数学建模选拔方案及试题

云南大学旅游文化学院第一届大学生数学建模竞赛组织的通知全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一，于每年9月举行。

为培训和选拔我校优秀学生参加2014年全国大学生数学建模竞赛，特举办此次预选赛。

一、竞赛目的：激发学生学习数学的积极性，开拓知识面，提高学生独立分析问题、建立数学模型、运用计算机技术模拟解决实际问题、论文写作等的综合能力，鼓励广大青年学生在基础及应用学科研究中推陈出新，提升对数学科学理论及其应用的价值认识；加强数学与经济金融、计算机等学科之间的联系，促进数学教育改革；培养学生的创造精神及合作意识，塑造同学们的科创意识与团队精神，为同学们将来能更好地走上社会、服务社会打下更为坚实的基础。

二、参赛对象及报名方式：1、参赛对象：信科系、会计系、经管系学生。

2、报名方式：参赛者以个人为单位报名，每队1人三、竞赛内容及相关要求：1、竞赛内容：本次预赛提供A、B两个竞赛题目，题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力，参赛者自选其中一个题目，根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。

2、竞赛时间：6月10日——6月20日3、竞赛要求：竞赛采取开放形式，参赛学生可到信科系吕小俊、李睿、靳巧花老师处复制或到所在系部复制参赛试题，完成作品。

各参赛队于6月20日下午6点前完成论文，并将电子稿（WORD 或PDF版本）与打印稿交到信科系办公室2-204。

电子稿统一命名格式为“专业_姓名_学号”，如“国贸_张三_20131203088”。

论文（包括电子稿与打印稿）需要制作论文封面，论文封面参见附件三。

论文不得抄袭，如发现论文抄袭，直接取消参赛资格！四、奖项设置根据参赛情况评选出一等奖5%，二等奖10%，三等奖20%及优胜奖若干。

获奖者可获得由学院颁发的证书，并参加2014年全国大学生数学建模大赛校内集训。

联系人及电话：杨七九（办公室）附件：1、预赛试题A题2、预赛试题B题3、数学建模论文格式4、数学建模论文范文5、数学建模论文封面云南大学信息科学与技术系二〇一四年六月十日附件1云南大学旅游文化学院数学建模竞赛选拔说明：竞赛试题共有A、B试题两种，参赛学生任选一种试题，写成数学建模论文的形式，论文参照格式见附件3，参照论文见附件4。

试题A硅酸盐（Si3N4）制陶材料是一种强度高、耐磨、抗氧化和耐高温的材料，它广泛应用于高温结构的材料中，如切割工具、齿轮、内燃机部件及航空、航天飞行器的有关部件等。

影响这种材料的强度的因素有：A:加热方案，A1=两步，A2=一步；（其中“两步”包括“一步”上的预烧结阶段）.B:四种烧结添加剂CaO,Y2O3,MgO和Al2O3的总量，B1=14摩尔%，B2=16摩尔%，B3=18摩尔%。

C:CaO的含量，C1=0.0摩尔%，C2=1.0摩尔%，C3=2.0摩尔%。

D: Y2O3的摩尔%与MgO的摩尔的比率，D1=1:1, D2=1:2, D3=1:6.E：Y2O3的摩尔%与Al2O3的摩尔%的比率，E1=2:1, E2=1:1, E3=1:4.F:烧结温度，F1=1800oC, F2=1850oC, F3=1900oC.G:烧结时间，G1=1h, G2=2h, G3=3h.为了寻找使得该种材料的强度达到最高的工艺条件，特此安排了如下试验方案，测量数据见表1，根据表1的测量数据，试建立合理的数学模型，并对试验结果进行分析；寻找使得强度最大的最优工艺条件；对你所建立的模型进行误差分析并做出评价；你能否提出一种更合理的试验设计计划及试验结果的分析方法？就你的研究对有关部门试写一份申报科技进步奖的报告。

表1、陶瓷试验方案及强度数据表注：因素栏中数字“i”表示因素在试验中处于第i水平。

附件2试题B 校车安排问题许多学校都建有新校区，常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。

由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。

如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。

现有如下问题请你设计解决。

假设老校区的教师和工作人员分布在50个区，各区的距离见表1。

各区人员分布见表2。

问题1：如要建立n个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，该将校车乘车点应n=时的结果。

建立在哪n个点。

建立一般模型，并给出2,3问题2：若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘车点应建n=时的结果。

立在哪n个点。

建立一般模型，并给出2,3问题3 若建立3个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要安排多少辆车？给出每个乘车点的位置和车辆数。

