第六章线性空间自测练习
第6章 线性空间(解答题)(65题)
1．什么是线性空间?答:设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在V 中定义了一个加法运算,在P 和V 的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V 为P 上的一个线性空间(或称向量空间).1).+=+αββα；2).++=++αβγαβγ（）（）； 3).V 中有一个元素0，V α∀∈都有+0=αα，0称为V 的零元素； 4).V α∀∈，存在V β∈，使得+=0αβ，β称为α的负元素； 5).1=αα； 6).()()k l kl αα=； 7).()k l k l ααα+=+； 8).(+)=+k k k αβαβ；其中α，β，γ表示V 中的任意元素；k ，l 表示P 中的任意数．2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P 上的一个线性空间，V 能否再定义另外的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？ 答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合{(,)|,}V a b a b R =∈．1).定义(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k a b ka kb ⊕=++=，则V 成为R 上的一个线性空间 2).定义2(1)(,)(,)(,),(,)(,)k k a b c d a c b d ac k a b ka kb a z+⊕=+++=+，则V 成为R 上的另一个线性空间.3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？ 答：1）零元素是唯一的；2）α的负元素是唯一的；3）000k k αα=⇔==或；4）=αα--（）； 5）=k k k ααα-=--（）（）（）； 6）()k a b ka kb -=-；7）,V αβ∀∈，存在唯一的V γ∈，使得=αγβ+.证明：容易验证1）—3），4）因为+=0αα-（），所以α为（α-）的负元，即=αα--（）.5）()(()0,()()k k k k k k ααααα+-=+-=∴-=-.另一式子可类似证明.6）()(())()=()=k k k k k k k k αβαβαβαβαβ-=+-=+-+--. 7）(),+=αβαβγβααχβ+-=∴=-是方程的解.又若1γ也是+=αχβ的解，则1+=+αγαγ.两边左加α-，有1=γγ.所以方程+=αχβ在V 中有唯一解.4．判断一个非空集合M 不是线性空间有哪些基本方法？ 答：1）M 是至少含两个元的有限集；2）M 关于定义的某一运算不封闭； 3）M 不满足8条规则中的任一条.5．线性空间的例子.答：1）数域P 按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R 和复数域 C 按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.2）已知数域⊆P 数域P ，按照数的加法和乘法，P 构成P 上的线性空间.3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个 实线性空间.4）分量属于数域P 的全体n 元数组，对于n 元数组的加法与数乘构成P 上的一个线性 空间，记作nP .5）无穷实数列的全体：12={()|1,2}i I x x x i ∞∈=，，R ，，对于121211221212()()()=(),x x y y x y x y k x x kx x k R +=++∈，，，，，，，（，，），k ，构成一个实线性空间.6）n 元齐次线性方程组0x =A 的解向量的全体，对于n 维向量的加法和数乘构成P 上的线性空间（为nP 的子空间）.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.8）数域P 上全体n 阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.9）设m n ⨯∈A P，则全体与A 可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成m n⨯P的一个线性空间.10）数域P 上全体满足条件trA=0（trA 表示A 的迹，即A 的主对角线元素之和）的n 阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P 上的一个线性空间.11）数域P 上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作x P[].12）次数小于n 的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作n x P[].13）集合W={()|()(1)0}n f x f x x f ∈=R[]且对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R 上的线性空间.14）数域P 上形如352113521n n a x a x a x a x ++++++的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间.15）数域P 上多项式()g x 的倍式的全体：W={()|()|()}f x g x f x ，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间. 16）由0及数域P 上的m 元n 次多项式121211212(,)()m m m k k k m k k k m k k nf x x x a x xx k ++==∑，，为正整数的全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，其中12mk k k a P ∈.17）对于在区间[,]a b 上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.[,]a b 上的连续实函数全体为其子空间，记作[,]C a b .18）全体形如1122sin cos sin 2cos 2sin cos 2n n a a t b t a t b t a nt b nt +++++++的实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间：1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；2）非齐次线性方程组AX=b(b ≠0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P 上次数不低于定数n 的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；4）有理数域定义运算：,;2k k βαβ∂∂⊕=+∂= 5）设P 为有理数域，对整数集定义运算：1,k βαβ∂⊕=+-∂=∂.证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也 不是线性空间.3）因两个次数不低于n 的多项式之和的次数可能低于n ，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.4）因1(0)2∂∂=≠∂∂≠不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间.5）取3,1,k l ∂===则()3,k l +∂=而5k l ∂⊕∂=.故()k l +∂≠（k l ∂⊕∂），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？ 答:设V 是数域P 上的线性空间,且()1,,,1i a V i s s ∈=≥，如果存在一组不全为零的数()1,,i k P i s ∈=，使得()11220s s k a k a k a +++=， （1）那么称向量组1,,s a a 是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.注 ○1一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. ○21,,s a a 线性无关 ⇔（1）式仅当10s k k ===成立.8.设1,,n αα线性相关,是否对任意一组不全为零的1,,n k k 都有110n n k k αα++=？答:不一定，比如0α=是线性相关的，它对一切非零数k 都有0k α=.而()()1,0,2,0βγ==就不可能对一切非零数12,k k 使得120k k βγ+=.9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？ 答：设12,,,,m αααβ都是数域P 上的n 维向量，如果有P 中的m 个数1,,m k k ，使1122m m k k k βααα=+++，那么称β是12,,,m ααα的线性组合，或称β可以由12,,,m ααα线性表出（线性表示）.如果向量组12,,,r ααα中每个向量都可以由向量组12,,,s βββ线性表出，且12,,,s βββ中的每个向量都可以由12,,,r ααα线性表出，那么称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的.10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？ 答：是的.不难证明以下三条成立：1） 反身性：每一个向量组都与自身等价. 2） 对称性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价.3） 传递性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，那么12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价.11.向量的线性相关性有哪些主要性质？ 答：容易证明的有：1） 零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2） 单个非零向量是线性无关的. 3） 设向量组()12,,,2m m ααα≥，则它们线性相关⇔至少存在一个向量，它可以由其余向量线性表出.4） 向量组()I 中如果有部分向量线性相关，则()I 一定线性相关. 5） 向量组()I 线性无关，则()I 的任意一个部分组必线性无关. 6） 向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表出，则12,,,r ααα线性无关r s ⇔≤.7） 任意1n +个n 维向量必线性相关.8） 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.(){}12,,,|.n n i P c c c c P =∈()1,,,1,2,,n i i in a a P i mα=∈=，则12,,,m ααα线性相关'0A x ⇔=有非零解，其中()()'1,,ij m m n A a x x x ⨯==.7.设()()1,1,,,,,1,2,,n i i ik i k in a a a a P i m α+=∈=，令()1,,i ik βαα=()1,2,,i m =则 1）若12,,,m ααα线性相关⇒12,,,m βββ线性相关；2）若12,,,m ααα线性无关⇒12,,,m βββ线性无关.证：1）若存在不全为零的数1,,m l l ，使110m m l a l a ++=，则当然有110m m l l ββ++=.2）用反证法.若12,,,m ααα线性相关，则由1）知12,,,m βββ也线性相关，矛盾.13.如果12,,,m ααα线性无关，但12,,,,m αααβ线性相关，那么β可由12,,,m ααα线性表出，且表示法唯一.证：由假设存在一组不全为零的数11,,m k k +使1110m m m k k k ααβ++++=.若10m k +=，则由110m m k k αα++=，可证10m k k ===.这与假设矛盾，故10m k +≠，于是11m m l a l a β=++，其中1/,1,2,,i i m l k k i m +=-=.即β可由12,,,m ααα线性表出. 若1111m m m m l a l a s a s a β=++=++，则()()1110m mm l s ls αα-++-=.由12,,,m ααα线性无关，得()1,2,,i i l s i m ==，即表示法是唯一的.14.什么叫做极大线性无关组？ 答：如果向量组的一个部分组满足 1） 此部分组线性无关；2） 原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线性无关组.注：向量组与极大线性无关组是等价的.15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？答：一般不唯一.比如，()()()0,0,1,0,2,0αβγ===，则β是,,αβγ的极大线性无关组；γ也是,,αβγ的一个极大线性无关组.注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.○2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.16.什么叫做向量组的秩？ 答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.17.设V 是数域P 上的线性空间，1,,n αα，1,,s V ββ∈，且1,,n αα线性无关，()()11,,,,s n A ββαα=，其中(),i j i j n s A P αα⨯=∈，再设()1,,s A c c =，其中1,,s c c 为A 的n 维向量.若A k =秩，且1,,i ik c c 为()1,,s A c c =的一个极大线性无关组，则1）由（1）式知()12,,,,1,2,,i n i c i s βααα==. （2）○1先证1,,i ik ββ线性无关.设110i k ik l l ββ++=，那么110i k ik l l ββ=++()()112112,,,,,,n i k n ikl c l c αααααα=++()()1211,,,,,.n i k ik l c l c ααα= （3）因为12,,,n ααα线性无关，由（3）知11,,0i k ik l c l c = （4） 在nP 中，1,,i ik c c 线性无关，由（4）知10k l l ===.○2其次，再任取{}12,,,s ββββ∈，那么i c 可由1,,i ik c c 线性表出，即11i i k ik c m c m c =++，于是()12,,,i n i c βααα= ()()1211,,,n i k ik m c m c ααα=++()()112112,,,,,,n i k n ik m c m c αααααα=++11i k ik m m ββ=++.综合○1、○2，即知1,,i ik ββ为1,,s ββ的一个极大线性无关组.2）由1）即得{}1,,=s k A ββ=秩秩.注：这解决了求抽象线性空间V 的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求nP 中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.设()4321642f x x x x x =++-+，()422234f x x x x =++-，()4323491622f x x x x x =+--+，()43473f x x x x =+-+，求()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x 的极大线性无关组.解：把()i f x 都看成[]5P x 中元素，取[]5P x 中一组基2341,,,,x x x x ，那么()()234123461174041,,,1,,,,12901316124223f f f f x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令123461174041,,,,12901316124223C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求出1234,,,C C C C 的一个极大线性无关组为234,,C C C .于是（1）式中相应的()()()234,,f x f x f x 为()()()()1234,,,f x f x f x f x 的一个极大线性无关组.19.设1103301121,,,,24127142056A B C D F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为线性空间22R ⨯的一组基，那么()()111221221031213011,,,,,,,.21725421406A B C D F E E E E ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而1031213011321725421406⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩，所以向量组,,,,A B C D F 的秩等于3. 20.设1,,s αα的秩为r ，1,,r i i αα是1,,s αα中r 个向量，使得1,,s αα中每个向量都可被它们线性表出，则1,,ri iαα是1,,s αα的一个极大线性无关组.证：由假设可知1,,s αα可由1,,r i i αα线性表出，但1,,r i i αα可由1,,s αα线性表出是显然的，从而彼此等价.那么{}{}11,,=,,=r i i s r αααα秩秩.1,,r i i αα∴线性无关.21.如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩.证：当向量组()II 的秩为无穷时，结论显然成立.当()II m =秩时，由假设()I 的极大线性无关组也可由()II 的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证()()I II m ≤=秩秩. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.22.设12,,,n n P ααα∈，n 维标准单位向量()()11,0,,0,,0,0,,1n εε==可被它们线性表出，则12,,,n ααα线性无关.证：1,,n αα显然可被1,,n εε线性表出，又1,,n εε可被1,,n αα线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知()()11,,=,,=n n n ααεε秩秩.即知1,,n αα线性无关.注：○1这个命题的逆命题也是对的.○2在抽象的n 维线性空间V 中，此命题可改为：设1,,n ββ为V 的一组基，1,,r V αα∈且1,,n ββ可由1,,n αα线性表出，则1,,n αα也是V 的一组基.○3也可改述为：设1,,n αα是线性空间V 中的一组n 维向量，则1,,n αα线性无关⇔V 中任一n 维向量都可被它们线性表出.23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组. 证：设n 维向量组()I 中一个线性无关组()12II :,,,s ααα，如果()I 中每个向量可经()II 线性表出，则()II 为()I 的一个极大无关组.否则至少有一个向量()I α∈不能由()II 线性表出，将添到()II 中成为向量组()III ，则()III 中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于n ）后，向量组()II 即可扩充为()I α∈的一个极大无关组.24.设向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,,m αααβγ线性相关.证明：或者β与γ中至少有一个可由12,,,m ααα线性表出，或者12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.证：因12,,,,,m αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数12,,,,,m k k k b c 使110m m k k b c ααβγ++++=.显然，,b c 不全为零，否则与12,,,m ααα线性无关矛盾.当0,0b c ≠=时，β可由12,,,m ααα线性表出；当0,0b c ≠≠时，β可由12,,,,m αααγ线性表出，γ可由12,,,,m αααβ线性表出，因而12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.25.设12,,,n n P ααα∈且线性无关，则12,,,n A A A ααα线性无关⇔()=A n 秩.其中A是数域P 上的n n ⨯矩阵. 证：令()12,,,n B ααα=.因1,,n αα线性无关，所以0B ≠.必要性 设12,,,n A A A ααα线性无关，即()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以0A ≠，即()=A n 秩.充分性 设()=A n 秩，即0A ≠，从而()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以12,,,n A A A ααα线性无关.26. 设向量组12,,,s ααα的秩为r ，在其中任取m 个向量12,,,mi i i ααα，则{}12,,,m i i i r m s ααα≥+-秩.证：设12,,,m i i i ααα的秩为t ，现将它的一极大无关组（含t 个向量）扩充为1,,s αα的一个极大无关组（含s 个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r t -.因1,,s αα除向量组1,,m i i αα外，还有s m -个向量，因此，r t s m -≤-，即t r m s ≥+-.27.设123r βααα=+++，213r βααα=+++，，121r r βααα-=+++，则1）1,,r ββ与1,,r αα有相同的秩；2）1,,r αα的任意一个极大线性无关组也是11,,,,,r r ααββ的极大线性无关组.证：1）由假设知1,,r ββ可由1,,r αα线性表出.但是()()1212+=1r r r βββααα++-+++()()12121=+1r r r αααβββ+++++- （1）用（1）式减去假设的每一个式子，可得11221212211,111121,111112.111r r r r r r r r r r r r r r r r αβββαβββαβββ-⎧=+++⎪---⎪-⎪=+++⎪---⎨⎪⎪-⎪=+++⎪⎩--- 即1,,r αα也可由1,,r ββ等价，所以{}{}11,,,,r r r ββαα=≤秩秩.2） 由1）知1,,r αα与11,,,,,r r ααββ等价，可知1,,r αα的一个极大线性无关组就是11,,,,,r r ααββ的一个极大线性无关组.28.设向量组1,,s αα中10α≠且每个()2,3,,i i s α=都不能由11,,i αα-线性表出，则1,,s αα线性无关.证：用反证法.如果1,,s αα线性相关，那么有不全为零的数12,,,s k k k 使1122=0s s k k k ααα+++ （1）从右至左，设第一个不为零的数是l k ，而10l s k k +===，则（1）式为1122=0l l k k k ααα+++.因10α≠，所以1l ≠，故112121111l l l k k kk k k αααα--=----.即l α可由121,,,l ααα-线性表出，此与题设矛盾.所以1,,s αα线性无关.29.如果()()()123,,f x f x f x 是线性空间[]P x 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数123,,k k k ，使()()()1122330k f x k f x k f x ++=.不妨设10k ≠，则()()()3212311=k k f x f x f x k k --+. 此式说明()()23,f x f x 的最大公因式就是()1f x 的因式，即()()()()()()()12323,=,f x f x f x f x f x .此与()()()()123,=1f x f x f x 及()()()23,1f x f x ≠矛盾，所以()()()123,,f x f x f x 线性无关.30.设12,,,m ααα线性无关，则122311,,,,m m m αααααααα-++++线性无关的充分必要条件是m 为奇数.证：令112223111,,,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+，由题设得()()1212,,,,,,m m A βββααα=，其中10110011n mA ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 按第一行展开，()12,110,m m A m +⎧=+-=⎨⎩为奇数；为偶数，而12,,,m βββ线性无关的充分必要条件是0A ≠，即m 为奇数31.设向量组12,,,m ααα线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无关，则 1）等式1122=0m m k k k ααα+++中的系数()1,,i k i m =或者全为0，或者全不为0.2）当存在两个等式1122=0m m k k k ααα+++ （1） 1122=0m m l l l ααα+++ （2）其中10l ≠时，（1），（2）的对应系数成比例：1212mmk k k l l l ===. 证：1）当()1,,i k i m =全为0时，恒为等式的解.以下设有一个i k 不等于0，不失一般性，设10k =.此时其余的()2,,i k i m =都不为0.若等式化为()100j j j ik k α≠=≠∑，于是这1m -个向量线性相关，此与题设矛盾.2） 由于10l ≠，由1）知: 2,,m l l 均不为0.如果()1,,i k i m =全为0，那么结论成立.否则i k 全不为0，()()112i l k ⨯-⨯，得()()11212211100m m r l k k l l k k l ααα-+-++-=.由1），因1α的系数为0，所以2,,m αα的系数全为0，即121210m m l k k l l k k l =-==-，即1212mmk k k l l l ===.32.求向量组()11,2,2,3α=-，()22,4,1,3α=--，()31,2,0,3α=-，()40,6,2,3α=，()52,6,3,4α=-的一个极大线性无关组.解1（初等变换法）以12345,,,,ααααα为列作矩阵A ，对A 施行初等变换为阶梯型矩阵B ：1210212102242660322121023000313333400000A B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由B 可知：124,,ααα；134,,ααα；125,,ααα；135,,ααα均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方法可以找到向量间的全部极大无关组.解2（子式法）因矩阵A 的4阶子式均为0，而3阶子式11022612022--=-≠，所以134,,ααα为一极大无关组.解3（逐一扩充法）因10α≠，所以1α线性无关，又因12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关.因123,,ααα线性相关（这可由123,,ααα作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），所以3α不收入.再观察124,,ααα，由于124,,ααα作成的矩阵有非零的3阶子式，所以124,,ααα线性无关，又因1245,,,αααα线性相关，所以124,,ααα为一极大无关组.33.什么叫做线性空间的基于维数？答：如果数域P 上的线性空间V 有n 个线性无关的向量12,,,n ααα，而且V 中每个向量都可以由它们线性表出，那么称这组向量为V 的一组基（基底）.也称12,,,n ααα生成（或张成）线性空间V .12,,,n ααα为V 的一组生成元.基中所含向量的个数n 称为V 的维数，记作dim V n =或()V n =维.称V 为维线性空间.如果V 中有任意多个线性无关的向量，那么称V 为无限维线性空间，记为dim V =∞.如果{}0V =，那么称V 是零维的，记为dim 0V =.注：○1线性空间V 的基，实际上就是V 的一个极大线性无关组.○2一个线性空间V 有一组基1,,n αα，取()ij n nA α⨯=，当0A ≠时，令，其中为的列向量，令()1,,n A c c =，其中1,,n c c 为A 的列向量，令()1,,i n i c βαα=()1,2,,i n =则可知1,,n ββ也是V 的一组基.由此可知V 的基不是唯一的.○3两组基之间是互相等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是互相等价的.34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？答：1）数域P 看成自身上的线性空间，则1是它的一组基，dim 1P =. 2）复数域C 看成实数域R 上的线性空间，1,i 是C 的一组基，dim 2P =.3）实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，则dim P =∞.事实上，21,,,ππ是线性无关的.因为如果21,,,,n πππ线性相关的话，那么π是代数数了，而π是超越数.故对一切自然数n ，向量组21,,,,n πππ都线性无关，由n 的任意性，故dim P =∞.4）全体正实数R +，定义a b ab ⊕=，kk a a =，则R +为R 上的1维线性空间.任何一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定(),1,1R Ra ββα++∈≠∀∈≠，有()log log βαβαβαβ==，即α可由β线性表出，所以是一维的.5）数域P 上的全体n 元数组构成的线性空间nP 是n 维的，()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=是一组基.6）n 元齐次线性方程组0Ax =（A 为m n ⨯矩阵，()=A r 秩）的解空间是n r -维的，其基础解系是它的一组基.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体m nP⨯的维数是mn .以ij E 表示第i 行第j 列元素为1，其余元素为0的m n ⨯矩阵，则()1,2,,;1,2,,ij E i m j n ==为m n P ⨯的一组基.8）实数域上全体n 级实对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij ij E E i j n +≤≤≤为一组基. 9）实数域上全体n 级反对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n -.()1ij ij E E i j n -≤≤≤为一组基. 10）实数域上全体n 级上三角矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij E i j n ≤≤≤为一组基.11）全体形如1230n nX P X X ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭的矩阵（1X 为r r ⨯矩阵）构成的线性空间，因零块有()r n r -个元素，所以线性空间的维数是()2n r n r --.(),;,1,2,,ij E i r j r i r j n ≤≤≥=为一组基.12）全体n nA P⨯∈且满足0trA =（A 的迹为0）的矩阵构成的线性空间的维数是()()2211nn n n -+-=-，除nn E 外的一切,,1,2,,ij E i j n =为一组基.13）次数小于n 的一元多项式的全体加上零多项式构成的线性空间[]n P x 的维数是n ，且211,,,,n x x x -为一组基.14）线性空间()()[](){}|10n W f x f x R x f =∈=且的维数是1n -.且121,1,,1n n x x x -----是W 的一组基.15）数域P 上m 元n 次齐次多项式()()121211212,,,mmm k k k m k kk m i k k nfx x x x x x k α++==∑为正整数和零多项式构成的线性空间的维数是()()()()1211n n n m m +++--!，1212mk k k mx x x 1m i i k n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数实际上是从m 种元素中每次取n 个元素的有重复的组合数，即()12nm x x x +++展开后不同类的项数：()()()()1111211n n m m n m n m n n n m C C C m -+-+-+++-===-!.16）分量属于复数域的全体n 元数组构成实数域R 上的线性空间的维数是2n .()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=，()11,0,,0η=，()20,1,,0η=，，()0,,0,1n η=为一组基（为虚数单位）.17）线性空间V 中m 个向量生成的子空间()1,,m L αα的维数等于1,,m αα的秩，1,,m αα的任一极大无关组都是()1,,m L αα的一组基.36.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中210000,00A ωωω⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭解：因为212ω-=，31ω=，所以21,3;,31;,3 2.nn k n k n k ωωω=⎧⎪==+⎨⎪=+⎩从而2232100,3;00,,,31;00,3 2.n E n k A A E A A n k A n k ωω=⎛⎫⎧⎪ ⎪====+⎨ ⎪⎪ ⎪=+⎝⎭⎩设21230k A k A k E ++=，得1232123212300,0.k k k k k k k k k ωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）因系数行列式不为零，所以方程组（1）只有零解：1230k k k ===.说明2,,E A A 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是2,,E A A 的线性组合，所以V 的维数是3. 2,,E A A 是V 的一组基.37.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中()120,,0i j in a a A a a i j a R a ⎛⎫⎪⎪=≠≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：易证对正整数k ，有11201100k kn n k n a a A k E k A k A a --⎛⎫ ⎪⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）事实上，由矩阵的相等得，101111110121221011,,.n k n n kn n k n n n n k k a k a a k k a k a a k k a k a a ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）（2）式的系数行列式D 是范德蒙行列式，故()10ji i j nD aa ≤≤≤=-≠∏.所以方程组有唯一解011,,,n k k k -.这就证明了（1）.再令10110n n k E k A k A --+++= （3）（3）式为（2）式右端为零的情形.由于0D ≠，所以只有零解：0110n k k k -====，说明1,,,n E A A -线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是21,,,,n E A A A -的线性组合，所以dim V n =，21,,,,n E A A A -为一组基.38.设V 为数域P 上的线性空间，V 为从V 中任取m 个元素组成的向量()12,,,m ααα的集合.1）按向量的加法和数乘运算，V 为P 上的线性空间； 2）当V 为无限维时，V 也是无限维； 3）当V 为n 维时，求V 的维数和一组基. 证：1)()0=00V ∈，，，V ∴非空.另外，V 关于加法和数乘运算封闭，且满足定义中的8条规则，所以V 是域P 上的线性空间. 2）当V 是无限维时，取12,,,n βββ为V 的n 个线性无关的向量，令(),0,,0i i ηβ=()1,2,,i n =，则12,,,n ηηη线性无关.由n 的任意性知，V 有任意个线性无关的向量，即V 是无限维的.3）当dim V n =，可推得dim V mn =. 事实上，设12,,,n εεε为V 的一组基.令()1,0,,0i i ηε=，()20,,,0i i ηε=，，()0,0,,ni i ηε=，1,2,,i n =，则这个m n ⨯个向量均线性无关.()12,,,m V αααα∀=∈，因()11,2,,nj ij i i k j m αε=∀==∑，所以()1212111,,,,,,m nnnm i i i i i i i i i k k k αααεεε===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑()()()12111,0,,00,,,00,0,,nnni i i i i i im i i i i i k k k εεεεεε====+++∑∑∑1122111nnni i i i im im i i i k k k ηηη====+++∑∑∑.即α可由mn 个向量()1,,;1,,ij i n j m η==线性表出，所以它们是V 的一组基，dim V mn =.39.什么叫做向量的坐标？答：设V 为数域P 上的n 维线性空间，1,,n αα为V 的一组基.设V β∈，则()111221,,n n n n k k k k k βααααα⎛⎫ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭.称()1,,n k k 为β在基1,,n αα下的坐标.注：○1同一个向量β，在不同基下的坐标一般是不相同的.○2同一个β，当基1,,n αα排列顺序不同时，坐标也不同.比如V 的一组基为123,,ααα，令12335βααα=++，那么β在基123,,ααα下的坐标为()1,3,5，而在下的坐标为()1,5,3.○3这里的坐标概念是解析几何中坐标概念的推广.在平面解析几何中，相当于取基()11,0e =，()20,1e =，在空间解析几何里，相当于取基()11,0,0η=，()20,1,0η=，()30,0,1η=.而代数中是把它们抽象化，并把上述情形作为特例. V 中的基1,,n αα相当于建立一个坐标系.β的坐标()12,,,n n k k k P ∈，相当于β在坐标系12,,,n ααα下的坐标.40.什么叫过渡矩阵？答：过渡矩阵相当于n 维线性空间V 的两组基之间的变换公式.下面给出定义.设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，那么()1,,i n i c βαα=，1,2,,k n =. （1）其中12,,1,2,,i i i ki ni c P k n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭.把（1）式改写为()()11,,,,n n A ββαα=. （2）其中()()1,,n n ij n n nA c c P α⨯⨯==∈.称A 为基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵，并称（2）为基变换公式.注：○1如果0A ≠，即A 为可逆矩阵.○2由（2）式知()()111,,,,n n A ααββ-=， （3）即1A -为基1,,n ββ到基1,,n αα的过渡矩阵.○3求1,,n αα到1,,n ββ的过渡矩阵A ，只要求出每个i β在基1,,n αα下的坐标（1）即可.41.什么叫坐标变换公式？ 答：设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，由基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵为A .向量γ在基1,,n αα下的坐标为()1,,n x x .设γ在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n y y ，那么111n n y x A y x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1） 公式（1）称为坐标变换公式.42.设1,,n αα为线性空间V 的一组基.1）1121212,,,n n βαβααβααα==+=+++也是V 的一组基.2）当向量α在基1,,n αα下的坐标为(),1,,2,1n n -时，求α在基1,,n ββ下的坐标.证：1）因为()()11,,,,n n A ββαα=，其中1101A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1A =， 所以1,,n ββ线性无关，从而为V 的一组基.2）设α在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n x x ，由坐标变换公式知121110111112201111n n n x n n x A x -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 43.在[]3P x 中，求221,,x x x x ++到基221,,x x x x -+的过渡矩阵. 解：因为21,,x x 为[]3P x 的基，所以()()()22221001,,1,,1101,,111x x x x x x x x A ⎛⎫⎪++=-= ⎪ ⎪-⎝⎭. （1） 于是()()()2221221001,,1,,=1,,110111x x x x x x A x x x x -⎛⎫⎪=++++- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2） 又()()()22221001,,1,,0111,,011x x x x x x x x B ⎛⎫⎪-+== ⎪ ⎪-⎝⎭， （3） 将（2）代入（3）得()()()22221221001,,1,,1,,111120x x x x x x x x A B x x x x -⎛⎫⎪-+=++=++- ⎪ ⎪-⎝⎭. 所以100111120C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为所求的过渡矩阵.44.已知()()()()12341,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,εεεε=⎧⎪=--⎪⎨=--⎪⎪=--⎩()()()()12341,2,3,1,2,1,0,1,1,1,0,1,2,1,1,2,ηηηη=⎧⎪=⎪⎨=--⎪⎪=-⎩分别是4P 的两组基，求i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵.并求()1,1,0,1δ=-关于基1234,,,ηηηη的坐标.解：因为()11,0,0,0δ=，()20,1,0,0δ=，()30,0,1,0δ=，()40,0,0,1δ=是4P 的基，由i δ到()1,2,3,4i i ε=的过渡矩阵A 以及由δ到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵B 分别为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， 1212211130011112B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭由i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵为1A B C -=，1741212141103443212C A B --⎛⎫⎪- ⎪==⎪ ⎪--⎝⎭. 令δ关于基()1,2,3,4i i η=的坐标为()1234,,,x x x x ，则121341112105413x x B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 45.什么叫做线性子空间？答：设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算（加法和数量乘法）也构成线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间，简称子空间.46.什么叫做V 的平凡子空间？答：V 中仅含单个零向量的子空间称为零子空间，V 本身也是V 的一个子空间，这两个子空间称为V 的平凡子空间，V 除平凡子空间外的子空间（如果存在的话），称为V 的非平凡子空间.47.什么叫做生成子空间？答：V 中任意m 个向量的所有可能的线性组合(){}111,,|,1,2,,m m m i L k k k P i m αααα=++∈=构成V 的一个子空间，称为由1,,m αα张成（或生成）的子空间.注：这一记号非常重要.设V 是n 维的，若()1,,n V L αα=，则1,,n αα为V 的一组基.48.怎样判别子空间？答：设W 是V 的一个非空子集，则W 为V 的子空间的充要条件是：W 对于V 的两种运算是封闭的，即○1,W αβ∀∈都有W αβ+∈； ○2,W k P α∀∈∀∈，都有k W α∈. 条件○1与○2可以合并成一条：,W αβ∀∈及12,k k P ∀∈都有12k k W αβ+∈.49.生成子空间有哪些主要结论？ 答：1）()()11,,,,s t L L ααββ=的充分必要条件是1,,s αα与1,,t ββ等价.2）()()()1111,,,,,,,,,s t s t L L L ααββααββ+=.3）()1,,s L αα的维数{}1,,s αα=秩4）n 维线性空间V 的子空间的一组基必可扩充为V 的一组基.50.常见到子空间有哪些?答：1）V 的两个平凡子空间.2）全体实函数组成的线性空间中，由所有实系数多项式组成一个子空间.3）[]n P X 是线性空间[]P X 的n 维子空间.4）线性变换:V V σ→的值域V σ是V 的子空间.设线性变换在某一组基下矩阵为A ，则其维数等于A 秩，σ的核()10σ-是V的子空间，其维数等于dim V A -秩5）线性变换:V V σ→的属于特征值λ的特征向量的全体添上零向量是V 的特征子空间，记作V λ.若dim V n =，设σ在某一组基下的矩阵为A ，则()dim V n E A λλ=--秩6）数域P 上n 元齐次线性方程组0AX =的解空间W 是nP 的子空间，dim W n A =-秩.7. 