人教A版高中数学必修五第二章2.1(一)

第二章 数 列

§2.1 数列的概念与简单表示法(一)

课时目标

1．理解数列及其有关概念；

2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．

1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．

2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }． 3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．

一、选择题

1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n 答案 B

2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)

n ＋1

2

，则该数列的前4项依次为( )

A ．1,0,1,0

B ．0,1,0,1 C.12，0，1

2，0D ．2,0,2,0 答案 A

3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )

A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1

]

B ．a n ＝1

2

[1－cos(n ·180°)]

C ．a n ＝sin 2

(n ·90°)

D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12

[1＋(－1)n －1

]

答案 D

解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．

4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2

－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项B ．第6项 C ．第7项D ．非任何一项 答案 C

解析 n 2

－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )

A ．a n ＝n 2

－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2

C ．a n ＝n (n ＋1)2

D ．a n ＝n 2

＋1

答案 C

解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.

6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *

)，那么a n ＋1－a n 等于( )

A.12n ＋1

B.12n ＋2

C.12n ＋1＋12n ＋2

D.12n ＋1－12n ＋2 答案 D

解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1

2n

∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1

2n ＋2

，

∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1

2n ＋2

.

二、填空题

7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3n ＋1(n 为正奇数)

4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为

____________．

答案 4,7,10,15

8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *

)，那么1120

是这个数列的第______项．

答案 10

解析 ∵1n (n ＋2)＝1

120

，

∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.

9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．

答案 a n ＝2n ＋1

解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．

答案 55

解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.

三、解答题

11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，61

64，… (4)32，1，710，9

17，… (5)0,1,0,1，…

解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1

表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面

的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *

)．

(2)数列变形为89(1－0.1)，8

9

(1－0.01)，

89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－110n (n ∈N *

)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24

，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第

1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24

－3

2

4，…，

∴a n ＝(－1)n ·2n

－32

n (n ∈N *

)．

(4)将数列统一为32，55，710，9

17

，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分

子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2

}，

可得分母的通项公式为c n ＝n 2

＋1，

∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1

(n ∈N *

)．

(5)a n ＝⎩⎪⎨

⎪

⎧

0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)

或a n ＝1＋(－1)n

2

(n ∈N *

)

或a n ＝1＋cos n π2

(n ∈N *

)．

12．已知数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

9n 2

－9n ＋29n 2

－1；