高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结

.8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? （定义域、对应法则、值域)

相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()()

例：函数的定义域是

y x x x =

--432

lg

()()()（答：，，，）022334

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零;

● 偶次方根下的数(或式)大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；

● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

● 正切函数x y tan = ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∈+

≠∈Z π

πk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域

函数y ＝ar ｃsinx 的定义域是 [－１, １] ，值域是，函数ｙ=ａｒcco ｓ

x 的定义域是 [-1, １］ ，值域是 [０, π] ,函数y ＝a ｒｃtgx 的定义域是 R ,值域

是.，函数y=ａｒc ｃtgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的

范围,再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？

[]

如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0

义域是____＿__＿___＿_。 []

（答：，）a a -

复合函数定义域的求法:已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域,可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

11、函数值域的求法

１、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=

x

1

的值域 2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数ｙ=2

x -2x ＋5,x ∈[-1,2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1

=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

6、函数单调性法

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数ｙ=ｘ＋1-x 的值域。 ８ 数形结合法

例求函数y=

)

2(2

-x +

)

8(2

+x 的值域。

解:原函数可化简得:y=∣x-2∣＋∣x ＋8∣

上式可以看成数轴上点P(ｘ）到定点A(2)，B （-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段A Ｂ上时， y ＝∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=１0ﻠ

当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， ｙ=∣x-2∣+∣x ＋8∣>∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：［１0,+∞）

多种方法综合运用

总之,在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗?

切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我

当年的错误,与到手的满分失之交臂

(

)

如：，求f

x e x f x x +=+1().

令，则t x t =

+≥10

∴x t =-2

1

∴f t e

t t

()=+--2

1

21

()∴f x e x x x ()=+-≥-2

1

210

15 ． 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种：ﻫ（1)定义法:

根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1），ｆ(x 2)之间的大小关系

可以变形为求

1212()()f x f x x x --的正负号或者12()

()

f x f x 与1的关系

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称，函数f(ｘ)在关于点(a ，0）的对称区间具有相同的单调性； (特例:奇函数)ﻫ②若函数f(x)的图象关于直线ｘ＝ａ对称，则函数f(x)在关于点(ａ,０)的对称区间里具有相反的单调性。（特例:偶函数)ﻫ(3)利用单调函数的性质: