浙江省宁波市2020学年高一数学上学期期末考试试卷(含解析)
浙江省杭州市七县市2022-2023学年高一数学第一学期期末经典试题含解析
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
(2)∵函数 的零点都在区间 内，
等价于函数 的图象与 轴的交点都在区间 内.
∴
故 的取值范围是
19、（1）
（2）偶函数；理由见解析
（3）证明见解析
【解析】（1）根据对数函数的真数大于0建立不等式求解；
（2）根据函数的奇偶性定义判断即可；
（3）利用不等式的性质及对数函数的单调性证明即可.
【小问1详解】
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
11、A
【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下相同的体积，当时间取 分钟时，液面下降的高度与漏斗高度的 比较.
【详解】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取 分钟时，液面下降的高度不会达到漏斗高度的 ，对比四个选项的图象可得结果.
【小问1详解】
解：因为 或 ， ，
所以 或 ， ；
【小问2详解】
解：因为全集为 ， 或 ， ，
所以 或 ，
所以 或 .
18、（1） ；（2）
【解析】（1）分类讨论得 ；（2）由题意，得到等价不等式 ，解得 的取值范围是
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。
浙江省宁波市金兰教育合作组织2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含解析
2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230P x x x =-≥，{}13Q x x =<≤，则()RP Q ð等于（）A.[)0,1 B.(]0,3 C.()1,3 D.[]1,3【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次不等式解法可得{3P x x =≥或}0x ≤，再由补集、交集的运算法则即可求得结果.【详解】解不等式230x x -≥可得3x ≥或0x ≤，即{3P x x =≥或}0x ≤，则{}R 03P x x =<<ð，又{}13Q x x =<≤，所以(){}()R 131,3P Q x x ⋂=<<=ð.故选：C2.命题“25,23x x x ∀<-+≥"的否定是（）A.25,23x x x ∀<-+<B.25,23x x x ∃≥-+<C.25,23x x x ∃<-+<D.25,23x x x ∃<-+≤【答案】C 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】命题“25,23x x x ∀<-+≥"的否定是“25,23x x x ∃<-+<".3.已知函数222,1(),22,1x xf xx x x⎧-≤=⎨+->⎩则2()(2)ff的值为（）A.7136 B.6 C.74 D.179【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）＝6，进而可得2()(2)ff＝f（13），由解析式计算可得答案．【详解】根据题意，函数222,1(),22,1x xf xx x x⎧-≤=⎨+->⎩，则f（2）＝22+2×2﹣2＝6，则2()(2)ff＝f（13）＝2﹣（13）2＝179.故选D．【点睛】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．4.下图中可以表示以x为自变量的函数图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应.【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应，所以ABD选项的图象不是函数图象，故排除,5.函数y =的定义域是（）A.[]22-, B.()2,2- C.()()2,11,2- D.[)(]2,11,2- 【答案】B 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数y =有意义，则满足240x ->，即22x -<<，所以函数的定义域为()2,2-，故选：B.6.设1465a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1556b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1345c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.c b a <<B.a c b<< C.b a c<< D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】对1556b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1345c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别化简放缩，利用指数函数()65xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调性，即可求出.【详解】由题1465a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11555665b -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()65xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为615>，所以()f x 单调递增，因为1145>，所以a b >.因为1111333445665455c a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c a >，所以b a c <<，故选：C7.某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为()00n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（）A.6小时B.7小时C.9小时D.5小时【答案】B 【解析】【分析】按照题目所给的条件，算出0t ，0N ，再代入计算即可.【详解】因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以016N <，10=，即040t =，5=，解得064N =，所以()645,64n t n n <=≥⎩所以第36天检测过程平均耗时()203673t ==≈小时，故选：B.8.已知函数()()121x mf x x x +=+≤≤，函数()()()112g m x x x =-≤≤，若任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则m 的取值范围是（）A.51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.()1,+∞ C.52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】对()f x 分离变量化简，结合单调性，求出()f x 和()g x 的值域，由题意可得()f x 的值域为()g x 值域的子集，解不等式可得所求范围.【详解】()()111112111x m x m m f x x x x x +++--===+≤≤+++，()()()112g m x x x =-≤≤，①当1m >时，函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，函数()g x 在区间[]1,2上单调递增，可得()21,32m m f x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]1,22g x m m ∈--，由题意，得2112232m m m m ++-≤<≤-，解得5532m ≤≤；②当1m <时，函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，函数()g x 在区间[]1,2上单调递减，可得()12,23m m f x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]22,1g x m m ∈--，由题意，得1222123m m m m ++-≤<≤-，解得m ∈∅；③当1m =时，()1f x =，()0g x =，显然不满足，故实数m 的取值范围为55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设()f x 是定义在R 上的奇函数且在()0,∞+上单调递减，()40f -=，则（）A.()f x 在(),0∞-上单调递减B.()80f >C.不等式()0f x >的解集为()(),40,4-∞- D.()f x 的图象与x 轴只有2个公共点【答案】AC 【解析】【分析】根据奇函数特征，画出()f x 的大致图象，结合图象分析四个选项.【详解】对于A，因为()f x 是定义在R 上的奇函数且在()0,∞+上单调递减，()40f -=，根据奇函数特征，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，()()440f f =--=，()00f =，故A 正确；对于B，画出大致图象如图，根据图象可知()80f <，故B 错误；对于C，如图可知，不等式()0f x >的解集为()(),40,4-∞- ，故C 正确；对于D ，()f x 的图象与x 轴只有3个公共点，分别是()4,0-，()0,0，()4,0，故D 错误，故选：AC.10.下列命题中正确的是（）A.B.已知,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件C.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x x =-+，则0x <时，()2f x x x=+D.()f x x =与()g x =【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由基本不等式即可判断；对于B ，利用充分必要条件的概念判断即可；对于C ，利用函数的奇偶性求解析式即可；对于D ，判断两个函数的定义域，对应关系是否一致即可.【详解】对于A+≥=当且仅当242x +=时取“=”，显然不成立，所以A 错误；对于B ，由00a ab ≠⇒≠，而00ab a ≠⇒≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，所以B 正确；对于C ，()f x 为定义在R 上的奇函数，0x >时，()2f x x x =-+，0x <时，0x ->，则()()()2f x x x f x -=---=-，所以()2f x x x =--，则C 正确；对于D ，()f x x =，()g x x ==，两个函数的定义域，对应关系都一样，所以是两个相同的函数，则D 正确；故选：BCD11.