二重积分的坐标变换(课堂PPT)
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2109二重积分的极坐标变换
积的 8 倍, 而这部分是以z =
c
1−
x2 a2
−
y2 b2
为曲顶,
=D
( x , y)
0≤ y≤ b a
a2
−
x2
,
0
≤
x
≤
a
为底的曲顶柱体,
所以
∫∫ = V 8 c 1 − x2 − y2 dxdy .
D
a2 b2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”dxdy 换
成 r drdθ .
下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分 来计算.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
1. 常用的是将 ∆ 分解为 rθ 平面中的θ 型区域. (i) 若原点 O ∉ D , 则 θ 型区域必可表示成(图21-27)
广义极坐标变换
二重积分的广义极坐标变换
当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时, 可考虑用如
下的广义极坐标变换:
x = ar cosθ ,
T
:
y
=
br
sinθ
,
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ 2π ,
并计算得
a cosθ −ar sinθ = J (r , θ ) = abr .
bsinθ br cosθ
第九讲 二重积分的极坐标变换
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
同济大学也高等数学二重积分(极坐标系下)PPT课件
f (x, y) dx
c
1(y)
2
(3) 一般区域D下,分割成若干块X-区域或Y-型区域.
3. 问题: 在极坐标系下,二重积分的计算会是 怎样的?
(1) 极坐标变换 (2) 极坐标线
3
二. 极坐标系下二重积分的计算
1. 表达式 设f (x, y)在有界闭区域 D上连续,在极坐标系
下D的表达式为 D, 则
v
ou
u
D
ev
1 2
dudv
e e1
14
例21.10
计算椭球体
:
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1 的体积.
解:
V 8
c
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
8c
1 r 2 abrdrd 8abc
1
2 d
1 r 2 rdr
D
0
0
4 abc .
3
15
0
8a 3 3
2
cos3
d
2
o
32 a3. 9
2a x
6
例21.2. 计算
其中 D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下
D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
a rer2 d r
0
0
(1 ea 2 )
7
例21.3 证明 ex2 d x
0
2
例21.4 求曲线(x2 y 2 )2 2a2 (x2 y 2 )所围成区域
在圆域x2 y 2 a 2之外部分的面积 .
二重积分的计算.ppt
0 y 1 x2.
D
ydxdy 11dx0 1x2 ydy
o
x
D
11
1 2
y2
1 x 2 0
dx
1 2
11(1
x2 )dx
2. 3
解法2 先对x积分. 用平行于x轴的直线自左而右穿越区域D，入口曲线 为 x 1 y2，出口曲线为 x 1 y2，因此
1 y2 x 1 y2
ydxdy
4
2 (5 y2 1 y3 1 y4 )dy 0 2 2 32
(5 y3 1 y4 1 y5) 2 6 8 160 0
y2
D
o
2
x
67 15
确定二次积分的积分限可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，确定关于y积分限的方法是：
用平行于y轴的一组直线自下而上穿越区域D，与区域
故二重积分可写为
y
yi yyi
D
i
yi
f (x, y)d f (x, y)dxdy.
D
D
o xxi xxixxi x
设z=f(x,y)在D上连续非负，下面针对两种不同类型的
区域，给出直角坐标系下，二重积分的计算公式。
1、D为x–型区域.
y
y 2(x)
D {(x,y)|a x b,1(x) y 2(x)},
π2 2 dy
π
2 cos 2ydy)
2 0
0
π
π
o
1 y 2 1 sin 2y 2
20 4
0
π. 4
yx
D
x
x
2
练习2 计算积分 ydxdy ，其中D由 x2 y2 1, y≥0确
92二重积分的计算(直角坐标系)ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
当 f ( x, y) f ( x, y)时.