设1,,n εε为数域P 上线性空间V 的一组基，m n A P ⨯∈，A r =秩，()'11,,n n c c Pα⨯=∈则()'11|,,0ni i n i W c A c c ε=⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∑是V 的n r -维子空间.证：1）先证W 是V 的子空间.其0W ∈知W 非空（这时取()()1,,0,,0n c c =即可）.任取()11,,n n c c βεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,,n n d W d γεε⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，那么10n c A c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10n d A d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12,k k P ∀∈，则()1112112,,n n n c d k k k k c d βγεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111112120n n n n c d c d A k k k A k A c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以12k k W βγ+∈，从而W 为V 的子空间.2）设0Ax =的解空间为1W ，则1dim dim W W n A n r ==-=-秩.51.什么叫做交空间？答：设V 是数域P 上的线性空间，()V I λλ∈都是V 的子空间，则IV λλ∈⋂也是V 的子空间，并称它为()V I λλ∈的交空间. 注:○1显然IV λλ∈⋂也是V λ的子空间.○2子空间的交是线性空间的一种运算.52. 子空间的交有哪些性质？答：1）适合交换律：1221V V V V ⋂=⋂；2）适合结合律：()()123123V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂；3）A ,B 分别为m n ⨯与s n ⨯矩阵，A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设123,,V V V 分别为0Ax =，0Bx =，0Cx =的解空间，则312V V V =⋂.53.什么叫做和空间？答：子空间的和是线性空间的第二种运算.设1V ，2V 都是V 的子空间，则{}121122|,V V ααααα=+∈∈也是V 的子空间，记作12V V +.一般的，设1,,n V V 都是V 的子空间，它们的和空间定义为{}1212++|,1,2,,n n i i V V V V i n ααααα+++==+∈=.注：○112112V V V V V ⋂⊆⊆+，12212V V V V V ⋂⊆⊆+.○2设W 是线性空间，且()W V I λλ⊆∈，则IW V λλ∈⊆⋂.○3设1V W ⊆，2V W ⊆，W 是线性空间，则12V V W +⊆.54.子空间的和有什么性质？ 答：1）1221V V V V +=+；2）()()123123V V V V V V ++=++； 3）下面三条等价 （i ）12V V ⊆，(ii)121V V V ⋂=， （iii ）122V V V +=，55设1V ，2V 是V 的两个子空间，则1V È2V =1V +2V Û1V Í2V 或2V Í1V 。
第6章线性空间练习题.doc
第6章 线性空间练习题一、填空题（3515''⨯=）1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是 ．2. 从R 2的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭到基1211,12ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为 ．3. 已知132326583945A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则0AX =解空间的维数是 ，解空间一组基是 ．4. 设2R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++⋅=⋅=，则2(,,)R R ⊕⋅，不作成线性空间的理由可以为 ．5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间(,,)Q Q +⋅，该空间的维数是 ．二、单项选择题（3515''⨯=）1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )．(A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {}(,,)0a b c a ≥(C) {}222(,,)1a b c a b c ++≤ (D) {}(,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2(,,,)R R +⋅ (B) (,,,)C R C +⋅是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +⋅是复数域 4. 向量空间{}12123(,,,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ．(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在nR 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )．(A) 11212()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-(C) 11212()()n n βββααα- (D) 11212()()n n βββααα-三、计算题（41040''⨯=）1. 在线性空间3R 中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)T T Tααα===到基向量组123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T βββ===的过渡矩阵C ；（2）求(1,3,0)T γ=在基123,,a a a 下的坐标． 2. 设3[]P x 的有两个基向量组222123()1,()2,()1f x x f x x x f x x x =-=++=++和22123(),()1,()12g x x x g x x g x x x =+=-+=++，(1) 求2()965h x x x =++在这两组基下的坐标；(2) 求向量()k x ，使它在这两组基下有相同的坐标． 3. 在23R ⨯中，求子空间000{|,,,,}x y W x y z x y z t R t z ⎛⎫=++=∈⎪⎝⎭的一组基和维数．4.在4P 中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)T T αα=-=，两个子空间11221234124(,),{(,,,)|20}T V L V x x x x x x x αα==+-=分别求1212,V V V V +⋂一组基和维数．四、证明题()6530''⨯=1．设线性空间V 中12,,,,(1)s s αααβ>为1s +向量，且12s βααα=+++，证明：向量组12,,,s βαβαβα---线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα线性无关．2．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12V V ⋃是V 的子空间的充分必要条件是1221V V V V ⊂⊂或．3．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12+V V 是直和的充分必要条件是12+V V 中至少有一个向量α可以唯一地表示为12+αα，其中1122V V αα∈∈，． 4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．5．设{(,,)|,}W a a b a b a b R =+-∈，证明：（1）W 是3R 的子空间；（2）W 与2R 同构．参考答案一、填空题（3515''⨯=)1. (-1，0，2)；2. 2312⎛⎫⎪--⎝⎭；3. 2 ，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)T Tηη=-=-（不唯一）； 4. ()k k k αβαβ⊕≠⊕；5. 2．二、选择题(3515''⨯=)1. D ；2. A ；3. D4. D ；5. B三、计算题（41040''⨯=）1.（1）221231110C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，（2） (2, 5, -1)T2.(1) 011132244⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭；(2) Y ＝(0, -4, 5) T ，X ＝(1, 2, 4) T ；(3) ()0k x =。
第六章线性空间自测练习及答案
第六章 线性空间—自测答案一.判断题1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。
2.两个线性子空间的并仍是子空间。
3.n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。
4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。
5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。
6.同构映射的逆映射仍是同构映射。
7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。
8.同构的线性空间有相同的维数。
9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。
10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。
答案：错：2.5.8 对：1.3.4.6.7.9.10 二.计算与证明1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。
解：(1)0f =0110n a a a -∴++=……+ 0121n a a a a -∴=----……设11a k =，22a k =，…，11n n ak --=，故0121n a k k k -=----……，21121121()n n n f t k k k k t k t k t ---∴=---+++ 21121(1)(1)(1)n n t k t k tk --=-+-++-因此，W 中任一多项式可写成211,1,,1n t t t ---- 的线性组合，易知211,1,,1n t t t---- 线性无关，故为W 的一组基，且W 的维数为n -1. 2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。
解：取22P ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则有 12341112212221311011,,,)(,,,)12133033A A A A E E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（ 设213110111213333A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即为1234,,,A A A A 在11122122,,,E E E E 下的坐标矩阵，对其作初等行变换得矩阵1011011-1000000B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1234dim (,,,)2L A A A A rankB ∴==，12,A A 为一组基。
(完整版)第六章线性空间练习题参考答案
第六章 线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000,,00V a bc a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33R ⨯的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.二、判断题1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A ＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX ＝0，即满足0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.正确.根据定理1.5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有.W αβ+∉错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈ 6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间.正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2. 7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题1.求所有与A 可交换的矩阵组成的nn P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其中100020003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即111213111213212223212223313233313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.111213111213212223212223313233313233232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此11223300()0000b C A b b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭ 维数为3，基为112233,,E E E .2.在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解：令过渡矩阵为T ，则有10111432131401238761001232210001T --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭因此1143210112379801231314633100128761232100132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令1234114324012320012301x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112341432114113611010123401274210012200122400013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为（-101,21，-4,3） 四、证明题1.V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕证明：W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.()()()()(),()22f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈，因此12.V W W =+又12{0}.W W =所以12.V W W =⊕2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说，或者120n a a a ====，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量11112112121211(,,,)(,,,)(0,,,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b W αβ-=-=--∈.由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -==-=，即有1212n na a ab b b ===.即W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.。
(完整版)第六章线性空间练习题参考答案
第六章线性空间练习题参考答案一、填空题0 0 01.已知V a b c 0 a,b,c R 是R1 2的一个子空间，则维(V)3 30 c b 00 0 0 0 0 0 0 0 03V 的一组基是1 0 0 , 1 0 0 , 0 1 0 .0 0 0 0 1 0 0 1 0在P4中,若 1 (1, 2,0,1),1,1), 4 (0,1, k,1)线性无2 (1,1,1, 1),3 (1, k,关，则k的取值范围是k 3(以1, 2, 3, 4为行或者列构成的行列式不为零)3•已知a是数域P中的一个固定的数，而W {(a,x1,L ,x n) x i P,i 1,2,L ,n}是P n+1的一个子空间，贝U a = 0 ，而维(W)=巴4. 维数公式为dimV i dimV2 dim(V i V2) dim(V i I V2).5•设1, 2, 3是线性空间V的一组基，X i 1 X2 2 X3 3，则由基1, 2, 30 0 1到基2, 3, 1的过渡矩阵T = 1 0 0，而在基3, 2, 1下的坐标是0 1 00 1 1 (X3,X2,X1)由基1, 2, 3到基2 3, 3 1, 1 2的过渡矩阵为T二10 1. 阵全体构成数域P上凹卫维线性空间，数域P上n级对交矩阵全体构成数域1 1 06 •数域P上n级对称矩阵全体构成数域P上如B维线性空间，数域P上2n级反对称矩阵全体构成数域P上晋维线性空间，数域P上n级上三角矩2P上n维线性空间，数域P上n级数量矩阵全体构成数域P上_1_维线性空间.二、判断题1•设V P n n，则W {A A P nn,A 0}是V的子空间.错•行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.)2. 已知V {(a bi,c di) a, b, c, d R}为R上的线性空间，且维(V)= 2.错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),( i,0),(0,1),(0, i).A3. 设A,B P n n，V是X 0的解空间，V1是AX = 0的解空间，V2是B(A + B)X = 0 的解空间，则V V1 I V2 .正确• Vj V2中的向量既满足AX = 0,又满足(A + B)X = 0,因此也满足ABX = 0,即满足X 0,即为V中的向量.反之，V中的向量既在V中，又B在V2中，即为yi V2中的向量.因此V V1 I V2 .4. 设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组1, 2丄,s线性表出，则维(W) = S.正确.根据定理1.5. 设W是线性空间V的子空间，如果， V,但W且W,则必有W.错误.可能W.如取，为一对互为负向量，则0 W.6. W {(x1,x2,x3) R3|X3 0}是R3的子空间.正确. 基为( 1,0,0)，(0,1,0)，维数为 2.7. W {( x1,x2, x3) R3 | x21} 是R3的子空间.错误.不包含零向量8. W {( x1,x2,x3)R3 |x1x2X3｝是R3的子空间正确.基为(1,1,1)，维数为 1.9. W {( x1,x2,x3)R3 |x1 x2X3｝是R3的子空间正确. 基为( 1 , 1 ,0)，( 1 ,0 ，-1)，维数为 2.、计算题1.求所有与A可交换的矩阵组成的P n n的子空间C(A)的维数与一组基，其中100A 0 2 0 .003解：设矩阵B (b j )3 3与A可交换，即有AB BA.即1 0 0 b11 b12 b13 b11 b12 b13 1 0 00 2 0 b21 b22 b23 b21 b22 b23 0 20 0 3 b31b32 b33 b31 b32b33 0 0 3b11 b12 b13 b11 2b12 3b132b21 2b222b23 b212b223b23 .3b31 3b32 3b33b312b32 3b33所以有ib ij b ij j ,(i j)b ij 0,i, j 1,2,3. 当i j时,b ij 0 ，因此b11 0 0C(A) 0b22 00 0 b33 维数为3，基为E11 , E22 ,E33 .2•在线性空间P4中，求由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)在基1, 2, 3, 4下的坐标，其中1 (1,0,0,0),2 (4,1,0,0),3 ( 3,2,1,0),4 (2, 3,2,1)1 (1,1,8, 3),2 (0, 3,7, 2),3 (1,1,6, 2),4 (1,4, 1, 1)解：令过渡矩阵为T ,则有1 0 1 1 1 4 3 21 3 1 4 0 12 3T8 7 6 1 0 0 1 23 2 2 1 0 0 0 1因此1 4 32 1 1 0 1 1 23 7 9 80 1 2 3 1 3 1 4 6 3 3 1T0 0 1 2 8 7 6 1 2 3 2 10 0 0 1 3 2 2 1 3 2 2 1令1 1 4 32 X14 0 1 2 3 X22 0 0 1 2 X33 0 0 0 1 X4X1 1 4 3 2 1 1 1 4 11 36 1 101X2 0 1 2 3 4 0 1 2 7 4 21X3 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 4X4 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 3(1, 4,2,3) 在基1,2 ! , 3 ,4下的勺坐标为(- 101,2 1,-4四、证明题1.V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令W { f(x) f (x) V, f(x) f( x)},W { f(x) f (x) V, f(x) f( x)}证明：W i 、W 2皆为V 的子空间，且V W 1 W 2.证明：W i 、W 2分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然 W i 、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得 W i 、W 2皆为V 的子空间.以 V W 1 W 2.2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于 W 的每一个向量(a i ,a 2丄,a n )来 说，或者a i a 2 L a n 0，或者每一个i 都不等于零，证明：维(W) = 1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得 W 中含有非零向量设(a i ,a 2,L ,a n ),(^也丄,g)是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个 a i ，b i 都不等于零.考虑向量由题设条件有b i a 2 a i b 2 L b i a n a i b n 0 ,即有色 更 L 空.即W 中的b i b 2 b n 任二个非零向量均成比例，因此维(W)二i.f(x) V,f(x)f(x) f( x) 2 f(x) f( X)2而 f (x)f( x) W 1 f(x) f(x)2 ' 2W 2，因此VW 1 W 2.又 W 1 I W 2{0}.所b |a ib i (a i ,a 2丄,a n )印⑴庄丄,b n ) (0,呃 a4,L ,b i a na ib n ) W。