已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，当(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2421f bx f x <+对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的可能取值为（）A .B.12-C.1- D.12【答案】ABD 【解析】【分析】由函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，再根据当(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-成立，得到()f x 在(],0-∞上递减，在[0,)+∞上递增，然后将()()2421f bx f x <+对任意x ∈R 恒成立，转化为2421bx x <+对任意x ∈R 恒成立求解.【详解】解：因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，则()f x 为偶函数，又因为当(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以()f x 在(],0-∞上递减，在[0,)+∞上递增，则()()2421f bx f x <+对任意x ∈R 恒成立，即()()2421fbx f x<+对任意x ∈R 恒成立，即2421bx x <+对任意x ∈R 恒成立，当0x =时，01<成立；当0x ≠时，即142b x x<+对任意x ∈R 恒成立，而12x x +≥=，当且仅当12x x =，即22x =时，等号成立，所以4b <，即2b <，故选：ABD12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A.函数()f x 的值域是[0,1]B.,(())1x R f f x ∀∈=C.(2)()f x f x +=对任意x R ∈恒成立D.存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，使得ABC 为等腰直角三角形【答案】BC 【解析】【分析】根据新定义函数得函数的值域为{0,1}；无论x 为有理数还是无理数，()f x 均为有理数，故,(())1x R f f x ∀∈=；由于x 与2x +均属于有理数或均属于无理数，故(2)()f x f x +=对任意x R ∈恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.【详解】解：对于A 选项，函数的值域为{0,1}，故A 选项错误.对于B 选项，.当x 为有理数时，()1f x =，(())()1f f x f x ==当x 为无理数时，()0f x =，()()()01ff x f ==所以R ∀∈，(())1f f x =，故B 选项正确.对于C 选项，x 为有理数时，2x +为有理数，(2)()1f x f x +==当x 为无理数时，2x +为无理数，(2)()0f x f x +==所以(2)()f x f x +=恒成立，故C 选项正确.对于D 选项，若ABC 为等腰直角三角形，不妨设角B 为直角，则()()()123,,f x f x f x 的值得可能性只能为()()()1230,1,0f x f x f x ===或()()()1231,0,1f x f x f x ===，由等腰直角三角形的性质得211x x -=，所以12()()f x f x =，这与()()12f x f x ≠矛盾，故D 选项错误.故选：BC.【点睛】本题考查函数新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键在于根据函数的定义，把握函数的值只有两种取值{0,1}，再结合题意讨论各选项即可得答案.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()()222mf x m m x =--在第一象限单调递减，则()f m =__________.【答案】1-【解析】【分析】利用幂函数定义及单调性可得1m =-，代入解析式即可求得()1f m =-.【详解】由幂函数定义可得2221m m --=，即2230m m --=，解得3m =或1m =-，又函数()f x 在第一象限单调递减，所以1m =-，即()1f x x -=，即可得()()1111f m f -===--.故答案为：1-14.()31622390.12528-⎛⎫⎡⎤-+-+= ⎪⎣⎦⎝⎭____________.【答案】81【解析】【分析】利用指数幂运算法则化简即可求得答案.【详解】()31622390.12528-⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭161313322114238-⎛⎫⎛⎫=-++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1332381223=-++⨯21889=-++⨯81=故答案为：81.15.函数()()231f x ax a x =-++在(),a -∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.【答案】30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题意，分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合函数特点，求出实数a 的取值范围.【详解】当0a =时，()31f x x =-+在(),0∞-上是减函数，符合题意；当0a ≠时，()()231f x ax a x =-++为一元二次函数，对称轴为32ax a+=，因为函数()()231f x ax a x =-++在(),a -∞上是减函数，所以032a a a a>⎧⎪+⎨≥⎪⎩，解得302<≤a ，综上，302a ≤≤，所以实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16.已知函数()()()224100f x x a x a a a =-++++>，且()()2332f a f a +=-，则()()61f n a n N n *+∈+的最小值为______．【答案】145##2.8【解析】【分析】首先根据题中条件()()2332f a f a +=-，结合二次函数的图象求出实数a 的值；从而结合对号函数的单调性即可求出最小值.【详解】二次函数()()22410f x x a x a a =-++++的对称轴为42a x +=，因为()()2332f a f a +=-，所以2332a a +=-或23324222a a a +-++=，因为0a >，所以解得1a =.所以()2512f x x x =-+，所以()()()221712451262417111n n n n n n n n +-++-++==++-+++，因为()247g x x x =+-在(0,内单调递减，在()+∞单调递增，又()2444734g =+-=，()2414557355g =+-=<，所以()()61f n n N n *+∈+的最小值为145.故答案为：145.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{4A x x =≤-或}3x ≥，{}15B x x =<≤，{}12C x m x m =-≤≤.（1）求A B ⋂，()R A B ð；（2）若B C C = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}35A B x x ⋂=≤≤，(){}R 45A B x x ⋃=-<≤ð（2）()5,12,2⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算公式计算即可.（2）根据集合的包含关系，分C =∅与C ≠∅两类讨论即可求出m 的取值范围.【小问1详解】因为集合{4A x x =≤-或}3x ≥，{}15B x x =<≤，所以{}35A B x x ⋂=≤≤，{}R 43A x x =-<<ð所以(){}R 45A B x x ⋃=-<≤ð【小问2详解】∵B C C = ，∴C B⊆①当C =∅时，∴12m m ->，解得1m <-②当C ≠∅时，则121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪≤⎩，解得522m <≤综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦18.已知正数a 、b 满足122a b+=.（1）求a b +的最小值；（2）求42211a b a b +--的最小值.【答案】（1）32+（2）8【解析】【分析】（1）由已知()1122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后结合基本不等式求解.（2）对已知式子变形，结合已知条件求出()()2111a b -⋅-=，然后再利用基本不等式求解.【小问1详解】因为a 、b 是正数，所以()1121233222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥当且仅当12a +=，22b +=时等号成立,所以a b +的最小值为32+.【小问2详解】因为122a b +=，所以12a >，1b >，所以210a ->，10b ->，()()2111a b -⋅-=则4222448211211a b a b a b +=+++----≥当且仅当1a =，2b =时等号成立，所以42211a b a b +--的最小值为8.19.已知函数()412x f x a a =-+（0a >且1a ≠）的定义域为R ，且()00f =.（1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用单调性定义法证明.【答案】（1）()2121x f x =-+，奇函数（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据()00f =求出a 的值，然后根据奇偶函数的定义判断其奇偶性.（2）定义法判断函数的单调性.【小问1详解】∵函数()412x f x a a=-+（0a >且1a ≠）的定义域为R ，()40102f a =-=+，解得：2a =，∴()2121x f x =-+，()2121x x f x -=+，()21122121x x x x f x -----==++∴()()f x f x -=-∴()f x 是奇函数.【小问2详解】设12,R x x ∈且12x x <，∴()()()()()()()()121212121212221212222211212121212121x x x x x x x x x x f x f x +----=--+==++++++∵1210x +>，2210x +>，12220x x -<，∴()()120f x f x -<，即当12x x <时，()()12f x f x <，∴()f x 在R 上单调递增.20.已知二次函数()()2214f x x t x =--+.（1）若1t =，求()f x 在[]1,3-上的值域；（2）若存在[]4,10x ∈，使得不等式()f x tx <有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[]4,13（2）73t >【解析】【分析】（1）将1t =代入，转换成二次函数求值域问题，求解即可..（2）分离参数，转换成不等式能成立问题，求解即可.