第二章二体问题

人卫真实轨道 人卫正常轨道 轨道摄动
综述
作用在卫星上的力 地球引力(1) 地球引力(2) 日、月引力 大气阻力 光压 其它作用力 总和
卫星轨道 人卫正常轨道
轨道理论 人卫正常轨道（二体问题）
摄 动 力
轨道摄动
人卫轨道摄动理论
人卫真实轨道
人卫轨道理论
2.2 开普勒行星运动三定律
开普勒（Johannes Kepler） 国籍: 德国 生卒日期:
左边(3-6)方程解的一般形式为：
二体问题微分方程的解

卫星运动的轨道平面方程 直接由微分方程（3-6）求积分，可得卫星运动 的轨道平面方程：
式中，X,Y,Z是卫星在地心天球坐标系中的坐标

卫星运动的轨道方程 卫星运动的轨道方程为：
由于 ，所以（3-10）式可以真 近点角V表示： 另外由二体运动的微分方程可求出常用的表 示卫星运动速度U的活力积分：
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
2.4
轨道根数
什么是轨道根数
所谓轨道根数即轨道参数，是在人卫轨道理 论中用来描述卫星椭圆轨道的形状、大小及其在 空间的指向，及确定任一时刻t0卫星在轨道上的 位置的一组参数。通常采用的是所谓的6个开普 勒轨道根数。
即： 长半径a 偏心率e 这两个参数确定了开普勒椭圆的形状和大小。 升交点赤经Ω:即地球赤道面上升交点与春分点 之间的地心夹角。 轨道倾角I:即卫星轨道平面与地球赤道面之间的 夹角。这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与 地球体之间的相对定向。 近地点角距ω:即在轨道平面上，升交点与近地 点之间的地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平 面上的定向。 卫星过近地点的时刻t0：确定卫星在轨道上的瞬 时位置。（该参数可用f代替。f为卫星的真近点 角）
二、作用在卫星上的外力
为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于 卫星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是 假设地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中 心），称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和 特征，由此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是 分析卫星实际轨道的基础。另一类是摄动力或非中 心力，包括地球非球形对称的作用力、日月引力、 大气阻力、光辐射压力以及地球潮汐力等。摄动力 使卫星的运动产生一些小的附加变化而偏离理想轨 道，同时偏离量的大小也随时间而改变。 在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动， 相应的卫星轨道称为受摄轨道。
轨道平面上的特殊点
近地点与远地点 升交点与降交点 通常，卫星轨道与赤 道平面有2个交点。当 卫星从赤道平面以下 （南半球）穿过赤道 平面进入北半球的交 点，称为升交点。反 之，则称为降交点。
开普勒轨道根数(1)
升交点赤经Ω 轨道倾角i
定义：在升交点处 定义：升交点的赤 轨道正方向（卫星 经 运动方向）与赤道 近地点角距ω 正方向（赤经增加 方向）之间的夹角。 定义：从升交点的 地心矢径起算，逆 时针方向（从 N正 方向看）旋转至近 长半径a 地点的地心矢径所 经过的角度。 定义：轨道长轴的 一半，也称作长半 轴或半长轴
三、二体问题与人卫正常轨道

二体问题

研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问 题 摄动力
除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力

人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道: 地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用
人卫正常轨道的特点: 运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置
f为卫星的真近点角：即轨道平面上卫星与近地点之间的地 心角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨道上的瞬时 位置。
真近点角f的计算 在描述卫星无摄运动的6个开普勒轨道参数中，只有真近 点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置的计算， 关键在于计算真近点角。
m b a
r E
a ae f 近地点
为了计算真近点角，引入两个辅助参数 E—偏近点角和M—平近点角。 M—是一个假设 量，当卫星运动的平均角速度为n，则 M= n ( t - t0 )，t0为卫星过近地点的时刻，t为观测卫星 时刻。平近点角与偏近点角间存在如下关系：E= M + e sinE。由此可得真近点角
cos E e cos f 1 e cos E

地球引力 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心 力
地球引力(2) － 地球的非球形引力或称地球形 Mm G r 状摄动力
2

