数列通项公式求法大全

最全的数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

1

11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)

例1．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2

1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

{}n b 的通项公式。

三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

四、累加（乘）法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

例5. 在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*

N n ∈），求通项n a 。

五、取倒（对）数法

a 、r

n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解

b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,11-n n a a 先求出.,1

n n

a a 再求得 c 、)

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=+n a a a n n

n 求.n a

例7 设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

变式:

1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝3

2

，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－

求数列｛a n ｝的通项公式； 2、若数列的递推公式为1111

3,

2()n n

a n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。 3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。 4、已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+⋅=

--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =

2

2+n n

a a n ∈N +，求通项a n ．

六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.

七、待定系数法：

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=

1

-p q

，从而得等比数列{a n +k}。 例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =2

1

a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

练习、1数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．

2、递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1+n q ，得111+⋅=++n

n

n n q a q p q a ，令n n n

q a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．

、

例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a ．

3、形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例11:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

4、形如2

1n n a pa an bn c +=+++)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令