第二章投影及判断和选择
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《机械制图》第二章正投影作图基础试卷
《机械制图》第二章正投影作图基础试卷一、单项选择题1.俯视图反映物体的( )相对位置关系。
(2 分)A.前后和上下B.前后和左右C.上下和左右2.投影面平行线的三个投影特征是( )(2 分)A.一线两点B.一斜线二平行线C.三条平行线D.三个都是线3.半球的三视图可能是( )。
(2 分)A.圆、圆、半圆B.半圆、半圆、圆C.圆、半圆、圆D.都不是4.正投影具有的基本性质是( )。
(2 分)A.实形性B.积聚性C.类似性D.实形性、积聚性和类似性5.类似形是指两图形相对应线段间保持定比关系,即( )不变。
(2 分)A.边数B.平行关系C.凹凸关系D.边数、平行关系、凹凸关系6.铅垂面的V、H、W面的投影特征应为( )。
(2 分)A.类似形、类似形、直线段B.类似形、直线段、类似形C.直线段、类似形、类似形D.实形、直线段、实形7.空间直线与三投影面的相对位置有( )。
(2 分)A.投影面平行线B.投影面垂直线C.一般位置直线D.投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线8.正投影法是投射线与投影面( )的平行投影法。
(2 分)A.平行B.垂直C.相交D.不平行9.侧面投影可以反映直线两端AB的( )位置关系。
(2 分)A.上下和前后B.上下和左右C.左右和前后D.上下10.轴线水平(左右方向)的正圆锥其主、俯、左三个视图应为( )。
(2 分)A.圆、等腰三角形、等腰三角形B.等腰三角形、等腰三角形、圆C.等腰三角形、圆、等腰三角形二、判断题11.( )侧垂线的侧面投影是一点,另两投影都是直线。
(2 分)12.( )正投影法是投射线与投影面垂直的平行投影法。
(2 分)13.( )左视图不能反映物体的左、右方位关系。
(2 分)14.( )主视图不能反映物体的前、后方位关系。
(2 分)15.( )一正六边形平面的正面投影是一条斜线,则另两投影均为六边形的类似形。
(2 分)16.( )投影面的垂直线是指垂直于一个投影面,与另外两个投影面平行的直线。
机械制图-----第二章投影知识
●
O WX
ax
●
a(x,y) H
aY Y
●
a(x,y)
H
Z
aZ
W y ● a(y,z)
x
O
YW
aYW
aYH YH
17
整理课件
如果把三投影面体系看作是直角坐标系，把投影轴看作坐
标轴，交点看作原点O，则空间点的位置可用三坐标值表示， 形式为A（X,Y,Z）。 点的三面投影与直角坐标系的关系为<手段三维理解>： 点到W面的距离 用坐标X表示(水平投影到OY轴的距离，正投
5
整理课件
正投影法的基本性质（重点）
1.真实性
直线或者平面平行于投 影面反映实形
A
2.积聚性 直线或者平面垂直于投
影面积聚成点（线） a
3.类似性 直线或者平面倾斜于投
影面反映类似形状
BA A
B b
a(b) a
B
b P
P
6
整理课件
2.1.2 形体的三面视图
根据有关标准和规定，用正投影法绘制出的物体的投影图， 称为视图。
影到OZ的距离)； 点到V面的距离 用坐标Y表示(水平投影到OX轴的距离，侧面
投影到OZ的距离) ； 点到H面的距离 用坐标Z表示(正平投影到OX轴的距离，侧面
投影到OY的距离) ； 三投影用坐标表示：a可表示为（x，y）； a’可表示为（x， z）；a”可表示为（y，z）
18
整理课件
例题
例2-2 已知点A的坐标为（15、10、20），求点A的三面投影。
9
整理课件
三视图的展开
为了读图识图方便，把三投影面
的展开到一个平面，这样展开在 一个平面上的三个视图，称为物 体的三面视图，简称三视图。
第二章 投影的基本知识
第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。
平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。
（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。
(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。
三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。
《计算机绘图基础》第2章点、直线和平面的投影
设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这
三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1–84)规定：采用 第一角投影法.
三面投影体系
14
2.1.4.1三面投影体系及三视图的形成
设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这
三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1–84)规定：采用 第一角投影法.
