第11章 联立方程模型
联立方程模型
方程可识别的充要条件指的是该方程不包含而为其他方程所包含的变量（包括内生变量和前定变量）的系数矩阵的秩等于G-1，即：
其中， 表示不出现在被考察方程内，而出现在其他方程内的所有变量的系数矩阵，称为识别矩阵，R为求秩符号。
秩的计算：
利用矩阵的初等行变换将一个矩阵A化成阶梯形矩阵，然后计算矩阵的秩。
2.技术方程
技术方程是指类似于投入多少原料、资金，使之产出多少产品这种技术性关系，也可以称为工艺关系。例如，生产函数是劳动力、资金等因素的投入与产品生产量之间的工艺技术关系。在实际应用中，技术方程一般都是行为方程。
3.制度方程
制度方程指的是法律、制度、政策等制度规定的经济变量之间的函数关系。例如，税收方程等。
在不同的教科书中，给出了三种识别的定义：
如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不可识别。
如果联立方程模型中某些方程的线性组合可以构成与某个方程相同的统计形式，则称该方程不可识别。
根据参数关系体系，在已知简化式模型参数估计值时，如果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确定的结构参数估计值，则称该方程不可识别。
这两个方程有什么关系？当经济增长、物价水平和货币供给量的样本数据都是既定的，两个方程可以同时估计吗？
迄今为止我们讨论的都是单一方程计量经济模型，但是有的经济问题的计量，需要运用联立方程模型。
第十一章联立方程模型及其估计
第一节联立方程模型概述
一、联立方程模型的概念
单方程计量经济学模型，是用单一方程描述某一经济变量与影响该变量变化的诸因素之间的因果关系。所以，它适用于单一经济现象的研究，揭示其中的单向因果关系。
如果模型中结构方程的个数等于内生变量的个数，那么在数学上才是完备的，这种模型叫做完备模型。
联立方程模型(计量经济学课件南京农业大学-周曙东)
能够处理内生性问题，提高估计的准确性。
缺点
需要满足一定的假设条件，如误差项与解释变量无关 等。
三阶段最小二乘法
原理
在两阶段最小二乘法的基础上，引入第三个 方程来修正第二阶段的估计偏误。
优点
进一步提高了估计的准确性。
缺点
计算复杂度增加，需要满足更多的假设条件。
PART 04
联立方程模型的检验
REPORTING
研究劳动力市场供需关系，解释工资水平、就业率等
经济现象。
02 考虑劳动力市场的竞争性和供需双方的相互作用。
03
通过联立方程模型，可以分析劳动力市场的动态变化
，为政策制定提供依据。
货币市场模型
01
02
03
研究货币供应和需求之 间的关系，解释利率水 平、货币价值等经济现
象。
考虑货币市场的供求因 素和中央银行的货币政
01
联立方程模型能够综合考虑多个经济变量之间的关系，提供 更全面的经济分析。
02
通过联立方程模型，可以更好地理解经济系统的内在机制和 动态变化。
03
联立方程模型还可以用于预测和政策分析，帮助决策者制定 更加科学和有效的经济政策。
联立方程模型的应用场景
宏观经济分析
联立方程模型可以用于分析宏观 经济变量之间的关系，例如国内 生产总值、通货膨胀率、利率等。
联立方程模型的优势与局限性
• 可以更好地处理经济系统的动态性和非线 性关系。
联立方程模型的优势与局限性
01
模型设定和识别问 题
联立方程模型的设定和识别具有 一定的主观性和难度，容易产生 模型误设和识别错误。
计算复杂性
02
03
数据要求高
第11章 联立方程模型的估计方法
• 估计结果显示
Dependent Variable: CC Method: Two-Stage Least Squares Date: 04/11/03 Time: 22:06 Sample(adjusted): 1979 1996 Included observations: 18 after adjusting endpoints Instrument list: C G CC1 Variable C Y CC1 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression F-statistic Prob(F-statistic) Coefficient 164.8004 0.317539 0.391935 0.999435 0.999360 228.3835 13200.10 0.000000 Std. Error 95.45182 0.032376 0.087514 t-Statistic 1.726529 9.807786 4.478510 Prob. 0.1048 0.0000 0.0004 9875.667 9026.792 782385.2 2.015655
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid Durbin-Watson stat
⒋用间接最小二乘法估计消费方程
Ct 10 11Ct 1 12 Gt 1t Yt 20 21Ct 1 22 Gt 2 t
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
第11章 联立方程模型教案资料
The Identification Problem
Suppose we know the reduced form of a system of equations. Is this sufficient to allow us to discern the value of the parameters in the original set of structural equation?