日、月及其它天体的引力


大气阻力
太阳光压 其它作用力（如：地磁、地球潮汐摄动等）
在各种作用力对卫星运行轨道的影响 中，地球引力场的影响为主，其它作用力 的影响相对要小的多。若假设地球引力场 的影响为1，其它引力场的影响均小于105。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
b
远地点
a M
f
近地点
（2）开普勒第二定律：卫星的地心向径在单位 时间内所扫过的面积相等。表明卫星在椭圆 轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点 处速度最大，在远地点处速度最小。
远地点
近地点 地心
（3）开普勒第三定律：卫星运行周期的平方与轨 道椭圆长半径的立方之比为一常量，等于GM的 倒数。 T 2 4 2
第二章 二体问题
本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述， 以及二体问题的运动方程和方程的解。 重点： 1.二体问题的定义； 2.卫星运动的轨道参数； 3.二体问题基本运动方程； 4.二体问题基本运动方程的解。 难点： 1．怎样理解二体问题基本运动方程； 2．怎样得到二体问题基本运动方程的解。
主要内容
a
3

GM
假设卫星运动的平均角速度为n，则n=2/T，可得
GM n 3 a
1/ 2
当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角 速度也随之确定，且保持不变。
2.３二体问题的运动方程
在图3-1中所示的二体问题中，依据万有引力定律可知， 地球O作用于卫星S上的引力F为：
式中：G——万有引力常数， G=(6672±4.1)×10-14 N· kg2 ； m2/ Ｍ，m——地球和卫星的质量； r——卫星的在轨位置矢量。
偏心率e
定义：
卫星过近地点的 时刻t0
c a 2 b2 e a a (0 e 1)
开普勒轨道根数(2)
决定轨道形状的参数 长半径a 偏心率e 决定轨道方向的参数 升交点赤经Ω 轨道倾角i 近地点角距ω 决定卫星位置的参数 卫星过近地点的时刻t0
2.5 人卫轨道摄动因素简介
主要摄动因素 地球形状摄动 日、月引力 大气阻力摄动 J2为地球引力场系 光压摄动 数的二阶带谐系数， 也称动力扁率。 潮汐摄动 坐标附加摄动 ... 摄动的量级 设地球正球引力为1，则其它摄动的量级约为 110-3，其中以 J2 的影响最大。

用偏近点角E代替真近点角V 从表示偏近点角E与真近点角V的关系的图32，不难证明:
另外还可导出V和E的关系：

开普勒方程 设卫星的运动到开普勒第三定律的数学表达式：
建立轨道坐标系：坐标原点O在地心，X轴 指向椭圆轨道近地点P，Y轴为轨道椭圆的短轴， Z轴为轨道椭圆的法向。在此坐标系下可以得出 著名的开普勒轨道方程：
需要采用不同于研究自然天体的新理论、新 方法（天体力学中的原有公式由于收敛性和精度 的原因而不适用于人卫轨道的研究）
卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力 场的引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体 的引力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮 汐力等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂， 难以用简单而精确的数学模型加以描述。 研究内容除定轨外，还包括轨道设计、卫星 回收等问题
四、轨道摄动
人卫真实轨道 除了地球引力(1)外，卫星还受到地球引 力(2) 以及其它摄动力的作用。卫星在所有这些 力 的作用下的轨道，称为人卫真实轨道。 轨道摄动 卫星的真实轨道与正常轨道之间的差异， 称

五、轨道理论的分类



人卫正常轨道理论 确定人造卫星正常轨道的形状、大小与空间定 向以及卫星在轨道上的位置的一整套方法及相 关理论，称为人卫正常轨道理论。 人卫摄动轨道理论 解决人造卫星轨道摄动问题的一整套方法和相 应的理论，称为人卫摄动轨道理论。 人卫正常轨道与人卫真实轨道之间的关系
2.1 引言 2.2 开普勒行星运动三定律
2.3 二体问题的运动方程 2.4 轨道根数
2.5 人卫轨道摄动因素简介
2.１
引言
一、人卫轨道理论概述

内容：研究人造地球卫星的运动规律
卫星在空间运行的轨迹称为轨道，描述卫星轨道位 置和状态的参数称为轨道参数。

特点: 需要考虑地球引力的高阶项的影响 （即不能把地球当作质点，也不能把地 球当作均质圆球）需要同时考虑保守力 和非保守力（耗 散力）的作用