高等代数第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数

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高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.2

与的和，记为；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即
V ,k P ,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k 与的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
f ( x ), g ( x ), h ( x ) P [ x ], k,l P
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ，在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V ，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设有两个负元素 β 、γ ，则有
0, 0
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
例1 例2
引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间．数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添
上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
P [ x ]n { f ( x ) a n 1 x
k a a
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .

高等代数北大版线性空间

引入我们懂得，在数域P上旳n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一种向量有唯一拟定旳坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量旳
坐标是P上旳n元数组，所以属于Pn.
这么一来，取定了V旳一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一种向量，令在这组基下旳坐标 (a1,a2 , ,an ) 与相应，就得到V到Pn旳一种单射 : V P n , (a1,a2 , ,an )
2）证明：复数域C看成R上旳线性空间与W同构，
并写出一种同构映射.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
及线性有关性，而且同构映射把子空间映成子空间.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
3、两个同构映射旳乘积还是同构映射.
证：设：V V , :V V 为线性空间旳同构
映射，则乘积是 V到V 旳1－1相应. 任取， V , k P, 有
第六章线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换小结与习题
2023/12/29
§6.8 线性空间旳同构
一、同构映射旳定义二、同构旳有关结论
2023/12/29§6.8 线性空间旳
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合旳成果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.

高等代数.第六章.线性空间.课堂笔记

线性相关
α1 , α2 , … , α�� 线性无关 *.�� = �� ⇐ { ��1 , ��2 , … , �� 线性无关向量组等价 (4)向量组α1 , α2 , … , α�� 线性无关，α1 , α2 , … , α�� , ��线性相关，则��可由α1 , α2 , … , α�� 线性表出. 二、线性空间的维数、基与坐标： 1.维数：定义 5 ①如果在线性空间�� 中有n个线性无关的向量，但任意n + 1个向量线性相关，定义�� 是一个n维线性空间，记�� (V) = ��. ②无限维线性空间； ③零空间维数为 0. 2.基与坐标：定义 6 ①基：线性空间�� ，�� (V) = ��，n个线性无关的向量组��1 , ��2 , … , �� 称为�� 的一组基； ②坐标：设��1 , ��2 , … , �� 称为�� 的一组基，α ∈ V，若α = ��1 ��1 + ��2 ��2 + ⋯ + �� ，��1 , ��2 , … , �� ∈ ��，则数组��1 , ��2 , … , �� 就称为α在基��1 , ��2 , … , �� 下的坐标，记为：(��1 , ��2 , … , �� ).

高等代数考研复习[线性空间]

1.2 常用线性空间
n P (1)n维向量空间： {(a1, a2,
, an ) | ai , P}
Pn 空间的基 1, 2 , , n 其中 i (0
n dim P n. 空间维数 P
1
i
0)
n
nm P (2)矩阵空间： Anm | A (aij ), aij P.
3 1 1 3 3 0 1 1 F1 , F2 , F3 , F4 . 1 1 1 1 2 1 0 2
(1)求由 F1, F2 , F3 , F4到 E11, E12 , E21, E22 的过渡矩阵.
1 线性空间概念、基维数与坐标
1.1
线性空间的定义：设V是一个非空集合，P是一个数域.在V的元素之间定义了两种运算：加法与数乘，并且两种运算满足8条性质.则称集合V是数域P上的线性空间. 简单地说：带有线性运算的集合，同时运算满足8条性质的集合称为线性空间. 线性空间中的元素称为向量，线性空间也称为向量空间.
y1 y 2 A . yn
(1 , 2 ,
y1 y , n ) 2 , yn
那么，
x1 x 2 xn
题型分析：1)确定空间的基与维数
nn V { A | A A , A P }, 求V的基与维数. 例1 设
过渡矩阵都是可逆的！并且由 1, 2 , , n 到
1 坐标变换：设 1, 2 , , n 与 1, 2 , , n 都是
n维空间V的基，对V中任一向量，有
x1 x , n ) 2 ( 1 , 2 , xn