4
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相
对距离对投影的大小有影响。
度量性较差。
5
平行投影法
投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
6
正投影应用—正轴测图
7
斜投影应用—斜轴测图
V a'
Z
b'
A
W
b'
a''
X
b''
O
YW
X
B O b''
H a(b)
Y
a ( b)
YH
H面重影，被挡
住的投影加( ) 34
2.23 直线的投影 a●
两点确定一条直线，将两点的同名投影
b
●
用直线连接，就得到直线的同名一个投影面的投影特性
A●
B
●
M●
A●
B●
H面(俯视图)——反映了形体的左、右、前、后方位关系； W面(左视图)——反映了形体的上、下、前、后位置关系20。
小结
计算机绘图基础主要采用“正投影法”，它的优点是
三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1–84)规定：采用 第一角投影法.
三面投影体系
14
2.1.4.1三面投影体系及三视图的形成
设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这
三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1–84)规定：采用 第一角投影法.
4
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相
对距离对投影的大小有影响。
度量性较差。
5
平行投影法
投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
6
正投影应用—正轴测图
7
斜投影应用—斜轴测图
V a'
Z
b'
A
W
b'
a''
X
b''
O
YW
X
B O b''
H a(b)
Y
a ( b)
YH
H面重影，被挡
住的投影加( ) 34
2.23 直线的投影 a●
两点确定一条直线，将两点的同名投影
b
●
用直线连接，就得到直线的同名一个投影面的投影特性
A●
B
●
M●
A●
B●
H面(俯视图)——反映了形体的左、右、前、后方位关系； W面(左视图)——反映了形体的上、下、前、后位置关系20。
小结
计算机绘图基础主要采用“正投影法”，它的优点是
制图第二章练习题
第二章投影基础一、选择题1、下列投影法中不属于平行投影法的是（）A、中心投影法B、正投影法C、斜投影法2、当一条直线平行于投影面时，在该投影面上反映（）A、实形性B、类似性C、积聚性3、当一条直线垂直于投影面时，在该投影面上反映（）A、实形性B、类似性C、积聚性4、在三视图中，主视图反映物体的（）A、长和宽B、长和高C、宽和高5、主视图与俯视图（）A、长对正B、高平齐C、宽相等6、主视图与左视图（）A、长对正B、高平齐C、宽相等7、为了将物体的外部形状表达清楚，一般采用（）个视图来表达。
A、三B、四C、五8、三视图是采用（）得到的A、中心投影法B、正投影法C、斜投影法9、当一个面平行于一个投影面时，必（）于另外两个投影面A、平行B、垂直C、倾斜10、当一条线垂直于一个投影面时，必（）于另外两个投影面A、平行B、垂直C、倾斜11．当平面平行于投影面时，平面在该投影面上的投影（）。
A．积聚成一条曲线 B．为一形状类似但缩小了的图形C．积聚成一条直线 D．反映实形12．右图中的直线LM应是( )。
A. 水平线B. 侧平线C. 正垂线D. 侧垂线13．右图中的直线AB应是( )。
A. 水平线B. 侧平线C. 正垂线D. 侧垂线14.下列关于点的投影的描述中，正确的是( )A．点的X坐标表示空间点到正立投影面的距离B．点的Y坐标表示空间点到侧立投影面的距离C．点的Z坐标表示空间点到水平投影面的距离15.直线AB是（）A．一般位置直线B．正垂线C．水平线D．侧平线16.投影面垂直线有（）反映实长。
A.一个投影 B．两个投影C.三个投影Ｄ．四个投影二、判断题1、水平线的正面投影与X轴平行，水平投影反映线段的真实长度。
（）2、正平面的正面投影积聚为直线。
（）3、铅垂面的水平投影积聚成平行X轴的直线段。
（）4、正投影的基本特性是实形性，积聚性和类似性。
（）5、中心投影法是投射线互相平行的。
（）6、水平线的水平投影反映真实长度。
第二章2-3直线的投影
b′ ′ a′ ′ A a b B c′ ′ C c d H D d′ ′ V
空间两直线平 则其各同名投 行，则其各同名投 必相互平行， 影必相互平行，反 之亦然。 之亦然。
21
例1：判断图中两条直线是否平行。 判断图中两条直线是否平行。
①
a′ ′ a b′ ′ c′ ′ c b d d′ ′
对于一般位置直 对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行， 投影互相平行，空间 两直线就平行。 两直线就平行。
26
例题 判断两直线的相对位置
c′ 1′ a′ X a d′ d 1 b′
c 1′d′ 1′c′
b
27
判断两直线重影点的可见性
c′ b′ 1′ (3′)4′ 2′ d′ C 1 3 2 4 X A c a 1(2) 3 4 d
28
B
a′
D O