SEM: structural model
Considering following supply-demand system
– Supply:
QtS=a1+a2Pt+et
– Demand: QtD=b1+b2Pt+b3Yt+ut
– Equilibrium: QtS=QtD
The model is often called a structural model
Supply: QtS=a1+a2Pt+a3Pt-1+et Demand: QtD=b1+b2Pt+b3Yt+ut Equilibrium: QtS=QtD
Simultaneous-Equation Model
We can see the endogeneity of the Pt and Qt variables graphically in the figure.
Considering a supply-demand models, in which the price of a products is simultaneously determined by the interaction of producers and consumers in a market.
第11讲 联立方程模型
μ1T μ2T 0
2. 简化模型 (Reduced-Form Model)
• 把内生变量表示为前定变量与随机误差项的函数的模型。 • 简化式模型并不反映经济系统中变量之间的直接关系，并不 是经济系统的客观描述。它反映预定变量对内生变量的直接 和间接影响的总和，即总影响。 • 每个简化式方程的参数称为简化式参数。 • 由于简化式模型中作为解释变量的变量中没有内生变量，故 可以采用OLS估计每个简化式方程的参数。
• 模型的分类（2种）
• 模型的识别（阶条件，秩条件）
• 模型的估计（工具变量法，二段最小二乘法）
The Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1980 "for the creation of econometric models and the application to the analysis of economic fluctuations and economic policies"
• 联立方程模型的研究对象：经济系统，而不是单个经济活动
• 相互依存、互为因果，而不是单向因果关系 • 必须用一组方程才能描述清楚
（第2版236页） （第3版203页）
例：在均衡价格模型中，均衡数量和价格由供、求双方决定。 设:粮食需求量D由消费者的收入水平Y和商品价格P决定，
供给量S由价格P和气候条件W决定，
1 1 1 1 X Yt 1 Y0 Y1 YT 1 Gt G1 G2 GT
1 μ11 2 μ21 0 0
μ12 μ22 0
第十一章：联立方程模型
[计量经济学讲义] 第十一章：联立方程模型前面十章讨论的是单一方程模型，用一个方程描述一个经济变量与引起这个变量变化的各个因素之间的关系。
解释变量X 是因变量Y 的原因，其因果关系是单向的。
然而，经济现象是复杂的，因果关系可能是双向的，或者一果多因，或者一因多果。
这时用一个单一方程很难完整地表达，需要用多个相互联系的方程，才能正确反映复杂的现实经济系统状况。
§1 联立方程模型的基本概念一、联立方程模型的例子例1：（农产品供需模型）t D =1α+2αt P +3αt Y +t u 1 （1.1）t S =1β+2βt P +3βt R +t u 2 （1.2）t D =t S （1.3）例2：小型国民经济宏观模型假定该经济是封闭的。
t C =1α+2αt Y +3α1－t C +t u 1 （2.1） t I =1β+2β(t Y -1-t Y )+3β1-t Y +4β4-t R +t u 2 （2.2） t R =1γ+2γt Y ＋3γ (t Y -1-t Y )+4γ(t M -1-t M )+5γ(1-t R +2-t R )+t u 3 （2.3） t Y =t C +t I +t G （2.4）二、联立方程模型的变量和方程式（1）内生变量：由模型系统内决定，其值大小由方程组的联立解得到。
一般而言，内生变量既影响所在系统，又受所在系统影响。
它是具有某种概率分布的随机变量，并且与随机扰动项相关。
设t Y 是内生变量，t u 是随机扰动项，则有Cov(t Y ，t u )≠0（2）外生变量：由模型系统外部决定，其值大小由系统之外的因素决定。
联立方程模型中，外生变量是非随机变量，与随机扰动项不相关。
设t X 是外生变量，t u 是随机扰动项，则有Cov(t X ，t u )=0（3）前定变量；包括外生变量和滞后内生变量。
联立方程模型中，前定变量与随机扰动项不相关。
设s t Y －是外生变量，t u 是随机扰动项，则有Cov(s t Y －，t u )=02、方程式对联立方程模型中的方程，可以有以下两种分类：按模型对象的行为方式、性质等，可以分为行为方程、技术方程、制度方程和恒等式等。
联立方程模型
第十一章 联立方程模型单一方程模型：描述某一经济变量与影响该变量变化的诸因素之间的数量关系，即描述经济变量之间的单向因果关系。
联立方程模型：就是由两个或两个以上的相互联系的单一方程组成的方程组。
第一节 联立方程模型的基本概念一、联立方程模型及其设定从经济意义上看，联立方程模型主要反映了模型对象的经济行为以及经济行为的外部环境、市场均衡条件。
例子1，⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩Q =b +b P+b R+μs 202Q =b +b P+b Y+μd 1011121Q =Q s d1222………(1.1.1)式中，Q d 表需求量，Qs 表供给量,P 表价格,Y 表消费者收入,R 表气候条件。