线性空间习题解答
第六章 线性空间习题解答P267.1设,,M N M N M M N N ⊆==I U 证明: 证明: 一方面.M N M ⊆I 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M I ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M I Y I Y I =.(2))()()(L M N M L N M Y I Y I Y =证明: (1) .),(L N x M x L N M x Y Y I ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且L x ∈且. 于是有)()(L M N M x I Y I ∈.另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M Y I I Y I I ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊆.(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M Y I Y Y I Y ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M Y I Y I Y ⊆.另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x Y Y Y I Y ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x I Y ∈∈则 若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N I 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x I Y I I Y I Y ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.(2) 设A 是n ⨯n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,)2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+=ο. (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k ⋅α=0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为k ⋅α=α.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a-1, b), 则α, γ∈V , 但是, α+ γ ∉V . (5) 证明: 10显然V 非空.02 2个代数运算封闭.03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11(11))(,)2a a ab b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==o o o o 的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la αα=+-=+-+-o o o2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl o α(7)(k+l)o α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211(2))2k l kl k l a ++--221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕o o (8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+o o 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕满足3,故V 是一个线性空间(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠Q ，但这里。
线性代数同步练习册第六章
第六章线性空间与线性变换1、下列集合对指定的加法与数量乘法不能构成实数域R上的线性空间的是( ).(A) 全体n阶对称矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(B) 全体n阶可逆矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(C) 闭区间[,]a b上全体连续函数所成集合; 运算: 函数的加法和实数的乘法;(D) 矩阵A的属于其特征值λ的全部特征向量的全体; 运算: 向量加法和数乘向量.2、记实数域R上的二阶方阵所构成的线性空间为22R⨯, 下列方阵组能构成为22R⨯的一个基的是( ).(A)111 00e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31101e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)100 01e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20000e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31111e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40110e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)111 11e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,22121e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,42002e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)11001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20100e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,30010e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦3、在三维向量空间3R中求向量(3,7,1)α=在基1135α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2632α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,331α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦下的坐标.4、在3维向量空间中, 求任一向量α在基1(1,2,1)α=,2(2,3,3)α=, 3(3,7,1)α=和基1(3,1,4)β=, 2(5,2,1)β=,3(1,1,6)β=-下的坐标变换公式.5、已知3R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标.6、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标.7、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),TTTααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标.8、下列变换T 中, 那些是3R 的线性变换, 哪些不是线性变换? (1) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =++; (2) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =; (2) 222123123(,,)(,,)T x x x x x x =.9、在3R 中, T 表示将向量投影到xoy 平面的线性变换:12312()T xe ye ze xe ye ++=+其中T 1(1,0,0)e =, T 2(0,1,0)e =, T 3(0,0,1)e =. (1) 求T 在基123,,e e e 下的矩阵. (2) 取一个基1e α=,2e β=, 123e e e γ=++, 求T 在,,αβγ下的矩阵.10、设3R 内的线性变换T 在基本单位坐标向量123,,e e e 为基下的矩阵211121112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭(1) 求T 在基123,,βββ下的矩阵, 其中1111β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2110β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3101β-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2) 设向量123α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求()T α在基123,,βββ下的坐标T 123(,,)y y y 及()T α.第六章 线性空间与线性变换 自测题一、填空 (1) 22R⨯的维数22dim R⨯= .(2) 3R 中, 向量(1,2,3α=在基1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=,3(1,0,0)α=下的坐标为 .(3) 已知123,,ααα是线性空间中的元素, V 中任一元素都能由123,,ααα线性表示, 则123,,ααα必须 时就成为V 的一个基.(4) 设3R 中, 123,,e e e 为基本单位坐标向量,11e α=, 212e e α=+,3123e e e α=++为3R 的一个基, 则由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵P = .(5) 设3R 内的线性变换为(,,)(,0,0)T x y z x =, 其中(,,)x y z 为3R 中的任一向量, 则T 在基123,,e e e 下的变换矩阵A = . 二、在4维向量空间中, 求向量(1,2,2,1)ξ=--在基1(1,1,1,1)ε=,2(1,1,1,1)ε=--, 3(1,1,1,1)ε=--, 4(1,1,1,1)ε=--下的坐标.三、设向量组:(I) 1111α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 3101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (II) 1121β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2234β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 3343β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 证明向量组(I)与向量组(II)都是3维向量空间一个基;(2) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵;(3) 求向量12323ββββ=+-在基(I)下的坐标.四、在4R 中求向量v , 使它在标准基1234,,,εεεε和基T 1(2,1,1,1)β=-,T 2(0,3,1,0)β=, T 3(5,3,2,1)β=, T 4(6,6,1,3)β=下有相同的坐标.五、在22R⨯中, 定义变换()T A A ααα=-, 22Rα⨯∈, A 是22R ⨯中一个固定的二阶方阵. 证明T 是22R ⨯内的一个线性变换.六、在3R 内的线性变换T 关于基123,,ααα的矩阵是1511520158876A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求T关于基11223βααα=++,212334βααα=++,312322βααα=++的矩阵.。
线性代数习题答案 第六章
1第六章 线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1;解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B )∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε 是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3.解 设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3,(kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解 设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ∉V , 即V 不是线性空间.3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V .证明 设ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ⋅⋅⋅ +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ⊆U , 而由已知知U ⊆V , 有U =V .4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ⋅⋅⋅, a n , 使a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r , a r +1, ⋅⋅⋅, a n 成为V n 的一个基.证明 设r <n, 则在V n 中必存在一向量a r +1∉V r , 它不能被a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r 线性表示, 将a r +1添加进来, 则a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +1是线性无关的. 若r +1=n , 则命题得证, 否则存在a r +2∉L (a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +1), 则a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +2线性无关, 依此类推, 可找到n 个线性无关的向量a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n , 它们是V n 的一个基.5. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T 在基α1=(1, 3, 5)T , α2=(6, 3, 2)T ,α3=(3, 1, 0)T 下的坐标.解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T .6. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T , α2=(2, 3, 3)T , α3=(3, 7, 1)T ; β1=(3, 1, 4)T , β2=(5, 2, 1)T , β3=(1, 1, -6)T .试求坐标变换公式.解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .7. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T , e 2=(0,1,0,0)T , e 3=(0,0,1,0)T , e 4=(0,0,0,1)T ; α1=(2,1,-1,1)T , α2=(0,3,1,0)T , α3=(5,3,2,1)T , α3=(6,6,1,3)T . (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T 在后一个基下的坐标; 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).8. 说明xOy 平面上变换⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛y x A y x T 的几何意义, 其中(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001A ; 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x y x T 1001, 所以在此变换下T (α)与α关于y 轴对称.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000A ; 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛y y x y x T 01000, 所以在此变换下T (α)是α在y 轴上的投影.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A ; 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x y x T 0110, 所以在此变换下T (α)与α关于直线y =x 对称.(4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110A . 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x y x T 0110, 所以在此变换下T (α)是将α顺时针旋转2π.9. n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个2)1(+n n 维线性空间. 给出n 阶矩阵P , 以A 表示V 中的任一元素, 变换T (A )=P T AP 称为合同变换. 试证合同变换T 是V 中的线性变换.证明 设A , B ∈V , 则A T =A , B T =B . T (A +B )=P T (A +B )P =P T (A +B )T P =[(A +B )P ]T P =(AP +BP )T P=(P T A +P T B )P =P T AP +P T BP =T (A )+T (B ), T (kA )=P T (kA )P =kP T AP =kT (A ), 从而, 合同变换T 是V 中的线性变换.10. 函数集合V 3={α=(a 2x 2+a 1x +a 0)e x | a 2, a 1, a 0 ∈R }对于函数的线性运算构成3维线性空间, 在V 3中取一个基α1=x 2e x , α2=xe x , α3=e x .求微分运算D 在这个基下的矩阵.解 设β1=D (α1)=2xe x +x 2e x =2α2+α1, β2=D (α2)=e x +xe x =α3+α2, β3=D (α3)=e x =α3. 易知β1, β2, β3线性无关, 故为一个基.由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110012001) , ,() , ,(321321αααβββ,知即D 在基α1, α2, α3下的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110012001P .11. 2阶对称矩阵的全体},,|{32132213R x x x x x x x A V ∈⎪⎭⎫⎝⎛==对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V 3中取一个基⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003A .在V 3中定义合同变换⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=10111101)(A A T ,求T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵. 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101100011101)(1A T 3211111A A A ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101111101101)(2A T 3222110A A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101110001101)(3A T 31000A =⎪⎭⎫ ⎝⎛=,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121011001) , ,())( ),( ),((321321A A A A T A T A T ,从而, T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121011001A .。
线性空间与线性变换习题
元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它
对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变
换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为
在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k(+ )= k+k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k+l .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的.
3. 0=0; (–1) =– ; 0=0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.
定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之 间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的 对应, 那末就称线性空间U与V同构.