高等代数第6章线性空间

1集合映射映射2线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质3维数基与坐标基与坐标4基变换与坐标变换基变换与坐标变换5线性子空间线性子空间6子空间的交与和子空间的交与和7子空间的直和子空间的直和8线性空间的同构第第6章章线性空间1集合映射一集合?集合的定义
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空间
集合· 映射线性空间的定义与简单性质维数· 基与坐标基变换与坐标变换线性子空间子空间的交与和子空间的直和线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。组成集合的东西叫元素，用小写英文字母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全体组成的集合对于函数的加法和数与函数的乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是一组基。用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,

高等代数第六章线性空间小结太原理工大学

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本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；
难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.
本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判内容及其内在联系可用下图来说明：线性空间
④ dim(W)=∑dim(Vi) .
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3. 同构映射的基本性质：
(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；
(2) 同构映射把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；
(4) 数域P上两个有限维线性空间同构<＝>它们有相同的维数，因而，数域P上的每一个n维线性空间都与n元数组所成的线性空间Pn同构.
线性空间小结
线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性.
一、线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；
(2) (–1)α=-α，kα=0<＝>k=0，或α=0
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(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量
α1,α2,…,αn，且V 中任意向量都可由它线性表示，则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是V的一个基.
(4) 设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间V的两个基，A是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量α在这两个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为.

高等数学第6章课件§3 维数·基与坐标

（1）单个向量 α 线性相关
⇔ α = 0. 单个向量 α 线性无关 ⇔ α ≠ 0
α1 ,α 2 ,⋯,α r 向量组线性相关
⇔ α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
§6.3 维数基坐标
α1 ,α 2 ,⋯,α r （2）若向量组线性无关，且可被
α 在基 ε1, ε 2 ,⋯, ε n a1 , a2 ,⋯, an 则数组，就称为
下的坐标，记为 ( a1 , a2 ,⋯ , an ).
§6.3 维数基坐标
⎛ a1 ⎞ ⎜a ⎟ 2 有时也形式地记作 α = (ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ an ⎠
α1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出，且表法是唯一的．
§6.3 维数基坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，则称 V 是无限维线性空间．例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无限维的. 因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量 1，x，x2，…，xn－1
可经向量组为等价的．（3） α1 ,α 2 ,⋯, α r ∈ V ，若存在不全为零的数
α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组
k1 , k2 ,⋯, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r = 0
α1,α 2 ,⋯, α r 线性相关的；则称向量组为
§6.3 维数基坐标
α1 ,α 2 ,⋯ ,α r不是线性相关的，即（4）如果向量组

高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间

第六章线性空间第一节映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0．因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节线性子空间1. (1),(2)是nF 的子空间，(3)不是nF 的子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证必要性显然；充分性设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。

高等代数北大版教案-第6章线性空间

, V,有
；
2、加法结合律
, , V ,有(
)
( )；
3、存在“零元” , 即存在 0 V , 使得
V ,0
；
4、存在负元 , 即
V , 存在 V , 使得
0；
5、 “1 律” 1 6、数乘结合律
； k, l K ,
V , 都有 (kl )
k(l ) l (k ) ；
7、分配律 k, l K , V , 都有 ( k l ) k l ；
a1 1 a 2 2
an n , 于是我们称
a1 ,a2 , , an 为在基 1, 2 , , n 下的坐标 .
易见 , 在某组基下的坐标与 V/K 中的向量是一一对应的关系 .
·６５·
§4 基变换与坐标变换一授课内容 : § 4 基变换与坐标变换二教学目的 : 通过本节的学习 , 掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算 ,
等价 :
1) 1, 2, , n 线性无关；
2)V 中任一向量可被 1, 2 , , n 线性表出 .
定义 4.10 ( 向量的坐标 ) 设 V为 K上的 n 维线性空间 , 1, 2 , , n 是它
的一组基 . 任给 V , 由命题 4.4, 可唯一表示为 1, 2 , , n 的线性组合 ,
即 ! ai K , (i 1,2, , n) , 使得
事实上 , 最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状 :
a11 a12
a1m
a21 a22
a2m
an1 an 2
a nm
分别先按行和列求和 , 再求总和即可 .
§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容： § 2 线性空间的定义与简单性质二教学目的：通过本节的学习 , 掌握线性空间的定义与简单性质 . 三教学重点：线性空间的定义与简单性质 . 四教学难点：线性空间的定义与简单性质 . 五教学过程：

