场论典型例题

场论典型例题

第一章 矢量分析 例题1、（基本矢量计算）

已知两个矢量j i 2+=A ，j i 34+=B ，求

（1）B A + （2）B A - （3）B A •（4）B A ⨯ （5）若A 和B 两矢量夹角为α，求αcos 。 解：

（1）B A +=)34()2(j i j i +++=j i )32()41(+++=j i 55+ （2）B A -=)34()2(j i j i +-+=j i )32()41(-+-=j i --3 （3）B A •=)34()2(j i j i +•+=)32()41(⨯+⨯=64+=10

（4）B A ⨯=)34()2(j i j i +⨯+=

0 3 4 0 2

1 k

j i =k 5- （5）根据内积的定义有：B A •=αcos B A ，其中A ，B 为矢量的模。 所以：B

ΑB

A •=

αcos 其中B A •在（2）中已经得到B A •=10，

而A =5021222=++，B =5034222=++ 因此B ΑB A •=αcos =5510=5

2

说明：

此题可以用于掌握矢量运算法则。 例题2、（矢性函数的极限）

设t t t cos sin )(B A F += )20(π<≤t ，式中A ，B 为矢量，分别为j i -=A ，

j i +=B 。求下列极限。

（1）)(lim 3

/t F t π→ （2）|)(|lim 3

/t F t π→

解：（1）整理)(t F 。

t j i t j i t t t F cos )(sin )(cos sin )(++-=+=B A

=j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++

而 3/|)sin (cos π→+t t t =

2

3

1+ 3/|)sin (cos π→-t t t =

2

3

1- 所以)(lim 3

/t F t π→=

i 231++j 2

3

1- （2）|)(|t F =|j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++| =22)sin (cos )sin (cos t t t t -++ =2

=→|)(|lim 3

/t F t π2

说明：

对矢性函数的极限，归结为对各坐标分量求极限，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数极限”的内容，特别是一些常用极限的求法。

例题3、（求矢性函数的导数）

设矢性函数r 为},sin ,cos {ct t a t a ，

2

2c a s t += ，其中a 和c 都是常数，求

ds d r 、ds

d r

。 解：由复合函数的求导公式有

ds d r =dt d r ．ds

dt ds dt 为数性函数求导，根据微积分中的知识，求得：ds dt

=221c

a +

另外，因为矢性函数的导数归结为三个数性函数的求导，所以

dt

d r

=},cos ,sin {c t a t a - 因此，

ds d r =dt d r ．ds dt

=},cos ,sin {c t a t a -221c

a +

=

2

2

1c

a +},cos

,sin

{2

2

2

2

c c

a s a c

a s a ++-

ds d r =221c a +},cos ,sin {2222c c

a s a c a s a ++-

=2

21c a +222

222

2)cos

()sin

(c c a s a c a s a ++++-

=1 说明：

对矢性函数的求导的问题，转换成对各坐标分量求导，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数导数”的内容，一些常用简单函数的导数应熟记。求导法则和复合函数求导法是常用的求解工具，要熟练运用。

例题4（求矢性函数的微分）

设}cos ,sin {t t t -=r ，求r d ，||r d 。 解： r d =}cos ),sin ({t d t t d - =}sin ,)cos 1{(tdt dt t -- =dt t t }sin ,cos 1{--

||r d =dt t t 22sin )cos 1(+-

=dt t cos 22- 说明：

矢性函数的微分和求导的方法类似，转换成对各坐标分量求微分，但是微分和求导的几何意义不同，详细区别参见教材《矢量分析与场论》7、8页。

例题5（求矢性函数的积分）

设k j i F 4

32)(t t t t ++=，求⎰

1

)(dt t F

解：⎰10

)(dt t F =dt t t t )(4

321

k j i ++⎰

=dt t t t )(4

3

21

0k j i ++⎰

=⎰⎰⎰

++1

41

3

2

1

dt t dt t dt t k j i

=k j i 5

14131++

说明：

本题是求得矢性函数的定积分，对矢性函数的定积分的问题，转换成对各坐标分量求定积分，需要复习高等数学中微积分中关于“函数积分”的内容，一些简单函数的积分应熟记。常用的积分方法有：“凑”微分法、换元积分、分部积分法等。在求矢性函数的不定积分时，一定不要忘记结果中要加上一个任意常矢量。

第二章 场论

典型例题分析

例题1、（求数量场方向导数）

求数量场z y z x 2

3

2

2+=u 在点)1,0,2(-M 处沿k j i l 4

32z xy x +-=方向的方向导数。 解：

x ∂∂u =x z 3

2 ， y ∂∂u =zy 4 ， z

∂∂u =22223y z x +

在)1,0,2(-M 处有

x ∂∂u =4- ， y ∂∂u =0 ， z

∂∂u =12

另外，在)1,0,2(-M 处k j i l 4

32z xy x +-= =k i 34+ 则l 的方向余弦分别为：αcos =

5

4

40342

22=

++，βcos =0，γcos =

5

340332

22=

++