第八讲 激波理论

第三节 等温管路的流动条件：有沿程摩擦损失、有加热、等截面的等温流动。

一、基本方程1、 连续性方程 m V =ρ2、 状态方程 RT p ρ=3、 等温方程 ρC p =4、 运动方程 022=++V D dL VdV dpλρ 注：关于λ的分析1） 管材一定，故D /∆为常数；2） μ是T 的函数，由等温条件，故μ为常数； 3） 由连续方程，V ρ为常数。

结论：C VDVD===μρνRe ==> λ为常数。

二、等温流动的大压差公式1、 由连续性方程，有ρρ11=V V2、 由等温条件，有 111V V p p ==ρρ 则有1211111121111p V p V p p V V V V ρρρρ=⋅=⋅=p 13、 大压差公式将运动方程通除22V ，可变形为0222=++D dLV dV Vdp λρ 将121121p V pV ρρ= 带入后积分，得到 0222121211211=++⎰⎰⎰dL D V dV pdp p V λρ ==> )ln2(1212112221DLV V p V p p λρ+=- 由于 DLV V λ<<12ln2，则有近似公式 DLp V p p λρ12112221=- 即有 DL RT V p D Lp V p p λλρ21112112121-=-=4、 质量流量G 的计算公式由于 121114,ρπρD G V RTp ==，可得到5221211222116D LRTG D L p V p p πλλρ==-==> )(422212p p LRTD D G -=λπ三、等温管流的特性 1、 基本微分方程1） 运动方程022=++V D dL VdV dpλρ==>02//2=++DdL p V p VdV p dp λρρ 2） 状态方程ρρρρd T dT d p dp =+= 3） 连续性方程pdpV dV d =-=ρρ由以上三个式子，可导出0222=++-DdL kM V dV kM V dV λ ==> DdL kM kM V dV 2122λ⋅-=讨论：1、 当 12<kM 时，↓↑p V , 当 12>kM 时，↑↓p V ,2、 在管路上不能出现临界断面，kM 1≤；3、 计算流量时，须确认kM 1≤才有效；若出口断面kM 1>，只能按kM 1=计算；4、 kM 1=处的管长L 为最大管长。

例4 空气在长为L 、直径为D 的管道中流动。

假设管道入口处的压强为980kPa ，温度为20℃，流速为30m/s 。

试求管道出口处的流动参数，并计算空气经过这段管道后，压强降低了多少？（20℃的空气，s m /107.1526-⨯=ν，管道沿程阻力系数0155.0=λ）已知：s m V C T kPa p mm D /30,20,980,100111=︒=== 求：通过管长m L 100=后，压强降低了多少？解：1、20℃的空气，其运动黏度s m /107.1526-⨯=ν，则有51092.1Re ⨯==νVD流动为紊流，取0155.0=λ，得到22112/8901m kN DLRT V p p =-=λ221/90m kN p p p =-=∆2、 校核是否满足kM 1≤由2112p pV V = 得到 s m V /332= 又由于 s m kRT a /343====> 845.0096.02<==aV M 满足计算有效性条件。

习题空气在光滑水平管道中流动，管长L=200m ，管径D=5cm ，沿程阻力系数λ=0.016，进口处绝对压强Pa p 6110=，温度C T ︒=201，速度s m V /301=。

在以下条件下求压降p ∆。

（1） 不可压缩流动； （2） 可压缩的等温流动； （3） 可压缩的绝热流动。

第三章 激波理论气流主要参数发生突跃变化的地方称为激波——强间断面。

目的：气流通过激波时，流体参数的变化。

第一节 激波的产生与类型激波的类型可分为正激波和斜激波。

一、 正激波正激波就是与流动方向相垂直的强间断面。

活塞向右作加速运动（管内气体初始时为静止）每一时刻所产生的压强波以当地音速向右传播。

（1） 活塞加速一次；（2） 产生一道压缩波向右传递； （3） 传递速度为当地音速；（4） 靠近活塞部分，压强高、温度高、当地音速大； （5） 后面的压力波以较快的速度运动； （6） 波形越来越陡；（7） 形成激波并继续加强。

