第八讲 激波理论

第三节 等温管路的流动

条件：有沿程摩擦损失、有加热、等截面的等温流动。 一、基本方程

1、 连续性方程 m V =ρ

2、 状态方程 RT p ρ=

3、 等温方程 ρC p =

4、 运动方程 02

2

=++V D dL VdV dp

λρ 注：关于λ的分析

1） 管材一定，故D /∆为常数；

2） μ是T 的函数，由等温条件，故μ为常数； 3） 由连续方程，V ρ为常数。 结论：

C VD

VD

==

=

μ

ρν

Re ==> λ为常数。

二、等温流动的大压差公式

1、 由连续性方程，有

ρ

ρ11=V V

2、 由等温条件，有 1

11V V p p ==ρρ 则有

1

211111121111p V p V p p V V V V ρρρρ=⋅=⋅=

p 1

3、 大压差公式

将运动方程通除2

2

V ，可变形为

0222

=++D dL

V dV V

dp λρ 将

1

2

1121p V p

V ρρ= 带入后积分，得到 022

2

121

211

211=++⎰⎰⎰dL D V dV pdp p V λ

ρ ==> )ln

2(1212

112

22

1D

L

V V p V p p λρ+=- 由于 D

L

V V λ<<12ln

2，则有近似公式 D

L

p V p p λ

ρ12112221=- 即有 D

L RT V p D L

p V p p λλρ211121

12

1

21-

=-=

4、 质量流量G 的计算公式

由于 121114

,ρπρD G V RT

p ==

，可得到

5

22

121

122

2

1

16D LRTG D L p V p p πλλρ==-

==> )(4

2

2212

p p LRT

D D G -=

λπ

三、等温管流的特性 1、 基本微分方程

1） 运动方程

02

2

=++V D dL VdV dp

λρ

==>

02//2=++D

dL p V p VdV p dp λρρ 2） 状态方程

ρ

ρρρd T dT d p dp =+= 3） 连续性方程

p

dp

V dV d =-

=ρ

ρ

由以上三个式子，可导出

0222=++-

D

dL kM V dV kM V dV λ ==> D

dL kM kM V dV 2122λ⋅-=

讨论：

1、 当 12

>kM 时，↑↓p V ,

2、 在管路上不能出现临界断面，k

M 1≤

；

3、 计算流量时，须确认k

M 1≤

才有效；

若出口断面k

M 1>

，只能按k

M 1=

计算；

4、 k

M 1=

处的管长L 为最大管长。

例4 空气在长为L 、直径为D 的管道中流动。假设管道入口处的压强为980kPa ，温度为

20℃，流速为30m/s 。试求管道出口处的流动参数，并计算空气经过这段管道后，压强降低了多少？

（20℃的空气，s m /107.152

6

-⨯=ν，管道沿程阻力系数0155.0=λ）

已知：s m V C T kPa p mm D /30,20,980,100111=︒=== 求：通过管长m L 100=后，压强降低了多少？

解：

1、20℃的空气，其运动黏度s m /107.152

6

-⨯=ν，则有

51092.1Re ⨯==

ν

VD

流动为紊流，取0155.0=λ，得到

22112/8901m kN D

L

RT V p p =-=λ

221/90m kN p p p =-=∆

2、 校核是否满足k

M 1≤

由

2

112p p

V V = 得到 s m V /332= 又由于 s m kRT a /343==

==> 845.0096.02

<==

a

V M 满足计算有效性条件。

习题

空气在光滑水平管道中流动，管长L=200m ，管径D=5cm ，沿程阻力系数λ=0.016，

进口处绝对压强Pa p 6

110=，温度C T ︒=201，速度s m V /301=。

在以下条件下求压降p ∆。 （1） 不可压缩流动； （2） 可压缩的等温流动； （3） 可压缩的绝热流动。