【小问1详解】根据题意，函数()()2214f x x t x =--+，∵1t =，则()24f x x =+，又由13x -≤≤，当0x =时，()f x 有最小值4，当3x =时，()f x 有最大值13，则有()413f x ≤≤，即函数()f x 的值域为[]4,13【小问2详解】()()2214f x x t x tx =--+<整理得2243x x tx++<∵[]4,10x ∈，∴224432x x t x x x++>=++令()4g x x x=+，设[]12,4,10x x ∈，且12x x >，则()()()()121212*********x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭，因为1240x x ->，120x x ->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以()4g x x x=+在[]4,10单调递增，所以当4x =时，min 427x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴73t >.21.2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x ．当年产量不足50千件时，21()202C x x x =+（万元）；年产量不小于50千件时，3600()51600C x x x=+-（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2130200,0502()3600400,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）60，280万元【解析】【分析】（1）可得销售额为0.051000x ⨯万元，分050<<x 和50x ≥即可求出；（2）当050<<x 时，利用二次函数性质求出最大值，当50x ≥，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x 千件商品销售额50x 万元当050<<x 时，2211()50202003020022L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当50x 时，36003600()5051600200400⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L x x x x x x 2130200,0502()3600400,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当050<<x 时，21()(30)2502L x x =--+此时，当30x =时，即()(30)250L x L = 万元当50x时，3600()400400⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭L x x x 400120280=-=此时3600=x x，即60x =，则()(60)280=L x L 万元由于280250>所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元．【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.22.已知函数()9f x x a a x=--+，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在[]1,a 上单调，且对任意[]1,x a ∈，()2f x <-恒成立，求a 的取值范围；（3）当()3,6a ∈时，函数()f x 在区间[]1,6上的最大值为()M a ，求()M a 的函数解析式.【答案】（1）单调增区间为()0,∞+，()3,0-（2）11a <<（3）()921,3,242126,,64a M a a a ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩【解析】【分析】（1）根据题意，分0x >与0x <讨论，即可得到结果；（2）根据题意，求得函数()f x 的最大值，即可得到()max 92f x a a=-+<-，从而求得结果；（3）根据题意，由条件可得()f x 在[)1,3上单调递增，在[]3,a 上单调递减，(],6a 上单调递增，即可得到结果.【小问1详解】当0a =时，()()90f x x x x=-≠，0x >时，()9f x x x =-，由y x =与9y x =-在()0,∞+单调递增可知，此时()f x 的单调增区间为()0,∞+，0x <时，()9f x x x=--，此时()f x 的单调增区间为()3,0-，由对勾函数的性质可知，∴此时()f x 的单调增区间为()0,∞+，()3,0-.【小问2详解】当[]1,x a ∈时，()92f x x a x=--+，因为函数()f x 在[]1,a 上单调，所以13a <£，此时()f x 在[]1,a 上单调递增，()()max 9f x f a a a==-+，由题意：()max 92f x a a =-+<-恒成立，即2290a a +-<，所以11a <<，又13a <£，∴a的取值范围为11a <<.【小问3详解】当[]1,6x ∈时，()[](]92,1,9,,6x a x a x f x x a a x ⎧--+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，又()3,6a ∈，由上式知，()f x 在区间(],6a 单调递增，当()3,6a ∈时，()f x 在[)1,3上单调递增，在[]3,a 上单调递减，所以，()f x 在[)1,3上单调递增，在[]3,a 上单调递减，(],6a 上单调递增，则()()()()max 921,3,249max 3,6max 26,22126,,64a f x f f a a a ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫==-=⎨ ⎪⎝⎭⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩，。
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题(含答案)
2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共60分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题2:,220P x R x x m ∃∈++-<是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A.1m > B.1m ≤ C.1m < D.1m ≥2.已知函数()f x 的定义域{}2248xa a x a -<<-∣是关于x 的不等式()()220x a x ++->的解集的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A.)26,∞⎡++⎣B.][(),226,∞∞-⋃++C.(2,26⎤+⎦ D.(]2,33.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD 的长度是1l ，弧BC 的长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，扇形AOD 周长为定值L ，圆心角为α，若123l l =，则当1S 取得最大值时，圆心角为α的值为（ ）A.1B.2C.3D.44.今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ）x10 20 29 41 50 58 70 y123.87.4111521.8A.log a y A x p =+B.x y A a p =⋅+C.2y ax bx c =++D.y kx b =+5.若12,x x R ∈，则“()3321210x x x -<”是“12x x <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()cos 1cos 1x x xe f x xe ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭在0,,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭内的大致图像为（ ） A. B.C. D.7.已知函数()()2ln f x x x =+，设()()0.5514.1log ,cos14a f b f c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<8.定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其中()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,∞+上单调递减，()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,∞+上单调递减，令()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对x R ∀∈，均有（ ）A.()()11F x F x -≥+B.()()11F x F x -≤+C.()()2211F xF x -≥+ D.()()2211F x F x -≤+二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《研智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知非零实数,a b 满足1133a b>，则（）A.11a b> B.a a b b > C.()()222233a a bb ab +>+ D.11b ba a+>+ 10.已知,a b 为正数，1181a b ab++=，则下列说法正确的是（ ） A.()ln ln a b ab +≥B.22(1)(1)a b +++的最小值为18C.9a b +的最小值为8D.33a b +的最小值为1811.已知函数()()112,20222,04x x f x f x x +⎧⋅-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，则下列命题正确的是（ ）A.存在k R ∈，使得()f x k =有3个不同的实数根B.存在k R ∈，使得()f x kx =有4个不同的实数根C.若函数()()g x f x k =-有2个零点12,x x ，则12x x +的值为2,2-或6D.能使得关于x 的方程()()2[]310f x mf x m +++=有4个不同的实数根的m的取值范围是12⎛- ⎝⎭12.函数()f x 定义在区间D 上，若满足：12,x x D ∀∈且12x x <，都有()()12f x f x ≥，则称函数()f x 为区间D 上的“不增函数”，若()f x 为区间[]0,4上的“不增函数”，且()()()04,134f f x f x =++-=，又当[]3,4x ∈时，()82f x x ≥-恒成立，下列命题中正确的有（ ）A.313444f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.[]()1,4,2x f x ∃∈>C.413436f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.[]()()()0,2,24x f f x f x ∀∈-≥- 非选择题部分（共90分）三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：2523log 9332742log 2log 5649-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________. 14.已知O 为坐标原点，若角α的终边上一点P 的坐标为()1,m -，且sin 10α=-，线段OP 绕点O 逆时针转动90后，则此时点P 的坐标为__________. 15.不等式()722ln01x x x x e e e e --+-<+-的解集是__________.16.