(即f ( x, y)关于( x, y)为奇函数)
（4）若积分区域 D关于 直线 y x 对称 （ ( x, y)D( y,x)D ），
则 f ( x, y)dxdy f ( y,x)dxdy 。
D
D
又若 D D1D2 ，且 D1与D2 关于直线 y x 对称，则
2
证：积分区域 x2 y2 R2 关于直线 y x 对称，所以
x。
y
(4, 2)
y x
D2 D1
o1
y x2 4x
y x (1,1)
xyd
xyd
xyd
1
0dx
x x
4
x
xydy1 dxx2
xydy55. 8
D
D1
D2
例 3． e y2 d ，其中 D 是由直线 y x ， y1 和 y 轴所围成。
D
解：若先积 y 后积 x，得 e y2 d
1
dx
1
e
y2
的体积。 A( x )
y2(x)
A( x )
y o
a
D
x
y1( x)
bx
x 1( x ) 2( x ) y
一般地， 过 [a,b] 上任一点 x 且平行于yoz平面的平面 ，
与曲顶A(柱 Ax(体x))相交所122(((得xxx)截)f) (面fx(的,xy面),dy积y).d为y 。 1( x)
D
a 1( x)
c 1( y)
二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下： （1）在 xoy 平面上画出积分区域 D 的图形； （2）若区域 D 为 X 型的，则把 D 投影到 x 轴上，得 投影区间[a,b] ，a 和 b 就是对 x 积分的下限和上限。 x[a,b] ， 过点 x 画一条与 y 轴平行的直线，假如它 与边界曲线交点的纵坐标分别为 y1( x) 和 y2( x) ， 且 2( x)1( x) ，则 1( x) 和 2( x) 就是对 y 积分的下限 和上限。
二重积分的计算方法利用直角坐标计算ppt课件共16页PPT
d
D ( x , y ) c y d , x 1 ( y ) x x 2 ( y ) c D
则
f(x ,y )dd d yx 2 (y )f(x ,y )d x
D
c x 1 (y )
xx1(y)
x
18.07.2021
14
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课外练习
习题8－2 第一次作业 2; 3(3)(4); 4 (2)(4)(6)； 6；
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
18.07.2021
8
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例3. 计算 I xlny ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
y4x2, y 3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
第八章
第二节 二重积分的计算方法
(Calculation of Double Integral)
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结与思考练习
18.07.2021
2
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
D1
D D 1D 2D 3
D3
o
6-8二重积分(2)35页PPT
区域D为Y-型区域
y
yy2(x)
y
b
S a[y2(x-)y1(x)x]d
d
xx1(y)
第一a次积从分穿y:入y1(b的x)边x S界方cd程[x2(y第-)x一1(次y)积从]分d穿cy:入的边界x方x程2(xy)
作为下y1(限x)，穿出的边界方程
作为上限. y2(x) 第二次积分: 从左端点a值
作为下x1(限y)，穿出的边界方程
30 0
30
πo
x
8 3
π
2(1co2sθ)dcoθs
0
8 3
1co3sθc 3
o
sθ 2 0
16 9
.
x2
y2dxdy
2
2yy2
dy
r2 (θ)
D :α θ β ,r 1 ( θ ) r r 2 ( θ )则,有
f(rcoθ,srsiθ n)rdrdθ
D
o
β d θr2(θ)f(rco θ ,rssiθ n )rd r. α r1(θ)
r1(θ) D
β
α
x
r r(θ)
D
(2) 极点O在区域D的边界线上
β
D: ， 0rr(),则有 o α x
将面积元素 dxdy 换为 rdrd. , 则
f(x, y)dxdyf(rcoθ,srsiθ n )rdrdθ.
D
D
②将区域D 的边界曲线换为极坐标系下的表
达式，确定相应的积分限.
2.将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.
3.计算二次积分.
例1 计算 e(x2y2)dxdy, 其中 D:x2y2a2.