结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构; 结论2. 同构的线性空间之间具有等价性. 同构的意义: 在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间 的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心 的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义 上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
而 1, x–1, (x–2)(x–1)P[x]2, 令
整理得
k1·1+k2(x–1)+k3(x–2)(x–1)=0 (k1–k2+2k3)+(k2–3k3)x +k3x2=0
比较等式两边得
k1
k2 k2
+
线性代数同步练习册第六章+答案
第六章线性空间与线性变换1、下列集合对指定的加法与数量乘法不能构成实数域R上的线性空间的是( B ).(A) 全体n阶对称矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(B) 全体n阶可逆矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(C) 闭区间[,]a b上全体连续函数所成集合; 运算: 函数的加法和实数的乘法;(D) 矩阵A的属于其特征值λ的全部特征向量的全体; 运算: 向量加法和数乘向量.2、记实数域R上的二阶方阵所构成的线性空间为22R⨯, 下列方阵组能构成为22R⨯的一个基的是( D ).(A)111 00e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31101e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)100 01e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20000e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31111e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40110e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)111 11e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,22121e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,42002e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)11001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20100e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,30010e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦3、在三维向量空间3R中求向量(3,7,1)α=在基1135α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2632α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,331α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦下的坐标.解由112233x x xαααα++=, 得线性方程组. 对增广矩阵施以行的初等变换得1633100333317010825201001154⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得α在基123,,ααα下的坐标为(33,82,154)-.4、在3维向量空间中, 求任一向量α在基1(1,2,1)α=,2(2,3,3)α=,3(3,7,1)α=和基1(3,1,4)β=,2(5,2,1)β=,3(1,1,6)β=-下的坐标变换公式.解设向量α在两个基下的坐标分别为123(,,)x x x和123(,,)y y y,从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为112335127714123712192091314164128P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭故坐标变换公式为11223327714192094128x y x y x y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5、已知3R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标. 解：由于()()123123211,,,,112113βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1231,,1,3αααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以()11232111,,11211133αβββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1235239991153,,199********βββ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎝⎭()()1231235232999311535,,1,,9993321329993ββββββ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此α在基123{,,}βββ下的坐标为252(,,)333T -. 6、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标. 解：取4R 的自然基1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)εεεε====，则有1234123412341234(,,,)(,,,),(,,,)(,,,),A B ααααεεεεββββεεεε==其中1100230012001100,0011002100120032A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是112341234(,,,)(,,,),A B ββββαααα-= 故由基( I )到基( II )的过渡矩阵为1210023003500110011001200002100210010001100320011P A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎪⎪⎪=== ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2) 123412(,,,)11αββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1234123411325(,,,)(,,,)1110P αααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故向量12342αββββ=++-在基(I)下的坐标是(13,5,1,0)T -. 7、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),T T T ααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标. 解：由基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为1010100001000142A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵为 1010000101100112222A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪--⎪⎝⎭, 故向量3ε在基1234,,,αααα下的坐标为 1(0,1,0,)2T-.8、下列变换T 中, 那些是3R 的线性变换, 哪些不是线性变换? (1) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =++; (2) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =;(2) 222123123(,,)(,,)T x x x x x x =.解 (1) T 是线性变换. 事实上, 设123(,,)x x x x =, 123(,,)y y y y =, 则112233()(,,)T x y T x y x y x y +=+++112233(()()(),0,0)x y x y x y =+++++ 123123(,0,0)(,0,0)x x x y y y =+++++()()T x T y =+同理, ()()T kx kT x =, 其中k R ∈.(2) T 不是线性变换. 事实上, 设(1,0,0)x =, (0,1,1)y =, 则()(1,1,1)(1,0,0)T x y T +==, 而()()(0,0,0)T x T y +=, 即 ()()()T x y T x T y +≠+.(3) T 不是线性变换. 事实上, 取2a =, (1,1,1)x =, 则()(2,2,2)(4,4,4)T ax T ==, ()2(1,1,1)(2,2,2)aT x T ==, 即 ()()T ax aT x ≠.9、在3R 中, T 表示将向量投影到xoy 平面的线性变换:12312()T xe ye ze xe ye ++=+其中T 1(1,0,0)e =, T 2(0,1,0)e =, T 3(0,0,1)e =. (1) 求T 在基123,,e e e 下的矩阵. (2) 取一个基1e α=, 2e β=, 123e e e γ=++, 求T 在,,αβγ下的矩阵. 解 (1) 由于11223()()()0T e e T e e T e =⎧⎪=⎨⎪=⎩即123123100((),(),())(,,)010000T e T e T e e e e ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以T 在基123,,e e e 下的矩阵为100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (2) 由于112212312()()()()()()T T e e T T e e T T e e e e e ααββγαβ===⎧⎪===⎨⎪=++=+=+⎩即101((),(),())(,,)011000T T T αβγαβγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故T 在基,,αβγ下的矩阵为101011000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10、设3R 内的线性变换T 在基本单位坐标向量123,,e e e 为基下的矩阵211121112A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭(1) 求T 在基123,,βββ下的矩阵, 其中1111β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2110β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3101β-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2) 设向量123α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求()T α在基123,,βββ下的坐标T 123(,,)y y y 及()T α.解 (1) 先求出由基123,,e e e 到基123,,βββ的过渡矩阵P , 根据123123(,,)(,,)e e e P βββ=得 111110101P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111111213112P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭故T 在基123,,βββ下的矩阵为1000030003B P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 先求()T α在基123,,e e e 下的坐标. 根据线性变换在向量空间中的表示有21113()1222011233T A αα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()T α在基123,,βββ下的坐标为112331113010121003311233y y P y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 在123,,βββ下, ()T α为33()303T αβ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.第六章 线性空间与线性变换 自测题一、填空 (1) 22R⨯的维数22dim R⨯= 4 .(2) 3R 中, 向量(1,2,3)α=在基1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=,3(1,0,0)α=下的坐标为(3,1,1)--.(3) 已知123,,ααα是线性空间中的元素, V 中任一元素都能由123,,ααα线性表示, 则123,,ααα必须 线性无关 时就成为V 的一个基.(4) 设3R 中, 123,,e e e 为基本单位坐标向量,11e α=, 212e e α=+,3123e e e α=++为3R 的一个基, 则由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵P =111011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(5) 设3R 内的线性变换为(,,)(,0,0)T x y z x =, 其中(,,)x y z 为3R 中的任一向量, 则T 在基123,,e e e 下的变换矩阵A =100000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、在4维向量空间中, 求向量(1,2,2,1)ξ=--在基1(1,1,1,1)ε=, 2(1,1,1,1)ε=--, 3(1,1,1,1)ε=--, 4(1,1,1,1)ε=--下的坐标.解: 设11223344x x x x ξεεεε=+++, 则得12341234123412341221x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=-⎪⎪--+=-⎩ 解此方程组得1234310,,,022x x x x ===-=.所以ξ在1234,,,εεεε下的坐标为31(0,,,0)22-.三、设向量组:(I) 1111α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 3101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (II) 1121β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2234β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 3343β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 证明向量组(I)与向量组(II)都是3维向量空间一个基;(2) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵;(3) 求向量12323ββββ=+-在基(I)下的坐标.解: (1)12311110020111A ααα===-≠-, 所以12,,ααα线性无关. 对于3维向量空间的任意一个向量α, 由于123,,,αααα线性相关, 故α可以由123,,ααα唯一线性表示. 所以它们可以作为3维向量空间一个基.类似可证得123,,βββ也是3维向量空间一个基. (2) 由过渡矩阵的定义, 有123123(,,)(,,)P βββααα=所以过渡矩阵1123123234(,,)(,,)010101P αααβββ-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.(3) 由(2)有123123(,,)(,,)P βββααα=, 所以123123123(,,)23βββββββ⎛⎫⎪=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭1231(,,)23P ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1232341(,,)01021013ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭123422ααα=--+故β在基123,,ααα下的坐标为T (4,2,2)--.四、在4R 中求向量v , 使它在标准基1234,,,εεεε和基T 1(2,1,1,1)β=-,T 2(0,3,1,0)β=, T 3(5,3,2,1)β=, T 4(6,6,1,3)β=下有相同的坐标.解 由题设知12341234(,,,)(,,,)A ββββεεεε=, 其中过渡矩阵A 为20561********13A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭设所求向量T1234(,,,)v x x x x =, 则它关于标准基的坐标为1234(,,,)x x x x , 从而它关于基1234,,,ββββ的坐标也为1234(,,,)x x x x .于是, 由坐标变换公式有v Av =, 即()0A E v -=. 解之得T (1,1,1,1)v k =-, k 为任意实数.五、在22R⨯中, 定义变换()T A A ααα=-, 22Rα⨯∈, A 是22R ⨯中一个固定的二阶方阵. 证明T 是22R ⨯内的一个线性变换.证 设22,R αβ⨯∈,12,R λλ∈, 则有121212()()()T A A λαλβλαλβλαλβ+=+-+1212A A A A λαλβλαλβ=+-- 12()()A A A A λααλββ=-+- 12()()T T λαλβ=+故T 是22R⨯内的一个线性变换.六、在3R 内的线性变换T 关于基123,,ααα的矩阵是1511520158876A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求T关于基11223βααα=++,212334βααα=++,312322βααα=++的矩阵.解 由题设, 123123(,,)(,,)B βββααα=, 其中231342112B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 即B是从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵. 又T 关于基123,,ααα的矩阵是A , 故T 关于基123,,βββ的矩阵为1100020003C B AB -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。
线性空间习题解答
第六章 线性空间习题解答P267.1设,,M N MN M MN N ⊆==证明:证明: 一方面.M N M ⊆ 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =.(2))()()(L M N M L N M =证明:(1).),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈.另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M ⊆.(2) 一方面,))(,)(L M L N M N M L N M ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M ⊆.另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x ∈∈则 若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n ⨯n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕, )2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+= . (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:k ⋅α=0.(7) 集合与加法同(6), 数量乘法为k ⋅α=α.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a-1, b), 则α, γ∈V, 但是, α+ γ∉V. (5) 证明: 10显然V 非空.022个代数运算封闭.03先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl α(7)(k+l)α =（（k+1）a1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+22211(2))2k l kl k l a ++--(8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-满足3,故V 是一个线性空间 (6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠，但这里。