已知0b >，若对任意的()0,x ∞∈+，不等式324820ax x abx b +--≤恒成立，则224a a b ab +++的最小值为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知集合{}22211,2102x A xB x x ax a x -⎧⎫=≤=-+-≤⎨⎬-⎩⎭∣∣.（1）当2a =时，求A B ⋃； （2）当RB A B ⋂=时，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知()()()()()sin 4cos tan 33sin tan 2f παπαπααπαα--+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （1）若()()0,22f ααπ=-∈，求α的值； （2）若()725f f παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，求tan α. 19.（本题满分12分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km /h ）测试发现：①汽车每小时耗电量P （单位：KWh ）与速度v （单位：km /h ）的关系满足()()20.0020.04560120P v v v v =-+≤≤；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A 地经高速公路（最低限速60km /h ，最高限速120km /h ）驶到距离为500km 的B 地，出发前汽车电池存量为75KWh ，汽车到达B 地后至少要保留5KWh 的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地并说明理由；（2）若途径服务区充电桩功率为15kw （充电量=充电功率⨯时间），求到达B 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）.20.（本题满分12分）已知函数()()2log 21kxf x x =++为偶函数.（1）求实数k 的值； （2）若关于x 的方程()()21xf b f=-（b 为常数）在x R ∈上有且只有一个实数根，求实数b 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()f x 对,x y R ∀∈，都有()()()()()()21211f x y f x y f x f y ++-=--+且()314f =. （1）求证：()()01f x f +≥； （2）求()2024f 的值.22.（本题满分12分）已知函数()()f x x a x b =+-，其中,a b 为常数. （1）当1b =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）当0a =时，存在2023个不同的实数()1220231,2,2023,03i x i x x x =≤<<<≤，使得()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x -+-++-=求实数b 的取值范围.2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考高一年级数学学科参考答案一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.7914.()3,1- 15.{ln2ln2}xx -<<∣16.16-四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.【答案】（1）[)[][]1,2,1,1,2,1,3A B a a a A B =-=-+=∴⋃=- （2）[)()3,,2∞∞+⋃--【解析】（1）()()21110{12022x x A xx x x x x x -+⎧⎫⎧⎫=≤=≤=+-≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣且[)20}1,2x -≠=- {}()(){}[]222101101,1B x x ax a x x a x a a a ⎡⎤⎡⎤=-+-≤=---+≤=-+⎣⎦⎣⎦∣∣[]2,1,3a B ==， []1,3A B ∴⋃=-（2）,RB A B A B ⋂=⇔⋂=∅,12A B a ≠∅≠∅∴-≥或11a +<-3a ∴≥或 2.a <-18.【答案】（1）()0,23παπα∈∴=或23πα=（2）4tan 3α=或34【解析】（1）()()()()()()()()sin 4cos tan 3sin cos tan sin 3cos tan sin tan 2f παπαπααααααπαααα--+--===-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭()sin 0,23πααπα∴=∈∴=或23πα=（2）()777,sin sin sin cos 25255f f ππαααααα⎛⎫⎛⎫++=-∴--+=-∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin cos 5αα∴=- 227cos cos 15αα⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭即：()()5cos 310cos 80αα--= 3cos 5α∴=或4cos 5α=当3cos 5α=时，4sin 4sin ,tan 5cos 3αααα∴=∴==， 当4cos 5α=时，3sin 3sin tan 5cos 4αααα∴=∴== 则4tan 3α=或34（其他解法酌情给分）19.【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B 地. （2）该汽车到达B 地的最少用时为223【解析】（1）设匀速行驶速度为v ，耗电量为()f v ， 则()()()50025002060120f v P v v v v v=⋅=+-≤≤ 函数()f v 在区间[]60,120单调递增()min 245()607553f v f ∴==≥- 该车不能在不充电的情况下到达B 地（2）设匀速行驶速度为v ，总时间为t ，行驶时间与充电时间分别为12,t t . 若能到达B 地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量即()275155t f v +-≥ 解得25006153v t v≥+-.125005002000226661531533v v t t t v v v ∴=+≥++-=+-≥=. 当且仅当2000153v v=，即100v =时取到等号 所以该汽车到达B 地的最少用时为22320.【答案】（1）2k =- （2）0,1b b =≥或1b ≤-【解析】（1）()()2log 21kx f x x =++为偶函数()()2log 21kx f x x -∴-=+-()()()()222221log 21log 212log 2021kx kxkxxkx f x f x x -⎛⎫+∴--=+-++== ⎪+⎝⎭22212122121kx x kx x kx -⎛⎫+∴=∴⋅= ⎪+⎝⎭2k ∴=-..（1）法2：由()()()()2211log 211log 2112kkf f k =-⇒++=+-⇒=-.当2k =-时，()()()()222224141log 21log 2log log 2242x x xx x x x x f x x f x --⎛⎫⎛⎫++=++===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2k ∴=-（2）()()()222224141log 21log 2log log 2242x x xx x x x x f x x --⎛⎫⎛⎫++=++===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22x x -+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增令222log x xt y t -=+=在()2,∞+上递增()()2log 22x x f x -∴=+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增.又()()2log 22x x f x -=+是偶函数则由()()21xf b f =-有且只有一个实数根，21x b ∴=-有且只有一个实数根0,1b b ∴=≥或1b ≤-（其他解法酌情给分）21.【答案】（1）见详解.（2）()120244f = 【解析】（1）取x y ､都为2x 时，()()2021112x f x f f⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭思路2：0x y ==，则()()220(201)1f f =-+，可得()102f =或当()102f =时，令0y =，则()1f x =，即()12f x =与()314f =矛盾 所以()01f =， 即证()0f x ≥取x y ､都为2x 时，()()2021112x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()314f =，可得()()()()()1132304561444f f f f f =⇒=⇒=⇒=⇒= 令1y =，则()()()()()()()1112121112f x f x f x f f x ++-=--+=+即()()()111,2f x f x f x ++-=+即()()()1212f x f x f x ++=++()()211f x f x ∴++-=用3x +代x 可得()()521f x f x +++=()()51f x f x ∴+=-，即()()6f x f x += ()()202422f f ==22.【答案】（1）当1a =-时，()f x 在R 上单调递增. 当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）b 的取值范围是][(),17,∞∞--⋃+ 【解析】（1）()()()()221,111,1x a x a x f x x a x x a x a x ⎧+--⎪=+-=⎨---+<⎪⎩1当1a =-时，()()22(1),1,(1),1x x f x f x x x ⎧-=⎨--<⎩在R 上单调递增. 2当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 3当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）()22,,x bx x bf x x x b x bx x b ⎧-=-=⎨-+<⎩1当02b≤即0b ≤时，()2f x x bx =-在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以()()()()1202303f f x f x f ≤<⋯<≤，则()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x =-+-++- ()()()()()()()()213220232022f x f x f x f x f x f x =-+-++-()()()()203313093f x f x f f b =--=-解得1b ≤-；2当32b即6b 时，()2f x x bx =-+在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以 ()()()()20331123093f x f x f f b =--=-+，解得7;b3当3322b<<即36b <<时，()()()()22612203293992422b b b b b f f f b -⎛⎫⎛⎫--=⨯-+--+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾；4当3022b <≤即03b <≤时， ()()()()()261223029399222b b b b f f f f b b -⎛⎫+--=+-=+< ⎪⎝⎭，矛盾.综上所述，b 的取值范围是][(),17,.∞∞--⋃+。
