场论典型例题

场论典型例题第一章 矢量分析 例题1、（基本矢量计算）已知两个矢量j i 2+=A ，j i 34+=B ，求（1）B A + （2）B A - （3）B A •（4）B A ⨯ （5）若A 和B 两矢量夹角为α，求αcos 。

解：（1）B A +=)34()2(j i j i +++=j i )32()41(+++=j i 55+ （2）B A -=)34()2(j i j i +-+=j i )32()41(-+-=j i --3 （3）B A •=)34()2(j i j i +•+=)32()41(⨯+⨯=64+=10（4）B A ⨯=)34()2(j i j i +⨯+=0 3 4 0 21 kj i =k 5- （5）根据内积的定义有：B A •=αcos B A ，其中A ，B 为矢量的模。

所以：BΑBA •=αcos 其中B A •在（2）中已经得到B A •=10，而A =5021222=++，B =5034222=++ 因此B ΑB A •=αcos =5510=52说明：此题可以用于掌握矢量运算法则。

例题2、（矢性函数的极限）设t t t cos sin )(B A F += )20(π<≤t ，式中A ，B 为矢量，分别为j i -=A ，j i +=B 。

求下列极限。

（1）)(lim 3/t F t π→ （2）|)(|lim 3/t F t π→解：（1）整理)(t F 。

t j i t j i t t t F cos )(sin )(cos sin )(++-=+=B A=j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++而 3/|)sin (cos π→+t t t =231+ 3/|)sin (cos π→-t t t =231- 所以)(lim 3/t F t π→=i 231++j 231- （2）|)(|t F =|j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++| =22)sin (cos )sin (cos t t t t -++ =2=→|)(|lim 3/t F t π2说明：对矢性函数的极限，归结为对各坐标分量求极限，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数极限”的内容，特别是一些常用极限的求法。

例题3、（求矢性函数的导数）设矢性函数r 为},sin ,cos {ct t a t a ，22c a s t += ，其中a 和c 都是常数，求ds d r 、dsd r。

解：由复合函数的求导公式有ds d r =dt d r ．dsdt ds dt 为数性函数求导，根据微积分中的知识，求得：ds dt=221ca +另外，因为矢性函数的导数归结为三个数性函数的求导，所以dtd r=},cos ,sin {c t a t a - 因此，ds d r =dt d r ．ds dt=},cos ,sin {c t a t a -221ca +=221ca +},cos,sin{2222c ca s a ca s a ++-ds d r =221c a +},cos ,sin {2222c ca s a c a s a ++-=221c a +2222222)cos()sin(c c a s a c a s a ++++-=1 说明：对矢性函数的求导的问题，转换成对各坐标分量求导，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数导数”的内容，一些常用简单函数的导数应熟记。

求导法则和复合函数求导法是常用的求解工具，要熟练运用。

例题4（求矢性函数的微分）设}cos ,sin {t t t -=r ，求r d ，||r d 。

解： r d =}cos ),sin ({t d t t d - =}sin ,)cos 1{(tdt dt t -- =dt t t }sin ,cos 1{--||r d =dt t t 22sin )cos 1(+-=dt t cos 22- 说明：矢性函数的微分和求导的方法类似，转换成对各坐标分量求微分，但是微分和求导的几何意义不同，详细区别参见教材《矢量分析与场论》7、8页。

例题5（求矢性函数的积分）设k j i F 432)(t t t t ++=，求⎰1)(dt t F解：⎰10)(dt t F =dt t t t )(4321k j i ++⎰=dt t t t )(43210k j i ++⎰=⎰⎰⎰++141321dt t dt t dt t k j i=k j i 514131++说明：本题是求得矢性函数的定积分，对矢性函数的定积分的问题，转换成对各坐标分量求定积分，需要复习高等数学中微积分中关于“函数积分”的内容，一些简单函数的积分应熟记。

常用的积分方法有：“凑”微分法、换元积分、分部积分法等。

在求矢性函数的不定积分时，一定不要忘记结果中要加上一个任意常矢量。

第二章 场论典型例题分析例题1、（求数量场方向导数）求数量场z y z x 2322+=u 在点)1,0,2(-M 处沿k j i l 432z xy x +-=方向的方向导数。

解：x ∂∂u =x z 32 ， y ∂∂u =zy 4 ， z∂∂u =22223y z x +在)1,0,2(-M 处有x ∂∂u =4- ， y ∂∂u =0 ， z∂∂u =12另外，在)1,0,2(-M 处k j i l 432z xy x +-= =k i 34+ 则l 的方向余弦分别为：αcos =544034222=++，βcos =0，γcos =534033222=++所以，方向导数l u ∂∂=x ∂∂u αcos +y ∂∂u βcos +z∂∂u γcos=5312544⨯+⨯-=4例题2、（求数量场方向导数）求数量场223z xy z x u +-=在点)1,1,1(-M 处沿曲线32,,t z t y t x =-==朝t 增大方向的方向导数。

