第二节利用极坐标计算二重积分

x2 y2
1
1
1 x2 = e 2
1 0
1 y2 1 + e 0 = e − 1. 2
例 2. 求由柱面 x 2 + y 2 = R 2 及x 2 + z 2 = R 2 所围立体体积 .
由对称性得所求立体体 积为第一卦限部分体 积的8倍. 倍 解： 体为一曲顶柱体， 而第一卦限的部分立 体为一曲顶柱体，
− x2 − y2
∵ e
R − x2
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
2R
dxdy < ∫∫ e
2 2
− x2 − y2
dxdy < ∫∫ e dx ∫0 e
又∵ I = ∫∫ e
I 1 = ∫∫ e
−x −y
S
dxdy= ∫ dθ ∫ e ρdρ = (1 − e ); 0 0 4 D1 2 π −x −y = (1 − e − 2 R ); ∵ I 1 < I < I 2 , dxdy 同理 I 2 = ∫∫ e 4 D 2 R − x2 π π 2 −R −2 R2 ); ∴ (1 − e ) < ( ∫0 e dx ) < (1 − e π 4 4 π π 当 R → +∞ 时, I 1 → , I 2 → , ⇒ I → , 4 4 4 +∞ − x π +∞ − x2 π 2 . 即( ∫0 e dx ) = , 所 求 广 义 积 分 ∫0 e dx = 2 4
D
极坐标下对 r的积分 .
解：
∫∫ f (
D
x + y )dxdy =
2 2
∫0
2π
dθ ∫0 f (r )rdr
1
1
= 2π ∫0 rf ( r )dr .
例7. 求I = ∫∫ e
D
max{ x 2， 2 } y
dxdy， 其中D = {( x， ) 0 ≤ x ≤ 1， ≤ y ≤ 1}(02年 ). y 0
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 我们用从极点 出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为 个小闭区域. 分为n个小闭区域 同心圆构成的网将区域 分为 个小闭区域. 小区域∆σi的面积为: 小区域∆ 的面积为: ∆σi = 1(ρi +∆ρi)2⋅∆θi −1⋅ρi2⋅∆θi = ρi∆ρi∆θi , θ 2 2 其 ρi 表 相 两 弧 半 的 均 . 中 示 邻 圆 的 径 平 值 提示: ∆σ = 1 ( ρ + ∆ρ )2 ⋅ ∆θ − 1 ρ 2 ⋅ ∆θ i i i i i i
R R R2 − x 2
y
R D
y = R2 − x 2
e
− x2 − y2
dy (1)
R2 − y2
e
− x2 − y2
dx ( 2)
−t 2
要求(1)或( 2)就必须解决积分 ∫ e 而∫ e
−t 2
dt ,
o
R
x
dt是存在的，但积不出来 , 是存在的，
故在直角坐标下无法求 出该积分 .
二、利用极坐标系计算二重积分
二、利用极坐标系计算二重积分
二重积分在直角坐标下的计算公式
(1)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dx∫ϕ ( x) f (x，)dy ( X型区域 ), y y
b
ϕ2 ( x)
1
(2)∫∫ f ( x，)dσ = ∫a dy∫ ( x) f ( x，)dx ( Y型区域 ). y y ψ
b D
2 2
1 = ( 2 ρ i + ∆ρ i )∆ρ i ⋅ ∆θ i 2 ρ i + ( ρ i + ∆ρ i ) = ∆ρ i ⋅ ∆ θ i 2
= ρ i ⋅ ∆ρ i ⋅ ∆θ i
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 我们用从极点 出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为 个小闭区域. 分为n个小闭区域 同心圆构成的网将区域 分为 个小闭区域. 小区域∆ 的面积为: 小区域∆σi的面积为: ∆σi = 1(ρi +∆ρi)2⋅∆θi −1⋅ρi2⋅∆θi = ρi∆ρi∆θi , θ 2 2 其 ρi 表 相 两 弧 半 的 均 . 中 示 邻 圆 的 径 平 值
1
D
ψ2 ( x)
(1) 的图形， 再选择公式， 注： 先画D的图形， 再选择公式，
( 2)积分顺序从右到左 . 积分顺序从右到左.