第6章 线性空间(解答题)(65题)
1．什么是线性空间?答:设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在V 中定义了一个加法运算,在P 和V 的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V 为P 上的一个线性空间(或称向量空间).1).+=+αββα；2).++=++αβγαβγ（）（）； 3).V 中有一个元素0，V α∀∈都有+0=αα，0称为V 的零元素； 4).V α∀∈，存在V β∈，使得+=0αβ，β称为α的负元素； 5).1=αα； 6).()()k l kl αα=； 7).()k l k l ααα+=+； 8).(+)=+k k k αβαβ；其中α，β，γ表示V 中的任意元素；k ，l 表示P 中的任意数．2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P 上的一个线性空间，V 能否再定义另外的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？ 答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合{(,)|,}V a b a b R =∈．1).定义(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k a b ka kb ⊕=++=，则V 成为R 上的一个线性空间 2).定义2(1)(,)(,)(,),(,)(,)k k a b c d a c b d ac k a b ka kb a z+⊕=+++=+，则V 成为R 上的另一个线性空间.3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？ 答：1）零元素是唯一的；2）α的负元素是唯一的；3）000k k αα=⇔==或； 4）=αα--（）； 5）=k k k ααα-=--（）（）（）； 6）()k a b ka kb -=-；7）,V αβ∀∈，存在唯一的V γ∈，使得=αγβ+.证明：容易验证1）—3）， 4）因为+=0αα-（），所以α为（α-）的负元，即=αα--（）.5）()(()0,()()k k k k k k ααααα+-=+-=∴-=-.另一式子可类似证明.6）()(())()=()=k k k k k k k k αβαβαβαβαβ-=+-=+-+--. 7）(),+=αβαβγβααχβ+-=∴=-是方程的解.又若1γ也是+=αχβ的解，则1+=+αγαγ.两边左加α-，有1=γγ.所以方程+=αχβ在V 中有唯一解.4．判断一个非空集合M 不是线性空间有哪些基本方法？ 答：1）M 是至少含两个元的有限集；2）M 关于定义的某一运算不封闭； 3）M 不满足8条规则中的任一条.5．线性空间的例子.答：1）数域P 按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R 和复数域 C 按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.2）已知数域⊆P 数域P ，按照数的加法和乘法，P 构成P 上的线性空间.3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个 实线性空间.4）分量属于数域P 的全体n 元数组，对于n 元数组的加法与数乘构成P 上的一个线性 空间，记作nP .5）无穷实数列的全体：12={()|1,2}i I x x x i ∞∈=，，R ，，对于121211221212()()()=(),x x y y x y x y k x x kx x k R +=++∈，，，，，，，（，，），k ，构成一个实线性空间.6）n 元齐次线性方程组0x =A 的解向量的全体，对于n 维向量的加法和数乘构成P 上的线性空间（为nP 的子空间）.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.8）数域P 上全体n 阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.9）设m n ⨯∈A P，则全体与A 可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成m n⨯P的一个线性空间.10）数域P 上全体满足条件trA=0（trA 表示A 的迹，即A 的主对角线元素之和）的n 阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P 上的一个线性空间.11）数域P 上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作x P[].12）次数小于n 的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作n x P[].13）集合W={()|()(1)0}n f x f x x f ∈=R[]且对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R 上的线性空间.14）数域P 上形如352113521n n a x a x a x a x ++++++的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间.15）数域P 上多项式()g x 的倍式的全体：W={()|()|()}f x g x f x ，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间. 16）由0及数域P 上的m 元n 次多项式121211212(,)()m m m k k k m k k k m k k nf x x x a x xx k ++==∑，，为正整数的全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，其中12mk k k a P ∈.17）对于在区间[,]a b 上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.[,]a b 上的连续实函数全体为其子空间，记作[,]C a b .18）全体形如1122sin cos sin 2cos 2sin cos 2n n a a t b t a t b t a nt b nt +++++++的实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间：1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；2）非齐次线性方程组AX=b(b ≠0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P 上次数不低于定数n 的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；4）有理数域定义运算：,;2k k βαβ∂∂⊕=+∂= 5）设P 为有理数域，对整数集定义运算：1,k βαβ∂⊕=+-∂=∂.证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也 不是线性空间.3）因两个次数不低于n 的多项式之和的次数可能低于n ，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.4）因1(0)2∂∂=≠∂∂≠不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间.5）取3,1,k l ∂===则()3,k l +∂=而5k l ∂⊕∂=.故()k l +∂≠（k l ∂⊕∂），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？ 答:设V 是数域P 上的线性空间,且()1,,,1i a V i s s ∈=≥，如果存在一组不全为零的数()1,,i k P i s ∈=，使得()11220s s k a k a k a +++=， （1）那么称向量组1,,s a a 是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.注 ○1一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. ○21,,s a a 线性无关 ⇔（1）式仅当10s k k ===成立.8.设1,,n αα线性相关,是否对任意一组不全为零的1,,n k k 都有110n n k k αα++=？答:不一定，比如0α=是线性相关的，它对一切非零数k 都有0k α=.而()()1,0,2,0βγ==就不可能对一切非零数12,k k 使得120k k βγ+=.9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？ 答：设12,,,,m αααβ都是数域P 上的n 维向量，如果有P 中的m 个数1,,m k k ，使1122m m k k k βααα=+++，那么称β是12,,,m ααα的线性组合，或称β可以由12,,,m ααα线性表出（线性表示）.如果向量组12,,,r ααα中每个向量都可以由向量组12,,,s βββ线性表出，且12,,,s βββ中的每个向量都可以由12,,,r ααα线性表出，那么称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的.10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？ 答：是的.不难证明以下三条成立：1） 反身性：每一个向量组都与自身等价. 2） 对称性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价.3） 传递性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，那么12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价.11.向量的线性相关性有哪些主要性质？ 答：容易证明的有：1） 零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2） 单个非零向量是线性无关的. 3） 设向量组()12,,,2m m ααα≥，则它们线性相关⇔至少存在一个向量，它可以由其余向量线性表出.4） 向量组()I 中如果有部分向量线性相关，则()I 一定线性相关. 5） 向量组()I 线性无关，则()I 的任意一个部分组必线性无关. 6） 向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表出，则12,,,r ααα线性无关r s ⇔≤.7） 任意1n +个n 维向量必线性相关.8） 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.(){}12,,,|.n n i P c c c c P =∈()1,,,1,2,,n i i in a a P i mα=∈=，则12,,,m ααα线性相关'0A x ⇔=有非零解，其中()()'1,,ij m m nA a x x x ⨯==.7.设()()1,1,,,,,1,2,,n i i ik i k in a a a a P i m α+=∈=，令()1,,i ik βαα=()1,2,,i m =则 1）若12,,m ααα线性相关⇒12,,,m βββ线性相关；2）若12,,,m ααα线性无关⇒12,,,m βββ线性无关.证：1）若存在不全为零的数1,,m l l ，使110m m l a l a ++=，则当然有110m m l l ββ++=.2）用反证法.若12,,,m ααα线性相关，则由1）知12,,,m βββ也线性相关，矛盾.13.如果12,,,m ααα线性无关，但12,,,,m αααβ线性相关，那么β可由12,,,m ααα线性表出，且表示法唯一.证：由假设存在一组不全为零的数11,,m k k +使1110m m m k k k ααβ++++=.若10m k +=，则由110m m k k αα++=，可证10m k k ===.这与假设矛盾，故10m k +≠，于是11m m l a l a β=++，其中1/,1,2,,i i m l k k i m +=-=.即β可由12,,,m ααα线性表出. 若1111m m m m l a l a s a s a β=++=++，则()()1110m mm l s ls αα-++-=.由12,,,m ααα线性无关，得()1,2,,i i l s i m ==，即表示法是唯一的.14.什么叫做极大线性无关组？ 答：如果向量组的一个部分组满足 1） 此部分组线性无关；2） 原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线性无关组.注：向量组与极大线性无关组是等价的.15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？答：一般不唯一.比如，()()()0,0,1,0,2,0αβγ===，则β是,,αβγ的极大线性无关组；γ也是,,αβγ的一个极大线性无关组.注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.○2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.16.什么叫做向量组的秩？ 答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.17.设V 是数域P 上的线性空间，1,,n αα，1,,s V ββ∈，且1,,n αα线性无关，()()11,,,,s n A ββαα=，其中(),i j i j n s A P αα⨯=∈，再设()1,,s A c c =，其中1,,s c c 为A 的n 维向量.若A k =秩，且1,,i ik c c 为()1,,s A c c =的一个极大线性无关组，则1）由（1）式知()12,,,,1,2,,i n i c i s βααα==. （2）○1先证1,,i ik ββ线性无关.设110i k ik l l ββ++=，那么110i k ik l l ββ=++()()112112,,,,,,n i k n ikl c l c αααααα=++()()1211,,,,,.n i k ik l c l c ααα= （3）因为12,,,n ααα线性无关，由（3）知11,,0i k ik l c l c = （4） 在n P 中，1,,i ik c c 线性无关，由（4）知10k l l ===.○2其次，再任取{}12,,,s ββββ∈，那么i c 可由1,,i ik c c 线性表出，即11i i k ik c m c m c =++，于是()12,,,i n i c βααα= ()()1211,,,n i k ik m c m c ααα=++ ()()112112,,,,,,n i k n ik m c m c αααααα=++11i k ik m m ββ=++.综合○1、○2，即知1,,i ik ββ为1,,s ββ的一个极大线性无关组.2）由1）即得{}1,,=s k A ββ=秩秩.注：这解决了求抽象线性空间V 的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求nP 中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.设()4321642f x x x x x =++-+，()422234f x x x x =++-，()4323491622f x x x x x =+--+，()43473f x x x x =+-+，求()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x 的极大线性无关组.解：把()i f x 都看成[]5P x 中元素，取[]5P x 中一组基2341,,,,x x x x ，那么()()234123461174041,,,1,,,,12901316124223f f f f x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令123461174041,,,,12901316124223C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求出1234,,,C C C C 的一个极大线性无关组为234,,C C C .于是（1）式中相应的()()()234,,f x f x f x 为()()()()1234,,,f x f x f x f x 的一个极大线性无关组.19.设1103301121,,,,24127142056A B C D F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为线性空间22R ⨯的一组基，那么()()111221221031213011,,,,,,,.21725421406A B C D F E E E E ⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 而1031213011321725421406⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩，所以向量组,,,,A B C D F 的秩等于3. 20.设1,,s αα的秩为r ，1,,r i i αα是1,,s αα中r 个向量，使得1,,s αα中每个向量都可被它们线性表出，则1,,ri i αα是1,,s αα的一个极大线性无关组.证：由假设可知1,,s αα可由1,,ri i αα线性表出，但1,,ri i αα可由1,,s αα线性表出是显然的，从而彼此等价.那么{}{}11,,=,,=r i i s r αααα秩秩.1,,r i i αα∴线性无关.21.如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩.证：当向量组()II 的秩为无穷时，结论显然成立.当()II m =秩时，由假设()I 的极大线性无关组也可由()II 的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证()()I II m ≤=秩秩. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.22.设12,,,n n P ααα∈，n 维标准单位向量()()11,0,,0,,0,0,,1n εε==可被它们线性表出，则12,,,n ααα线性无关.证：1,,n αα显然可被1,,n εε线性表出，又1,,n εε可被1,,n αα线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知()()11,,=,,=n n n ααεε秩秩.即知1,,n αα线性无关.注：○1这个命题的逆命题也是对的.○2在抽象的n 维线性空间V 中，此命题可改为：设1,,n ββ为V 的一组基，1,,r V αα∈且1,,n ββ可由1,,n αα线性表出，则1,,n αα也是V 的一组基.○3也可改述为：设1,,n αα是线性空间V 中的一组n 维向量，则1,,n αα线性无关⇔V 中任一n 维向量都可被它们线性表出.23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组. 证：设n 维向量组()I 中一个线性无关组()12II :,,,s ααα，如果()I 中每个向量可经()II 线性表出，则()II 为()I 的一个极大无关组.否则至少有一个向量()I α∈不能由()II 线性表出，将添到()II 中成为向量组()III ，则()III 中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于n ）后，向量组()II 即可扩充为()I α∈的一个极大无关组.24.设向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,,m αααβγ线性相关.证明：或者β与γ中至少有一个可由12,,,m ααα线性表出，或者12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.证：因12,,,,,m αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数12,,,,,m k k k b c 使110m m k k b c ααβγ++++=.显然，,b c 不全为零，否则与12,,,m ααα线性无关矛盾.当0,0b c ≠=时，β可由12,,,m ααα线性表出；当0,0b c ≠≠时，β可由12,,,,m αααγ线性表出，γ可由12,,,,m αααβ线性表出，因而12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.25.设12,,,n n P ααα∈且线性无关，则12,,,n A A A ααα线性无关⇔()=A n 秩.其中A是数域P 上的n n ⨯矩阵. 证：令()12,,,n B ααα=.因1,,n αα线性无关，所以0B ≠.必要性 设12,,,n A A A ααα线性无关，即()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以0A ≠，即()=A n 秩.充分性 设()=A n 秩，即0A ≠，从而()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以12,,,n A A A ααα线性无关.26. 设向量组12,,,s ααα的秩为r ，在其中任取m 个向量12,,,mi i i ααα，则{}12,,,m i i i r m s ααα≥+-秩.证：设12,,,m i i i ααα的秩为t ，现将它的一极大无关组（含t 个向量）扩充为1,,s αα的一个极大无关组（含s 个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r t -.因1,,s αα除向量组1,,m i i αα外，还有s m -个向量，因此，r t s m -≤-，即t r m s ≥+-.27.