判断重影点的可 见性时， 见性时，需要看重影 点在另一投影面上的 投影， 投影，坐标值大的点 投影可见， 投影可见，反之不可 见，不可见点的投影 加括号表示。 加括号表示。
35
二、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比， ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 定比定理。 成定比 定比定理 三、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 且符合空间一个点的投影规律。 交叉（异面） ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 同名投影可能相交， 交点” 间一个点的投影规律。 交点” 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。 对重影点的投影。 36
空间两直线平 则其各同名投 行，则其各同名投 必相互平行， 影必相互平行，反 之亦然。 之亦然。
21
例1：判断图中两条直线是否平行。 判断图中两条直线是否平行。
①
a′ ′ a b′ ′ c′ ′ c b d d′ ′
对于一般位置直 对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行， 投影互相平行，空间 两直线就平行。 两直线就平行。
26
例题 判断两直线的相对位置
c′ 1′ a′ X a d′ d 1 b′
c 1′d′ 1′c′
b
27
判断两直线重影点的可见性
c′ b′ 1′ (3′)4′ 2′ d′ C 1 3 2 4 X A c a 1(2) 3 4 d
28
B
a′
D O
判断重影点的可 见性时， 见性时，需要看重影 点在另一投影面上的 投影， 投影，坐标值大的点 投影可见， 投影可见，反之不可 见，不可见点的投影 加括号表示。 加括号表示。
35
二、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比， ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 定比定理。 成定比 定比定理 三、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 且符合空间一个点的投影规律。 交叉（异面） ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 同名投影可能相交， 交点” 间一个点的投影规律。 交点” 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。 对重影点的投影。 36
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α
第二章投影法基本知识
真实性
积聚性：当一线段与投影面垂直时，其正投影积聚为一
点；当一平面图形与投影面垂直时，其正投影积聚为 一直线。
积聚性
类似性：当一线段与投影面倾斜时，其正投影为缩短
的线段； 当一平面图形与投影面倾斜时，其正投影 为缩小的类似图形。
类似性
§2-2 三视图的形成及其对应关系
根据国标规定，用正投影法绘制出物体的图形称为视图。 下图表示的是三个不同形体，在一个投影面上的视图却是完 全相同的。
1、主视图—从前向后投射，在V 面上所得的视图。
2、俯视图—从上向下投射，在H 面上所得的视图。
3、左视图—从左向右投射，在W 面上所得的视图。
三视图的形成
三投影面的展开
V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕 OZ轴向右旋转90°，这样V、H和W三个投影面就摊 平在了同一平面上。
水 平 投 影 面 和侧立投影 面旋转后，OY轴被分成两 条，分别用OYh和OYw 表 示 。
注意：
要细心，不要把点对错了。
§2-4 直线的投影
二、各种位置直线的投影
根据直线在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将
直线分为：
投影面平行线 投影面垂直线
特殊位置直线
投影面倾斜线
一般位置直线
1、一般位置直线 定义：与三个投影面均成倾斜的直线
直线与 H、V、W 投影面的倾角分别用 α、β、γ表示，见图 中的标注。
即 ac:cb=a'c':c'b'=a''c'':c''b''=k
例: 判断图中点是否在直线上。
作图分析： ⑴由于AB直线为一般位置。而给出 的C点的两投影分别在AB线的同面投 影上，故可认定C点从属于AB直线。
积聚性：当一线段与投影面垂直时，其正投影积聚为一
点；当一平面图形与投影面垂直时，其正投影积聚为 一直线。
积聚性
类似性：当一线段与投影面倾斜时，其正投影为缩短
的线段； 当一平面图形与投影面倾斜时，其正投影 为缩小的类似图形。
类似性
§2-2 三视图的形成及其对应关系
根据国标规定，用正投影法绘制出物体的图形称为视图。 下图表示的是三个不同形体，在一个投影面上的视图却是完 全相同的。
1、主视图—从前向后投射，在V 面上所得的视图。
2、俯视图—从上向下投射，在H 面上所得的视图。
3、左视图—从左向右投射，在W 面上所得的视图。
三视图的形成
三投影面的展开
V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕 OZ轴向右旋转90°，这样V、H和W三个投影面就摊 平在了同一平面上。
水 平 投 影 面 和侧立投影 面旋转后，OY轴被分成两 条，分别用OYh和OYw 表 示 。
注意：
要细心，不要把点对错了。
§2-4 直线的投影
二、各种位置直线的投影
根据直线在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将
直线分为：
投影面平行线 投影面垂直线
特殊位置直线
投影面倾斜线
一般位置直线
1、一般位置直线 定义：与三个投影面均成倾斜的直线
直线与 H、V、W 投影面的倾角分别用 α、β、γ表示，见图 中的标注。
即 ac:cb=a'c':c'b'=a''c'':c''b''=k
例: 判断图中点是否在直线上。
作图分析： ⑴由于AB直线为一般位置。而给出 的C点的两投影分别在AB线的同面投 影上，故可认定C点从属于AB直线。
画法几何及机械制图 第二章 点、直线和平面的投影
a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对 投影面的倾 角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面： 垂直于一个、倾斜 于另两个投影面的 平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位 置平面
投影面平行面： 平行于一个、同时 垂直于另两个投影 面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面： 对三个投影面都倾 斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影 满足上述条件，则 空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a
《机械制图》第二章 直线的投影
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间 线段的实长及与三 个投影面夹角的实 大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别 平行于直线一斜二平）
名称
直 观 图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章 直线的投影
第三节 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
Ch2-3 常用地球投影及其判别和选择
距 离 最 短
1)何谓墨卡托投影?
∗2
2
墨卡托投影－正轴等角圆柱投影
• 即设想与地轴方向一致的圆柱与地球 相切或相割，将球面上的经纬网按等 角的条件投影到圆柱面上,然后把圆柱 面沿着一条母线剪开并展成平面。
2)经纬网形状及经纬距变化规律
2 3
• 经线和纬线是两组相互垂直的平行直线 • 经线间隔相等 • 纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大
• 广义的多圆锥投影
•即指纬线为同轴圆弧的投影。
（1）普通多圆锥投影
4
8 • 投影条件：m0=1，n=1 • 经纬网特征： • 变形情况： • 属于任意投影，中央经线是一条没有变 形的线，离开中央经线愈远变形愈大。
• 用途：地球仪
（2）等差分纬线多圆锥投影
4
9 • 这是中国地图出版社于1963年设计的一种任意 性质的，不等分纬线的多圆锥投影。
– 中央经线为直线，其余的经线为椭圆曲线。 – 纬线是间隔不等的平行直线，其间隔从赤道向两极逐
渐减小。同一纬线上的经线间隔相等。 – 等积投影。
（3） 伪圆柱投影——摩尔威特投影
4
4 • 用途：世界地图、东西半球图、大洋图
（4） 伪圆柱投影——古德投影
4 5
• 设计思想：对摩尔维特等积伪圆柱投影进行“分瓣投
4 6
• 特点：海/陆完整（尽量
减少投影变形，而不惜
图面的连续性）
• 用途：世界地图
2. 多圆锥投影
4 7
• 狭义的多圆锥投影
•是指用多个不同锥顶角的圆锥与地 球相切，并获得若干以各标准纬线 为中心的投影带，然后将这些投影 带沿着某一经线连接起来。由于圆 锥顶点不是一个，所以纬线投影为 同轴圆弧。
土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影
二、两平行直线
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
《机械制图》第二章 正投影法基础
应用定比定理
例题3 V b
已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。 b c X O a b c b a cb ac
c
a X B C
A
a
c
H
二、两直线的相对位置
平行 相交
平行
相交 垂直相交
交叉
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。 投影特性： ⒈ 两直线平行