(11.1)式是反映某农产品的市场局部均衡模型。
例子2，小型国民经济宏观模型⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩C =b +b Y +b C +μt t 101112t-11tR =b +b Y +b (Y -Y )+b (M -M )t t t 303132t-133t-1+b (R -R )+μ34t-1t-23Y =C +I +G t t t I =b +b (Y -Y )+b Y +b R +μt t 2021t-122t-1t 23t-t t12…………………………………………………………………(11.2)例子3，在一个由国民收入Y 、消费C 、投资I 、政府支出G 等变量构成的简单的宏观经济系统中，对这些变量之间的关系用经济数学模型来进行描述。
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩I =b +b Y +b Y +u t t 012t C =a +a Y +u t t 011tY =C +I +G t t t t-12t …… (11.3) 式(11.3)中，内生变量包括：国民收入Y 、消费C 、投资I ；外生变量包括：前期国民收入Y t-1和政府支出G 。
消费函数和投资函数为随机方程式，而收入函数为非随机方程式。
二、联立方程模型的变量和方程式1.变量(1)内生变量：是受模型系统中其他变量的影响，也可能影响其他变量。
第11章 联立方程模型
11.2 联立方程的偏误：OLS估计量的非一致性
假设暂时忽略消费支出和收入之间的联立性，利用普通最小二 乘法仅仅估计消费函数(11.1)式。
Yt C t I t (B0 B1Yt t ) I t B0 B1Yt t I t 把（ 11.1 ）式中的C t 带入
ˆ ˆ1 ˆ2 It ˆ 3Gt Y t
ˆ w Yt Y t t
第二阶段
2-24
11.8 2SLS：一个数字例子 第一阶段回归
第二阶段回归
OLS回归
2-25
2-2
一、联立方程模型的性质
（二）联立方程模型的基本概念
1.联立方程模型：由多个方程所组成的模型。 Y1i=β10 + β12Y2i + γ11X1i+ u1i Y2i=β20 + β22Y1i + γ21X1i+ u2i 2.内生变量与外生变量 内生变量是模型中本身决定的变量，也就是说它的取值 是模型系统内决定的。 外生变量不是由模型系统内决定的变量，也就是说它 的取值是由模型系统外部决定的。 注意：一个变量是内生变量还是外生变量，由经济理 论和经济意义决定，不是从数学形式决定。 2-3
2-23
11.7 过度识别方程的估计：两阶段最小二乘法
为了说明两阶段最小二乘法，考虑如下模型： 收入函数： 货币供给函数： M B B Y u t 1 2 t 2t
Yt A1 A2 M t A3 I t A4Gt u1t
第一阶段
Yt 1 2 I t 3Gt wt
2-5
二、联立方程模型举例
（一）需求与供给模型 （二）凯恩斯收入决定模型
（三）工资—价格模型
11.2联立方程的偏误
11.5 模型识别问题
2-10
图11-2 供需函数与识别问题
11.5 模型识别问题
不可识别
A1 A2 Pt u1t B1 B2 Pt u2t
恰度识别 过度识别 A1 A2 Pt A3 X t u1t B1 B2 Pt u2t
2-11
11.6 识别规则：识别的阶条件
（11.3） （11.4） （11.5）
2-4
11.1 联立方程模型的性质
2-5
图11-1 价格和需求量的相互依赖
11.2 联立方程的偏误：OLS估计量的非一致性
假设暂时忽略消费支出和收入之间的联立性，利用普通最小二 乘法仅仅估计消费函数(11.1)式。
Yt Ct I t
(B0 B1Yt t ) It B0 B1Yt t It
例11.1 凯恩斯收入决定模型 简单凯恩斯收入决定模型包括以下两个方程：
消费函数： Ct B1 B2Yt ut 收入恒等式： Yt Ct It
（11.1） （11.2）
2-3
11.1 联立方程模型的性质
例11.2 需求和供给模型 需求函数： Qtd A1 A2 Pt u1t 供给函数： Qts B1 B2 Pt u2t 均衡条件：Qtd Qts
把（11.1）式中的Ct 带入
Ct
B1 1 B2
B2 1 B2
It
1
1 B2
ut
2-6
11.3 间接最小二乘法
把方程（11.8）重写为，
Ct A1 A2 I t vt
（11.9）
B1
A1 1 A2
（11.10）
古扎拉蒂计量经济学第四版讲义Ch11 Simultaneous Equations
= β2 +
( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ Yt −Y
Yt − Y
εt
2
←
Yt − Y
Yt − Y = 0,
Yt
Yt − Y
2
=1
Yt − Y
对上式两边取期望
(( )) ∑∑ E
(b2
)
=
β2
+
E
Yt − Y
εt
Yt − Y 2
很遗憾，我们不能评估上式右端的第二项，因为 the expectations operator is a linear operator，
/
n
2
Yt − Y / n
{ } ( ) ∑ plim
= β2 +
Yt
−Y
ε
t
/
n
2
{ } ( ) ∑ p lim Yt −Y / n
注意上式右端第二项分子分母同除以了 n，因此分子大括号里的表达式是 Y 和 ε 的样本协方
差，而分母是 Y 的样本方差。 而在 n 趋于无穷的情况下，样本协方差将近似于总体协方差，样本方程将近似于总体方差， 所以
