高等数学公式必背大全
全部高等数学计算公式
全部高等数学计算公式高等数学是数学的一个分支，包括微积分、线性代数、数理方程、概率论、复分析等多个内容。
每个分支都有大量的计算公式，下面将分别介绍这些分支中一些经典的计算公式。
一、微积分公式1.极限公式：(1)函数极限公式：$lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)$$lim(f(x)g(x))=limf(x)·limg(x)$$lim\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{limf(x)}}{{limg(x)}}$(2)常见函数极限：$lim\frac{{sinx}}{{x}}=1$$lim(1+\frac{1}{{n}})^n=e$$lim(1+\frac{1}{{n}})^{n(p-q)}=e^{(p-q)}$2.导数公式：(1)基本导数公式：$(c)'=0$$(x^n)'=nx^{n-1}$$(e^x)'=e^x$$(a^x)'=a^xlna$$(lnx)'=\frac{1}{{x}}$$(sinx)'=cosx$$(cosx)'=-sinx$$(tanx)'=sec^2x$(2)导数的四则运算：$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$(\frac{{f(x)}}{{g(x)}})'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$(3)链式法则：$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$3.积分公式：(1)基本积分公式：$\int{cx^n}dx=\frac{{cx^{n+1}}}{{n+1}}+C$$\int{e^x}dx=e^x+C$$\int{a^x}dx=\frac{{a^x}}{{lna}}+C$$\int{\frac{{1}}{{x}}}dx=ln，x，+C$$\int{sinx}dx=-cosx+C$$\int{cosx}dx=sinx+C$$\int{sec^2x}dx=tanx+C$(2)常用积分公式：$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$\int{sin^2x}dx=\frac{{x}}{2}-\frac{{sin2x}}{4}+C$$\int{cos^2x}dx=\frac{{x}}{2}+\frac{{sin2x}}{4}+C$4.泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2+...+\frac{{f^{(n)}}}{{n!}}(x-a)^n+R_n(x)$二、线性代数公式1.行列式公式：(1)二阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$(2)三阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+c dh-ceg-afh-bdi$2.矩阵运算公式：(1)两个矩阵的和：$A+B=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix }+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{2 2}\end{bmatrix}$(2)两个矩阵的乘积：$AB=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{ 21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}$3.特征值与特征向量公式：$A-\lambda I=0$其中，A为矩阵，$\lambda$为特征值，I为单位矩阵。
高考数学必背公式
高考数学必背公式
高考数学必背公式包括但不限于：
1. 圆的公式：
圆体积=4/3(pi)(r^3)
面积=(pi)(r^2)
周长=2(pi)r
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0，其中d2+e2-4f>0
2. 椭圆公式：
椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差
椭圆面积公式：s=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
3. 两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积等三角函数公式。
4. 等差数列、等比数列等数列公式。
5. 抛物线等几何图形公式。
以上信息仅供参考，建议查阅高中数学教材或教辅资料，获取更准确全面的信息。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
高等数学重要公式(必记)
高等数学重要公式（必记）一、导数公式：二、基本积分表：三、三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：四、三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学常用公式大全
高等数学常用公式大全1.微分学公式：- 导数的定义：若函数y=f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)=lim(x→x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)-基本导数公式：- (1) 常数函数的导数：d(C)/dx = 0，其中C为常数- (2) 幂函数的导数：d(x^n)/dx = n*x^(n-1)，其中n为实数- (3) 指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x- (4) 对数函数的导数：d(ln(x))/dx = 1/x- (5) 三角函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，d(cot(x))/dx = -csc^2(x)，d(sec(x))/dx = sec(x)*tan(x)，d(csc(x))/dx = -csc(x)* cot(x)2.积分学公式：- 不定积分的性质：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx，∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx，其中f(x)和g(x)是可积函数，k是常数-基本积分公式：- (1) 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C，其中n不等于-1- (2) 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数- (3) 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C- (4) 三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C，∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C，∫sec(x) dx = ln，sec(x)+tan(x)， + C，∫csc(x) dx = ln，csc(x)-cot(x)， + C3.微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，分别称为系数函数和非齐次项函数。
关于高等数学公式大全几乎包含了所有
关于高等数学公式大全几乎包含了所有一、微分学公式1. 线性函数的导数：(kx)' = k2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)3.e^x的导数：(e^x)'=e^x4. sinx 的导数：(sinx)' = cosx5. cosx 的导数：(cosx)' = -sinx6. tanx 的导数：(tanx)' = sec^2x7. cotx 的导数：(cotx)' = -csc^2x8. ln(x) 的导数：(ln(x))' = 1/x9. a^x 的导数：(a^x)' = ln(a) * a^x二、积分学公式1. 线性函数的积分：∫(kx)dx = (k/2)x^2 + C2. 幂函数的积分：∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C, (n≠-1)3. e^x 的积分：∫e^xdx = e^x + C4. sinx 的积分：∫sinxdx = -cosx + C5. cosx 的积分：∫cosxdx = sinx + C6. tanx 的积分：∫tanxdx = -ln，cosx， + C7. cotx 的积分：∫cotxdx = l n，sinx， + C8. 1/(x+a) 的积分：∫(1/(x+a))dx = ln，x+a， + C9. 1/(x^2+a^2) 的积分：∫(1/(x^2+a^2))dx = (1/a)arctan(x/a) + C三、级数和序列的公式1.等差数列的前n项和：Sn = n(a1+an)/22.等比数列的前n项和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)3.等差级数的和：S = (n/2)(a1+an)4.等比级数的和：S=a1/(1-q),，q，<15.幂级数的和：S=a/(1-r),，r，<16.泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)/1!+(x-a)^2f''(a)/2!+...四、微分方程的公式1. 一阶常微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = C∫(e^(-∫P(x)dx))Q(x)dx2. 二阶常系数非齐次线性微分方程：ay''+by'+cy=g(x)，其中非齐次解为 y = yc + yp3. 欧拉方程：x^n*d^n(y)/dx^n + a_(n-1)*x^(n-1)*d^(n-1)(y)/dx^(n-1) +...+ a_1*x*d(y)/dx + a_0*y = 0以上只是高等数学公式的一部分，包括微分学、积分学、级数和序列以及微分方程等方面的公式。
高等数学必背公式大全
高等数学必背公式大全1、勾股定理：a2+b2=c22、椭圆方程：(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=13、两点公式：，P1P2，=√((x2-x1)2+(y2-y1)2)4、双曲线方程：a2（x2/b2）-(y2/c2)=15、圆的方程：(x-x0)2+(y-y0)2=r26、三角形公式：a2+b2=c27、直线方程：y = kx + b （斜率k和截距b）8、斜率定理：m1*m2=-1/K29、余弦定理：a2 = b2 + c2 - 2bc*cosA10、正弦定理：a * sinA = b * sinB = c * sinC11、贝塞尔曲线方程：(x-x0)4+(y-y0)4=r412、三角函数公式：sin2A + cos2A = 113、极坐标方程：r = a * e(acosθ + bsinθ)14、反正弦定理：y = arcsin(x/a) + c15、偏微分公式：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)16、平面四边形公式：a2+b2=c2+d217、反余弦定理：y = arccos(x/a) + c18、三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinC19、多边形内角和公式：(n-2)*π=∑(内角弧度)20、抛物线公式：y=ax2+bx+c21、多项式求导公式：f'(x) = an-1 * xn-1 + an-2 * xn-2 + …… + a1 * x + a022、函数变换公式：f(x+h) = f(x) + hf'(x)23、矩阵乘法公式：(AB)ij = ∑k=1n(Aik*Bkj)24、求和公式：∑(a1+an)*n/225、模除法：a / b = a mod b + b * (a div b)26、几何平均数公式：(a1*a2*a3*……*an)^(1/n)27、距离公式：L=(x2-x1)^2+(y2-y1)^228、几何中点公式：(x1+x2)/2,(y1+y2)/229、坐标转换公式：x = x0 + (x-x0)cosα - (y-y0)sinα。