注：活塞后面为膨胀波，膨胀波不会产生激波。

二、 斜激波流体以超音速通过一尖形或一凹形物体时，会产生一个与流动方向呈一斜角的强间断面——斜激波。

超音速气流，通道截面变小，经过B 点后，开始转向 B 点：产生一次微弱扰动；形成一个马赫波（压缩波）空气受到一次压缩；↓↑↑V ,T ,p C 点：又产生一次扰动 又受到一次压缩 形成一个马赫波 马赫角较B 点的大两波相交后，形成较强的压缩波。

讨论：1、 亚音速流无马赫数，故不形成激波2、 膨胀波的马赫波不相交，故也不形成激波3、 对于加速运动，可形成激波4、 对于定常流动，只有当M>1时，才能形成激波5、 激波是一层非常薄的间断面，约为mm 104-，故不研究激波内部的情况 6、 流体通过激波的过程可认为是绝热过程第二节 正激波前后气流参数的关系一、 正激波的基本关系式 1、连续性方程 2211V V ρρ= 2、状态方程 RT p ρ= 3、能量方程 （绝热过程）0p 222210T C 2V i 2V i i =+=+=C 2V p 1k k 2=+-ρ AB4、动量方程)V V (m p p 1221-=-由 2211V V ρρ=可得 22222111V p V p ρρ+=+二、 正激波前后气流参数关系 1、 2121M ,M ,T ,T 的关系式 由能量方程 0201T T = 及20M 21k 1T T -+=，有 222112M 21-k 1M 21k 1T T +-+=2、 2121M ,M ,p ,p 的关系式由动量方程 22222111V p V p ρρ+=+ 及 222kpM kRT M V ==ρρ 有 )kM 1(p )kM 1(p 222211+=+即 222112kM 1kM 1p p ++=3、1M 与2M 的关系由状态方程，有1212121212211212T T M M p p V V p p p p T T ===ρρ ==>222122212112kM 1kM 1M 21-k 1M 21k 1M M p p ++=+-+===>2222221211kM 1M 21k 1M kM 1M 21k 1M +-+=+-+此方程有两个解：21M M =以及 1M 1-k 2k 1k 2M M 21212--+=注：（1）21M M = 表明断面1与断面2处的状态可以相同； （2）关系式21k kM M 21k 11M 1-k 2k 1k 2M M 2121212122---+=--+= 当 ∞→1M 时，378.0M 2=，故应有1M 2k1k 2<<- 表明不连续面两侧状态之间必须存在的关系。

4、速度系数与马赫数之间的关系定义：速度系数为当地速度与临界速度之比，即*V V=λ。

2*222*222*2222*22a a M V a M V a a V V V ====λ 由伯努利方程2*2*2*2a )1k (21k 2a 1k a 2V p 1k k -+=+-=+-ρ2*22a )1k (21k 2V 1k a -+=+- 得到 1k 1k a a 1k 2a V 2*22*2-+=-+ 由定义有 1k 1k M 1k 2222-+=-+λλ 最后得到222M 21k 1M 21k -++=λ 和 2221k 1k 11k 2M λλ+--+=分析：1k 1k M 00M 11M 11M 11M -+=∞=====>><<λλλλλ5、 Prandtl 关系式（1）由动量方程 )V V (m p p 1221-=-，得到12122211122221kV a kV a V p V p V V -=-=-ρρ （2）由能量方程2*22222121a )1k (21k 1-k a 2V 1-k a 2V -+=+=+ 有222*22212*21V 21k a 21k a V 21k a 21k a --+=--+=（3）将上两式代入动量方程，得到)V V (2k 1k V 1V 1a 2k 1k V 2k1k V a 2k 1k V 2k 1k V a 2k 1k V V 21122*112*222*21--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-++---+=-==>21212*21V V V V a 2k 1k )V V (2k 1k -+=-+ ==> 212*V V a =得到激波前后气流速度系数的关系式为121=⋅λλ此即为著名的Prandtl 激波关系式。

分析：（1）若1面为超音速流动，则2面必为亚音速流动。

（2）反之在物理上是不可能的。

考虑激波方向，仅有从超音速到亚音速的改变才是可能的。