极坐标系中二重积分的计算

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D
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(3)若极点O在区域D′内，且D′的边界曲线为连续封闭曲线r=r(θ) (０≤θ≤2π)，如下图所示，则
D （{ r,︱) ０ 2 ,０ r r( )}，
2π
r( )
f (r cos, r sin )rdrd 0 d f (r cos, r sin)rdr
)
2 0
d
1 2
2π
(1
e4 )d
π(1
e4 wenku.baidu.com.
0
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例2
计算二重积分
y x
dσ
，其中积分区域
D
D （{ x, y︱)1 x2 y2 2x}.
解画出积分区域D如下图所示，D用极坐标表示为
D' {(r,︱) 4 ,1 r 2cos}，
3
3
于是
y dσ tan θ r drdθ
§8.3 极坐标系中二重积分的计算
当积分区域为圆或圆的一部分时，用极坐标计算二重积分可能会比较简单. 如右图所示，设有极坐标系下的积分区域D，我们用一组以极点为圆心的同心圆(r =常数)及过极点的一组射线(θ=常数)将区域D分割成n个小区域．易证得
rr· (r 0， 0)．从而小区域的面积元素为 d rdrd．
两条连续曲线则
r r1( ),围r 成r2．(如) 下图所示，
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D {(r, ) | , r１( ) r r2 ( )}，
f (r cos θ,r sin θ)rdrdθ
β
dθ
r2(θ) f (r cos θ,r sin θ)rdr
D
α
r1 (θ)
D'
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例1 计算 e y2 x2 dxdy，D为圆x2 y2 4所围成的区域． D
解积分区域是一个圆域，且
D （{ r,︱) ０ 2 ,０ r 2}，
于是
ey2x2 dxdy
er2 rdrd
2π
d
2 rer2 dr
0
0
D
D'
2π ( 1 er2 02
2 32 32
32
3
一般地，当二重积分的积分区域为圆域或圆域一部分，
被积函数为
f ( x 2 ，y 2 ) f或( y ) f等(x形) 式时，用
极坐标计算较方便．
x
y
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(2) 若 r1( ) 0，即极点O在区域D′的边界上，且D′由
射线θ=α,θ=β和连续曲线r=r(θ)所围成，如下图所示，则
D （{ r,｜) ,０ r r( )}，
β
r (θ)
f (r cos θ,r sin θ)rdrdθ α dθθ f (r cos θ,r sin θ)rdr
再根据平面上的点的直角坐标(x,y)与该点的极坐标 (r,θ)之间的关系：
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x=rcosθ，y=rsinθ，得
f (x , y )dσ f (r cos θ,r sin θ)rdrdθ
D
D
其中D′是将D变换成极坐标(r,θ)所对应的区域.
D的三种情形
(1) 若极点O在区域D′之外，且D′由射线θ=α，θ=β和
x
D
D
4π
2cos θ
3 2π
dθ
1
tan θrdr
3
4π 3 2π 3
t
an
θ(
1 2
r
2
2cos 1
θ
)dθ
4π 3 2π 3
t
an
θ(2cos2
θ
1)dθ 2
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( 1 cos 2θ 2
1 ln 2
cos θ )
4π 3 2π 3
1 cos 8π 1 cos 4π 1 ln cos 4π 1ln cos 2π 0