退出循环，输出 的值为54.
10.函数 的图像大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：采用排除法，函数定义域为 ，排除A，当 时， ，排除D，当 时， ，排除C，故选B.
考点：函数 图象.
11.已知双曲线 ，若抛物线 （ 为双曲线半焦距）的准线被双曲线 截得的弦长为 （ 为双曲线 的离心率），则双曲线 的渐近线方程为（）
（一）必考题：60分
17.已知正项等比数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ．（2） ．
【解析】
【分析】
(1)由题意得 ，解出基本量即可得到数列 的通项公式；
(2)由（1）知， ，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列 的公比为q，由已知 ，
∴ 平面 ，∴ ．
又∵在正方形 中，D，E分别是AC， 的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE
∴∠A1DA=∠AEC,∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90°,即 ．
又 ，∴ 平面 ．
又 ，则
（2）取 中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系
， ， ， ， ，
， ，
则 ，
.
3.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，结合条件得正切，代入求解即可.
【详解】由已知得 ，
.
故应选B.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，“弦化切”是本题的关键，属于基础题.
4.已知向量 ， ，则 与 的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
15.将函数 的图像向左平移 个单位得到一个偶函数的图像，则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
通过函数图象平移得到 为偶函数，进而由 ， ，即可得解.
【详解】将函数 的图像向左平移 个单位得到 的图像，
其图像关于 轴对称，所以有 ， ，又 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移及奇偶性，属于基础题.
由题意得 ，
所以 ．
解得 ， ．
因此数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知， ，
∴ ．
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1) ；（2） ；（3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
当y=7 5时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，
计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．
【点睛】本题主要考查了线性回归方程，公式的熟练以及计算的仔细是解题的关键，属于较为基础题.
19.如图，三棱柱 的所有棱长都是2， 平面ABC，D，E分别是AC， 的中点．
13.已知函数 的图像在 处的切线方程是 ，则 ______．
【答案】10
【解析】
【分析】
通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.
【详解】由已知切点在切线上，所以 ，
切点处的导数为切线斜率，所以 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.
14.已知实数 满足 ，则 的最大值是______．
18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代码
1
2
3
4
5
6
年产量 （万件）
6.6
6.7
7
7.1
7.2
7.4
（1）根据表中数据，求 关于 的线性回归方程 ；
（2）若近几年该产品每千克的价格 （单位：元）与年产量 满足的函数关系式为 ，且每年该产品都能售完.
求证： 平面 ；
求二面角 的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定和性质，得到 平面 ，进而证得 ；
（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角 的余弦值.
【详解】（1）∵ ，D是AC的中点，∴ ，
∵ 平面ABC，∴平面 平面ABC，
①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区 年该产品的产量；
②当 为何值时，销售额 最大？
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， .
【答案】（1） （2）①7. 56②
【解析】
【分析】
（1）求得样本中心点 ，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；