大学高等数学所有的公式大全精华
大学高等数学所有的公式大全精华在大学的数学学习中，高等数学是一门非常重要和广泛应用的学科。
学好高等数学，不仅需要理解和掌握其概念和原理，还需要熟练掌握其中的各种公式。
本文将为大家汇总并分享一份大学高等数学的公式大全，帮助大家更好地学习和运用这门学科。
一、导数和微分1. 函数y=f(x)的导函数：f'(x)2. 基本微分公式：（1）常数函数微分公式：d(cf(x))/dx = cf'(x)，其中c为常数（2）幂函数微分公式：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数（3）指数函数微分公式：d(e^x)/dx = e^x（4）对数函数微分公式：d(lnx)/dx = 1/x（5）三角函数微分公式：a) d(sin x)/dx = cos xb) d(cos x)/dx = -sin xc) d(tan x)/dx = sec^2xd) d(cot x)/dx = -csc^2xe) d(sec x)/dx = sec x * tan xf) d(csc x)/dx = -csc x * cot x（6）反三角函数微分公式：a) d(arcsin x)/dx = 1/√(1-x^2)b) d(arccos x)/dx = -1/√(1-x^2)c) d(arctan x)/dx = 1/(1+x^2)d) d(arccot x)/dx = -1/(1+x^2)e) d(arcsec x)/dx = 1/(x√(x^2-1))f) d(arccsc x)/dx = -1/(x√(x^2-1))二、积分1. 基本积分表达式：（1）常数函数积分：∫c*dx = cx，其中c为常数（2）幂函数积分：∫x^n*dx = (1/(n+1))x^(n+1)，其中n≠-1（3）指数函数积分：∫e^x*dx = e^x（4）对数函数积分：∫(1/x)*dx = ln|x|（5）三角函数积分：a) ∫sin x*dx = -cos xb) ∫cos x*dx = sin xc) ∫tan x*dx = -ln|cos x|d) ∫cot x*dx = ln|sin x|e) ∫sec x*dx = ln|sec x + tan x|f) ∫csc x*dx = ln|csc x - cot x|（6）反三角函数积分：a) ∫(1/√(1-x^2))*dx = arcsin xb) ∫(-1/√(1-x^2))*dx = arccos xc) ∫(1/(1+x^2))*dx = arctan xd) ∫(-1/(1+x^2))*dx = arccot xe) ∫(1/(x√(x^2-1)))*dx = sec^(-1)xf) ∫(-1/(x√(x^2-1)))*dx = csc^(-1)x三、级数1. 等差数列求和：（1）数列前n项和：Sn = (a1+an)*n/2（2）数列前n项和（已知首项和公差）：Sn = (n/2)*(2a1+(n-1)d) 2. 等比数列求和：（1）数列前n项和（|q|<1）：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)（2）无穷等比数列和（|q|<1）：S = a1/(1-q)3. 幂级数收敛性：收敛：∑(n=0,∞)a^n（|a|<1）发散：∑(n=0,∞)a^n（|a|≥1）四、微分方程1. 常微分方程：（1）一阶线性常微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)（2）一阶齐次线性常微分方程：dy/dx + P(x)y = 0（3）二阶齐次线性常微分方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0（4）常系数齐次线性常微分方程：d^n/dx^n + a_(n-1)d^(n-1)/dx^(n-1) + ... + a_1dy/dx + a_0y = 02. 偏微分方程：（1）一维波动方程：∂^2u/∂t^2=c^2∂^2u/∂x^2（2）二维泊松方程：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=f(x,y)（3）三维拉普拉斯方程：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2=0五、概率与统计1. 古典概型计数原理：若一个事件可由n个步骤进行描述，第k个步骤有n_k种可能，则该事件共有n_1*n_2*...*n_k种可能2. 排列组合：（1）排列数公式：A(n,m) = n!/(n-m)!（2）组合数公式：C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)3. 随机事件概率计算：（1）基本事件概率公式：P(A) = n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A 发生的可能结果数，n(S)为样本空间S的可能结果数通过以上列举的公式，希望能够帮助大家更好地学习和理解大学高等数学。
高中数学公式大全(最整理新版)
高中数学公式大全（最整理新版）一、代数1. 一元一次方程：ax + b = 0，其中a ≠ 0。
解为 x = b/a。
2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
解为 x =[b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。
3. 一元三次方程：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
解为x = [b ± sqrt(b^2 3ac)] / 3a。
4. 一元四次方程：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中 a≠ 0。
解为x = [b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。
5. 分式方程：分子和分母均为多项式。
解法为将方程两边乘以分母的乘积，得到一个等价的整式方程，然后求解。
6. 二元一次方程组：由两个一元一次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
7. 二元二次方程组：由两个一元二次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
8. 三元一次方程组：由三个一元一次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
9. 等差数列：首项为 a1，公差为 d。
第 n 项为 an = a1 + (n 1)d。
前 n 项和为 Sn = n/2(a1 + an)。
10. 等比数列：首项为 a1，公比为 q。
第 n 项为 an = a1q^(n 1)。
前 n 项和为 Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中q ≠ 1。
二、几何1. 平面几何（1）直线：两点确定一条直线，直线方程为 y = mx + b，其中m 是斜率，b 是截距。
（2）圆：圆心为 (a, b)，半径为 r。
圆的方程为 (x a)^2 +(y b)^2 = r^2。
（3）椭圆：中心为 (a, b)，长轴为 2a，短轴为 2b。
椭圆的方程为 (x a)^2 / a^2 + (y b)^2 / b^2 = 1。
（4）双曲线：中心为 (a, b)，实轴为 2a，虚轴为 2b。
最完整高数公式大全赶紧了以后用
最完整高数公式大全赶紧了以后用1.极限相关公式：- 极限定义：如果对于任意一个给定的正数ε，存在正数δ，使得只要x与a的距离小于δ，则必有f(x)与L的距离小于ε，即lim(x→a)f(x)=L。
2.一元函数相关公式：- 基本求导法则：(C)'=0，(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹，(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec²x，(cotx)'=-csc²x，(secx)'=secxtanx，(cscx)'=-cscxcotx。
- 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，则y'=(dy)/(dx)=(dy)/(du)*(du)/(dx)=f'(u)*g'(x)。
-高阶导数：(fⁿ(x))'=fⁿ⁻¹(x)·f'(x)，其中n为正整数。
-函数泰勒级数展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+…+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rⁿ(x)，其中Rⁿ(x)为剩余项。
- 微分方程：设y=f(x)，则dy/dx=f'(x)，d²y/dx²=f''(x)，…3.多元函数相关公式：-偏导数：设z=f(x,y)，则∂z/∂x表示在y固定的条件下对x的变化率，∂z/∂y表示在x固定的条件下对y的变化率。
-链式法则：设z=f(x,y)，x=g(u,v)，y=h(u,v)，则∂z/∂u=∂z/∂x*∂x/∂u+∂z/∂y*∂y/∂u，…- 梯度：设z=f(x₁,x₂,…,xₙ)，则gradz=(∂z/∂x₁,∂z/∂x₂,…,∂z/∂xₙ)。
- 散度：设F=(P,Q,R)为一个三维向量场，则divF=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z。
高数公式大全
高等数学公式总结第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：s i n s i n 2s i n c o s22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式： ::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,1n a >=;1n =ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高数必备公式
高数必备公式在学习高等数学的过程中，公式是帮助我们解题的重要工具，掌握了相关的公式，我们可以更加高效地解决问题。
下面是一些高等数学中常用的必备公式，希望对大家的学习有所帮助。
一、微积分1.导数公式导数是微积分中的重要概念，通过导数可以描述函数在某一点上的变化率。