的变换公式为
极坐(标 r,)
二重积分的坐标变换
1. 原点在区域的外面 (1) 区域特征如图
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
2. 微元变换： dσ = dxdy = rdrdθ 微元变换：
3. 区域变换： Dxy → Drθ 区域变换：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D D
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二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 θ-型区域
结束
3. 原点在区域的内部 区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
D
o
2π
A
= ∫ dθ ∫
0
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
π 2
2
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例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
2. 微元变换： dσ = dxdy = rdrdθ 微元变换：
3. 区域变换： Dxy → Drθ 区域变换：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D D
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二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 θ-型区域
结束
3. 原点在区域的内部 区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
D
o
2π
A
= ∫ dθ ∫
0
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
π 2
2
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结束
例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
数学二重积分-PPT精选文档18页
在x轴上方的曲线弧.
y
解 L:xyabcsiontts,(t从0到）
B
xydy acotsbsitn bcotd st
L
0
ab2
cos3
t
2 ab
2
3
0
3
2019/11/21
Ax
12
例3 计算 y 2dx ,其中L 为： L (1) 半径为 a , 圆心为原点的上半圆周(逆时针方向)；
P2xQ3yR
ds
2019/11/21
14x2 9y2
17
谢谢！
x
处切线向量的方向角.
类似,空间两类曲线积分之间的关系:
P Q d R x d y d [ P c zo Q c so R c s] o ds s
其中,,为空间有向曲线弧上点M(x, y,z)处切向量的方向角
2019/11/21
16
例6 设 为曲线xt,yt2,zt3上相应于 t 从 0 到 1 的曲线弧.
i 1
i1
令为最大弧长，则
n
w l i0m i 1[P (i, i)xiQ (i, i)yi]
P(x,y)d xQ (x,y)dy
2019/11/21L
4
定义 设L为 xoy 面的从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，
函数P(x,y)Q ,(x,y)在L上有界. 用点把L任意分割成n个有向
0 i1
P(i
,i
)xi存在,则称此极限值为函数
P(x,
y)在有向曲
线L上对坐标 x 的曲线积分. 记作: P(x, y)dx P(x,y)Q ,(x,y)
高等数学二重积分详解ppt课件
S(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，
得
V
b
S(x)dx
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
a
a 1 ( x)
4
于是，得二重积分的计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
a 1 ( x)
c
D
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
5
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓
先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y 2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
2
(8,4)
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
12
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
例4 交换下列二重积分的积分次序：
0
2 x
2
2x
I dx 2 f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
2 0
0
0
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为
理学第八章二重积分PPT课件
2
d
2 r 2dr 16
0
0
3
利用对称性,积分为0
D小园 D小园
x2 y2 dxdy 0
3
2
d
2
2cos r 2dr 0 32
0
9
( x2 y2 y)dxdy 16 32 16 (3 2)
D
3
第29页/共59页
99
29
例9 计算
x，2 y2 dxdy D : x2 y2 2 x
确定：用平行于y轴的直线沿y轴方向穿过
区域，穿进的边界曲线
为
下限，穿出的边界曲线
பைடு நூலகம்
为
y
f1( x)
上限，后对x积分其积分限是常量（由交点
向x轴作垂线的垂足耒确定）
y f2(x)
13
第13页/共59页
2 若先对x后对y积分，则x的积分限可这样 确定：用平行于x轴的直线沿x轴方向穿过
区域，穿进的边界曲线 x 1( y) 为
2 若D对称于y 轴，关于变量x被积函数 是奇函数， 其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于x>0 的区域上的积分；
3 若x 交换 y, D不变，则 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
D
D
7
第7页/共59页
(1) x2 ydxdy 0 D:0 x1,1 y1
(2) ( x x3 y2 )dxdy 0 D:x2 y2 4, y0
d
d dxdy,
y
y j
k
f x, yd
D
f ( x, y)dxdy
DD
0 x
xi
3
第3页/共59页
（4）二重积分的几何意义
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ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2
0
0
0
S
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结束
由上题结论
I1
D1
e x2 y2 dxdy
2d
Rer2rdr
(1eR2
)
00
4
I2 ex2 y2dxdy
f (x, y)dxdyf(rcos,rsin )rdrd d
dr r
D
D
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极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f(x2 y2)
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
1. 坐标变 xy换 rrsc： ions
2. 微元变 dd 换 x d ： rydrd
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由rar2cao2s,
得 交 点 A(a,), 6
所 求 面 积 d xd4ydxdy
D
D1
4
6d
a
2co2s
rdr
0a
a2( 3). 3
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二、二重积分的换元法
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
D d
1 22()d 20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r()
(2) y r()
D
D
o
x
ox
答: (1)0; (2)
22
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D
式 ， 其 中 积 分 区 域
D{(x,y)| 1xy 1x2,0x1}.