b
a A a b B c C c d H D d V
b
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实际大小，且与 三根投影轴都倾斜。
2.4 直线与点及两直线的相对位置
一、直线与点的相对位置
点在直线上的判别方法：
◆ 若点在直线上, 则 点的投影必在直线的同 名投影上。并将线段的 同名投影分割成与空间 相同的比例。即： ◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
例1：判断图中两条直线是否平行。
①
a
b d c c b d
a
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
c c
a
d
a b d
b c
b d a 如何判断？
各种位置点的投影 空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其 三个投影都不在投影轴上。 投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个 投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影 轴上。 投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投 影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投 影都与原点重合。
建筑构造与识图(第二章投影的基本知识)
三、平面的正投影规律
一.点的正投影及其规律
1、点的三面投影 2、点的投影与直角坐标的关系 3、两点的相对位置 4、识读点的投影图
1.点的三面投影
为了统一制图标准，规定空间点用大写字母表示，如A、 B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正 面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面 投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。点的 投影用直径小于1mm 的小圆圈画出，点号写在投影的旁边。
2、工程制图投影的相关假设
（1）假定光线可以穿透物体（物体的面是透明的， 而物体的轮廓线是不透的）； （2）规定在影子当中，光线直接照射到的轮廓线 画成实线，光线不能直接照射到的轮廓线画成虚 线； 则经过上述抽象由不同照射方向的光线照射得到 的“影子”即为工程图投影。如图1-2-1：
图1-2-1
5 . 三面投影图的画法
• 作形体投影图时， 先总体分析形体，选好主 视图的方向，使其主要平面与投影面平行；确 定比例、图幅大小；确定三视图的位置，先画 投影轴（互相垂直的两条线），水平投影面在 下方，正立投影面在水平投影面的正上方，侧 立投影面在正立投影面的正右方，然后画出定 位线、辅助线如图2.18所示。
思考
为什么采用正投 影法绘制工程图 样？
工程图样采用正投 影法绘制，使所绘 制图形既反应物体 的真实形状和大小， 又简单易画。
正投影法是本书讨论的重点，后 面将正投影法简称为投影。
第二节 正投影的基本特征 （一）显示性
当直线和平面垂直于投影面时，它们的投影分 别反映实形。
（二）类似性
当直线和平面垂直于投影面时，直线的投影比 实长短，平面的投影面积比实际面积小，但形状 仍与实形类似。
2 .点的投影与直角坐标的关系
一.点的正投影及其规律
1、点的三面投影 2、点的投影与直角坐标的关系 3、两点的相对位置 4、识读点的投影图
1.点的三面投影
为了统一制图标准，规定空间点用大写字母表示，如A、 B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正 面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面 投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。点的 投影用直径小于1mm 的小圆圈画出，点号写在投影的旁边。
2、工程制图投影的相关假设
（1）假定光线可以穿透物体（物体的面是透明的， 而物体的轮廓线是不透的）； （2）规定在影子当中，光线直接照射到的轮廓线 画成实线，光线不能直接照射到的轮廓线画成虚 线； 则经过上述抽象由不同照射方向的光线照射得到 的“影子”即为工程图投影。如图1-2-1：
图1-2-1
5 . 三面投影图的画法
• 作形体投影图时， 先总体分析形体，选好主 视图的方向，使其主要平面与投影面平行；确 定比例、图幅大小；确定三视图的位置，先画 投影轴（互相垂直的两条线），水平投影面在 下方，正立投影面在水平投影面的正上方，侧 立投影面在正立投影面的正右方，然后画出定 位线、辅助线如图2.18所示。
思考
为什么采用正投 影法绘制工程图 样？
工程图样采用正投 影法绘制，使所绘 制图形既反应物体 的真实形状和大小， 又简单易画。
正投影法是本书讨论的重点，后 面将正投影法简称为投影。
第二节 正投影的基本特征 （一）显示性
当直线和平面垂直于投影面时，它们的投影分 别反映实形。
（二）类似性
