整理工程中的数值分析

工

程

中

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数

值

分

析

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《数值分析》

课程教学方法改革案例

1.课程简介

（1）课程类别：专业选修课程

（2）学科类别：工学--计算机科学与技术

（3）课程目标和教学内容：

解决问题的数值方法已经成为工程学乃至社会科学研究中非常重要的基础工具。《数值分析》是应用性很强的数学类课程，是工程数学与计算机应用的桥梁。该课程介绍将连续的数学模型离散化，通过计算机程序在有限步骤内求得数值近似解的方法。通过一系列的实验帮助学生掌握基本的误差分析方法、求解非线性方程和线性方程组的方法、求特征根、用插值及拟合近似计算函数值、计算近似定积分、求解微分方程的方法等。通过学习，学生将掌握经典算法的基本理论、使用技巧，并能够灵活应用以解决实际问题。

（4）教学对象：计算机与软件工程专业三年级本科学生；每年开设3个左右教学班，每班人数控制在50人以内，采用小班化教学。

（5）教学场景：课堂教学在多媒教室，实验教学在计算机实验机房。

2.课程教学重点解决的问题

工程数学领域内用到的大量数学模型，还不能直接用计算机求解，必须通过数

值方法把原始数学模型离散化，变为算法语言能认识的、有限步可解的数学模型，才可用计算机编程、运行得到数值解。《数值分析》就是以高等数学和算法语言为基础，介绍这些数值方法的来龙去脉，使学生学会基本原理，并掌握灵活实际应用的技巧。

在传统的数值分析教学活动及教材中，往往偏重理论证明和简单的手工跟踪算法实践，较少给出数值实验习题，而对如何进行数值实验，如何基于算法进行编程练习等更没有提出要求。但这是一门应用性很强的数学类的课程，因此教学过程中应特别注重实践。虽然专业软件MATLAB具有强大的计算功能，但处理一些特殊困难的问题时仍然不能保证得到好的效果，所以专业人员仍然有必要掌握对基本算法的实现能力，才能在改进算法适应性方面得心应手。

另一方面，数学的学习是锻炼科学研究能力的重要手段之一，课程本身传递的知识固然重要，更重要的是引导学生训练逻辑思维能力，掌握逻辑推理的一般方法，从而培养出科学严谨的思维习惯以及主动探索求知的精神。

3.围绕问题的教学方法改革

（1）教学实施策略与方法

针对课程教学的目标和教学中重点解决的问题，目前课程采用的教学实施策略和方法主要有：基于团队的学习组织方式、基于问题的互动教学、基于编程大作业的实践能力培养、以及基于拓展性课题的研究性学习。

1.基于团队的学习组织方式。课程采用小班教学，人数基本限定在50人以内，

第一堂课将学生分为18组，最多每3人一组。每组学生在课堂学习中座位集中（为了课堂讨论），在课外实践中分工合作完成18个拓展性课题的研究任务。

2.基于问题的互动教学：教师在每次授课前准备若干问题供学生课堂讨论，学

生讨论表现记入考核成绩。讨论问题主要有两种，一种是比较简单的问题（一般是引导性问题）由学生独立抢答，每次回答或者主动提问均记入课堂讨论得分（个人）；另一种是比较难的问题（共36个）由学生在课堂上分组讨论，3-5分钟后提交书面答案，教师课后评价记分（团队分）。

3.基于编程大作业的实践能力培养：课程除了布置小型作业外，还设计了8道

需要编程实现的大作业，由学生在课后独立完成。由于采用自动判题系统24小时开放评测，学生可以在整个学期的学习中随时反复提交完成。课程组教师针对实施大作业的经验，编写了实践指导教材由浙江大学出版社（2009年）出版，是国内第一本关于数值分析的实践指导教材。

4.基于拓展性课题的研究性学习：课程设计有18个拓展性课题（research

projects），部分内容超出了教材范围，由学生根据教学进度在不同周分组研究完成。每组学生抽签选择1道题目。学生需要根据题目要求，自行查找资料、归纳总结知识点、动手做实验进行验证等，在一周后的课堂上随机抽取一位学生代表做15分钟左右的汇报演讲（一般占用半节课时间），由所有同学提问、答辩。这种方法目的在于引导学生能科学地分析问题和解决问题，充分锻炼学生自主学习与钻研的能力、撰写科学研究报告的能力、口头表达能力、以及团队合作与沟通能力等。

（2）具体实施方法举例

5.基于问题的互动教学举例。

例如，在学习了解方程组的高斯消元法以后，进入算法的矩阵形式研究之前，提问“Hey hasn’t GE given me enough headache? Why do I have to know its matrix form??!”（嘿！高斯消元法还不够我头痛的吗？为什么我还需要知道它

的矩阵形式？？！），通过讨论使学生理解矩阵形式在解决某一类问题中的重要性。

又如，在讲解完单个方程求根的不动点迭带算法后，进入求解线性方程组的迭带算法之前，提问“What to analyze？”（该分析什么？），引导学生举一反三，将单方程求根的整套方法大胆地推广到高维空间，猜想解决方程组问题的大致思路，然后再进入小心求证阶段。这样使得学生对整个问题域有全局观，不会迷失在数学严谨的推导细节里。

6.基于拓展性课题的研究性学习举例。

课程组教师每学期都布置18道拓展性课题，这些题目有些是课堂内容的延伸（例如在讲解了方程求根的牛顿法以后，让学生自学讲解割线法，并与牛顿法比较优劣），有些是综合应用学过的算法解决问题（例如在学习了各种曲线的插值和拟合算法后，自行选用合适的方法编程绘制出一个给定物体的复杂轮廓线——例如一头红牛），有些内容则超出了教材范围（例如刚性微分方程的解法）。

课堂报告由学生事先准备好ppt，教师当场随机抽取小组的一名成员代表小组进行报告，并由教师和其他各组同学共同打分。打分标准包括：报告的正确性（Presentation Correctness）、报告的清晰性（Presentation Clearness）。（3）教学方法特点分析

本课程教学内容比较偏重技术与方法，但强调技术在问题求解中的应用，因此课程教学中选用了研究性学习导向的教学方法，主要特点有：

1.以团队方式形成学习组织。将班级学生分组，在课堂上实行以组为单位的分

组讨论，课后进行基于团队合作的研究与实践；课程考核内容也分个人考核和小组考核（小组成员分数一样）。小组考核主要包括课堂讨论和大作业课