以下是一些常见函数的导数公式：- 常数函数：(c)'= 0，其中 c 为常数- 幂函数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中 n 为常数- 指数函数：(a^x)'=a^x * ln(a)，其中 a 为常数且 a>0- 对数函数：(log_a(x))'=(1/x) * (1/ln(a))，其中 a>0 且a≠1- 三角函数：(sin(x))'=cos(x)，(cos(x))'=-sin(x)，(tan(x))'=(sec^2(x))，(cot(x))'=-(csc^2(x))，(sec(x))'=sec(x) * tan(x)，(csc(x))'=-csc(x) * cot(x)2.积分公式积分可以看作是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。
以下是一些常见函数的积分公式：- 幂函数积分：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1)，其中n ≠ -1- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x- 对数函数积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C- 三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C3.泰勒级数展开公式泰勒级数是一种将函数展开成无穷多项式的方法，可以帮助我们在一定范围内近似计算复杂函数。
以下是一些常用函数的泰勒级数展开公式：- sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...- cos(x) = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...- e^x = 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + (x^4/4!) + ...二、线性代数1.向量运算公式向量是线性代数中的重要概念，通过一些向量运算公式可以方便地进行向量计算。
高考必备数学公式大全
高考必备数学公式大全一、集合。
1. 集合的基本运算。
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}- 并集：A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}- 补集：∁_UA={xx∈ U且x∉ A}（U为全集）2. 集合元素个数公式。
- n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)二、函数。
1. 函数的定义域。
- 分式函数y = (f(x))/(g(x))，定义域为g(x)≠0的x的取值范围。
- 偶次根式函数y=sqrt[n]{f(x)}（n为偶数），定义域为f(x)≥slant0的x的取值范围。
2. 函数的单调性。
- 设x_1,x_2∈[a,b]且x_1，对于函数y = f(x)- 若f(x_1)，则y = f(x)在[a,b]上是增函数，f^′(x)≥slant0（可导函数时）。
- 若f(x_1)>f(x_2)，则y = f(x)在[a,b]上是减函数，f^′(x)≤slant0（可导函数时）。
3. 函数的奇偶性。
- 对于函数y = f(x)，定义域关于原点对称。
- 若f(-x)=f(x)，则y = f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称。
- 若f(-x)= - f(x)，则y = f(x)是奇函数，其图象关于原点对称。
4. 一次函数y=kx + b（k≠0）- 斜率k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}，截距为b。
5. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)- 对称轴x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 当a>0时，函数开口向上，在x =-(b)/(2a)处取得最小值frac{4ac -b^2}{4a}；当a<0时，函数开口向下，在x =-(b)/(2a)处取得最大值frac{4ac -b^2}{4a}。
6. 指数函数y = a^x(a>0,a≠1)- 性质：当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减。
高等数学公式大全(几乎包含了所有)
高等数学公式大全1、导数公式：2、基本积分表：3、三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高中数学必备的289个公式
高中数学必备的289个公式 第1章集合、命题、不等式、复数1. 有限集合子集个数: 子集个数: 2n 个,真子集个数: 2n ⋅1 个2. 集合里面重要结论:(1) A ∩B =A ⇒A ⊆B ; (2) A ∪B =A ⇒B ⊆A ; (3) A ⇒B ⇔A ⊆B ; (4) A ⇔B ⇔A =B .3. 同时满足求交集, 分类讨论求并集.4. 集合元素个数公式: n (A ∪B )=n (A )+n (B )−n (A ∩B ) .5. 常见的数集: Z : 整数集; R : 实数集; Q : 有理数集; N : 自然数集; C : 复数集; 其中正整数集: Z ∗=N ∗={1,2,3,⋯⋯} .6. 均值不等式: 若 a,b >0 时,则 a +b ≥2√ab ; 若 a,b <0 时,则 a +b ≤−2√ab .7. 均值不等式变形形式: a +b ≥2√ab (a,b ∈R );b a +a b ≥2(ab >0);b a +ab ≤−2(ab <0) .8. 积定和最小: 若 ab =p (p >0) 时,则 a +b ≥2√ab =2√p . 9. 和定积最大: 若 a +b =k 时,则 ab ≤(a+b )24=k 24.10. 基本不等式: 21a +1b≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22当且仅当 a =b 时取等号.11. 一元二次不等式的解法: 大于取两边, 小于取中间. 12. 含参数一元二次不等式讨论步骤: (1) 二次项系数 a ; (2) 判别式 Δ ;(3) 两根 x 1,x 2 大小比较;(4) x 1,x 2 与定义域的端点值作比较 (常用韦达定理).13. 一元二次不等式恒成立: (1) 若 ax 2+bx +c >0 恒成立 ⇔{a >0Δ<0(2) 若 ax 2+bx +c ≤0 恒成立 ⇔{a <0Δ≤0.14. 任意性问题: (1)∀x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)max ; (2)∀x∈I,a≤f(x)⇒a≤f(x)min .15. 存在性问题: (1) ∃x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)min;(2)∃x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)min .16. 不等式相同性: 任意x∈D ,证明: f(x)>g(x)⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)>0⇔ℎ(x)min>0 ;存在x∈D ,证明: f(x)≤g(x)⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)≤0⇔ℎ(x)min≤0 .17. 不等式相异性: 任意x1、x2∈D ,证明: f(x1)<g(x2)⇔x∈D,f(x)max<g(x)min ;存在x1、x2∈D ,证明: f(x1)>g(x2)⇔x∈D,f(x)max>g(x)min .18. 距离型目标函数: d=√(x−a)2+(y−b)2可行域内的点(x,y)到定点(a,b)的距离.19. 斜率型目标函数: k=y−bx−a可行域内的点(x,y)到定点(a,b)的斜率.20. 线性型目标函数: z=ax+by过可行域内的点(x,y)且体率为−ab 截距为zb的直线.21. p是q充分不必要条件: p⇒q,q≠p ; 则集合关系是: p⊆q .22. p是q必要不充分条件: q⇒p,p⇏q ; 则集合关系是: q⊆p .23. p是q既不充分也不必要条件: p⇏q,q⇏p ; 则集合关系是: p、q无包含关系.24. p是q充要条件: p⇒q,q⇒p ; 则集合关系是: p=q .25. 全称命题及否定形式: P:∀x∈M,p(x);¬P:∃x0∈M,¬p(x0) .26. 特称命题及否定形式: P:∃x0∈M,p(x0);¬P:∀x∈M,¬p(x) .27. 命题否定形式的书写方法: 任意变存在, 存在变任意, 条件不变, 结论否定.28. 共轭复数: z‾=a−bi : (共轭复数与本身的复数实部相同,虚部互为相反数);共轭复数的性质: z×z‾=a2+b2 .29. 复数模长: |z|=|a+bi|=√a2+b2 .30. 复数的除法: z1z2=1⋅z2z⋅z(分子、分母同乘分母的共轭复数).第2章函数31. 几个近似值: √2≈1.414,√3≈1.732,√5≈2.236 ,π≈3.142,e ≈2.718,e 2≈7.389, ln3≈1.0986,ln2≈0.693.32. 指数公式: (1)a n m=√a n m; (2)√a n n={|a |,n 为偶数a,n 为奇数.33. 对数公式:(1) a x =N ⇔x =log a N ; (2) a log a N =N ;(3) log a (MN )=log a M +log a N ; (4) log a (MN )=log a M −log a N ; (5) log a M n =nlog a M ; (6) log a a n =n ; (7) log a a =1 ; (8) log a 1=0 ;(9) log a m b n =n m log a b ; (10)log a b =log c blog ca ;(11) log a b =1log ba ; (12) log ab ⋅log bc ⋅log c a =1 .34. 函数定义域的求法: (1) 分式的分母 ≠0 ; (2) 偶次方根的被开方数 ≥0 ; (3) 对数函数的真数 >0 ; (4) 0 次幂的底数 ≠0 ;(5) 正切函数的自变量 x ≠π2+kπ(k ∈Z ) ; (6) 满足几个条件时列不等式组求交集.35. 增函数的标志: (1) 任意 x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2) ; (2) 导函数 f ′(x )≥0 ; (3)f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0 .36. 减函数的标志: (1) 任意 x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2) ; (2) 导函数 f ′(x )≤0 ; (3)f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0 .37. 单调性的快速法: (1) 增 + 增 → 增,增 - 减 → 增; (2) 减 + 减 → 减,减 - 增 → 减; (3) 乘正加常, 单调不变; (4) 乘负取倒, 单调改变.38. 奇偶性的快速法: (1) 奇±奇→奇; 偶±偶→偶;(2) 奇×(÷)奇→偶; 偶×(÷)偶→偶; 奇×(÷)偶→奇.39. 常见的奇函数: y=kx,y=kx,y=sinx,y=tanx,y=x奇数,y=±(e x−e−x);y=ln(√x2+1−x) .40. 常见的偶函数: y=c,y=x2,y=cosx,y=x偶数,y=e x+e−x,y=f(|x|) .41. 