湖州师范学院高等代数第六章线性空间

① 若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且
（σ－1）－1＝σ．
② : M M ' 为可逆映射，a M，若 (a) a',
则有 1(a) a.
③ σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．证：若映射 : M M ' 为1—1对应，则对 y M '
均存在唯一的 x M ，使σ(x)＝y，作对应
注意：｛φ｝≠φ
2、集合间的关系
约定：空集是任意集合的子集合.
☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B A ，（读作B包含于A）
B A当且仅当 x B x A
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B .
A＝B当且仅当 A B且 B A
3、集合间的运算
交：A I B {x x A且x B} ；并：A U B {x x A或x B} 显然有，A I B A; A A U B
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
M＝｛a1，a2，…，an｝
例1 M {( x, y) x2 y2 4, x, y R}
例2 N＝ {0,1,2,3,L L }， 2Z＝ {0,2,4,6,L L }
例3 M { x x2 1 0, x R} {1,1}
☆ 空集：不含任何元素的集合，记为φ．
注：
1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．

《高等代数》向量空间

例7
设 Amn (aij ), aij F
x1 x2 (1)把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n 显然 X F n。并记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}
证明 VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。 (2)记AX = β的解集为VA, {X F n | AX }, VA, 是否也是 F n的一个字空间？这里 F n , 0
注1：刚开始，步骤要完整.
例5
C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明：比照例3，给出完整步骤.
例6
（1）数域F是F上的向量空间.
（2）R是Q上的向量空间，R是否为C上的向量空间？
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 ---匿名者
向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构.
6. (a+b)B=a B +Bb
7. (ab)A=a(b)A
还有一个显而易见的：
8. 1A＝A
例2
设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可按照解析几何的
以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个
向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都

第六章线性空间

第六章线性空间一．内容概述（一）基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。

两种运算要封闭，八条公理要齐备。

V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、使V ∈+βα。

V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。

满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。

常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。

（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。

（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。

[]x F n 表F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。

（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。

当n m =时，记为()F M n m ⨯。

（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。

⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。

⑴基线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。

⑵维数一个基所含向量的个数，称为维数。

记为V dim 。

⑶坐标设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。

()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。

记为(n a a a ,,21 )。

⑷过渡矩阵设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。

高等代数线性空间课堂笔记

⊕ = ,
∀, ∈ V;
° = ,
∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℝ+ .
证：∀, ∈ ℝ+ , ∈ ℝ有° = , ⊕ = ∈ ℝ+ ，因此所定义的加法⊕、数乘°满足线性空间定义.
∀, ∈ ℝ+ , ⊕ = = = ⊕ ,
(1) α1 , α2 , … , α 线性无关；
(2)∀ ∈ , 可由α1 , α2 , … , α 线性表出.
则称为n维线性空间，α1 , α2 , … , α 称的一组基.
证：只需验证∀n + 1个向量线性相关。如果1 , 2 , … , , +1 线性无关，又可由α1 , α2 , … , α 线性表
②( + ) = + ;
③( ∙ ) = ∙ ( ∙ );
④1 ∙ = .
补例 2
用P × 表示数域P上所有 × 的矩阵集合，在第四章中我们定义了两种运算：
(1). P × 中矩阵加法，满足类似于P 中向量加法的四条性质;
(2). P中数与P × 中矩阵的数乘，满足类似于上面的四条性质.
定义 1 (P243 定义 1)
线性空间元素称为向量.
性质 1
性质 2
性质 3
性质 4
零元素是唯一的;
P244
负元素是唯一的;
P245
0 ∙ = , ∙ = , (−1) = −;
若 ∙ = ，则 = 0或 = .
P245
P245
二、用定义证明线性空间：
例 1.用ℝ+ 表示全体正实数的集合，证明ℝ+ 关于下面定义的加法与数乘运算构成ℝ的线性空间.
向量组等价：可以相互线性表出.