解
在 极 坐 标 系 下 xy
r cos r sin
x2 y2 1
所 以 圆 方 程 为 r 1 ,
直 线 方 程 为 r 1 , xy1
sin cos
f(x, y)dxd y 2d1 1 f(rco ,rssin )rd . r
D
x2 y2 2y，x2 y2 4y及直线x 3y 0 ，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x02
3
x2y24y r 4 sin
x
3y01
6
x2y22y r2sin
(x2y2)dxdy
3d
4sinr2rdr15(
3).
D
6
2sin
2
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例5 计算二 重积分 sin(x2y2)dxd, y
D2
(1e2R2 ); 4
I1 I I2 ,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );
4
0
4
当 R 时 , I1
4
,
I2
4
,
故 当 R 时 , ( ex2dx)2 即 ex2dx
0
4
0
2
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例4 计算(x2 y2)dxdy，其D为由圆
D
0 sin co s
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例 2 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域.
y
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2
ex2y2dxdy
2
d
aer2rdr
D
0
0
(1ea2).
ax
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例3 求 广 义 积 分ex2dx. 0
D
x2y2
其中积分区域为D{(x,y)|1x2y24}.
解 由 对 称 性 ， 可 只 考 虑 第 一 象 限 部 分 ，
D1
D4D1
注 意 ： 被 积 函 数 也 要 有 对 称 性 .
sin( x2 y2)dxdy4 sin( x2y2)dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
4
2d
2sinrrdr4.
区域特征如图 , 0r().
r()
D
f(rco,srsin)rdrd
D
o
A
d ()f(rc o ,rs s i)n rd . r 0
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3. 原点在区域的内部
区域特征如图
02, 0r().
r()
D
f(rco,srsin)rdrd
D
o
A
2 ()
d f(rco ,rs si)n rd . r
解 D 1 {x ,( y )|x 2 y 2 R 2 } D 2 S D 2 {x ,( y )|x 2 y 2 2 R 2 } DSD1 2
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R } R 2R
{x0,y0} 显 然 有 D 1 S D 2
ex2y2 0,
Байду номын сангаас
下页
结束
二重积分化为二次积分的公式: r-型区域
区域特征如图
2(r)
r1rr2,
1(r)2(r).
r2 D
r1
1(r)
o r1
r2 A
f(rco,srsin)rdrd
D
r2rd2(rr)f(rco,rssin )d.
r1
1(r)
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例1写 出 积 分 f(x,y)dx的 d极 y坐 标 二 次 积 分 形
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
r2()
A
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(2) 区域特征如图
,
r1()
D
1 () r 2 ().
Df(rco,srsin)rdrdo
d
2()f(rco,rs
i)n rd . r
1()
r2()
A
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2. 原点在区域的边界上
3. 区域变D换 xy ： Dr
f(x ,y )dx d f(r y c o ,rs s i)n rd .rd
D
D
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结束
二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r1()
,
D
1 () r 2 ().
o
f(rco,srsin)rdrd
D
0 1r
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例 6求 曲 线 (x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
解 根 据 对 称 性 有 D 4 D 1
在 极 坐 标 系 下
D1
x2y2a2 ra ,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )ra2co 2s ,
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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一、利用极坐标系计算二重积分
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
1 2(2ri ri)rii
rri ri r ri
i i
i
ri rii o ( rii),
D
i
drdrd o
A
极坐标下的面积元素 rd d