函数的周期性: ∀x∈D⇒f(x+T)=f(x) ,则称f(x)为周期函数,其中T为函数的一个周期.42. 周期性标志: (1)f(x+a)=f(x+b)⇒T=|a−b| ;(2) f(x+a)=−f(x)⇒T=2a ;(3) f(x+a)=±1f(x)⇒T=2a43. 对称轴标志: f(x+a)=−f(b−x)⇒对称中心为(a+b2,0) ;如常见的对称中心有: f(x+a)=−f(a−x)⇒对称中心为(a,0);f(x+1)=−f(1−x)⇒对称中心为(1,0) .44. 奇函数的周期性是对称轴的 4 倍: 以y=sinx为例.45. 偶函数的周期性是对称轴的 2 倍: 以y=cosx为例.46. 函数图像平移规则: 横向: 左加右减; 纵向: 上加下减.47. 函数图像翻折变换:f(|x|) : 偶函数, y轴右边图象不变, y轴左边图象由右边图象翻折得到 (偶函数,右不变,右翻左);|f(x)|:x轴上方图象不变, x轴下方图象由上方图象翻折得到 (上不变,下翻上).48. 函数图像伸缩变换: f(wx) : 纵不变,横为原来的1w 倍; Af(x) : 横不变,纵为原来的A倍;49. 零点存在性定理: 函数y=f(x)在区间(a,b)有零点⇔(1)函数y=f(x)在区间(a,b)连续;⇔(2)f(a)f(b)<0.50. 解与零点的关系: 方程f(x)=0的解⇔函数y=f(x)的解.51. 零点与交点的关系: 函数y=f(x)−g(x)的零点个数:⇔方程f(x)−g(x)=0的解的个数;⇔方程f(x)=g(x)的解的个数;⇔函数y1=f(x),y2=g(x)图象交点的个数.注意: 两个函数y1=f(x),y2=g(x)图象可画,两函数为常见函数.52. 常函数的导数: f(x)=C ,则f′(x)=0 ;53. 幂函数的导数: f(x)=xα(α∈Q) ,则f′(x)=αxα−1 ;54. 正弦函数的导数: f(x)=sinx ,则f′(x)=cosx ;55. 余弦函数的导数: f(x)=cosx ,则f′(x)=−sinx ;56. 指数函数的导数: f(x)=a x ,则f′(x)=a x lnx (特别地f(x)=e x ,则f′(x)=e x );57. 对数函数的导数: f(x)=log a x ,则f′(x)=1xlna (特别地f(x)=lnx ,则f′(x)=1x);58. 和差求导数法则: [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) ;59. 乘法求导数法则: [f(x)⋅g(x)]′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x) ;60. 商的求导数法则: [f(x)g(x)]′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2.61. 复合函数求导数法则: 若y=f[g(x)] ,令t=g(x) ,则y=f(t)⇒y′=f′(t)t′= f′[g(x)]⋅g′(x) .62. 切线l的方程: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) ,其中切点: P(x0,y0) ; 斜率: k=f′(x0) .63. 切点的三大性质:(1) 切点的斜率等于该点的导函数值; 即k=f′(x0) ;(2) 切点在曲线y=f(x)上;(3) 切点在切线l上.64. 常见的不定积分表:65. 积分的性质:(1) ∫kf (x )dx =k∫f (x )dx(2) ∫[f (x )+g (x )]dx =∫f (x )dx +∫g (x )dx . 66. 积分的几何意义: 面积就是积分值.定义在 [a,b ] 上的函数 f (x ) 与 x 轴, x =a,x =b,y =f (x ) 构成曲边梯形的面积就为 f (x ) 在 [a,b ] 的定积分值.S =∫f ba (x )dx67. 求积分的三种思路: (1) 牛莱公式 (牛顿 - 莱布尼兹公式); (2) 奇偶性质; (3) 转圆求面积.68. 奇偶函数求积分: (1) 奇函数对称区间上积分为 0 ; (2) 偶函数对称区间上积分为 [0,a ] 的 2 倍.69. 转圆求积分: (1) ∫√a 2−x 2a−a dx =12πa 2 (半圆); (2) ∫√42−x 220dx =14π22=π (四分之一圆).70. 牛顿 - 莱布尼兹公式: ∫f ba (x )dx =F (x )|ab =F (b )−F (a ) . 其作用: 计算曲边梯形的面积.71. 函数有零点: f (x )max ≥0 且 f (x )min ≤0⇔{f (x )min ≤0f (x )max ≥0 .72. 函数无零点: f (x )max ≤0 或 f (x )min ≥0 .73. 抽象函数具体化: 若构造一个具体的特殊函数满足所有的已知条件, 那么这个具体函数一定是符合所求问题的一个函数.74. 抽象函数对数型: 若 f (xy )=f (x )+f (y ) ,则 f (x )=log a x . 75. 抽象函数指数型: 若 f (x +y )=f (x )f (y ) ,则 f (x )=a x . 76. 抽象函数正比型: 若 f (x +y )=f (x )+f (y ) ,则 f (x )=kx . 77. 抽象函数一次型: 若 f ′(x )=c ,则 f (x )=cx +b .78. 抽象函数导数型: 若 f ′(x )=f (x ) ,则 f (x )=ke x 或 f (x )=0 . 79. 指数不等式: e x ≥x +1 (当且仅当 x =0 时 “ = ” 成立). 80. 对数不等式: lnx ≤x −1 (当且仅当 x =1 时 “ = ” 成立).81. 指对综合不等式: {e x ≥x +1lnx ≤x −1⇒ln (x +1)≤x ≤e x −1 (当且仅当 x =0 时 “ = ”成立).82. 绝对值不等式: |a |−|b |≤|a ±b |≤|a |+|b | .83. 函数绝对值不等式: |f (x 1)−f (x 2)|≤a ⇔f (x )max −f (x )min ≤a .84. 柯西不等式: (1) 向量模型: |a ⃗||b ⃗⃗|≥|a ⃗⋅b ⃗⃗| ; (2) 数字模型: √x 12+y 12√x 22+y 22≥x 1x 2+y 1y 2 .85. 伯努利不等式: {(1+x )n ≥x n +nx;n ≥1(1+x )n ≤1+nx;0≤n ≤186. 洛必达法则: lim x→af (x )g (x )=lim x→af ′(x )g ′(x ) (当 f (x )g (x )→00 或 ∞∞ 时使用)87. 恒成立问题: (1)a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ;(2)a <f (x )⇔a <f (x )min 88. 证明 f (x )>g (x ) 思路: 思路 1:ℎ(x )=f (x )−g (x )⇔ℎ(x )>0 (常规首选方法) 思路 2:f (x )min >g (x )max (思路 1 无法完成)第3章数列89. 等差数列通项公式: a n =a 1+(n −1)d =kn +b (一次函数模型) 90. 等差数列前 n 项和公式: S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n−1)2d =An 2+Bn (二次函数模型)91. 等比数列通项公式: a n =a 1q n−1 92. 等比数列前 n 项和公式: S n =a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q=A −Aq n93. 等差数列的性质: 若 m +n =p +q ,则 a m +a n =a p +a q 94. 等比数列的性质: 若 m +n =p +q ,则 a m a n =a p a q 95. 等差中项: 若 a,A,b 成等差数列,则 2A =a +b 96. 等比中项: 若 a,G,b 成等比数列,则 G 2=ab97. 裂项相消法 1: 若 1n (n+1)=1n −1n+1 ,则有 Tn =1−1n+1=nn+198. 裂项相消法 2: 若 1n (n+2)=12(1n −1n+2) ,则有 Tn =12(1+12−1n+1−1n+2)=3n 2+5n4(n+1)(n+2)99. 裂项相消法 3: 若 1an+1a n=1d (1a n−1an+1) ,则有 T n =1d (1a 1−1an+1)100. 裂项相消法 4: 若 1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1) ,则有 T n =12(1−12n+1) 101. 分组求和法: S n =(1+12)+(3+14)+(5+16)+⋯⋯+[(2n −1)+12n ]=(1+3+⋯⋯+2n −1)+(12+14+16+⋯⋯+12n )102. 错位相减法求和通式: 当 c n =a n ⋅b n (a n 与 b n 其中一个是等差数列一个是等比数列) 时,使用错位相减法,此时T n =a 1b 11−q +dp (b 1−b n )(1−q )2−a n b n q1−q103. 自然数的平方和: 12+22+32+⋯⋯+n 2=n (n+1)(2n+1)6104. 自然数立方和: 13+23+33+⋯⋯+n 3=n 2(n+1)24105. 去 S n 留 a n 思想: S n =f (a n )⇒{S n =f (a n )S n+1=f (a n+1)⇒a n+1=f (a n+1)−f (a n )106. 去 a n 留 S n 思想: a n =f (S n )⇒a n+1=S n+1−S n ⇒S n+1−S n =f (S n )第4章三角函数107. 三角函数的定义: 正弦: sinα=yr ; 余弦: cosα=xr ; 正切: tanα=yx ; 其中: r =√x 2+y 2 .108. 诱导公式: π 倍加减名不变,符号只需看象限; 半 π 加减名要变,符号还是看象限 109. 和差公式: (1)sin (α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ ( 伞科科伞,符号不反 ) (2) cos (α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ ( 科科伞伞,符号相反 ); (3) tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ (上同下相反). 110. 二倍角公式: (1)sin2α=2sinαcosα ;(2) cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1 ;(3) tan2α=2tanα1−tan2α.111. 平方关系: (1)sin2α+cos2α=1 ; (2)(sinα±cosα)2=1±sin2α .112. 降幂公式: (1) sinαcosα=sin2α2 ; (2) sin2α=1−cos2α2; (3) cos2α=1+cos2α2.113. 齐次式求值: (1) sinα+2cosα3sinα−cosα=tanα+23tanα−1; (2) sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1.114. 辅助角公式: asinwx+bcoswx=√a2+b2sin(wx±φ) . (tanφ=ba,a,b>0) .115. 三角函数不等式: sinx≤x≤tanx在x∈(0,π2)时恒成立.116. y=sinx单调性: 增区间: [−π2+2kπ,π2+2kπ] ; 减区间: [π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z) .117. y=cosx单调性: 增区间: [−π+2kπ,2kπ] ; 减区间: [2kπ,π+2kπ](k∈Z) .118. y=tanx单调性: 增区间: (−π2+kπ,π2+kπ)(k∈Z) .119. 对称轴方程: (1)y=sinx对称轴方程: x=π2+kπ(k∈Z) ; (2)y=cosx对称轴方程: x=kπ(k∈Z) .120. 对称中心: (1)y=sinx的对称中心: (kπ,0)(k∈Z) ;(2) y=cosx的对称中心: (π2+kπ,0)(k∈Z) ;(3) y=tanx的对称中心: (kπ2,0)(k∈Z) .121. 周期性: (1) y=sinwx的周期: T=2πw ; (2) y=coswx的周期: T=2πw; (3) y=tanwx的周期: T=πw.122. 正弦定理: asinA =bsinB=csinC=2R123. 余弦定理: (1)cosA=b2+c2−a22bc⇔a2=b2+c2−2bccosA ;(2) cosB=a2+c2−b22ac⇔b2=a2+c2−2accosB ;(3) cosC=a2+b2−c22ab⇔c2=a2+b2−2abcosC .124. 射影定理: acosB+bcosA=c,acosC+ccosA=b,bcosC+ccosB=a . 125. 边大角大思想: 大角对大边,大边对大角. a>b⇔sinA>sinB⇔A>B .126. 边变角思想:(1) 根据正弦定理: a =2RsinA,b =2RsinB,c =2RsinC ; (2) “ = ”两边为边、角 (正弦) 同次式; (3) 正余弦的混合组. 127. 角变边思想:(1) 根据正弦定理: sinA =a2R ,sinB =b2R ,sinC =c2R ; (2) “ = ”两边为边、角 (正弦) 同次式; (3) 只有一个余弦 (cos).128. 正弦定理使用情况: 已知条件为: AAS 、ASA 、边角同次式、角多用正弦. 129. 余弦定理使用情况: 已知条件为: SSS 、SAS 、边的二次式、边多用余弦. 130. 三角形两角和关系: sin (A +B )=sinC;cos (A +B )=−cosC;tan (A +B )=−tanC .131. 正弦值双相等: 若 sinA =sinB ⇒A =B ⇒ 等腰三角形. 132. 正余弦值相等: sinA =cosB ⇔A +B =π2⇒ 直角三角形;⇔A −B =π2⇒A =π2+B >π2⇒钝角三角形.133. 余弦值双相等: cosA =cosB ⇔A =B ⇒ 等腰三角形. 134. 二倍正弦值相等: sin2A =sin2B ⇔2A =2B ⇒ 等腰三角形;⇔2A +2B =π⇒A +B =π2⇒直角三角形.135. 余弦值正负号: cosA >0⇔ 锐角三角形; cosA =0⇔ 直角三角形; cosA <0⇔ 钝角三角形.136. 三角形最值原理: 三角形中一个角及其对边已知时, 另外两边或两角相等时周长取得最小值, 面积取得最大值.第5章向量137. 向量加法的作图: 上起下终,中间消去: AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 138. 向量减法的作图: 起点相同,倒回来读: AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .139. 向量平行的判定: (1) 向量法: a ⃗//b ⃗⃗⇔b ⃗⃗=λa ⃗ ; (2) 向量法: a ⃗//b⃗⃗⇔x 1y 2−x 2y 1=0 .140. 向量垂直的判定: (1) 向量法: a ⃗⊥b ⃗⃗⇔a ⃗⋅b ⃗⃗=0 ; (2) 坐标法: a ⃗⊥b⃗⃗⇔x 1x 2+y 1y 2=0 .141. 向量的数量积公式: (1) 向量法: a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ ;(2) 坐标法: a ⃗⋅b⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2 .142. 向量的模长公式: (1) 向量法: |a ⃗+2b ⃗⃗|=√(a ⃗+2b⃗⃗)2(先平方,再开方); (2) 坐标法: |a ⃗|=√x 12+y 12.143. 向量的投影: (1) a ⃗ 与 b ⃗⃗ 方向的投影: |a ⃗|cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗| ; (2) b ⃗⃗ 与 a ⃗ 方向的投影: |b ⃗⃗|cosθ=a ⃗⃗⋅b⃗⃗|a ⃗⃗|. 144. 向量的夹角公式: (1) 向量法: cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗|⋅|b ⃗⃗| ; (2) 坐标法: cosθ=1212√x 1+y 1⋅√x 2+y 2145. a ⃗ 方向上的单位向量: (1) 向量法: e ⃗⃗=a ⃗⃗|a ⃗⃗| ; (2) 坐标法: e ⃗⃗=a⃗⃗|a ⃗⃗|=(1√x 1+y 11√x 1+y 1) .146. 证明 A.B.C 三点共线两种方法: (1) 两个向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线且有一个公共点 A ; (2) PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xPB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(x +y =1) . 第6章立体几何147. 线线平行三方法:(1) 线面平行的性质: 一条直线和一个平面平行, 过这条直线的平面和已知平面相交的交线和已知直线平行;(2) 面面平行的性质: 第三个平面与两个平行平面相交, 则两条交线平行; (3) 线面垂直的性质: 垂直于同一平面的两条直线互相平行.148. 线线垂直两方法: 线面垂直的性质: 一条直线垂直一个平面, 这条直线垂直这个平面内的所有直线. 149. 线面平行两方法:(1) 线面平行的判定: 线线平行 ⇒ 线面平行 (一内一外一平行);(2) 面面平行的性质: 两个平面平行, 一个平面内任意直线平行第二个平面. 150. 面面平行两方法:(1) 面面平行的判定: 线面平行 ⇒ 面面平行 (两内一交两平行);(2) 面面平行的推论: 两个平面内两组相交直线分别对应平行, 则这两个平面平行. 151. 线面垂直两方法:(1) 线面垂直的判定: 线线垂直 ⇒ 线面平行 (两内一交两垂直);(2) 面面垂直的性质: 两个平面垂直, 一个平面内垂直于交线的直线必垂直第二个平面.152. 面面垂直一方法:(1) 面面垂直的定义: 两个平面的二面角为 90∘ ;(2) 面面垂直的判定: 线面垂直 ⇒ 线面平行 (一内一垂直) 153. 证明四点共面三方法: (1) 两平行条线确定一个平面; (2) 两条相交直线确定一个平面; (3) 直线及直线外一点确定一个平面.154. 证明三点共线原理: 两个平面有一个公共点, 那么两个平面有且仅有一条过该点的直线.155. 证明三点共线方法:(1) A 分别属于两个平面 a,β:A ∈a,A ∈β ; (2) B,C 在平面 α,β 的交线 l 上: a ∩β=l,B,C ∈l ; (3) A ∈l 即: A,B,C ∈l . 即 A,B,C 三点共线.156. 法向量行列式公式: m ⃗⃗⃗=(|y 1z 1y 2z 2|,−|x 1z 1x 2z 2|,|x 1y 1x 2y 2|) . 其中 |abc d|=ad −bc . 157. 线线角向量法公式: cosθ=|a ⃗⃗⋅b⃗⃗||a ⃗⃗|⋅|b⃗⃗| ,其中 θ∈(0,π2] .158. 线面角: (1) 向量法公式: sinθ=|a ⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗||a ⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗| ; (2) 几何法公式: sinθ=ℎx a其中 θ∈[0,π2] .159. 二面角: (1) 向量法公式: cosθ=±|n ⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗| ; (2) 几何法公式: cosθ=S 射影S原图; 其中θ∈(0,π] .160. 点面距: (1) 向量法公式: ℎx =|m ⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗|; (2) 几何法公式: ℎx =S 1ℎ1S 2.161. 不定点设法: (1)P 在线段 AB 上: AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(t ∈[0,1]) ; (2)P 在直线 AB 上: AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(t ∈R ) . 162. 多面体的内切球半径: r =3VS表=3VS1+S 2+⋯⋯+S n.163. 长方体的外接球半径: 2R =√a 2+b 2+c 2 . 164. 直棱锥的外接球半径: {R 2=r 2+(ℎ2)22r =asinA(直棱柱,圆柱也满足).165. 正棱锥的外接球半径: {R 2=r 2+(ℎ−R )22r =a sinA (正四面体,圆锥也满足). 166. 正三角形的性质: 高: ℎ=√32a ,面积: S =√34a 2 . 167. 正三角形与圆: 内切圆半径: r =√36a ,外接圆半径: R =√33a ,且 R r=21 .168. 正四面体的高: 斜高: ℎ斜 =√32a ,正高: ℎ正 =√63a . 169. 正四面体与球: 内切球半径 r ,外接球半径 R ,且 Rr =31 且 r +R =ℎ正 .第7章解析几何170. 圆的定义: 若 AB 为定长, PA ⊥PB ,则 P 的轨迹为以 AB 为直径的圆.171. 椭圆的定义: 若 |PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|) ,则 P 的轨迹为以 F 1F 2 为焦点, 2a 为长轴的椭圆.172. 双曲线的定义: 若 ∥PF 1∥−|PF 2|=2a (2a <|F 1F 2|) ,则 P 的轨迹为以 F 1F 2 为焦点, 2a 为实轴的双曲线.173. 抛物线的定义: 到定点F(p2,0)和到定直线: x=−p2的距离相等的点P的轨迹为抛物线.174. 求曲线方程常见的方法: (1) 直接法; (2) 代入法; (3) 定义法; (4) 待定系数法. 175. 直线的斜率存在时可设方程: y=kx+b ; 直线过y轴上点为B(0,b)且不垂直于x轴.176. 不需讨论斜率是否存在可直接设直线方程: x=my+a ; 直线过x轴上点为A(a,0)且不平行于x轴.177. 直线平行: l1//l2⇔k1=k2(b1≠b2) ; 或A1B2−A2B1=0 .178. 直线垂直: l1⊥l2⇔k1k2=−1 ; 或A1A2+B1B2=0 .179. 点到点的距离公式: |AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2 .180. 点到直线的距离公式: d=00√A2+B2.181. 平行直线与平行直线之间的距离公式: d=12√A2+B2.182. 直线方程:(1) 斜截式: y=kx+b ; (2) 点斜式: −y0=k(x−x0) ; (3) 截距式: xa +yb=1 ;(4) 两点式: y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2,y1≠y2) ; (5) 一般式: Ax+By+C=0 .183. 