设每辆车最多载客47人。

问题4；关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。

可以提高乘车人员的满意度，又可节省运行成本。

表2 各区人员分布以上数据仅供参考，不一定完全符合实际。

附件3：论文参照格式要求：从A、B两题中任选一题，按以下的要求书写论文。

题目（三号黑体字）一、问题重述（一级标题用四号黑体字，并居中）二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。

论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，二、基本假设三、符号说明四、问题分析五、模型的建立与求解六、模型检验七、模型优缺点分析及改进方向附录：附件4：论文范文中国人口增长预测摘要：针对题目所提要求，我们建立了两个中国人口预测模型，分别用于对中国人口的发展趋势做短期和中长期的预测。

为了对中国人口发展做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由马尔萨斯的人口指数增长模型得到启发，针对中国人口发展的特点，把出生率和死亡率函数这两大对人口增长起主要作用的因素作为建模的关键参数，在附件中没有给出中国近年总人口数的情况下，建立了短期内预测中国人口增长的微分方程模型。

在该模型中，为了得到出生率和死亡率函数这两个重要参数，我们通过分析题目所给数据，提取出有效信息，计算归纳出2001年到2005年的出生率和死亡率，并在此基础上引入灰色模型，用于对出生率和死亡率进行预测，得出了出生率和死亡率关于时间的函数。

较准确的估计出了人口增长的关键参数，使得建立的人口增长短期预测模型不仅符合中国人口的发展特点，而且简单易用，能在未知总人口数的情况下预测人口的相对发展变化，这一优点使得可以方便且准确的用于预测中国人口短期内的发展趋势。

为了对中国人口发展做中长期的预测，考虑到短期模型在预测人口中长期发展中的局限性以及影响人口发展的众多因素的不确定性和它们之间关系的复杂性，我们利用灰色动态模型的特点，从《中国统计年鉴》中查到了中国近年的人口总数（见附表一），把人口数做为灰色量，对原始各年人口序列进行分段建模，对各分段模型进行定性分析比较，根据各阶段宏观指标的相关确定一组适当的权数，进行预测模型的最优组合，以确定最优预测模型，从而建立了中长期预测中国人口增长的灰色动态系统人口模型，对中国人口进行了中长期的预测。

在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。

关键词：出生率、死亡率、指数增长模型、灰色动态模型、性别比、老龄化、生育率。

一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

二、基本假设1、把市镇乡看成独立封闭的系统，即不考虑迁入迁出的因素对人口的影响。

2、妇女的总和生育率设为1.8。

3、忽略经济，社会环境，资源等因素对人口的影响。

三、符号说明City(T):附件所给数据中的第T年城市人数Town(T):附件所给数据中的第T年城镇人数Village(T):附件所给数据中的第T年的乡村人数M：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村男性比率iW：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性比率iMd：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村男性死亡比率iWd：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性死亡比率iDeads：死亡人数Borns:出生人数B：育龄妇女比率(15岁～49岁) i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村育龄妇i女比率Bc：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性生育率iT ：年份t:年份表达变量b(t):出生率随时间变化的函数 d(t):死亡率随时间变化的函数 N(t):总人口数随时间变化的函数0N ：2001年人口数量（见附录一）四、问题分析与建模及人口预测中国人口增长的数学模型： 4.1 用于短期预测的模型：根据附件所给材料中的数据，计算第T 年的死亡人数及出生人数： 公式为：Deads=City(T)*(M1*Md1+W1*Wd1)+Town(T)*(M2*Md2+W2*Wd2)+Village(T)*(M3*Md3+W3*Wd3)Borns=City(T)*B1*Bc1+Town(T)*B2*Bc2+Village(T)*B3*Bc3计算第T 年的出生率b(t)=Borns/(City(T)+Village(T)+Town(T))死亡率d(t)=Deads/(City(T)+Village(T)+Town(T)) 得如下表格：对于序列X(t)={X(0),X(1),X(2)…X(n)}根据灰色模型中较常用的GM(1,1)模型：()()dX t aX t u dt+= （1） 来预测b(t),d(t)的趋势。

（1）参数a,u 的估计及X(t)预测方程的求解将（1）写成()[()]dX t a X t u dt-+=，将t 换为t+1并与原式做算术平均得：11{[()(1)]}['()'(1)]22a X t X t u X t X t -+++=++ （2）我们可以用差分DX(t)=X(t+1)-X(t)近似代替（2）式右端得：1{[()(1)]}()2a X t X t u DX t -+++=记A=a u ⎛⎫⎪⎝⎭，用最小二乘法估计出系数矩阵A 。