因此，古典假定被违背。
例 3：Wage-Price models 考虑以下的 Phillips-type model of money-wage and price determination：
i
i
W t = α1 + α2UNt + α3 Pt + ε1t
i
i
i
i
Pt = β1 + β2 W t + β3 Rt + β4 M t + ε 2t
第十一章 联立方程组模型Word免费范文精选
第十一章第一节第二节第三节第四节联立方程组模型联立方程组模型及其偏倚联立方程组模型的识别联立方程组模型的估计案例分析第一节联立方程组模型及其偏倚一、联立方程组模型的性质二、联立方程组模型中变量的类型三、联立方程组模型的偏倚性四、联立方程组模型的种类一、联立方程组模型的性质联立方程组模型：指用若干个相互关联的单一方程，同时去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型，即用一个联立方程组去表现多个变量间互为因果的联立关系。
也称为联立方程模型。
例：模型Ⅰ(商品需求与价格) Qt 0 1 Pt 2 X t u1t * P Q P 0 1 t 2 tu2 t t Qt: 需求量 Pt: 价格 * P X t: 消费者收入水平 t : 代用品价格3 例：模型Ⅱ(简化的凯恩斯宏观经济模型) C t 0 1Yt u1t I t 0 1Yt 2Yt 1 u2 t Y C I G t t t tCt: 消费 I t: 投资 Yt: 国民收入 Gt: 政府支出说明：联立方程组模型中的方程随机方程(行为方程式):含有随机扰动项和未知参数的非确定性方程；定义方程式：不含随机扰动项和未知参数的确定性方程。
4二、联立方程组模型中变量的类型1.内生变量：由模型体现的经济系统本身所决定；受模型中其他变量的影响，是某个方程式中的被解释变量；一般受随机扰动项的影响而成为随机变量。
2.外生变量：在模型体现的经济系统之外给定；不受模型中其他变量的影响，在某个方程式中充当解释变量；在模型中是非随机的。
53.滞后内生变量：代表内生变量滞后值的变量。
虽然内生变量是由模型系统内决定的，但滞后内生变量不受现期的模型系统决定。
4.前定变量：包括外生变量和滞后内生变量。
模型Ⅰ Qt 0 1 Pt 2 X t u1t * P Q P 0 1 t 2 t u2 t t 模型Ⅱ C t 0 1Yt u1t I t 0 1Yt 2Yt 1 u2 t Y C I G tt t t小练习判断下述模型中的内生变量、外生变量、前定变量。
第十一章联立方程组模型
第十一章联立方程组模型
3.递归型模型
递归型模型：第一个方程中解释变量只包含前定变 量；第二个方程中解释变量只包含前定变量和前 一 个方程中的内生变量；第三个方程中解释变量只包 括前定变量和前两个方程的内生变量；依此类推， 最后一个方程内生变量Y m 可以表示成前定变量
C t 1 2Yt - 3Tt u1t I t 1 2Yt - 3Yt -1 u 2t Tt 1 2Yt u3t
第十一章联立方程组模型
可以矩阵表示为：
1 -1
-b 12C Ytt+-0 b1
-01I1t=u0t
即 B Y+Γ X=u B=-11
-β2
1
Γ=-0β1
0 -1
其中:
Y=CYtt
1
X=It
u=u0t
第十一章联立方程组模型
结构型模型的特点
1. 描述了经济变量之间的结构关系，在结构方程的右端 可能出现其它的内生变量
⒈ 研究对象
• 经济系统，而不是单个经济活动 • 相互依存、互为因果，而不是单向因
果关系 • 必须用一组方程才能描述清楚
第十一章联立方程组模型
⒉一个简单的宏观经济系统
政府支出G由系统外部给定，其他内生。
C Itt
0 1Yt 0 1Yt
1t 2Yt1
2t
Yt Ct It Gt
第十一章联立方程组模型
第十一章 联立方程组模型
第十一章联立方程组模型
4. 解释变量可能与随机扰动项相关，违反OLS基本假定。
如将(11.1)式代入(11.2)式:
Pt01Pt*2(01Pt2Ytut)vt
第11章 联立方程模型
Simultaneous-Equation Model
SEM consists of a series of equations with each equation serving to explain one variable which is determined in the model. Consider a threeequation supply-demand model described as follows:
The Identification Problem
Suppose we know the reduced form of a system of equations. Is this sufficient to allow us to discern the value of the parameters in the original set of structural equation?
The reduced form
Pt 11 + 12Yt + 13Tt + v1t ,
11
b1 a2
a1 b2
, 12
b2 a2 b2
, 13
a3 a2 b2
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A structural model contains endogenous variables
பைடு நூலகம்
on the left-hand side(LHS) and contains
endogeneous as well as predetermined variables
on the RHS.