平行直线系方程: 原直线方程为Ax+By+C=0 ;平行直线可设为: Ax+By+λ=0(λ≠C)(A,B相同,C不相同) . 184. 垂直直线系方程: 原直线方程为Ax+By+C=0 ;垂直直线可设为: Bx−Ay+λ=0(A,B互换,符号变反).185. 交点直线系方程: A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 .186. 直线一般式与斜截式的互换: k=−AB ,b=−CB.187. 直线的斜率公式: k=tanα,k=y2−y1x2−x1.188. 斜率取值范围确定: 过定点,作垂线; 有交点,两k外; 无交点,两k间. 189. 圆与圆的位置关系:(1) 相离: 公切线条数 4 条, d>R+r ; (2) 外切: 公切线条数 3 条, d=R+r ;(3) 相交: 公切线条数 2 条, R −r <d <R +r ; (4) 内切: 公切线条数 1 条, d =R −r ;(5) 内含: 无公切线, 0≤d <R −r .190. 通用弦长公式: l =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2,l =√(1+1k 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2] .191. 圆的弦长公式: l =2√r 2−d 2 .192. 圆的切线长公式: 圆外一点 P 引圆的切线,其中一个切点为 C,|PC |=√|PO|2−r 2 .193. 椭圆的离心率公式: e =c a=√1−b 2a 2∈(0,1) .194. 双曲线的离心率公式: e =ca=√1+b 2a 2=√1+k 渐2∈(1,+∞) . 195. 离心率范围: (1) 椭圆 e ∈(0,1) ; (2) 双曲线 e ∈(1,+∞) ; (3) 抛物线 e =1 . 196. 双曲线的渐近线方程: y =±ba x . 197. 双曲线的焦渐距为:b (虚半轴). 198. 通径公式 2t:(1) 椭圆、双曲线: 2t =2b 2a 2; (2) 抛物线: 2t =2p .199. 焦半径公式 (带坐标): 圆锥曲线上点 M (x 0,y 0) 到焦点 F 的距离:(1) 椭圆中: |MF |=a ±ex 0 ; (2) 双曲线: |MF |=ex 0±a ; (3) 抛物线: |MF |=x 0+p 2. 200. 焦半径公式 (倾斜角): t(1±ecosα)(1) 椭圆中: b 2a (1±ecosα) ; (2) 双曲线: b 2a (1±ecosα) ; (3) 抛物线: p1±cosα .201. 焦点弦公式 (倾斜角): 2t(1−e 2cos 2α)(t: 半通径; α : 焦点弦倾斜角; e : 离心率) (1) 椭圆中: 2b 2a (1−e 2cos 2α) ; (2) 双曲线: 2b 2|a (1−e 2cos 2α)| ; (3) 抛物线: 2psin 2α .202. 切线方程: (1) 椭圆: x 0xa 2+y 0yb 2=1 ; (2) 双曲线: x 0xa 2−y 0y b 2=1 ; (3) 抛物线: y 0y =p (x 0+x ) .203. 抛物线的焦点弦长: l =x 1+x 2+p =k 2p+2p k 2+p =2k 2p+2pk 2=2k 2+2k 2p =2psin 2α .204. 焦点三角形面积: (1) 椭圆中: S △F 1MF 2=b 2tan θ2 ; (2) 双曲线: S △F 1MF 2=b 2cot θ2 ; (3) 通用面积: S △F 1MF 2=12d 1d 2sinθ . 205. 过圆锥曲线焦点的直线的倾斜角公式:(1) 椭圆中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ−1λ+1| .(2) 双曲线中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ−1λ+1|(A 、B 在同一支上时);λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ+1λ−1|(A 、B 分别在两支上时). (3) 抛物线中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF ||BF |,|cosθ|=|λ−1λ+1| . 206. 抛物线焦点弦圆: 以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切. 207. 抛物线焦点弦性质: 1|AF |+1|BF |=2p . 208. 抛物线焦点直线的韦达定理: {y =k (x −p2)y 2=2px,x 1x 2=p 24,x 1+x 2=k 2+2k 2p,y 1y 2=−p 2,y 1+y 2=2p k.209. 点差法的斜率公式: k 椭 =−b 2x 0a 2y 0,k 双 =b 2x 0a 2y 0,k 抛 =py 0.210. 解析几何中的向量问题: OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1+x 2,y 1+y 2) . 211. 向量与夹角问题:(1) ∠AOB 钝角 ⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0 ,(注意排除夹角为 180∘ 时两向量的数量积也是小于 0 的);(2) ∠AOB 锐角 ⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗>0 ,(注意排除夹角为 0∘ 时两向量的数量积也是大于 0 的);(3) ∠AOB 直角 (OA ⊥OB )⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 . 212. 向量与圆的问题: P 与以 AB 为直径的圆的位置关系: (1) P 在圆内: ∠APB 钝角或 P 在 AB 之间时 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0 ;(2) P 在圆上: ∠APB 直角 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ; (3) P 在圆外: ∠APB 锐角 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>0 . 213. 坐标轴平分角问题: k 1=−k 2⇔k 1+k 2=0 .214. 定点与定值问题: 特殊位置, 锁定答案; 设而不求, 再作验证; 215. 均值思想:当两个正数变量的和或积为定值时求另一个量的最值, 当这两个正数变量相等时, 则所求变量取得最值.第8章概率统计216. 简单随机抽样: 随机数表法、抽签法 (抓阄法).217. 系统抽样: 按等差数列通项抽取,其中第 i 个编号为 a i =a 1+(i −1)d . 218. 分层抽样: 按比例抽取 n N =n 1N 1=n 2N 2=n3N 3=⋯⋯ .219. 频率分布直方图的频率 = 小矩形面积: f i =S i =y i ×d =ni N ; 频率 = 频数 / 总数.220. 频率分布直方图的频率之和: f 1+f 2+⋯⋯+f n =1 ; 同时 S 1+S 2+⋯⋯+S n =1 .221. 频率分布直方图的众数: 最高小矩形底边的中点. 222. 频率分布直方图的平均数:x ―=x 441f 1+x 4⋅2f 2+x 443f 3+⋯⋯+x 4⋅n f n ; x―=x 4⋅1S 1+x 4⋅2S 2+x 4⋅3S 3+⋯⋯+x 4⋅n S n .223. 频率分布直方图的中位数: 从左到右或者从右到左累加,面积等于 0.5 时 x 的值. 224. 频率分布直方图的方差: s 2=(x +1−x ‾)2f 1+(x +2−x ‾)2f 2+⋯⋯+(x +n n −x ‾)2f n .225. 线性回归方程: y ̂=b ̂x +a ̂,b ̂=∑(x i −x ‾)ni=1(y i −y ‾)∑(x i−x ‾)2n i=1=∑x i ni=1y i −nx ‾⋅y ‾∑x i2n i=1−nx ‾2,a ̂=y ‾−b ̂x ‾ . 226. 线性回归直线方程必过样本中心点: (x ‾,y ‾) . 227. 斜率 b̂ 的意义: b ̂>0 : 正相关; b ̂<0 : 负相关. 228. 残差: êi =y i −y ̂i (残差 = 真实值 - 预报值),分析: |êi | 越小拟合效果越好.229. 残差平方和: ∑(y i −y ̂i )2n i=1=(y 1−y ̂1)2+(y 2−y ̂2)2+⋯⋯+(y n −y ̂n )2 ,分析: 越小拟合效果越好.230. 拟合度 (相关指数): R 2=1−∑(y i −y ̂i )2n i=1∑(y i −y‾)2n i=1 ,分析: (1)R 2∈(0,1];(2)R 2 越接近 1,拟合效果越好. 231. 线性相关系数 r :r =∑()n i=1()√∑(x i −x ‾)2n i=1∑(y i −y ‾)2n i=1=∑(x y −x y‾−x ‾y +x ‾⋅y ‾)n √∑(x i 2−2x i ⋅x ‾+x ‾2)n i=1∑(y i 2−2y i ⋅y‾+y ‾2)n i=1=∑x i n i=1y i −(x 1+x 2+⋯⋯+x n )y 1+y 2+⋯⋯+y n n −x 1+x 2+⋯⋯+x nn(y 1+y 2+⋯⋯+y n )+√[∑x i 2n i=1−2n x 1+x 2+⋯⋯+x n n ⋅x +nx 2][∑y i 2n i=1−2n y 1+y 2+⋯⋯+y n n⋅y +ny 2]=∑x i n i=1y i −n(x 1+x 2+⋯⋯+x n )n ×y 1+y 2+⋯⋯+y n n −x 1+x 2+⋯⋯+x n n ×(y 1+y 2+⋯⋯+n√[∑x i 2n i=1−2nx ⋅x +nx 2][∑y i 2n i=1−2ny ⋅y +ny 2]=∑x n y −nx‾⋅y ‾−nx ‾⋅y ‾+nx ‾⋅y ‾√(∑x i 2n i=1−nx ‾2)(∑y i 2n i=1−ny‾2)=∑x n y −nx‾⋅y ‾√(∑x i 2n i=1−nx ‾2)(∑y i 2n i=1−ny‾2)232. 相关系数 r 分析: (1)r ∈[−1,1] 的常数;(2)r >0 : 正相关; r <0 : 负相关;(3) |r |∈[0,0.25] ,相关性很弱; |r |∈(0.25,0.75) ,相关性一般; |r |∈[0.75,1] ,相关性很强.233. 独立性检验 2×2 列联表:234. 独立性检验公式: k 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ). 235. 独立性检验步骤: (1) 计算观察值 k 2 ; (2) 查找临界值 k 0 ; (3) 下结论.236. 常见的排列问题: 任职问题、数字问题、排队照相问题、逐个抽取问题. 237. 排列公式: A n m =n!(n−m )!=n (n −1)⋯⋯(n −m +1),(0!=1) .238. 排列数性质: 性质 1:A n m =nA n−1m−1 ; 性质 2:A n m =mA n−1m−1+A n−1m .239. 常见的组合问题: 产品抽查问题、一次性抽取问题240. 组合公式: C nm =A nm A mm =n!m!(n−m )!=n (n−1)⋯⋯(n−m+1)m (m−1)⋯⋯3×2×1,(C n 0=1,C n n=1) .241. 组合数的性质: C n m =C n n−m ,C n+1m =C n m +C n m−1. 