例1. 求I = ∫∫ e
D
max{ x 2， 2 } y
dxdy， 其中D = {( x， ) 0 ≤ x ≤ 1， ≤ y ≤ 1}(02年). y 0
解：I =
y2
1
∫0 ye
1 0
dy
1 x2 = e 2
1 0
1 y2 + e 2
= e − 1.
例8. 计算I = ∫1 dy ∫1 e dx + ∫1 dy ∫
2 2 2
+∞
− x2
∫∫e
− x2 − y2
dxdy
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R ， ≥ 0，y ≥ 0}, x
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ R},
D1
dxdy .
R
D S2 D
R
∴ ∫∫ e
D1
显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2 .
0 它的底为 xoy平面的区域 D : 0 ≤ y ≤ R 2 − x 2， ≤ x ≤ R,
它的顶为柱面 z = R 2 − x 2 ,
z
z = R2 − x2
义得： 故由二重积分的几何意 义得：
V = 8 ∫∫
D R
R − x dxdy
2 2
R2 − x2
= 8 ∫0 dx ∫0
R
R 2 − x 2 dy
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρdθ
= ∫α dθ ∫ϕ (θ ) f (ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρ.
1
D
β
ϕ2 (θ )
讨论: 讨论: 区域如下图, 如何确定积分限? 区域如下图, 如何确定积分限?
(1)
(2)
提示: β ϕ(θ) = (1) ∫∫ f (ρcosθ, ρsinθ)ρdρdθ = ∫ dθ∫ f (ρcosθ, ρsinθ)ρdρ .
V =4∫∫ 4a2 −x2 − y2dxdy,
D
其 D为 圆 y= 2ax−x2 及x 轴 围 的 区 . 中 半 周 所 成 闭 域
在极坐标系中D可表示为 0≤ρ≤2acosθ , 0≤θ ≤ π . 在极坐标系中 可表示为 2 2 2 2 = 4 ∫∫ 4a 2 − ρ 2 ρdρdθ V = 4 ∫∫ 4a − x − y dxdy
3. 二重积分在极坐标下的 变换公式： 变换公式： ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ . D D F(ρ，) θ θ的二次积分， 4. 计算方法：化为关于 ρ， 的二次积分， 计算方法： . 一般是先对 ρ，再对θ积分
特别： 特别：
如果积分区域可表示为 D: ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ), α≤θ≤β, 则 : ≤ ,
2
： 积 x 注 当被 函数 f ( x, y)是 2 + y2的表 达式即 f ( x, y) = g( x2 + y2 )且 积分 域 圆域 (扇形 圆形 环形) 时 扇形、 圆形、 . 区 D为 、 、 可考 虑采用 坐标求 积分 极 二重
求球体x 被圆柱面x 所截得的(含 例5 求球体 2+y2+z2≤4a2被圆柱面 2+y2=2ax所截得的 含 所截得的 在圆柱面内的部分)立体的体积 立体的体积. 在圆柱面内的部分 立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍.
解：I = ∫∫ e
D1
max{ x 2， 2 } y
dxdy +
∫∫ e
D2
max{ x 2， 2 } y
dxdy D
D2 D1
y= x
= ∫∫ e dxdy +
x2 D1 1 x
2
∫∫ e
D2
y2
dxdy
y
2
= ∫0 dx ∫0 e x dy + = ∫0 xe dx +
x2 1 1
dy ∫0 e y dx ∫0
∫∫ e D
1
m x2，2 } ax{ y
dxdy + ∫∫ e
D2
y2
m x2，2 } ax{ y
dxdy
D2
D
D1
y= x
= ∫∫ e dxdy + ∫∫ e dxdy
x2 D1 D2
= ∫0 dx∫0 e dy + ∫0 dy∫0 e dx
x2 y2
1
x
1
y
= ∫ xe dx + ∫ ye dy 0 0
λ→ i=1 0
D
n
n
即
∫∫ f (x, y)dσ =∫∫ f (ρcosθ, ρsinθ)ρdρdθ .