高等代数--第六章线性空间

f3(x) x
是否线性相关
f4(x) 5
以上定义是大家过去已经熟悉的，不仅
如此，在第三章中，从这些定义出发对n元
数组所作的那些论证也完全可以搬到数域F
上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论。
1.单个向量是线性相关的充分必要条件
是。两个以上的向量
线性相
关的充0分必要条件是其中有1一,个2 ,向,量r 是其余向量的线性组合。
2.如果向量组
线性无关，而且
可以被
线1,性2 ,表出,，r 那么
。
1
,
2
,,
s
rs
由此推出，两个等价的线性无关的向量
组，必定含有相同个数的向量。
3.如果向量组
1
,
2
,,
r
线性无关，但向
量组
1
,
2
,,
r
,
线性相关，那么
可以被
, ,, 线性表出，而且表法是唯一的。
12
r
对于n元数组所成的向量空间，有n个线性无关的向量，而任意n+1个向量都是线性相关的。在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性。我们引入
我们来证01=02。由于01、 02是零元素，所以 01+02 =01， 01+02 =02
于是 01=01 +02=02。这就证明了零元素的唯一性。
2.负元素是唯一的。
这就是说，适合条件 0的元素是被元素唯一决定的。假设有两个负元素与， 0, 0. 那么 0 ( ) ( ) 0 .
定义3 设 1,2 ,,r
(1)
1
,

高等代数§6

例4 求全体复数旳集合C看成复数域C上旳线性空间旳维数与一组基；
若把C看成是实数域R上旳线性空间呢？
解：复数域C上旳线性空间C是1维旳，数1就是它旳一组基；而实数域R上旳线性空间C为2维旳，数1，i 就为
它旳一组基．
注：任意数域P看成是它本身上旳线性空间是一维旳，
数1就是它旳一组基.
例5.求实数域R上旳线性空间V旳维数与一组基.这里
② 任意两组基向量是等价旳．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维旳，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 旳一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n旳一组基．
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关旳．其次，f (x) a0 a1x an1xn1 P[x]n f (x) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
1，x，x2，…，xn－1
下面主要讨论有限维线性空间 .
2 . 基坐标在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关旳向量
1, 2 , , n ，称为 V 旳一组基；
设 1,2, ,n 为线性空间 V 旳一组基， V , 若 a11 a2 2 an n , a1,a2 , ,an P
则数组 a1, a2, , an ，就称为在基1, 2, , n
（4）假如向量组 1,2, ,r不是线性有关旳，即
k11 k22 krr 0
只有在 k1 k2 kr 0 时才成立，
则称 1,2, ,r 为线性无关旳．
2、有关结论
（1）单个向量线性有关 0. 单个向量线性无关 0
向量组 1,2, ,r线性有关
1,2 , ,r 中有一种向量可经其他向量线性表出．

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任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．
T
例２所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
( 2) V中任一元素总可由 1 , 2 ,, n线性表示, 那末, 1 , 2 ,, n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为 n 维线性空间 , 记作Vn .
当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 V 是无限维的．
f ''(a ) (a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!
( n 1) T
若 1 , 2 ,, n为Vn的一个基, 则Vn可表示为
Vn x1 1 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
二、给定基下的坐标
定义２设 1 , 2 , , n是线性空间Vn的一个基 , 对
于任一元素 Vn , 总有且仅有一组有序数x1 , x 2 , , x n , 使
一、线性空间的基与维数
已知：在 R 中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
n
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n 个元素 1 , 2 ,, n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
即 E 11 , E 12 , E 21 , E 22线性无关.
对于任意二阶实矩阵 a 11 a 12 A V , a 21 a 22
有 A a 11 E 11 a 12 E 12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此 E 11 , E 12 , E 21 , E 22为V的一组基.
x1 1 x2 2 xn n ,
有序数组x1 , x2 , , xn 称为元素在 1 , 2 , , n 这个基下的坐标 , 并记作
T x1 , x2 ,, xn .
例1 在线性空间P[ x ]4中, p1 1, p 2 x , p 3 x 2 , p 4 x 3 , p 5 x 4 就是它的一个基 .
k1 k 2 , k 1 E 11 k 2 E 12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k4
因此 0 0 , k 1 E 11 k 2 E 12 k 3 E 21 k 4 E 22 O 0 0
k 1 k 2 k 3 k 3 0,