2022年浙江省杭州市宁波市鄞州职业中学高一数学文上学期期末试卷含解析
2021-2022学年浙江省杭州市宁波市鄞州职业中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. A. B.C. D．参考答案：D2. 在区间[-1，1]上任取两个数、，则满足的概率是A． B． C． D．参考答案：A略3. 不等式表示区域的面积为：( )A. 1B.C. D.参考答案：D略4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.三棱锥B.正方体C.圆柱D.球参考答案：C 5. 已知函数f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】正弦函数的单调性．【分析】由正弦函数最值的结论，得x=是方程2x+φ=+2kπ的一个解，结合|φ|＜π得φ=，所以f（x）=﹣2sin（2x+），再根据正弦函数的图象与性质，得函数的单调增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z），对照各选项可得本题答案．【解答】解：∵当x=时，f（x）=﹣2sin（2x+φ）有最小值为﹣2∴x=是方程2x+φ=+2kπ的一个解，得φ=+2kπ，（k∈Z）∵|φ|＜π，∴取k=0，得φ=．因此函数表达式为：f（x）=﹣2sin（2x+）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）取k=0，得f（x）的一个单调递增区间是故选：D6. 已知，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：向量在方向上的投影为，故选择A．考点：平面向量的数量积．7. 函数与的图象（）A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线轴对称参考答案：D8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（）A．B．C．D．参考答案：B略9. 设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．[4，6] B．（4，6）C．[﹣1，3] D．（﹣1，3）参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】做出函数f（x）的图象，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，求出x1的范围，最后结合图象求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：先做出函数f（x）的图象，如图所示：当x≥0时，f（x）=|2x﹣6|=2|x﹣3|，此时函数关于x=3对称，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且﹣2＜x1＜0，则x1+x2+x3=6+x1，∵﹣2＜x1＜0，∴4＜6+x1＜6，即x1+x2+x3∈（4，6）．故选：B10. 在中，,是它的两边长，S是的面积，若，则的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数是偶函数，则a=__________．参考答案：因为函数是偶函数，所以x的一次项系数为0，即a=0．12. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是．参考答案：（π﹣2）rad【考点】G7：弧长公式．【分析】由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．【解答】解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l由题意得2r+l=πr∴l=（π﹣2）r∴θ==π﹣2故答案为：（π﹣2）rad．13. 设，则的最小值为__________参考答案：214. 有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体个顶点，则这三个球的表面积之比为参考答案：1:2:3略15. 如图，边长为l的菱形ABCD中，∠DAB=60°，，，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图坐标系，可得A 、B、C、D 各点的坐标，结合题中数据和等式，可得向量、的坐标，最后用向量数量积的坐标公式，可算出的值．【解答】解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图坐标系∵菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，∴D（cos60°，sin60°），即D（，），C（，）∵，∴M为CD的中点，得=（+）=（2+）=（1，）又∵，∴ =+=（，）∴=1×+×=故答案为：【点评】本题在含有60度角的菱形中，计算向量的数量积，着重考查了向量的数量积坐标运算和向量在平面几何中的应用等知识，属于基础题．16. 函数的单调增区间是________.参考答案：，【分析】先利用诱导公式化简，即可由正弦函数单调性求出。
2020-2020学年浙江省杭州市高一上期末数学试卷(含答案解析)
2020-2020学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N=，∁U M=．16．（3分）（）+（）=；log412﹣log43=．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a 的值为．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k 的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．2020-2020学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），∴函数f（x）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即x C=或x G=，当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得x E=，由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为x E﹣x C=﹣=，故选：B．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f （x）max，x∈[1，4]．令u（x）=﹣ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，∴u（x）max=u（1）=4﹣a，u（x）min=1﹣4a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（x）max=4a﹣1≥15．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（x）max={4﹣a，4a﹣1}max＞3．③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（x）max=4﹣a≥3．综上①②③可得：m≤3．∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．故选：D．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5} ，∁U M={1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）=3；log412﹣log43=1．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈Z，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g （x）=﹣h（x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a 的值为﹣1．【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A，即满足时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为16．【解答】解：∵令t=f（x），则y=g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a=t2﹣at+2a，∵g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（x1）=f（x2）=t1，f（x3）=f（x4）=t2，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈Z所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈Z），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（2分）。
2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)质检数学试卷(10月份)