D
二、利用极坐标系计算二重积分
x cos 1. 极坐标与直角坐标的关 系： = ρ θ . y = ρ sinθ 2. 极坐标下面积元素： dσ = ρdρdθ 极坐标下面积元素：
2
S 2 2 −x −y
dxdy = ∫ e 0
π
D2 R − y2
R
−ρ2
π
dy = ( ∫0 e
− R2
− x2
dx ) 2 ;
2
2
2
2
例 4. 求 ∫∫
D
x 2 + y 2 d σ ，其中 D : x 2 + y 2 ≤ 2 x ， ≥ 0 . y
在极坐标下， 可表示为： 解： 在极坐标下， 区域D可表示为：
y x
1 2
0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ， ≤ θ ≤ 0
⇒
π
∫∫
D
x 2 + y 2 dσ =
∫
π
2 0
d θ ∫0
2
.
2 cos θ
ρ 2dρ 0
8 π 8 π = ∫02 cos 3θ d θ = ∫02 (1 − sin 2 θ ) d sin θ 3 3 8 1 3 π 16 . = (sinθ − sin θ ) 0 = 9 3 3
a a2 − x2 0 0
2
− x2 − y2
例2. 求I = ∫ dx ∫
解：
2 D
( x 2 + y 2 )dy .
y a
y = a2 − x2
I = ∫∫ ( x + y )dxdy
= Fra Baidu bibliotek0 dθ ∫0 ρ ⋅ ρdρ
2
π
a
2
D
o
= ∫0
π
2
a . dθ = 8 4
4
πa 4
a
x
例 3.求广义积分 ∫0 e dx . D 解: 设 D1 = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ R 2， ≥ 0，y ≥ 0}, x
取 其 角 标 ( 在 σi 内 点( ρi ,θi ) , 设 直 坐 为 ξ i, η i), ∆
则 ξi = ρi cosθi , ηi = ρi sinθi . 于 有 是
λ→ i=1 0
lim ∑ f (ξi,ηi)∆σi = lim ∑ f (ρi cosθi, ρi sinθi)ρi ∆ρi∆θi ,
x
o y D o R x
y
y = R2 − x 2
= 8∫0 ( R2 − x2 )dx
1 3 R 16 3 = 8( R x − x ) 0 = R . 3 3
2
例 求 ∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy， 其中D：x 2 + y 2 ≤ R 2， ≥ 0， ≥ 0. x y
如图D既是X型区域又是 Y型区域 . 解： 故 I = ∫0 dx ∫0 或 I = ∫0 dy ∫0
= 4 ∫ 2 dθ ∫
0
D π
D
2 a cos θ
0
32 3 π 2 = a ( − ) 3 2 3
32 2 π 4a 2 − ρ 2 ρdρ = a ∫ 2 (1 - s in 3θ )d θ 0 3
连续， 例6. 设D为圆域 x 2 + y 2 ≤ 1，f ( u)连续，将 ∫∫ f ( x 2 + y 2 )dxdy化为
D
α
0
(2)
∫∫ f (ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ ==∫0
D
2 π
dθ∫
ϕ(θ)
0
f (ρcosθ, ρsinθ)ρdρ .
例1. 求I = ∫∫ e
dxdy， 其中D：x 2 + y 2 ≤ R 2， ≥ 0， ≥ 0. x y D y 可表示为： 解： 在极坐标下区域 D可表示为： π R y = R2 − x 2 0 ≤ ρ ≤ R， ≤ θ ≤ . 0 2π π R −ρ 2 2 − R2 2 1 ⇒ I = ∫0 dθ ∫0 e ρdρ = ∫ (1 − e )dθ D 0 2 − R2 π (1 − e ) . = o x R 4
V =4∫∫ 4a2 −x2 − y2dxdy,
D
其 D为 圆 y= 2ax−x2 及x 轴 围 的 区 . 中 半 周 所 成 闭 域
在极坐标系中D可表示为 在极坐标系中 可表示为
0≤ρ≤2acosθ , 0≤θ ≤ π . 2
求球体x 被圆柱面x 所截得的(含 例5 求球体 2+y2+z2≤4a2被圆柱面 2+y2=2ax所截得的 含 所截得的 在圆柱面内的部分)立体的体积 立体的体积. 在圆柱面内的部分 立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍.