第六章 《万有引力与航天.章节复习讲义(教师版)

《万有引力与航天》

一、知识网络

托勒密：地心说

人类对行 哥白尼：日心说 星运动规 开普勒 第一定律（轨道定律）

行星 第二定律（面积定律） 律的认识 第三定律（周期定律）

运动定律 万有引力定律的发现 万有引力定律的内容

万有引力定律 F ＝G

2

2

1r m m 引力常数的测定

万有引力定律 称量地球质量M ＝G gR 2

万有引力 的理论成就 M ＝2

3

24GT r π

与航天 计算天体质量 r ＝R,M=2

3

24GT R π M=G

gR 2

人造地球卫星 M=2

3

24GT

r π 宇宙航行 G 2r

Mm

= m r v 2

mr 2

ω

ma

第一宇宙速度7.9km/s 三个宇宙速度 第二宇宙速度11.2km/s 地三宇宙速度16.7km/s

二、重点内容讲解 1、计算重力加速度

（1）在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。

F 引=

G 2R M =6.67*1110-*2

324)

10*6730(10*98.5=9.8(m/2

s )=9.8N/kg 即在地球表面附近，物体的重力加速度g ＝9.8m/2

s 。这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质

量无关。 （2）即算地球上空距地面h 处的重力加速度g ’。有万有引力定律可得： g ’＝2)(h R GM +又g ＝2R GM ，∴g g '＝22

)(h R R +，∴g ’＝2)(h

R R +g （3）计算任意天体表面的重力加速度g ’。有万有引力定律得： g ’＝

2

''

R GM （M ’为星球质量，R ’卫星球的半径），又g ＝2R GM ，∴g g '＝2)'('R R M M •。

注意：在地球表面物体受到地球施与的万有引力与其重力是合力与分力的关系，万有引力的另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很少，我们可以忽略，所以在地球表面的物体F 引=G 2、天体运行的基本公式

在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向心力，均来自于中心天体的万有引力。因此万有引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。

（1）向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为M ，行星（或卫星）的圆轨道半径为r ，则向心力可以表示为：

F 引=F 向，n F ＝

G 2r

Mm ＝ma ＝m r v 2=mr 2

ω=mr 2)2(T π=mr 2)2(f π=m ωv 。

（2）五个比例关系：（r 为行星的轨道半径） 向心力：n F ＝G

2r Mm ，F ∝21r ； 向心加速度：a=G 2r M , a ∝21

r ；

① G 2r

Mm

＝m r v 2； 得v ＝

r GM ，v ∝

r

1；

②G

2r Mm ＝m r 2

ω ；得ω＝3r GM ，ω∝31r

； ③G 2r Mm ＝mr 2

)2(T π；

得T ＝2πGM

r 3，T ∝3

r ； （3）v 与ω的关系。在r 一定时，v=r ω,v ∝ω;在r 变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或靠近中心天体时，r

不断变化，v 、ω也随之变化。根据，v ∝r

1和ω∝

3

1r

，这时v 与ω为非线性关系，而不是正比关系。

3、引力常量的意义

根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G 2r Mm ＝mr 2)2(T π∴k GM

T r ==2

234π.这实际上是开普勒第三定律。它表明k T

r =23

是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它具有重要的

物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。

4、估算中心天体的质量和密度

（1）中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：

G 2r

Mm ＝mr 2

)2(T π， ∴M ＝

2324GT r π （2）中心天体的密度

方法一：中心天体的密度表达式ρ＝

V M ，V ＝3

4

3R π（R 为中心天体的半径），根据前面M 的表达式可得：ρ＝3233R GT r π。当r ＝R 即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝2

3GT π

。此时表面只要用一个计时工具，测出

行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期T ，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。

方法二：由g=2R

GM ,M=G gR 2进行估算，ρ＝V M ，∴ρ＝R G g

π43

5、稳定运行与变轨运行

（1）稳定运行：

某天体m 围绕某中心天体M 稳定做圆周运动时，始终满足F 引=F 向，即：

2

2

GMm mv r r

= 所以v ＝r GM ，故r 越大时，v 越小；r 越小时，v 越大； （2）变轨运行：

某天体m 最初沿某轨道1稳定做圆周运动满足2

2GMm mv r r

=，由于某原因其v 变大，此时其所需要的向心力2n mv F r =变大，万有引力2

GMm

F r

=引不足以提供向心力时，m 就做离心运动，运动到较高轨道2做稳定的圆周运动，此时v 比原轨道1处的v 小；反之，若在轨道1处v 突然变小时，将会到较低轨道3稳定运行，此时v 比

原轨道1要大；

三、常考模型规律示例总结 1. 对万有引力定律的理解

（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。 （2）公式表示：F=

2

2

1r m Gm 。 （3）引力常量G ：①适用于任何两物体。

②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体（可看成质点）相距1m 时的相互作用力。

③G 的通常取值为G=6。67×10-11Nm 2/kg 2

。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。

（4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。

②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r 是指两球心间的距离。 ③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性：

①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。

②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。 ③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。

〖例1〗设地球的质量为M ，地球的半径为R ，物体的质量为m ，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是： A 、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。

A 、 物体距地面的高度为h 时，物体与地球间的万有引力为F=2

h

GMm 。

B 、 物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。 D 、物体离地面的高度为R 时，则引力为F=

2

4R

GMm

〖答案〗D

〖总结〗（1）矫揉造作配地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。 （2）F=

2

2

1r m Gm 。中的r 是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间的距离。 （3）F=

2

2

1r

m Gm 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能看为质点，故选项C 的推理是错误的。

〖变式训练1〗对于万有引力定律的数学表达式F=2

2

1r m Gm ，下列说法正确的是： A 、公式中G 为引力常数，是人为规定的。