当直线和平面垂直于投影面时，直线的投影比 实长短，平面的投影面积比实际面积小，但形状 仍与实形类似。
2 .点的投影与直角坐标的关系
第二章正投影法
项目二 投影基础
3、物体与视图的方位关系
主视图反映物体的上、下 和左、右
俯视图反映物体的左、右 和前、后
左视图反映物体的上、下 和前、后
项目二 投影基础
三、画三视图及识读三视图的方法
1.总体分析物体，选好主视图的方 向，使其主要平面与投影面平行。 2.确定比例、图幅大小。 3.确定三视图的位置，画出定位线、 辅助线。 4.先画出主视图，再依据三等规律 依次画出俯、左视图。
项目二 投影基础
3、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置 关系
判断方法
x 坐标大的在左侧 y 坐标大的在前方 z 坐标大的在上方 点A在点B的左、后、下方
项目二 投影基础
重影点的可见性判别
空间两点在某一投影面上的投影重 合为一点时，则称此两点为该投影面的 重影点
判别方法
投影特点
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离 对投影的大小有影响 度量性较差
项目二 投影基础
2．平行投影法 平行投影法 投射线相互平行的投影法 正投影法 投射线与投影面相垂直的平行投影法 斜投影法 投射线与投影面相倾斜的平行投影法
正投影法
正投影法特点
投影大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好
点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴
② aax= aaz = A到V面的距离
aax= aay= A到H面的距离 aaz= aay = A到W面的距离
影轴距=点面距
点的投影到投影轴的 距离，等于空间点到相 应的投影面的距离
项目二 投影基础
【例2-1】 已知点A的两个投影，求作第三投影
a● ax
a●
点A、点C为哪个投影面 的重影点呢？
3、物体与视图的方位关系
主视图反映物体的上、下 和左、右
俯视图反映物体的左、右 和前、后
左视图反映物体的上、下 和前、后
项目二 投影基础
三、画三视图及识读三视图的方法
1.总体分析物体，选好主视图的方 向，使其主要平面与投影面平行。 2.确定比例、图幅大小。 3.确定三视图的位置，画出定位线、 辅助线。 4.先画出主视图，再依据三等规律 依次画出俯、左视图。
项目二 投影基础
3、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置 关系
判断方法
x 坐标大的在左侧 y 坐标大的在前方 z 坐标大的在上方 点A在点B的左、后、下方
项目二 投影基础
重影点的可见性判别
空间两点在某一投影面上的投影重 合为一点时，则称此两点为该投影面的 重影点
判别方法
投影特点
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离 对投影的大小有影响 度量性较差
项目二 投影基础
2．平行投影法 平行投影法 投射线相互平行的投影法 正投影法 投射线与投影面相垂直的平行投影法 斜投影法 投射线与投影面相倾斜的平行投影法
正投影法
正投影法特点
投影大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好
点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴
② aax= aaz = A到V面的距离
aax= aay= A到H面的距离 aaz= aay = A到W面的距离
影轴距=点面距
点的投影到投影轴的 距离，等于空间点到相 应的投影面的距离
项目二 投影基础
【例2-1】 已知点A的两个投影，求作第三投影
a● ax
a●
点A、点C为哪个投影面 的重影点呢？
第二章 正投影法(2)----直线的投影
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a′ a′ A b′ a″ b′ X O a b″ B b b YH Z a″
β α
b″
β α
a
YW
投影特性： 1． a′b′|| OZ ; ab || OYH 2． a″b″ =AB 3．反映 α、β 角的真实大小
投影面平行线
水平线
a′ ′ a b′ ′ a″ b″ ″ ″
γ
X
O
YW
B
b″
a
β γ
a b 投影特性：1．a′b′|| OX ; a″b″|| OYW 2． ab=AB 3．反映β、γ 角的真实大小
b
YH
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
b′ a′ b′ Z b″ a″ O YW
γ
B a″ b″ a′ X
α
α γ
A
a
b
a
b YH
投影特性： 1． ab || OX ; a″ b″|| OZ 2． a′ b′=AB 3． 反映α、γ角的真实大小
[例题 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。 例题] 例题
bc c′ ca
c
四、 两直线的相对位置
1. 平行两直线 2. 相交两直线 3. 交叉两直线
1. 平行两直线