设123r βααα=+++，213r βααα=+++，，121r r βααα-=+++，则1）1,,r ββ与1,,r αα有相同的秩；2）1,,r αα的任意一个极大线性无关组也是11,,,,,r r ααββ的极大线性无关组.证：1）由假设知1,,r ββ可由1,,r αα线性表出.但是()()1212+=1r r r βββααα++-+++()()12121=+1r r r αααβββ+++++- （1）用（1）式减去假设的每一个式子，可得11221212211,111121,111112.111r r r r r r r r r r r r r r r r αβββαβββαβββ-⎧=+++⎪---⎪-⎪=+++⎪---⎨⎪⎪-⎪=+++⎪⎩--- 即1,,r αα也可由1,,r ββ等价，所以{}{}11,,,,r r r ββαα=≤秩秩.2） 由1）知1,,r αα与11,,,,,r r ααββ等价，可知1,,r αα的一个极大线性无关组就是11,,,,,r r ααββ的一个极大线性无关组.28.设向量组1,,s αα中10α≠且每个()2,3,,i i s α=都不能由11,,i αα-线性表出，则1,,s αα线性无关.证：用反证法.如果1,,s αα线性相关，那么有不全为零的数12,,,s k k k 使1122=0s s k k k ααα+++ （1）从右至左，设第一个不为零的数是l k ，而10l s k k +===，则（1）式为1122=0l l k k k ααα+++.因10α≠，所以1l ≠，故112121111l l l k k kk k k αααα--=----.即l α可由121,,,l ααα-线性表出，此与题设矛盾.所以1,,s αα线性无关.29.如果()()()123,,f x f x f x 是线性空间[]P x 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数123,,k k k ，使()()()1122330k f x k f x k f x ++=.不妨设10k ≠，则()()()3212311=k k f x f x f x k k --+. 此式说明()()23,f x f x 的最大公因式就是()1f x 的因式，即()()()()()()()12323,=,f x f x f x f x f x .此与()()()()123,=1f x f x f x 及()()()23,1f x f x ≠矛盾，所以()()()123,,f x f x f x 线性无关.30.设12,,,m ααα线性无关，则122311,,,,m m m αααααααα-++++线性无关的充分必要条件是m 为奇数.证：令112223111,,,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+，由题设得()()1212,,,,,,m m A βββααα=，其中10110011n mA ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 按第一行展开，()12,110,m m A m +⎧=+-=⎨⎩为奇数；为偶数， 而12,,,m βββ线性无关的充分必要条件是0A ≠，即m 为奇数31.设向量组12,,,m ααα线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无关，则 1）等式1122=0m m k k k ααα+++中的系数()1,,i k i m =或者全为0，或者全不为0.2）当存在两个等式1122=0m m k k k ααα+++ （1） 1122=0m m l l l ααα+++ （2）其中10l ≠时，（1），（2）的对应系数成比例：1212mmk k k l l l ===. 证：1）当()1,,i k i m =全为0时，恒为等式的解.以下设有一个i k 不等于0，不失一般性，设10k =.此时其余的()2,,i k i m =都不为0.若等式化为()100j j j ik k α≠=≠∑，于是这1m -个向量线性相关，此与题设矛盾.2） 由于10l ≠，由1）知: 2,,m l l 均不为0.如果()1,,i k i m =全为0，那么结论成立.否则i k 全不为0，()()112i l k ⨯-⨯，得()()11212211100m m r l k k l l k k l ααα-+-++-=.由1），因1α的系数为0，所以2,,m αα的系数全为0，即121210m m l k k l l k k l =-==-，即1212mmk k k l l l ===.32.求向量组()11,2,2,3α=-，()22,4,1,3α=--，()31,2,0,3α=-，()40,6,2,3α=，()52,6,3,4α=-的一个极大线性无关组.解1（初等变换法）以12345,,,,ααααα为列作矩阵A ，对A 施行初等变换为阶梯型矩阵B ：121212102242660322121023000313333400000A B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由B 可知：124,,ααα；134,,ααα；125,,ααα；135,,ααα均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方法可以找到向量间的全部极大无关组.解2（子式法）因矩阵A 的4阶子式均为0，而3阶子式11022612022--=-≠，所以134,,ααα为一极大无关组.解3（逐一扩充法）因10α≠，所以1α线性无关，又因12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关.因123,,ααα线性相关（这可由123,,ααα作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），所以3α不收入.再观察124,,ααα，由于124,,ααα作成的矩阵有非零的3阶子式，所以124,,ααα线性无关，又因1245,,,αααα线性相关，所以124,,ααα为一极大无关组.33.什么叫做线性空间的基于维数？答：如果数域P 上的线性空间V 有n 个线性无关的向量12,,,n ααα，而且V 中每个向量都可以由它们线性表出，那么称这组向量为V 的一组基（基底）.也称12,,,n ααα生成（或张成）线性空间V .12,,,n ααα为V 的一组生成元.基中所含向量的个数n 称为V 的维数，记作dim V n =或()V n =维.称V 为维线性空间.如果V 中有任意多个线性无关的向量，那么称V 为无限维线性空间，记为dim V =∞.如果{}0V =，那么称V 是零维的，记为dim 0V =.注：○1线性空间V 的基，实际上就是V 的一个极大线性无关组.○2一个线性空间V 有一组基1,,n αα，取()ij n nA α⨯=，当0A ≠时，令，其中为的列向量，令()1,,n A c c =，其中1,,n c c 为A 的列向量，令()1,,i n i c βαα=()1,2,,i n =则可知1,,n ββ也是V 的一组基.由此可知V 的基不是唯一的.○3两组基之间是互相等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是互相等价的.34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？答：1）数域P 看成自身上的线性空间，则1是它的一组基，dim 1P =. 2）复数域C 看成实数域R 上的线性空间，1,i 是C 的一组基，dim 2P =.3）实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，则dim P =∞.事实上，21,,,ππ是线性无关的.因为如果21,,,,n πππ线性相关的话，那么π是代数数了，而π是超越数.故对一切自然数n ，向量组21,,,,n πππ都线性无关，由n 的任意性，故dim P =∞.4）全体正实数R +，定义a b ab ⊕=，k k a a =，则R +为R 上的1维线性空间.任何一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定(),1,1R Ra ββα++∈≠∀∈≠，有()log log βαβαβαβ==，即α可由β线性表出，所以是一维的.5）数域P 上的全体n 元数组构成的线性空间nP 是n 维的，()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=是一组基.6）n 元齐次线性方程组0Ax =（A 为m n ⨯矩阵，()=A r 秩）的解空间是n r -维的，其基础解系是它的一组基.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体m nP⨯的维数是mn .以ij E 表示第i 行第j 列元素为1，其余元素为0的m n ⨯矩阵，则()1,2,,;1,2,,ij E i m j n ==为m n P ⨯的一组基.8）实数域上全体n 级实对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij ij E E i j n +≤≤≤为一组基. 9）实数域上全体n 级反对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n -.()1ij ij E E i j n -≤≤≤为一组基. 10）实数域上全体n 级上三角矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij E i j n ≤≤≤为一组基.11）全体形如1230n nX P X X ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭的矩阵（1X 为r r ⨯矩阵）构成的线性空间，因零块有()r n r -个元素，所以线性空间的维数是()2n r n r --.(),;,1,2,,ij E i r j r i r j n ≤≤≥=为一组基.12）全体n nA P⨯∈且满足0trA =（A 的迹为0）的矩阵构成的线性空间的维数是()()2211nn n n -+-=-，除nn E 外的一切,,1,2,,ij E i j n =为一组基.13）次数小于n 的一元多项式的全体加上零多项式构成的线性空间[]n P x 的维数是n ，且211,,,,n x x x -为一组基.14）线性空间()()[](){}|10n W f x f x R x f =∈=且的维数是1n -.且121,1,,1n n x x x -----是W 的一组基.15）数域P 上m 元n 次齐次多项式()()121211212,,,mmm k k k m k kk m i k k nfx x x x x x k α++==∑为正整数和零多项式构成的线性空间的维数是()()()()1211n n n m m +++--!，1212m k k k m x x x1m i i k n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数实际上是从m 种元素中每次取n 个元素的有重复的组合数，即()12nm x x x +++展开后不同类的项数：()()()()1111211n n m m n m n m n n n m C C C m -+-+-+++-===-!.16）分量属于复数域的全体n 元数组构成实数域R 上的线性空间的维数是2n .()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=，()11,0,,0η=，()20,1,,0η=，，()0,,0,1n η=为一组基（为虚数单位）.17）线性空间V 中m 个向量生成的子空间()1,,m L αα的维数等于1,,m αα的秩，1,,m αα的任一极大无关组都是()1,,m L αα的一组基.36.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中2100100,200A ωωω⎛⎫-+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.解：因为2ω=，31ω=，所以21,3;,31;,3 2.n n k n k n k ωωω=⎧⎪==+⎨⎪=+⎩从而2232100,3;00,,,31;00,3 2.n E n k A A E A A n k A n k ωω=⎛⎫⎧⎪ ⎪====+⎨ ⎪⎪ ⎪=+⎝⎭⎩设21230k A k A k E ++=，得1232123212300,0.k k k k k k k k k ωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）因系数行列式不为零，所以方程组（1）只有零解：1230k k k ===.说明2,,E A A 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是2,,E A A 的线性组合，所以V 的维数是3. 2,,E A A 是V 的一组基.37.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中()120,,0i j in a a A a a i j a R a ⎛⎫⎪⎪=≠≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：易证对正整数k ，有11201100k kn n k n a a A k E k A k A a --⎛⎫ ⎪⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）事实上，由矩阵的相等得，101111110121221011,,.n k n n kn n k n n n n k k a k a a k k a k a a k k a k a a ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）（2）式的系数行列式D 是范德蒙行列式，故()10ji i j nD aa ≤≤≤=-≠∏.所以方程组有唯一解011,,,n k k k -.这就证明了（1）.再令10110n n k E k A k A --+++= （3）（3）式为（2）式右端为零的情形.由于0D ≠，所以只有零解：0110n k k k -====，说明1,,,n E A A -线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是21,,,,n E A A A -的线性组合，所以dim V n =，21,,,,n E A A A -为一组基.38.设V 为数域P 上的线性空间，V 为从V 中任取m 个元素组成的向量()12,,,m ααα的集合.1）按向量的加法和数乘运算，V 为P 上的线性空间； 2）当V 为无限维时，V 也是无限维； 3）当V 为n 维时，求V 的维数和一组基. 证：1)()0=00V ∈，，，V ∴非空.另外，V 关于加法和数乘运算封闭，且满足定义中的8条规则，所以V 是域P 上的线性空间. 2）当V 是无限维时，取12,,,n βββ为V 的n 个线性无关的向量，令(),0,,0i i ηβ=()1,2,,i n =，则12,,,n ηηη线性无关.由n 的任意性知，V 有任意个线性无关的向量，即V 是无限维的.3）当dim V n =，可推得dim V mn =. 事实上，设12,,,n εεε为V 的一组基.令()1,0,,0i i ηε=，()20,,,0i i ηε=，，()0,0,,ni i ηε=，1,2,,i n =，则这个m n ⨯个向量均线性无关.()12,,,m V αααα∀=∈，因()11,2,,nj ij i i k j m αε=∀==∑，所以()1212111,,,,,,m nnnm i i i i i i i i i k k k αααεεε===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑()()()12111,0,,00,,,00,0,,nnni i i i i i im i i i i i k k k εεεεεε====+++∑∑∑1122111nnni i i i im im i i i k k k ηηη====+++∑∑∑.即α可由mn 个向量()1,,;1,,ij i n j m η==线性表出，所以它们是V 的一组基，dim V mn =.39.什么叫做向量的坐标？答：设V 为数域P 上的n 维线性空间，1,,n αα为V 的一组基.设V β∈，则()111221,,n n n n k k k k k βααααα⎛⎫ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭.称()1,,n k k 为β在基1,,n αα下的坐标.注：○1同一个向量β，在不同基下的坐标一般是不相同的.○2同一个β，当基1,,n αα排列顺序不同时，坐标也不同.比如V 的一组基为123,,ααα，令12335βααα=++，那么β在基123,,ααα下的坐标为()1,3,5，而在下的坐标为()1,5,3.○3这里的坐标概念是解析几何中坐标概念的推广.在平面解析几何中，相当于取基()11,0e =，()20,1e =，在空间解析几何里，相当于取基()11,0,0η=，()20,1,0η=，()30,0,1η=.而代数中是把它们抽象化，并把上述情形作为特例. V 中的基1,,n αα相当于建立一个坐标系.β的坐标()12,,,n n k k k P ∈，相当于β在坐标系12,,,n ααα下的坐标.40.什么叫过渡矩阵？答：过渡矩阵相当于n 维线性空间V 的两组基之间的变换公式.下面给出定义.设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，那么()1,,i n i c βαα=，1,2,,k n =. （1）其中12,,1,2,,i i i ki ni c P k n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭.把（1）式改写为()()11,,,,n n A ββαα=. （2）其中()()1,,n n ij n n nA c c P α⨯⨯==∈.称A 为基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵，并称（2）为基变换公式.注：○1如果0A ≠，即A 为可逆矩阵.○2由（2）式知()()111,,,,n n A ααββ-=， （3）即1A -为基1,,n ββ到基1,,n αα的过渡矩阵.○3求1,,n αα到1,,n ββ的过渡矩阵A ，只要求出每个i β在基1,,n αα下的坐标（1）即可.41.什么叫坐标变换公式？ 答：设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，由基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵为A .向量γ在基1,,n αα下的坐标为()1,,n x x .设γ在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n y y ，那么111n n y x A y x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1） 公式（1）称为坐标变换公式.42.设1,,n αα为线性空间V 的一组基.1）1121212,,,n n βαβααβααα==+=+++也是V 的一组基.2）当向量α在基1,,n αα下的坐标为(),1,,2,1n n -时，求α在基1,,n ββ下的坐标.证：1）因为()()11,,,,n n A ββαα=，其中1101A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1A =， 所以1,,n ββ线性无关，从而为V 的一组基.2）设α在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n x x ，由坐标变换公式知121110111112201111n n n x n n x A x -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 43.在[]3P x 中，求221,,x x x x ++到基221,,x x x x -+的过渡矩阵. 解：因为21,,x x 为[]3P x 的基，所以()()()22221001,,1,,1101,,111x x x x x x x x A ⎛⎫⎪++=-= ⎪ ⎪-⎝⎭. （1） 于是()()()2221221001,,1,,=1,,110111x x x x x x A x x x x -⎛⎫⎪=++++- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2） 又()()()22221001,,1,,0111,,011x x x x x x x x B ⎛⎫⎪-+== ⎪ ⎪-⎝⎭， （3） 将（2）代入（3）得()()()22221221001,,1,,1,,111120x x x x x x x x A B x x x x -⎛⎫⎪-+=++=++- ⎪ ⎪-⎝⎭. 所以100111120C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为所求的过渡矩阵.44.已知()()()()12341,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,εεεε=⎧⎪=--⎪⎨=--⎪⎪=--⎩()()()()12341,2,3,1,2,1,0,1,1,1,0,1,2,1,1,2,ηηηη=⎧⎪=⎪⎨=--⎪⎪=-⎩分别是4P 的两组基，求i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵.并求()1,1,0,1δ=-关于基1234,,,ηηηη的坐标.解：因为()11,0,0,0δ=，()20,1,0,0δ=，()30,0,1,0δ=，()40,0,0,1δ=是4P 的基，由i δ到()1,2,3,4i i ε=的过渡矩阵A 以及由δ到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵B 分别为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， 1212211130011112B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭由i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵为1A B C -=，1741212141103443212C A B --⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭. 