最优截断切割问题

B题截断切割

组号：14

截断切割

摘要

本文讨论的问题是实际生产加工中的截断切割问题，研究了采用何种切割顺序能使得材料切割所用费用最省。根据题中条件，待加工材料和成品均为长方体，且不同的加工顺序使得材料切割费用不同，我们考虑了将三维直角坐标系与有向图相结合的方式构造模型。本文构造的有向图是三维形式的，有向图的顶点坐标（x ，y ，z ）分别代表侧面（左右面）、正面（前后面）、水平面（上下面）的切割次数，其中x ，y ，z 都在{0.1.2}中取值。有向弧代表一个从弧的始点至弧终点的切割步骤，弧权值代表弧所代表的加工步骤所需加工费。那么切割问题就转化为了求解一个带权有向图的最短路径问题。通过编写数学软件，运用lingou 软件求得了最短路径。

最终我们解出了最优切割法：

（1）当r=1，e=0时，最短切割路径为：5，3，1，6，4，2；5，3，6，1，4，2 （2）当r=1.5，e=0时，最短切割路径为：3，1，5，4，6，2；3，5，1，4，6，2 （3）当r=8，e=0时，最短切割路径为：3，1，4，5，2，6

（4）当r=1.5，e=2时，最短切割路径为：3，1，5，4，6，2；3，5，1，4，6，2 （1）（2）（3）（4）情况的最少费用分别为：374，437.5，540.5，443.5。（数字1,2,3,4,5,6分别代表切割左右前后上下面）

当然，本文是假设切割是在一定的切割原则，即在两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工这一原则下进行的，这是符合基本的切割作业常识的，也符合截断切割的同类换序定理（在截断切割方式()123456,,,,,,v v v v v v v →

=中交换其内相邻同类切割的切割次序，总切割面积不因切割面积的交换而改变；若交换间隔一异类切割的的同类切割的切割次序，则割弃长较大的同类切割面先切割者，其总切割面积较小）。再者，由题意，成品与待切割品的相邻平行面的距离已经给定。那么也可以通过调整相邻平行面的距离而使得切割花费达到更省，这是本题可以改进的一个方向。

关键词：截断切割 最优切割次序

一、问题重述

在某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍。且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e 。现今要设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。

从排列组合的角度考虑，切割方法应有66A 种，当然这其中也会有一些方法是等价的，现在我们规定两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工。每一次切割由于会使得相邻面的相应边长减小，所以会影响到下一次切割时所需的切割费用。水平面与竖直面的单位面积加工费用又不相同。所以安排加工面次序的问题就应该转化为多阶段动态问题，而图解法又是解决这一问题的良策。

二、模型假设与符号说明

（一） 模型假设

a. 待加工长方体与成品长方体对应表面平行。

b. 工作台是水平的，而且加工工件与水平台的接触面是事先指定好的，不允许改

变。

c. 假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；

d. 第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用；

e. 每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.

f. 假设在切割时，遵守这样的准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面

总是先加工。 （二） 符号说明

0a ,0b ,0c 分别表示待加工长方体的长、宽、高。 a ,b ,c 分别表示成品长方体的长、宽、高。

1u ,2u ,3u ,4u ,5u ,6u 分别表示待加工长方体与成品长方体。

有向图顶点是i v ，坐标为（i x ,i y ,i z ），i x ,i y ,i z 分别代表侧面（左右面）、正面（前后面）、水平面（上下面）的切割次数。其中i x ,i y ,i z 都在{0.1.2}中取值。

i a ,i b ,i c 分别表示在i v 时，长方体左右、前后、上下面的距离。

有向弧（i v ,j v ）代表一个从i v 至j v 的切割步骤，弧的权值(),i j w v v 代表弧所代表的加工步骤需要的加工费。

三、Ⅰ、考虑不同切割方式的总数

设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为0a 、0b 、0c 。六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为1M 、2M 、3M 、4M 、5M 、6M ，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为1u 、2u 、3u 、4u 、6u 、5u 。这样，

一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66

720=种切割方式。当考虑到切割费

用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工。

由此准则,只需考虑P 66

22290

!!!⨯⨯=种切割方式。即在求最少加工费用时，只需在90

个满足准则的切割序列中考虑。不失一般性，设12u u ≥、34u u ≥、65u u ≥，故只考虑1M 在2M 前、3M 在4M 前、6M 在5M 前的切割方式。

Ⅱ、根据不同情况建立数学模型 1、e=0的情况

为简单起见,先考虑e=0的情况。构造如图所示的一个有向赋权网络图G(V,E)。为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x ，y ，z 。

G(V,E)

图G(V,E)的含义为：

(1)、空间网络图中每个结点i V （i x ,i y ,i z ）表示被切割石材所处的一个状态。顶点坐标i x ，i y ，i z 分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数。顶点1V (0,0,0)表示石材的最初待加工状态，顶点27V (2,2,2)表示石材加工完成后的状态。

(2)、G 的弧（i V ,j V ）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态i V 经一次切割变为状态j V ，即当且仅当1i i i j j j x y z x y z +++=++时，i V （i x ,i y ,i z ）到j V (j x ,j y ,j z )有弧(i V ,j V )，相应弧上的权W (i V ,j V )即为这一切割过程的费用。对于任意相邻状态的点之间的弧的权值公式如下：

()()()()()()i j j W(V ,V )=i i i j i i i j i i i x x b c y y a c z z a b r -⨯+-⨯+-⨯

其中，i a 、i b 、i c 分别代表在状态i V 时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离。 (3)、根据局部优化准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切1M 、3M 、6M 中的某个面，在图中分别对应的弧为(1V ,2V )，(1V ,4V )，(1V ,10V )，图G 中从1V 到27V 的任意一条有向道路代表一种切割方式。从1V 到27V 共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式。1V 到27V 的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式。 2、e ≠0的情况