242. 常见排列组合顺口溜:特殊元素先考虑, 特殊位置先安排; 分类讨论找特殊, 分类复杂对立法; 相邻问题捆绑法, 间隔问题插空法; 定序问题除阶乘, 定序限制乘比例; 染色问题多到少, 对角之时须讨论; 平均分组除阶乘, 非平分组即组合; 先分后排须谨记, 后排即乘全排列. 243. 古典概型公式: P (A )=n A n Ω.244. 几何概型公式: P (A )=lA l Ω=S A S Ω=V A V Ω=αA αΩ.245. 几何概型中面积问题: 积分问题、双变量问题、线性规划问题. 246. 任意事件概率公式: P (A ∪B )=P (A )+P (B )−P (A ∩B ) . 247. 互斥事件概率公式: P (A +B )=P (A )+P (B ) .248. 对立事件概率公式: P (A‾)=1−P (A ) (题目含有“至多、至少等关键词”). 249. 条件概率公式: P (B ∣A )=P (ABA )=n AB n A.250. 独立事件概率公式: P (AB )=P (A )P (B ) .251. 独立事件的性质: 若 A 与 B 独立,则 A 与 B‾、A ‾ 与 B 、A ‾ 与 B ‾ 也独立. 252. 独立事件至少有一个发生概率公式: P (A ∪B )=1−P (A ‾⋅B ‾) . 253. 超几何分布的概率公式: P (x =k )=C M k C N−Mn−kC Nn .254. 超几何分布的均值公式: E (X )=n MN .255. 无放回抽取: ①一次性抽取 ⇒ 超几何分布; ② 逐一抽取 ⇒ 独立事件. 256. 有放过抽取: 等可能性 ⇒ 二项分布.257. 二项分布的概率公式: P (x =k )=C n k p k (1−p )n−k .258. 二项分布的性质: 有限性、等可能性、独立性.259. 二项分布的均值与方差: E (X )=np ; 方差: D (X )=np (1−p ) . 260. 均值公式: E (X )=x 1p 1+x 2p 2+⋯⋯+x n p n261. 方差公式: D (X )=[x 1−E (x )]2p 1+[x 2−E (x )]2p 2+⋯⋯+[x n −E (x )]2p n . 262. 正态分布 X ∼N (μ,σ2):μ : 期望 E (X );σ : 标准差 √D (X ) . 263. 正态分布对称性: 图像关于直线 x =μ 成对称轴. 264. 正态分布全区间概率: P (x ∈R )=∫φ+∞−∞(x )dx =1 265. 正态分布半区间概率: P (x ≤μ)=∫φμ−∞(x )dx =0.5 266. 正态分布 3σ 区间概率: P (μ−σ<x <μ+σ)=0.6826 ;P (μ−2σ<x <μ+2σ)=0.9545; P (μ−3σ<x <μ+3σ)=0.9973.267. 二项式定理展开式: (ax +b )n =C n 0(ax )n b 0+C n 1(ax )n−1b +⋯⋯+C n k (ax )n−k b k +⋯⋯+C n n b n . 268. 两个系数: 其中 (ax +b )n 展开式中第 r +1 项为: T r+1=C n r (ax )n−r b r =C n r a n−r b r x n−r . (1) 二项式系数: C n r ; (2) 项的系数: C n r a n−r b r .269. 所有二项式系数为 2n :C n 0+C n 1+C n 2+⋯⋯+C n n =2n .270. 所有奇数项、偶数项二项式系数为 2n−1:C n 0+C n 2+C n 4+⋯⋯=2n−1;C n 1+C n 3+C n 5+⋯⋯=2n−1 .271. 展开式系数和:(ax +b )n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯⋯+a n x n ,若求系数和时,令 x =1 代入二项式中可得系数和为 (a +b )n . 272. (ax +b )n 奇偶项系数和: 令 x =1 时, a 0+a 1+⋯⋯+a n =(a +b )n ①令 x =−1 时, a 0−a 1+a 2−a 3+⋯⋯=(−a +b )n ② (将①、②相加减即可得到). 273. 其他赋值: 令 x =12 时, a 0+a 12+a 24+a 38+⋯⋯+a n2n =(12a +b)n.274. 系数提前: 求导后令 x =1 时, a 1+2a 2+3a 3+⋯⋯+na n =an (a +b )n−1 .第9章极坐标与参数方程275. 极坐标方程与直角坐标方程互换: {ρ=√x 2+y 2,tanθ=y x (x ≠0)x =ρcosθ,y =ρsinθ,x 2+y 2=ρ2 .276. 极坐标点 M (ρ,θ) 的意义: ρ=|OM |,θ=∠xOM .277. 过原点且倾斜角为 α 的直线极坐标方程: θ=α(ρ∈R ) .278. 过原点且倾斜角为 α 的射线极坐标方程: θ=α 或 θ=α(ρ≥0) . 279. 极坐标方程为 θ=α(ρ∈R ) 的直线上两点的距离公式: |AB |=|ρ1−ρ2|,|OA |=ρ1,|OB |=ρ2 .280. 直线的参数方程: {x =a +tcosαy =b +tsinα(t 为参数).281. 圆的参数方程: {x =a +rcosθy =b +rsinθ(θ 为参数). 282. 椭圆的参数方程: 焦点在 x 轴上时: {x =acosθy =bsinθ ( θ 为参数); 焦点在 y 轴上时: {x =bcosθy =asinθ( θ 为参数). 283. 双曲线的参数方程: 焦点在 x 轴上时: {x =asecθy =btanθ(θ 为参数); 焦点在 y 轴上时: {x =bcotθy =acscθ(θ 为参数). 284. 抛物线的参数方程:焦点在 x 轴上时 y 2=±2px:{x =±2pt 2y =2pt (t 为参数 ); 焦点在 y 轴上时 x 2=±2py:{x =2pt y =±2pt 2 ( t 为参数). 285. 参数方程的意义: {x =f (θ)y =g (θ)(θ 为参数 ) 上的任意点 P 的坐标可表示成: P(f (θ),g (θ)) . 286. 直线参数 t 的意义 1: |PA |=|t 1|,|PB |=|t 2| .287. 直线参数 t 的意义 2: |PA ||PB |=|t 1t 2| .288. 直线参数 t 的意义 3: |AB |=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2 .|t1+t2|t1、t2同号|t1−t2|t1、t2异号 .289. 直线参数t的意义 4: |PA|+|PB|=|t1|+|t2|={。
高数的基本公式大全
高数的基本公式大全高等数学（简称高数）是大多数理工科专业的重要学科之一，其理论基础和应用广泛深入。
在学习高数的过程中，熟练掌握各类基本公式是非常关键的。
本文将为大家总结并介绍一些高数中常用的基本公式，希望能对广大学生有所指导和帮助。
一、导数公式1. 基本导数：常数导数为0，幂函数求导是将幂次降低一次并乘以原幂次系数。
2. 乘积法则：$(u * v)' = u' * v + u * v'$3. 商法则：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' * v - u * v'}{v^2}$4. 复合函数求导法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)$5. 反函数求导法则：$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$6. 指数函数求导法则：$(a^x)' = a^x * \ln(a)$7. 对数函数求导法则：$(\log_a{x})' = \frac{1}{x *\ln(a)}$8. 三角函数求导法则：$(\sin{x})' = \cos{x}$，$(\cos{x})' = -\sin{x}$，$(\tan{x})' = \sec^2{x}$9. 反三角函数求导法则：$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}}$，$(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，$(\arctan{x})' = \frac{1}{1 + x^2}$二、积分公式1. 基本积分：幂函数的积分是将幂次升高一次并除以新的幂次。
2. 基本定积分：$\int_a^b{f(x)dx} = F(b) - F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
(完整版)高数常用公式手册
高等数学复习公式1、乘法与因式分解公式2、三角不等式■Ti3、一元二次方程U H-珀+巴=0 的解4、某些数列的前n项和5、二项式展开公式6、基本求导公式7、基本积分公式8—些初等函数两个重要极限9、三角函数公式正余弦定理10、莱布尼兹公式11、中值定理12、空间解析几何和向量代数13、多元函数微分法及应用14、多元函数的极值15、级数16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式1.1a3'—护=（口一卜）（& + b）1.2八土护干必十們n ■ n / ■ 、/ n 1 n 2.g a b (a b)(a a b2、三角不等式2.1 匕■. J -2.2 ■' > r - L2.3 二；•- * 门'2.4 ■- ■- ■- r - ■■- 2.6|训£ b 旨一常用高数公式(a-b)(a n~ (口十&)(厂十络十a" 皆---------------- a b n~2十矿+ ft Q —& t1+ '■' + fit —Q J伉为正整数）g为偶数）n 3 2 n 2 n 1、a b L ab b )( n 为奇数)3、一元二次方程 。
十+斑十的解3.2（韦达定理）根与系数的关系:r >0万程口恂定一黄恨， 3-3利别朮 沪-伽彳=0方程有相尊二买抿”I < U 方程有决辄肆琅.4、某些数列的前 n 项和4.1T r - 亦 + 1）1十2十3十…•十沖= ------ ---- 4.21 十3 + B+ —十（2⑺一1） = □& 4.32+4 + 5+ ■■■ + （2 外）=n （n 十 1）44［十沪十护十…十卅=巾+ 1）帥+ 1）64.5 f 十护十扌十…十（亦章=吧-1）a4.61彳+尸+*+…+异+44.7P+孑十用+…十（加一⑵^一 1）4.81卄也十L ）=*十挈+可'J5、二项式展开公式5.1 （一时—+严时答2-沪十捫一％一宀…+7 !U p+止土色土^右 忖十十屮Jd!6、基本求导公式:(C) 0 (C为常数)(cot x) csc 2 xsin "2x (sec x)(csc x)sec x tan xesc x cot x (arcsin x)(log a x)1 1(ln x)x x ln a(sin x) cos x (cos x) sin x(tan x) sec2 x1 cos2 x(x ) x 1 (为实数) (a x) a x lna (e x) e x(arccos(arctan7、基本积分公式：0dx x) x)(arc cot x)1 x211 ~x7x dx 1)Idx xxe dx lnxsec xdx ln secx tan x Ccsc xdx ln cscx cot x Cdxarctan x C1 x2dxarcsin x C疋1e x Ca x dxx—C Inadx2~ cosx2sec xdx tancosxdx sin x Csin xdx cosx C 8、一些初等函数：两个重要极限:双曲正弦:shx 双曲余弦:chxx x e e2x x e e2双曲正切:thxshx x echx x e arshx ln (x x2 1) archx