令δ关于基()1,2,3,4i i η=的坐标为()1234,,,x x x x ，则121341112105413x x B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 45.什么叫做线性子空间？答：设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算（加法和数量乘法）也构成线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间，简称子空间.46.什么叫做V 的平凡子空间？答：V 中仅含单个零向量的子空间称为零子空间，V 本身也是V 的一个子空间，这两个子空间称为V 的平凡子空间，V 除平凡子空间外的子空间（如果存在的话），称为V 的非平凡子空间.47.什么叫做生成子空间？答：V 中任意m 个向量的所有可能的线性组合(){}111,,|,1,2,,m m m i L k k k P i m αααα=++∈=构成V 的一个子空间，称为由1,,m αα张成（或生成）的子空间.注：这一记号非常重要.设V 是n 维的，若()1,,n V L αα=，则1,,n αα为V 的一组基.48.怎样判别子空间？答：设W 是V 的一个非空子集，则W 为V 的子空间的充要条件是：W 对于V 的两种运算是封闭的，即○1,W αβ∀∈都有W αβ+∈； ○2,W k P α∀∈∀∈，都有k W α∈. 条件○1与○2可以合并成一条：,W αβ∀∈及12,k k P ∀∈都有12k k W αβ+∈.49.生成子空间有哪些主要结论？ 答：1）()()11,,,,s t L L ααββ=的充分必要条件是1,,s αα与1,,t ββ等价.2）()()()1111,,,,,,,,,s t s t L L L ααββααββ+=.3）()1,,s L αα的维数{}1,,s αα=秩4）n 维线性空间V 的子空间的一组基必可扩充为V 的一组基.50.常见到子空间有哪些?答：1）V 的两个平凡子空间.2）全体实函数组成的线性空间中，由所有实系数多项式组成一个子空间.3）[]n P X 是线性空间[]P X 的n 维子空间.4）线性变换:V V σ→的值域V σ是V 的子空间.设线性变换在某一组基下矩阵为A ，则其维数等于A 秩，σ的核()10σ-是V 的子空间，其维数等于dim V A -秩5）线性变换:V V σ→的属于特征值λ的特征向量的全体添上零向量是V 的特征子空间，记作V λ.若dim V n =，设σ在某一组基下的矩阵为A ，则()dim V n E A λλ=--秩6）数域P 上n 元齐次线性方程组0AX =的解空间W 是n P 的子空间，dim W n A =-秩.7. 设1,,n εε为数域P 上线性空间V 的一组基，m n A P ⨯∈，A r =秩，()'11,,n n c c Pα⨯=∈则()'11|,,0ni i n i W c A c c ε=⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∑是V 的n r -维子空间.证：1）先证W 是V 的子空间.其0W ∈知W 非空（这时取()()1,,0,,0n c c =即可）.任取()11,,n n c c βεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,,n n d W d γεε⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，那么10n c A c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10n d A d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12,k k P ∀∈，则()1112112,,n n n c d k k k k c d βγεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111112120n n n n c d c d A k k k A k A c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以12k k W βγ+∈，从而W 为V 的子空间.2）设0Ax =的解空间为1W ，则1dim dim W W n A n r ==-=-秩.51.什么叫做交空间？答：设V 是数域P 上的线性空间，()V I λλ∈都是V 的子空间，则IV λλ∈⋂也是V 的子空间，并称它为()V I λλ∈的交空间. 注:○1显然IV λλ∈⋂也是V λ的子空间.○2子空间的交是线性空间的一种运算.52. 子空间的交有哪些性质？答：1）适合交换律：1221V V V V ⋂=⋂；2）适合结合律：()()123123V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂；3）A ,B 分别为m n ⨯与s n ⨯矩阵，A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设123,,V V V 分别为0Ax =，0Bx =，0Cx =的解空间，则312V V V =⋂.53.什么叫做和空间？答：子空间的和是线性空间的第二种运算.设1V ，2V 都是V 的子空间，则{}121122|,V V ααααα=+∈∈也是V 的子空间，记作12V V +.一般的，设1,,n V V 都是V 的子空间，它们的和空间定义为{}1212++|,1,2,,n n i i V V V V i n ααααα+++==+∈=.注：○112112V V V V V ⋂⊆⊆+，12212V V V V V ⋂⊆⊆+.○2设W 是线性空间，且()W V I λλ⊆∈，则I W V λλ∈⊆⋂. ○3设1V W ⊆，2V W ⊆，W 是线性空间，则12V V W +⊆.54.子空间的和有什么性质？ 答：1）1221V V V V +=+；2）()()123123V V V V V V ++=++； 3）下面三条等价 （i ）12V V ⊆，(ii)121V V V ⋂=， （iii ）122V V V +=，55设1V ，2V 是V 的两个子空间，则1V È2V =1V +2V Û1V Í2V 或2V Í1V 。
(完整版)b第六章_线性空间测试题
高等代数第六章——线性空间测试题一、填空题（1）已知R 3的两组基Ⅰ；)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===αααⅡ)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为 。
（2）在中，已知，，，22⨯P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01112A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00113A 是的基，那么，在该基下的坐标为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014A 22⨯P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A 。
（3）设是方程组解空间，是方程组1W 04321=+++x x x x 2W 那么∩是方程组 的解空间。
⎩⎨⎧=+-+=-++0043214321x x x x x x x x 1W 2W （4）设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W ==()=+21dim W W 。
（5）设、都是V 的子空间，且+为直和，那么 1W 2W 1W 2W ()=⋂21dim W W 。
二、判断题：（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。
（ ）（2）实数域上的全体几级可逆矩阵做成的子空间。
（ ）R n n n P ⨯（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。
（ ）（4）线性空间V 中任意两个子空间的并集仍是V 的子空间。
（ ）（5）在子空间的和+中，如果，且这种表示形式唯一，1W 2W ),(0221121w w ∈∈+=αααα那么+为直和。
（ ）1W 2W 三、在中，22⨯P ,1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G ,111,11132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G a G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G 1114当为何值时，线性相关？a 4321,,,G G G G 当为何值时，线性无关？a 4321,,,G G G G 四、设}{P a a a x a x a a x P o o ∈++=212213,,|][（1）证明1，是的基，并求由该基到基的过渡矩阵。
线性空间习题解答
第六章 线性空间习题解答 P267.1 设M N,证明 :MNM ,M N N证明 : 一方面 M NM . 另一方面 , 由于 M M ,M N, 得 MM N.2 证明: (1) M (N L) (M N ) (M L).(2) M (N L) (M N) (M L)证明: (1) 设x M (N L), 则x M 且x N L. 即 x M 且x N 或 x M且 x L. 于是有x(M N ) (M L).另一方面 , 因为 MN M (NL), M L M (N L), 所以(M N) (M L) M (N L).(2) 一方面, M (N L) M N, M (N L) M L), 所以M (N L) (M N) (M L).另一方面 , x (M N) (M L), 则x M N 且x M L.若 x M ,则x M (N L). 若 x M ,则x N 且x L. 所以 x N L. 总之有x M (N L),所以 (M N ) (M L) M (N L) .3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间 . (1) 次数等于 n(n 1)的实系数多项式的全体 ,对于多项式的加法和数量乘法 . (2) 设 A 是 n n 实矩阵, A 的实系数多项式 f(A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘 法. (3) 全体 n 级实对称 (反对称 ,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法 . (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合 ,对于向量的加法和数量乘 法. (5) 全体实数的二元数列 ,对于下面定义的运算 :(a 1,b 1) (a 2,b 2) (a 1 a 2,b 1 b 2 a 1a 2 ),k (a 1,b 1) (ka 1,kb 1 k(k 1)a 12).2(6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:k =0.(7)集合与加法同(6), 数量乘法为k = .(8)全体正实数R+, 加法和数量乘法定义为: a b=ab, ka=a k.(1)否. ,因为2个n次多项式相加不一定是n次多项式. 取f(x)=x n, g(x)=x n-1. 则f(x)+g(x)=-1 不再是n次多项式.(2)是. 因为集合V { f (A)| f (x) R[ x]}作为n级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3)是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称( 反对称,上三角)矩阵.(4)否. 设V | 为平面上不平行的向量, =(a,b) 0. 取=(a+1,b),=(a-1, b), 则, V, 但是, + V.(5)证明: 1 0显然V非空.20 2 个代数运算封闭.30先设(a1, b2 ), (a2,b2 ),r (a3,b3 ),及k,t R(1) (a2 a1,b2 b1 a2a1)(2) ()r ((a1 a2) a3 ,( b1 b2 a1a2) b3 (a1 a2)a3 (a1 a2 a3,b1 (b2 b 3 a2a3)( r) (a1 (a2 a3),b(b2 (b2 b3 a2a3) a1(a2 a3) (a1 a2 a3,b1 b2 b3 a2a3 a1a2 a1a3) ( )2(3) 0 (0,0), 0 (a1 0,b1 0 a10)(a1,b1)(4) 的负为(a1,a 12b1). ( ) )a1 ( a1), b1 22 b1) a1( a1)) (0,0) 012(5)1 (1 a1,1 b1 21 (1 1)a12) (a1,b1)12(6)k (l ) k (la1,lb12l(l 1)a121 2 1 2...... (kla1,k(lb1 k(k 1)a12) k(k 1)(la1)2)1 12121121 2 2 2=((k+1)a1,(k+l)b 1+ (k2 l2 2kl k l)a12)(kla1 klb kla12 (l 1 (k 1))12=(kla1,klb1+ kl((k 1)a12)=kl12(7)(k+l) =((k+1)a1,(k+l)b1+ (k l)(k l 1)a12)(1) a b=b a=ba (2) (a b) c=(ab)c=a(bc)= a (b c) (3) 零元 0=1, a 0=a1=a11 (4) 负元 -a= ,a (-a)=a =1=0. aa1(5) 1 a=a 1=a (6) k (l a)=k (a 1)=(a 1)k =a lk =(lk) a (7) (k+l) a=a (k+l) =a k a l =a k a l =k a l a (8) k (a b)=k (ab)=(ab)k =a k b k = a k b k= k a k b 故 R +关于 做成 R 上的向量空间 .4. 在线性空间中 , 证明: (1) k0=0. (2) k( ) k k证明: (1) 设 是线性空间的任一个向量 ,由零向量的性质 +0= ,再由分配律 : k( +0)=k = k +k0, 所以 k0=0.(2) 由(1)得 k( +( ))=k0=0=k +k( ), 得 k( )= k . 所以 k( )=k( +( ))=k + k(- )=k k .5. 证明: 在实函数空间中 , 0, cos 2t, cos2t 是线性相关的 . 证明:cos2t=2cos 2t 1, 所以1 2cos 2t cos2t=0. ∴ 1.cos 2t ,cos 2t 线性相关6. 如果是 f 1,f 2,f 3 线性空间 P[x]中的三个互素的多项式 , 但是其中(ka 1k(8)k( la 1, kb 1 12k(k 1)a 12(b 112)l(ll 2 22 1)a 1 ka 1 la 1) (ka 1 (ka 1 ) k (a 1 a 2,b 1 b 21k(k 2 1k(k 2 2ka 2, kb 1 ka 2,( kb 11)a 121)a 12) 12a 1a 2) (k(a 1 a 2 ), k(b 1 b 2 a 1a 2 2k(k 1)(a 1 a 2)2) 12(ka 1,kb 2 2k(k 1)a 12) 满足 3,故 V 是一个线性空间否. 不满足定义 3 之(5): 1 (ka 2kb 2 12 kb 2 k(k 1)a 2212 (kb 2 k(k 1)a 2212ka 1a 2 k(k (k 2a 1a 2)) 1)a 1a 2 ) (6)，但这里 1 0。
线性空间
第六章 线性空间自测题一、判断题(正确的结论打“√”，并给出简单证明，错误的打“×”，试给出反例)1、定义在整数集上的实函数全体，按通常函数的运算构成实数域上的线性空间。
( )2、设W 是线性空间V 的子空间，若存在V ∈βα,，但W ∉α且W ∉β，则必有W ∉+βα( )3、若线性空间V 的任一向量均可由线性无关的向量组r ααα,,,21 线性表出，则r V =dim 。
( )4、设由基n εεε,,,21 过渡到基n ηηη,,,21 的矩阵为A ，由基n ηηη,,,21 过渡到基n γγγ,,,21 的矩阵为B ，则由n εεε,,,21 过渡到n γγγ,,,21 的矩阵为AB 。
( )5、设V 是一个线性空间，且}0{≠V ，则它不能表示为它的两个非平凡子空间的并集。
( )6、设由n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，则113221,,,,εεεεεεεε++++-n n n 也是V 的一组基。
( )7、设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，满足 12{0}V V =，则12V V V =⊕。
( )8、无限维线性空间可能与它的某个真子空间同构。
( )二、填空题(将正确的结果填写在题中的横线上)1、设列向量12,,,n ααα与12,,n βββ都是线性空间n P 的一组基,记n 阶矩阵()12,,,n A ααα=,()12,,n B βββ=,则由基12,,,n ααα到12,,n βββ的过渡矩阵是____________。
2、设,,αβγ是线性空间的三个线性无关的向量,记()()()123,,,V L V L V L αβγ=== 则子空间 ()123V V V +⋂= 。
3、V 为数域P 上向量空间4V P =，1(1,2,1,0)α=，2(1,1,1,1)α=-，3(2,1,0,1)α=-，4(1,,3,7)αλ=，V 的子空间112(,)V L αα=，234(,)V L αα=，则λ= 时，12dim()1V V ⋂=。
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第六章 线性空间—自测练习
一.判断题
1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。
2.两个线性子空间的并仍是子空间。
维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。
4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。
5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。
6.同构映射的逆映射仍是同构映射。
7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。
8.同构的线性空间有相同的维数。
?
9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。
10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。
二.计算与证明
1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维
数。
2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。
3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。
求12W W +与12W W 的基与维数。
4．P 为数域，22P ⨯中1,,x x V x y z P y z ⎧-⎫⎛⎫=∈⎨⎬
⎪⎝⎭⎩⎭，2,,a b V a b c P a c ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 1）证明：12,V V 均为22P
⨯的子空间。
2）求12V V +和1
2V V 的维数和一组基。
5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈
{
证明：3P =12V V ⊕
6.设V 是定义在实数域R 上的函数所组成的线性空间。
令
1{()|()(),()}W f t f t f t f t V ，2{()|()(),()}W f t f t f t f t V 证明：12,W W 均是V 的子空间，且12V W W =⊕。
7. 设A 为n 级实方阵, A 为幂等阵（2A A =），齐次线性方程组0=Ax 的解空间为1W ，()0A E x -=的解空间为2W .
证明:n
R =1W ⊕2W 8. 设M 是数域P 上形如1211231n n n a a a a a a A a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的循环矩阵的集合， (1)证明:M 是线性空间 n n P ⨯的子空间.
(2)证明:,,A B M ∀∈有AB BA =.
(3)求M 的维数和一组基.
…
9.设{(,,)|,}W a a b a b a b R 。
证明：(1) W 是3R 的子空间。
（2）W 与2R 同构。
10.设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=0110A ，证明：由A 的全体实系数多项式集合V 关于矩阵的加法与数乘运算构成的R 上的线性空间与复数域C 作为R 上的线性空间同构.
11. C 为复数域，令,H C
证明：（1）H 关于矩阵加法和数与矩阵乘法构成实数域R 上的线性空间。
（2）求H 的一组基和维数。
（3）H 与4R 同构，并写出一个同构映射。
12. R 为实数域，,a b M a b R b a
证明：（1）M 是实数域R 上的线性空间。
（2）求M 的一组基和维数。
【
（3）M 与复数域C 作为R 上的线性空间同构，并写出同构映射。
13.设P 为数域，n n A P ，(),()[]f x g x P x ，且((),())1f x g x ， 12(,,,)'n n X x x x P 。
对于n P 中的三个子空间：
{|()()0}n V X P f A g A X =∈=，1{|()0}n V X P f A X =∈=， 2{|()0}n V X P g A X =∈=。
证明：12V V V =⊕。