SEM: reduced model
Supply: QtS=a1+a2Pt+a3Pt-1+et Demand: QtD=b1+b2Pt+b3Yt+ut Equilibrium: QtS=QtD
Simultaneous-Equation Model
The supply equation, demand equation, and equilibrium condition determine the market price and the quantity supplied (and demanded) when the market is in equilibrium.
If we solve the structural model for each of the endogenous variables as a function solely of the predetermined variables in the model. Then, the transformed model is called reduced form model.
– Supply:
QtS=a1+a2Pt+et
– Demand: QtD=b1+b2Pt+b3Yt+ut
– Equilibrium: QtS=QtD
The model is often called a structural model
because its form is given by the underlying theory.
Simultaneous-Equation Model
SEM consists of a series of equations with each equation serving to explain one variable which is determined in the model. Consider a threeequation supply-demand model described as follows:
第11章 联立方程模型
Introduction to simultaneous-equation model
Content
Introduction to simultaneous-equation systems
The indentification problem Indirect least-squares estimation (ILS) Two-stage least squares (2SLS)
For this reason, the variables QtD, QtS, and Pt are often called endogenous variables; they are determined within the system of equations.
The model also contains two variables whose values are not determined directly within the system, which is often called predetermined variables. Pt-1 and Yt are both predetermined variables in the model.
Simultaneous-Equation Model
We can see the endogeneity of the Pt and Qt variables graphically in the figure.
SEM: structural model
Considering following supply-demand system
The Pt-1 is determined within the system-by past values of the variables, thus, lagged endogenous variables are predetermined variables. The variable Yt is determined completely outside the model and is called an exogenous variable.
Introduction to simultaneous-equation systems
So far, we concerned ourselves primarily with single-equation models. In this chapter we turn our attention to models consisting of several equations, in which the behavior of the variables is jointly determined.
Considering a supply-demand models, in which the price of a products is simultaneously determined by the interaction of producers and consumers in a market.
Simultaneous-Equation Model
Because Pt and Qt are endogenous, applying ordinary least squares to the estimation of the supply (or the demand) equation will generate biased and inconsistent estimators.