b′ c′ a′ b a c X d′ a′
b′ c′
d′
b b a c
d
1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。 反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也 一定相互平行。 2．平行两线段之比等于其投影之比。
d c e f
积聚 为点
a(b)
积聚 为点
投影特性: 投影特性:
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常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.3
正轴等距方位投影（波斯托投影）
特点： 由投影中心至任意一点 的距离均与实地相等。即该 投影后长度比 m=1。由于该 投影具有由投影中心至任意 点的距离和方位均保持与实 地的距离和方位不变，因此 在国际上应用的也比较广泛， 多用于两极地区图。
采用正轴等距方位投 影绘制的南极地图
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
特点：投影中心为极点， 纬线为同心圆，经线为同 心圆的半径，两经线间的 夹角与实地相等。等变形 线都是以投影中心为圆心 的同心圆，包括等角、等 积、等距三种变形性质。 正轴方位投影主要用于制 作两极地区图。
三种方位投影纬线间隔变化示意图
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
°等分，分别交线A于abc…，分别 以abc为圆心，以到C的长度为半径画 圆弧，即得各经线。 B C
①
②
常用方位投影
5.4
斜轴方位投影
5.4.2 斜轴等距方位投影
经纬线形式：
中央经线为直线，其
它经纬线均是曲线。在中 央经线上纬线间隔相等。
常用方位投影
5.4
斜轴方位投影
5.4.2 斜轴等距方位投影
非透视方位投影是借助于透视投影的方式，而附加上一定的 条件，如加上等积、等距等条件所构成的投影。在这类投影 中有等距方位投影和等积方位投影。
5.1.3
特点
在投影平面上，由投影中心（平面与球面相切的切点， 或平面与球面相割的割线的同心圆）向各个方向的方位角与 实地相等，其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆，该投 影适合作区域轮廓大致为圆形的地图。
§4
地图投影的应用
高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影） 通用横轴墨卡托投影——UTM 投影 百万分一地形图投影 方位投影（正轴方位投影、正轴等角方位投影、正轴
等距方位投影、横轴和斜轴方位投影）
地形图投影
区域图投影
圆锥投影（正轴圆锥投影、等角割圆锥投影、等积割
圆锥投影、等距割圆锥投影）
伪圆锥投影 多圆锥投影（普通多圆锥投影、普通多圆锥分带投影、
变形分布规律： 1、投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度 变形增大。 2、角度、面积等变形线与等高圈一致。 3、面积变形、角度变形都不大。 绘制范围： 以机场为投影中心的航行半径图、以震中为投 影中心的地震影响范围图、以大城市为投影中心的 交通等时线图等。
常用方位投影
5.4
斜轴方位投影
5.4.3 斜轴等积方位投影
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.3
正轴等距方位投影（波斯托投影）
经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线 是同心圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中 心向外不变即相等。
等距投影
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.3
正轴等距方位投影（波斯托投影）
变形分布规律：
1、投影中心无变形，离开 投影中心愈远角度、长度 变形增大。 2、角度、面积等变形线为
使用范围：东西半球图
常用方位投影
5.3
横轴方位投影
5.3.1
横轴等角方位投影（横轴平射方位投影）
经纬线形状：
经线为凹向并对称于赤道 的曲线，经线为凹向并对称于 中央经线的曲线。赤道上的投 影切点为无变形点，面积等变
形线以切点为圆心，呈同心圆
分布。在中央经线上纬线间隔 自投影中心向外逐渐增大。在
中央纬线上经线间隔自投影中
心向东、向西方向逐渐增大。
常用方位投影
5.3
横轴方位投影
5.3.1
横轴等角方位投影（横轴平射方位投影）
变形分布规律：
1、投影中心无变形，离 开投影中心愈远面积、长 度变形增大，到半球的边 缘，面积变形可达400%。 2、没有角度变形，但面 积变形较大。 3、面积等变形线与纬圈 一致。
常用方位投影
5.2.1 正轴心射方位投影或称球心正轴方位投影
绘制方法:
使用价值:所有大圆航
N
线都能投影成直线,故
对航海、航空具有重要
O
的实用价值。
正轴心射方位投影
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.2 正轴平射方位投影 (正轴等角方位投影)
特点：纬线为同心 圆，经线为自圆心辐 射的直线，其夹角等 于经差，自圆心开始 纬距越来越大。
正轴方位投影
5.2.4 特点：
正轴等积方位投影（兰伯特投影）
投影中心变形较小，离此愈远角度和长度变形 都愈大，变形值相等的线也是以极点为圆心的同心 圆。纬距自中心向边缘逐渐缩短。
5.2
正轴方位投影
伪方位投影
伪方位投影及其应用
常用方位投影
5.3
横轴方位投影
特点： 通过投影中心的中央经线和赤道为直线，其他经纬 线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。
以投影中心为圆心的同心
圆。
3、面积变形、角度变形都
不大。
等距投影
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.3
画法：
正轴等距方位投影（波斯托投影）
经纬线形状：
（1）在纸上绘互为相交的 两直线，交点为极点。 （2）任意纬线圈上按预定 间隔等分作放射直线，便是
经线。
纬距：先有比例尺，按比例 尺算出在图上截取的纬距。
常用方位投影
5.4
斜轴方位投影
5.4.1 斜轴平射方位投影 特点：
（1）中央经线为直线，其他经线为放射状圆弧。
（2）纬线为同轴圆弧，中央
经线上的纬线间距从中心向南 、向北逐渐增加。
（3）往边缘扩大，中部正形。
（4）使用于绘制水陆半球， 分洲图、中国全图、中纬圈各 国家图。
常用方位投影
5.4
斜轴方位投影
世界地图 投影
等差分纬线多圆锥投影、正切差分纬线多圆锥投影）
圆柱投影（正轴等角圆柱投影、墨卡托投影） 伪圆柱投影（桑逊投影、摩尔威特投影、古德投影）
§5
方位投影
5.1
方位投影
5.1.1
概念
方位投影是以平面作为投影面，使平 面与地球表面相切或相割，将球面上的经 纬线投影到平面上所得到的图形。
5.1
方位投影
5.1.2
5.1.2.1
种类
透视方位投影
①当视点（光源）位于地球球心， 视点距投影面距离为R时，称为中心 射方位投影或球心投影。 ②当视点(光源)位于地球表面，视 点到投影面距离为2R时，称为平射方 位投影或球面投影。 ③当视点或光源位于无限远时，投 影线（光线）成为平行线，称为正射 投影。
变形分布规律：
1、投影中心无变形，离开投 影中心愈远角度、长度变形增 大。 2、没有面积变形，但角度变
形较大。
3、角度、面积等变形线为以 投影中心为圆心的同心圆。
Lambert投影
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.4
正轴等积方位
投影（兰伯特投影）
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.4
画法：
5.1
方位投影
5.1.2
5.1.2.1
种类
透视方位投影
根据投影面和地球球面相切位置的透视投影可分为三类： ①当投影面切于地球极点时，称为正轴方位投影。 ②当投影面切于赤道时，称为横轴方位投影。 ③当投影面切于既不在极点也不在赤道时，称为斜轴方位投影。
5.1
方位投影
5.1.2
5.1.2.2
种类
非透视方位投影
中央经线为直线，其它 经线是对称于中央经线的曲 线。中央纬线为直线，其它 纬线是对称于中央纬线的曲
线。在中央经线上纬线间隔
相等。在中央纬线上经线间 隔自投影中心向东、向西方 向逐渐增大。
常用方位投影
5.3
横轴方位投影
5.3.2
横轴等距方位投影
变形分布规律：1、投影中心无变ຫໍສະໝຸດ ，离开投影中心愈远角度、长
F
E
2″
N
2′ 1″ 2
A
1′
1
Q
D
C
O
H
R
G
B
S
常用方位投影
5.3
横轴方位投影
5.3.1
横轴等角方位投影（横轴平射方位投影）
使用范围：东西半球图
欧洲有些国家：波兰、匈牙利、希腊、罗马尼
亚、南斯拉夫等曾用它作大比例尺地图的数学基础。
常用方位投影
5.3
横轴方位投影
5.3.2
横轴等距方位投影
经纬线形式：
绘制范围： 常用于编制亚 洲、欧洲、北美洲 地图。
采用斜轴等积方位投影 绘制的中国政区地图
常用方位投影
5.4
斜轴方位投影
5.4.3 斜轴等积方位投影
经纬线形式： 中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中 央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。
变形分布规律： 1、投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度 变形增大。 2、没有面积变形，但角度变形较大。 3、角度等变形线与等高圈一致。
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.2 正轴平射方位投影 (正轴等角方位投影)
变形分布规律： 1、投影中心无变形，离开投影中心 愈远面积、长度变形增大。 2、没有角度变形，但面积变形较大。 3、角度、面积等 变形线为以投影 中心为圆心的同 心圆。
等角投影
常用方位投影
5.2
正轴方位投影
5.2.2 正轴平射方位投影 (正轴等角方位投影)
正轴等积方位投影（兰伯特投影）
（1）绘制纬线圈：
①投影条件：投影面---平面
②投影公式：μ1=cos（z/2 ）