2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）质检数学试卷（10月份）试题数：20，总分：01.（单选题，0分）已知集合A={x|x2=4}，B={x|x2=2x}，则A∩B=（）A.{0，2}B.{2}C.{-2，0，2}D.{-2，2}2.（单选题，0分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A.∀x∈（-∞，0），x3+x＜0B.∀x∈（-∞，0），x3+x≥0C.∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D.∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥03.（单选题，0分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，0分）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2 √|ab|D.a+b≤2 √|ab|的图象大致为（）5.（单选题，0分）函数y= 4xx2+1A.B.C.D.6.（单选题，0分）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）A.若a＞b，c＜d⇒a+c＞b+dB.若a＞b，c＞d⇒ac＞bdC.若bc-ad＞0，ca - db＞0⇒ab＜0D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ √ad ＞√bc7.（单选题，0分）下列各组函数是同一函数的是（）① f(x)=√−2x3与g(x)=x√−2x；② f（x）=x与g(x)=√x2；③ f（x）=x0与g(x)=1x0；④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．A. ① ②B. ① ③C. ③ ④D. ① ④8.（单选题，0分）定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0．则满足f（2x-1）＜f（1）的x的取值范围是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）∪（-∞，0）C.（-∞，0）D.（0，1）9.（多选题，0分）已知集合A={x|ax 2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a 可以取（ ）A.a≥1B.a=0C.a≤-1D.-1≤a≤110.（多选题，0分）设S 为实数集R 的非空子集，若对任意x ，y∈S ，都有x+y ，x-y ，xy∈S ，则称S 为封闭集．则下列说法中正确的是（ ）A.集合S={a+b √3 |a ，b 为整数}为封闭集B.若S 为封闭集，则一定有0∈SC.封闭集一定是无限集D.若S 为封闭集，则满足S⊆T⊆R 的任意集合T 也是封闭集11.（填空题，0分）函数f （x ）= √4−x x−1 的定义域为 ___ ．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）=-ax 3-bx+3a+b （a ，b∈R ）的图象关于原点对称，若它的定义域为[a-1，2a]，那么a=___ ，b=___ ．13.（填空题，0分）设p ：-1＜a-x ＜1，q ： 12＜x ＜32 ，若p 的一个充分不必要条件是q ，则实数a 的取值范围是 ___ ．14.（填空题，0分）设 a ＞12 ，b ＞0，若a+b=2，则 12a−1+2b 的最小值为___ ．15.（填空题，0分）已知函数 f (x )={−x 2−ax −5，(x ≤1)a x (x ＞1) 是R 上的增函数，则a 的取值范围是___ ．16.（问答题，0分）已知集合A={x|x 2-x-2＜0}，B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}．（1）当a=1时，求集合A 和A∪B ；（2）若B⊆（∁R A ），求实数a 的取值范围．17.（问答题，0分）已知函数f （x ）为奇函数，当x ＞0时， f (x )=x 2+2x ．（1）求f （-1）的值，并求出f （x ）在x ＜0时的解析式；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．18.（问答题，0分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R （x ）= {400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400，其中x 是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f （x ）表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？19.（问答题，0分）已知函数f （x ）=x 2-x+1．（1）求出f （x ）在x∈[1，3]上的最大值和最小值，并指出取到最值时x 的取值；（2）当x∈[m ，m+1]（m∈R ）时，求f （x ）的最小值g （m ）．20.（问答题，0分）设函数f （x ）=x 2+2ax+2-a ，（a∈R ）．（1）解关于x 的不等式f （x ）＞（1-a ）x 2-a ；（2）若至少有一个x∈[1，2]，使得f （x ）＞0成立，求a 的取值范围．2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）质检数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：20，总分：01.（单选题，0分）已知集合A={x|x2=4}，B={x|x2=2x}，则A∩B=（）A.{0，2}B.{2}C.{-2，0，2}D.{-2，2}【正确答案】：B【解析】：可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-2，2}，B={0，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】：本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，0分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A.∀x∈（-∞，0），x3+x＜0B.∀x∈（-∞，0），x3+x≥0C.∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D.∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0【正确答案】：C【解析】：全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】：解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选：C．【点评】：本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．3.（单选题，0分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，即可判断出结论．【解答】：解：∵等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、等边三角形与等腰三角形的关系，考查了推理能力，属于基础题．4.（单选题，0分）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2 √|ab|D.a+b≤2 √|ab|【正确答案】：B【解析】：对于A和B，分别根据完全平方差和完全平方和公式即可得解；对于C和D，举出反例即可得解．【解答】：解：对于A，由（a-b）2≥0，知a2+b2≥2ab，即A错误；对于B，由（a+b）2≥0，知a2+b2≥-2ab，即B正确；对于C，当a=0，b=-1时，a+b=-1，-2 √|ab| =0，此时a+b＜-2 √|ab|，即C错误；对于D，当a=0，b=1时，a+b=1，2 √|ab| =0，此时a+b＞-2 √|ab|，即D错误，故选：B．【点评】：本题考查不等式的性质，属于基础题．5.（单选题，0分）函数y= 4xx2+1的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】：解：函数y= 4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y=f（x）= 4xx2+1，则f（-x）=- 4xx2+1=-f（x），则函数y=f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y=f（x）＞0，故排除B，故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．6.（单选题，0分）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）A.若a＞b，c＜d⇒a+c＞b+dB.若a＞b，c＞d⇒ac＞bdC.若bc-ad＞0，ca - db＞0⇒ab＜0D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ √ad ＞√bc【正确答案】：D【解析】：根据不等式的性质判断即可．【解答】：解：对于A，若a＞b，c＜d，则-c＞-d，则a-c＞b-d，故A错误，对于B，若a＞b，c＞d，则ac＞bd，故B错误，对于C：若bc-ad＞0，ca - db＞0，则ab＞0，故C错误，对于D，若a＞b＞0，则c＞d＞0，则√ad ＞√bc，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．7.（单选题，0分）下列各组函数是同一函数的是（）① f(x)=√−2x3与g(x)=x√−2x；② f（x）=x与g(x)=√x2；③ f（x）=x0与g(x)=1x0；④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．A. ① ②B. ① ③C. ③ ④D. ① ④【正确答案】：C【解析】：确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】：解：① f（x）= √−2x3 = |x|√−2x与y= x√−2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．② g(x)=√x2 =|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③ f（x）=x0与g(x)=1x0都可化为y=1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③ ④ ．故选：C．【点评】：本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据．8.（单选题，0分）定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0．则满足f（2x-1）＜f（1）的x的取值范围是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）∪（-∞，0）C.（-∞，0）D.（0，1）【正确答案】：B【解析】：由题意可知函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数可知，f（2x-1）＜f（1）可转化为|2x-1|＞1，从而求解．【解答】：解：∵f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2x-1）＜f（1）可转化为|2x-1|＞1，解得x＜0或x＞1．故选：B．【点评】：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，绝对值不等式的解法，属于中档题．9.（多选题，0分）已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a可以取（）A.a≥1B.a=0C.a≤-1D.-1≤a≤1【正确答案】：ABC【解析】：根据集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，讨论集合A中的方程ax2-2x+a=0的根的情况，求解若ax2-2x+a=0为一元一次方程和一元二次方程至多含有一个根的情况，符合题意时可得实数a可以取为：a=0，a≥1或a≤-1．【解答】：解：已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则讨论集合A中的方程ax2-2x+a=0的根的情况，① 若ax2-2x+a=0为一元一次方程，则a=0，解得x=0，符合题意；② 若ax2-2x+a=0为一元二次方程，则a≠0，方程至多含有一个根，△=4-4a2≤0，解得a≥1或a≤-1，符合题意；故实数a可以取为：a=0，a≥1或a≤-1．故选：ABC．【点评】：本题主要考查元素与集合的关系，一元二次方程根的情况，分类讨论思想，属于基础题．10.（多选题，0分）设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是（）A.集合S={a+b √3 |a，b为整数}为封闭集B.