解：将所给的曲线方程改写成矢量形式。

r =k j i z y x ++=k j i 32t t t +-其导矢'r =k j i 232t t +- 'r 就是曲线沿t 大一方的方向的切向矢量。

当1=t 时，r 正好过M 点，将1=t 代入得，'r =k j i 232t t +-=k j i 32+- 其方向余弦为αcos =1413)2(11222=+-+，βcos =1423)2(12222-=+-+-γcos =1433)2(13222=+-+又函数u 在)1,1,1(-M 的偏导数x ∂∂u =y x -6=7 ， y ∂∂u =x -=1- ， z∂∂u =z x 232+=5于是，根据方向导数的定义，所求的方向导数为l u ∂∂=x ∂∂u αcos +y ∂∂u βcos +z ∂∂uγcos =1417⨯+142)1(-⨯-+1435⨯=1424 说明：注意和例题1的区别，两题所给的关于方向的条件不同，例题1直接给出了方向，例题2通过给定一曲线间接确定了方向，曲线上M 点处的切线才是所需要的方向。

例题3、（求数量场梯度）数量场32yz x u =在)1,1,2(-M 处沿哪个方向的方向导数最大？ 解：求函数u 在)1,1,2(-M 的偏导数x ∂∂u =32xyz =4- ， y ∂∂u =32z x =4- ， z∂∂u =223yz x =12梯度u grad =k j i 1244+--根据梯度的定义和几何意义，)(M u 沿梯度方向变化最快，所以， 所求方向为k j i 1244+--。

说明：本题是考查点是“方向导数和梯度的关系”。

例题4、求散度。

设}223,23,23{22z xz xy xy xz x yz z y +-+-+-=u ，求u div 。

解：u div =x x ∂∂u +yy ∂∂u +z z∂∂u =2222+-+-x x =0例题5、（求通量）设矢量场A =k j i 333z y x ++。

S 为球面2222a z y x =++，求矢量场从内穿出S 的通量Φ。

解：先求出A 的散度A div 。

A div =zz y y x x ∂∂+∂∂+∂∂333=)(3222z y x ++ 根据通量和散度的关系有：Φ =⎰⎰⎰Vdxdydz div A =⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(3222。

为求上面的三重积分，特别设⎰⎰⎰=Vdxdydz z I 2。

考察I 。

过点),0,0(0z 作平面XY 平行的平面，与球体截的区域记为0z σ，则0z σ就是0z z =平面上的圆。

1222222=-+-za y z a x 于是I =⎰⎰⎰Vdxdydz z 2=⎰⎰⎰-aadz dxdy z z)(2σ 因为⎰⎰zdxdy σ=)(22z a -π 为圆z σ的面积，所以I =⎰⎰⎰Vdxdydz z 2=⎰--aa dz z a z )(222π=5154a π 类似地，可得⎰⎰⎰Vdxdydz y 2=5154a π ⎰⎰⎰Vdxdydz x 2=5154a π 所以Φ =⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(3222=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(3222=515433a π⨯⨯=5512a π 说明：利用散度来求通量，问题变成一个三重积分的问题，请复习微积分中“多变量积分学”。

例题6、（求旋度）已知A =}),(,{cy bx cz ax bz ay ----，求A rot 。

解：A rot =bx-cy -(ax-cz)ay-bz z y x ∂∂∂∂∂∂ k j i=i )](()([cz ax zcy bx y --∂∂--∂∂ +j )()([cy bx xbz ay z -∂∂--∂∂ +k )]())(([bz ay ycz ax x -∂∂---∂∂ =k j i )()()(a a b b c c --+--+--=)(2k j i a b c ++- 说明：本题的中行列式，并不是线形代数中行列式，而只是一种表示形式而已，但它的运算关系类似线形代数中行列式，请复习关于线形代数中行列式的相关内容。

例题7、（求环量）已知矢量场}2,{22xy y x -=A ，计算环量r A d l⎰•，其中l 是由0=x ，a x =，0=y ，b y =所构成的矩形回路。

解：⎰ld r A.=⎰++l z y x dz A dy A dx A=⎰adx x 02+dy ay b⎰02+⎰-022)(adx b x +⎰0bdy =22ab说明：这里用到微积分中的曲线积分。

例题8、（有势场）设矢量场k j A )22()2()2(222z y x z xy i xz y +-+-++=，问A 是有势场吗？若是，求出任意势函数。