ln (x .x21)xeedx2sin x2csc xdx cot x Csec x tan xdxcscx cot xdxlimx 0lim(1丄厂x xsecxcscx Ce 2.718281828459045…arthx Iln 1_-2 1 x 9、三角函数公式:高等数学复习公式sinsin 2si n-cos22sinsin2 cos-sin22 coscos2 cos-cos-22 coscos 2 sin --sin -22■倍角公式:■半角公式:c os —21 cosV 2cot —21cos 1 cos sin 1 cossin 1 cos柯西中值定理： 当F(x) x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理sin( )sin cos cos sin cos()cos cos sin sintan() tan tan 1 tan tan、 cot cot 1cot()cot cot■和差化积公式:sin2tan — 2■正弦定理: a sin A b sin B — 2R •余弦定理：c 2 sin C 2 2a b 2abcosC•反三角函数性质： arcs in x arccosx arcta n x —arc cot x2(uv)(n) n C ：u (nkJ)u (n)v (n 1) nu v n(n 1)u(n 2)vn(n 1) (n k 1) (n k )v(k )10、高阶导数公式一一莱布尼兹( Leibniz )公式： 2!k!11、中值定理与导数应用: U V(n)拉格朗日中值定理: f(b) f(a) f ( )(b a)■和差角公式:si n2 cos2 cot2 tan22sin cos 22 cos 1 cot 2 12cot 2ta n 1 tan 21 2si n 22cos.2 sinsi n3 3sin4s in 3cos3 4CO £3 cos tan33ta n tan 321 3ta n12、空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d M 1M 2 向量在轴上的投影：Pr j u ABPrj u@1 a ?) Pr ja 1 Prja ?a b cos a x b xa zb z ,是一个数量,代表平行六面体的体积平面的方程:1、点法式：A(x X o ) B(y y o ) C(z z o ) 0,其中 n{代 B,C}, M o (x o , y o ,z o )2、一般方程：Ax By Cz D o3、截距世方程：△ y z -1a b c平面外任意一点到该平面的距离:|Ax o By o d -- ------------- Cz o D〜 、‘A 2 B 2 C 2x X o mt空间直线的方程：xX o y y ozzt,其中s {m,n, p};参数方程：y y o ntmnPPtz z o二次曲面：22 21、椭球面：y_ 刍1 ab 2 c222、抛物面：丄 y_ z,(p, q 同号)2p 2q3、双曲面：222单叶双曲面：务y_ 刍1 ab 2c 222双叶双曲面：qy ~~2刍1（马鞍abc13、多元函数微分法及应用两向量之间的夹角: cos axb ： x 2 2 一 a xa y a yb y T~' 2 a z ... b x a z b z 2 2 b y b zcab a xb x ay b y k a z ，c b z a b sin 例：线速度: 向量的混合积: [abc] (a b) c a x b x ayb y C ya zb z Czc cos ,为锐角时, (X 2 X 1)2 Q2 yJ 2 (Z 2 Z 1)2 AB cos ,是AB 与u 轴的夹角。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全高等数学是大学数学学科中的一门重要课程，也是理工科学生必须掌握的基础知识。
在学习高等数学的过程中，数学公式是必不可少的工具。
本文将为大家提供一份大学高等数学公式大全，供学生们参考使用。
一、极限与连续1.1 极限的定义：$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$1.2 极限的四则运算：$$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$1.3 极限的乘法法则：$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$1.4 极限的除法法则：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}, \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$1.5 极限的复合函数法则：$$\lim_{x \to a} f[g(x)] = f[\lim_{x \to a} g(x)]$$1.6 常见的极限公式：- 幂函数的极限：$$\lim_{x \to a} x^k = a^k$$- 自然对数函数的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$- 正弦函数的极限：$$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$$二、导数与微分2.1 导数的定义：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$2.2 常见函数的导数：- 幂函数的导数：$$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$- 指数函数的导数：$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$- 三角函数的导数：$$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x), \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$$2.3 导数的四则运算：- 和差规则：$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$- 积法则：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$- 商法则：$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{[g(x)]^2}, g(x) \neq 0$$2.4 高阶导数：$$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x), f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} f(x), \ldots$$三、定积分3.1 定积分的定义：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$3.2 定积分的性质：- 线性性质：$$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$- 积分与常数的乘积：$$\int_a^b kf(x) dx = k\int_a^b f(x) dx$$3.3 常见函数的定积分：- 幂函数的定积分：$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$- 正弦函数的定积分：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 指数函数的定积分：$$\int e^x dx = e^x + C$$四、级数4.1 等比级数的求和：$$S = \frac{a}{1-r}, |r|<1$$4.2 幂级数的收敛半径：$$R = \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 4.3 常见级数：- 调和级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 几何级数：$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$五、常微分方程5.1 一阶线性常微分方程：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$5.2 二阶常系数齐次线性微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$5.3 常见的解法：- 变量分离法- 齐次线性微分方程的特征方程法- 二阶线性微分方程的常数变易法以上仅为部分高等数学公式的示例，实际上高等数学的公式非常丰富多样。
高数重要公式
高数重要公式高数（高等数学）中涉及的公式众多，以下是一些基本且重要的公式：1. 极限部分- 极限存在准则：若f(x)当x趋于a时，无论从左边还是右边趋近，其值都为L，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
- 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：如果f(x)/g(x)在x=a处的分子分母分别趋向于0或无穷大，且满足一定的条件，可以通过求导计算它们的极限。
2. 微积分基础- 导数定义：若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a) = lim(Δx->0) [f(a+Δx)-f(a)]/Δx。
- 常用导数公式：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本导数公式。
- 微积分基本定理：若函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么对于任意一点c ∈(a, b)，有∫_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)。
3. 积分部分- 不定积分与定积分的关系：不定积分是求原函数的过程，记作∫f(x) dx=F(x)+C；而定积分则是求面积、体积等问题，记作∫_a^b f(x) dx。
- 积分性质和运算法则：线性性质、积分上限函数的导数等于被积函数、换元积分法、分部积分法等。
4. 多元函数微积分- 偏导数：如果z=f(x,y)，则∂z/∂x就是在y保持不变的情况下，z关于x的局部变化率，类似的还有∂z/∂y。
- 链式法则、梯度、方向导数和多元函数的极值问题等。
5. 级数理论- 级数的收敛判别法：比值判别法、根值判别法、积分判别法、狄利克雷判别法等。
- 幂级数展开：如泰勒级数、麦克劳林公式等。
以上仅列举了部分重要公式，具体使用时需根据实际问题灵活运用。
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高等数学必背公式说明：这里有你想要的东西，高等数学必备公式一应俱全。
导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110ΛΛΛΛ抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dxx f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ϖϖ多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ϖϖωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。