若S为封闭集，则一定有0∈SC.封闭集一定是无限集D.若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集【正确答案】：AB【解析】：根据封闭集的定义，任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，可逐一判断．【解答】：解：集合S={a+b √3 |a，b为整数}，在集合A中任意取两个元素，x=a+b√3，y=c+d√3，其中a，b，c，d为整数，则x+y=a+c+(b+d)√3，x−y=a−c+(b−d)√3，xy=ac+3bd+(ad+bc)√3，均为整数加上根号三的整数倍的形式，故A正确；因为x，y是集合中任意的元素，所以x与y可以是同一个元素，故0一定在封闭集中，故B正确；封闭集不一定是无限集，例如{0}，故C错误；S={0}，T={0，1}，也满足D选项，但是集合T不是一个封闭集，故D不正确；故选：AB．【点评】：本题考查了集合的新概念，抽象概括能力，运算能力．的定义域为 ___ ．11.（填空题，0分）函数f（x）= √4−xx−1【正确答案】：[1]{x|x≤4且x≠1}【解析】：根据分式有意义的条件，分母不能为0，偶次根式，被开方数大于等于0，可求出函数的f（x）的定义域．【解答】：解：∵ f(x)=√4−xx−1∴ {4−x≥0x−1≠0解得x≤4且x≠1即函数f(x)=√4−xx−1的定义域为{x|x≤4且x≠1}故答案为：{x|x≤4且x≠1}【点评】：本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是注意分母不能为0，偶次根式被开方数大于等于0，属于基础题．12.（填空题，0分）已知函数f（x）=-ax3-bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，若它的定义域为[a-1，2a]，那么a=___ ，b=___ ．【正确答案】：[1] 13; [2]-1【解析】：根据题意，有f（x）为奇函数，由奇函数的定义域关于原点对称可得（a-1）+2a=0，解可得a的值，由奇函数定义可得f（x）+f（-x）=0，变形分析可得b的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f（x）=-ax3-bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，即f （x）为奇函数，若它的定义域为[a-1，2a]，则有（a-1）+2a=0，解可得a= 13，则f（x）=- 13 x3-bx+1+b，f（-x）= 13x3+bx+1+b，则有f（-x）+f（x）=2+2b=0，解可得b=-1，故答案为：13，-1．【点评】：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇偶函数的定义域的特点，属于基础题．13.（填空题，0分）设p：-1＜a-x＜1，q：12＜x＜32，若p的一个充分不必要条件是q，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][ 12，32]【解析】：根据充分不必要条件的定义，转化为集合的真子集关系进行求解即可．【解答】：解：由-1＜a-x ＜1得a-1＜x ＜a+1， ∵q 是p 的充分不必要条件，∴q 对应的集合是p 对应集合的真子集， ∴（ 12 ， 32 ）⫋（a-1，a+1）， 则 {a −1≤12a +1≥32 ，得 12 ≤a≤ 32， 即实数a 的取值范围是[ 12， 32]． 故答案为：[ 12， 32]．【点评】：本题主要考了充分条件和必要条件的定义，进行转化是解决本题的关键，属于基础题．14.（填空题，0分）设 a ＞12 ，b ＞0，若a+b=2，则 12a−1+2b 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：由已知可得 12a−1+2b = 12a−1+42b = 13 （ 12a−1+42b ）（2a-1+2b ），展开后结合基本不等式即可求解．【解答】：解：因为 a ＞12 ，b ＞0，a+b=2， 所以2a-1+2b=3，则 12a−1+2b = 12a−1+42b = 13 （ 12a−1+42b ）（2a-1+2b ）= 13 [5+ 2b2a−1+4(2a−1)2b ] ≥13(5+4) =3，当且仅当 2b2a−1=4(2a−1)2b且a+b=2即a=b=1时取等号，故答案为：3【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑． 15.（填空题，0分）已知函数 f (x )={−x 2−ax −5，(x ≤1)a x (x ＞1) 是R 上的增函数，则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-3，-2]【解析】：要使函数在R 上为增函数，须有f （x ）在（-∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且 −12−a ×1−5≤a1 ，由此可得不等式组，解出即可．【解答】：解：要使函数在R 上为增函数，须有f （x ）在（-∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且 −12−a ×1−5≤a 1，所以有 { −a2≥1a ＜0−12−a ×1−5≤a 1 ，解得-3≤a≤-2，故a 的取值范围为[-3，-2]． 故答案为：[-3，-2]．【点评】：本题考查函数的单调性，考查学生解决问题的能力，属中档题． 16.（问答题，0分）已知集合A={x|x 2-x-2＜0}，B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}． （1）当a=1时，求集合A 和A∪B ； （2）若B⊆（∁R A ），求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出集合A ，B ，由此能求出A∪B ．（2）求出∁U A={x|x≤-1或x≥2}，B⊆（∁R A ），当B=∅时，a=3a ，当a ＜0时，B={x|3a ＜x ＜a}，当a ＞0时，B={x|a ＜x ＜3a}，由B⊆（∁R A ），能求出实数a 的取值范围．【解答】：解：（1）集合A={x|x 2-x-2＜0}={x|-1＜x ＜2}=（-1，2）， 当a=1时，B={x|（x-1）（x-3）＜0}={x|1＜x ＜3}， A∪B={x -|1＜x ＜3}=（-1，3）．（2）∵B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}． ∁U A={x|x≤-1或x ≥2}，B⊆（∁R A ）， ∴当B=∅时，a=3a ，解得a=0， 当a ＜0时，B={x|3a ＜x ＜a}， 由B⊆（∁R A ），得a≤-1， 当a ＞0时，B={x|a ＜x ＜3a}， 由B⊆（∁R A ），得a≥2．综上，实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-1或a≥2}．【点评】：本题考查集合、并集的求法，考查并集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．17.（问答题，0分）已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f(x)=x2+2x．（1）求f（-1）的值，并求出f（x）在x＜0时的解析式；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的性质可得f（-1）=-f（1），根据函数奇偶性的性质，将x＜0转化为-x＞0，即可求出函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，利用增函数的定义证明即可．【解答】：解：（1）∵当x＞0时，f(x)=x2+2x．∴f（1）=3，由函数f（x）为奇函数，可得f（-1）=-f（1）=-3．令x＜0，则-x＞0，f（-x）=x2- 2x，由函数f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），∴f（x）=-f（-x）=-x2+ 2x，即x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=-x2+ 2x．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）= x12 + 2x1 - x22 - 2x2=（x1-x2）（x1+x2- 2x1x2）∵1＜x1＜x2，故x1-x2＜0，x1+x2＞2，- 2x1x2＞-2，则x1+x2- 2x1x2＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数解析式的求法，利用单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．18.（问答题，0分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R （x ）= {400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400 ，其中x 是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润f （x ）表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【正确答案】：【解析】：（1）根据利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x ＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】：解：（1）由于月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而利润f （x ）= {300x −12x 2−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400；（2）当0≤x≤400时，f （x ）=300x- 12x 2 -20000=- 12（x-300）2+25000， ∴当x=300时，有最大值25000；当x ＞400时，f （x ）=60000-100x 是减函数， ∴f （x ）=60000-100×400＜25000． ∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键． 19.（问答题，0分）已知函数f （x ）=x 2-x+1．（1）求出f （x ）在x∈[1，3]上的最大值和最小值，并指出取到最值时x 的取值； （2）当x∈[m ，m+1]（m∈R ）时，求f （x ）的最小值g （m ）．【正确答案】：【解析】：（1）利用二次函数的开口方向与对称轴，结合x 的范围，求解函数的最值，以及x 的值．（2）利用二次函数的图象及性质，分类讨论即可得解；【解答】：解：（1）函数f （x ）=x 2-x+1，开口向上，对称轴为：x= 12 ， ∵ 12 ∉[1，3]，所以函数在x∈[1，3]上是增函数，x=1时，f （x ）min =f （1）=1，x=3时，f （x ）max =f （3）=7． （2）由题意，画出函数f （x ）图象如下：由题意及图， ① 当m+1≤ 12，即m≤- 12时，f （x ）min =f （m+1）=m 2+m+1； ② 当m≤ 12 ＜m+1，即- 12 ＜m≤ 12 时，f （x ）min =f （ 12 ）= 34 ； ③ 当m ＞ 12 时，f （x ）min =f （m ）=m 2-m+1．综上所述，可得：f （x ）的最小值 g (m )={m 2+m +1，m ≤−1234，−12＜m ＜12m 2−m +1，m ≥12．【点评】：本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.（问答题，0分）设函数f （x ）=x 2+2ax+2-a ，（a∈R ）． （1）解关于x 的不等式f （x ）＞（1-a ）x 2-a ；（2）若至少有一个x∈[1，2]，使得f （x ）＞0成立，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）原不等式化为ax2+2ax+2＞0，讨论a=0，a＞0，a＜0，结合二次方程的两根和二次函数的图象可得所求解集；（2）由题意可得f（1）＞0或f（2）＞0，解不等式，求并集，可得所求范围．【解答】：解：（1）不等式x2+2ax+2-a＞（1-a）x2-a，化为ax2+2ax+2＞0，由a≥2或a＜0，可令x1=−a−√a2−2aa ，x2=−a+√a2−2aa，当a＜0时，x2＜x1，原不等式的解集为（x2，x1）；当a=0时，2＞0，则原不等式的解集为R；当0＜a＜2时，△＜0，原不等式的解集为R；a≥2时，x1＜x2，原不等式的解集为（-∞，x1）∪（x2，+∞）．（2）至少有一个x∈[1，2]，使得f（x）＞0成立，可得f（1）＞0或f（2）＞0，即1+2a+2-a＞0或4+4a+2-a＞0，即a＞-3或a＞-2，所以a＞-3，则a的取值范围是（-3，+∞）．【点评】：本题考查含参数不等式的解法和不等式成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
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浙江省宁波市2020学年第一学期期末考试高一数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选A2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A. 1B.C.D. 2 【答案】C【解析】【分析】由幂函数的单调性结合选项得答案．【详解】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M是边AB上的中点，记，，则向量A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，∴．选C．4.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．【详解】在上为增函数，且，，，，的零点所在区间为．故选：C．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.5.已知为锐角，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式变形，结合平方关系把根式内部的代数式化为完全平方式，开方得答案．【详解】为锐角，∴．故选：D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．6.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用，进行排除即可.【详解】，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7.以下关于函数的说法中，正确的是A. 最小正周期B. 在上单调递增C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的周期性，单调性以及对称性分别进行判断即可．【详解】函数的最小正周期，故A错误，当时，，，此时函数为增函数，故B正确，，即图象关于点不对称，故C错误，，则图象关于直线不对称，故D错误，故选：B．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合三角函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量，满足，，且，则，的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对两边平方计算，再代入夹角公式即可求出答案．【详解】由可得，即，，，，的夹角为．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的夹角公式，属于基础题．9.设函数的定义域为A，且满足任意恒有的函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】满足任意恒有，则函数关于中心对称，由此可得结论．【详解】满足任意恒有函数关于中心对称的对称中心为故选：C．【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10.已知函数，的值城是，则A. B. C. 2 D. 0 【答案】D【解析】【分析】根据条件判断函数的奇偶性，利用奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．【详解】，即函数是奇函数，得图象关于原点对称，函数的值城是，，则，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知，则______，______．【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】根据即可得出，从而得出，的值，进而得出的值．【详解】；；；．故答案为：．【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设，则______，______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由已知展开两角和的正切求，由同角三角函数基本关系式化弦为切求．【详解】由，得，．故答案为：；．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用及两角和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．【详解】，；由，，且，得，即．故答案为：；2．【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．14.已知函数一部分图象如图所示，则______，函数的单调递增区间为______．【答案】 (1). 2 (2). ，【解析】【分析】根据图象先求出函数的周期，和，利用五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．【详解】由图象知，则周期，即，即，即，由五点对应法得，即，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故答案为：，．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______．【答案】2【解析】【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.【详解】扇形的半径为，圆心角为，弧长 ,这条弧所在的扇形面积为，故答案为 .【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.16.已知且，函数，满足对任意实数，，都有成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据题意知函数在R上为增函数，利用分段函数的单调性列不等式组，从而求出a的取值范围．【详解】函数，对任意实数，，都有成立，则在R上为增函数；当时，函数为增函数，则有，即；当时，函数为增函数，则有；由在R上为增函数，则，即有；由可得a的取值范围为：故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应用问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量，，满足，向量满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的方程，则表示点点到直线直线AB 上点的距离，即可求出范围．【详解】由题意，单位向量，，满足，不妨设，，，，，，，即到点和的距离和为，则直线AB的方程为，表示点点到线段AB上点的距离，，最大值为到的距离即为，故的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知集合，．1求；2已知，若，求实数a的取值范围．【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=；（2）由集合的包含关系得：C⊆B，则：a≥4，得到的范围是．【详解】（1）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，故A∩B=，（2）由集合的包含关系得：C⊆B，则：a≥4，所以的范围是．【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数1求函数的最小正周期；2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先利用平面向量的数量积运算和三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的关系式和函数的图象的平移变换的应用求出函数的值域．【详解】1函数，，函数的最小正周期；2由于，将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，由于，故：，所以：，故：的值域为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F 分别在线段BC和DC上，且，．1求的值；2求的最小值，并求出此时t的值．【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】1结合向量的数量积公式即可求出2利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】1，2，，，，故当时，的最小值为．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．21.如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交、两点．1求的值；2若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1根据三角函数的定义求出，和，的值，利用两角和差的余弦公式进行求解2先求出的三角函数值，结合两角和差的正弦公式求的值即可.【详解】1由、，得，、，，则．2，，，，，，则，．【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义求出对应角的三角函数值，以及利用两角和差的公式进行求解是解决本题的关键．22.设，其中．1当时，分别求及的值域；2记，，若，求实数t的值．【答案】（1）；（2）或或或【解析】【分析】1当时，求出函数和的解析式，结合二次函数的性质进行求解即可2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建立方程即可【详解】1当时，由，当且仅当时，取等号，即的值域为．设，则，则，当且仅当，即时，取等号，故的值域为．2，，即此时函数的值域为，，，得或，当时，即或，，即，即，则，得或成立．当时，即时，，即，即，即或或，或满足条件，综上或或或成立．【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。