2020年南充一诊数学试卷(理科数学)

合集下载

2020年四川省南充市中考数学一诊试卷解析版

2020年四川省南充市中考数学一诊试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．1．下列各数中，属于无理数的是（）A．3.14B．0.2020…C．D．2．下列计算，错误的是（）A．m2•m3•m＝m6B．（﹣2a2）2＝4a4C．当x≠0时，（x2）﹣3＝D．当x≠0时，x0＝03．针对所给图形，如果不区分颜色，说法正确的是（）A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．非轴对称图形，也非中心对称图形4．下列说法正确的是（）A．可能性很大的事件，在一次试验中一定发生B．可能性很小的事件，在一次试验中可能发生C．必然事件，在一次试验中有可能不会发生D．不可能事件，在一次试验中也可能发生5．若△ABC的一边为4，另两边分别是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，则△ABC的周长（）A．为10B．为11C．为12D．不确定6．将抛物线y＝x（x+2）向左平移1个单位后的解析式为（）A．y＝x（x+1）B．y＝x（x+3）C．y＝（x﹣1）（x+1）D．y＝（x+1）（x+3）7．如图，小王从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东60°方向行走至C处，则∠ABC等于（）A．90°B．100°C．110°D．120°8．若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？（）A．﹣15B．﹣16C．﹣17D．﹣189．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．1510．如图，正方形ABCD中，点E是BC边的中点．将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF 交CD边于点G，连接AG，CF．下列结论：①AE∥FC；②△ADG≌△AFG；③CG＝2DG；④S△CEF＝S正方形ABCD．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．②③④D．①②③④二、填空：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在答题卡对应题号的横线上．11．若a﹣＝，则a2+的值是．12．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第象限．13．下个月学校将为片区学校展示“音乐、体育、美术”兴趣活动观摩．小明、小丽随机从三个场所选择一个担任志愿者服务，两人恰好选择同一场所的概率是．14．如图，AC与BD交于O，AB＝CD，要使△ABC≌△DCB，可以补充一个边或角的条件是．15．如图，BD是△ABC的高，AB＝，BC＝2，tan A＝1，则CD＝．16．如图，抛物线y＝x2+ax+2经过点P（﹣2，2），Q（m，n）．若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．三、解答题：本大题共9个小题，共86分．解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．（8分）计算：1﹣．18．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，在BC上截取BE＝BA．若∠A＝100°，∠C ＝30°，试求∠BDE的度数．19．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？20．（10分）a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．21．（10分）如图，直线AB与x轴交于点A（﹣，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，双曲线y＝经过点C．（1）求直线AB和双曲线y＝的解析式．（2）平移直线AB，使它与双曲线y＝（x＜0）有唯一公共点P时，求点P的坐标．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD ＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O 于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．23．（10分）某商店经营一款新电动玩具，进货单价是30元．在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出10件．（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，求这款玩具销售单价是定为多少元的，并考虑了顾客更容易接受．（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．24．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB 到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC为y ＝x﹣2．（1）求抛物线的解析式．（2）过点A作直线AD与抛物线在第一象限的交点为D．当S△ABD＝3S△ABC时，确定直线AD与BC的位置关系．（3）在第二象限抛物线上求一点P，使∠PCA＝15°．2020年四川省南充市中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分．1．下列各数中，属于无理数的是（）A．3.14B．0.2020…C．D．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：＝﹣4，3.14，0.2020…，是有理数，是无理数，故选：C．2．下列计算，错误的是（）A．m2•m3•m＝m6B．（﹣2a2）2＝4a4C．当x≠0时，（x2）﹣3＝D．当x≠0时，x0＝0【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、m2•m3•m＝m6，正确，故本选项不符合题意；B、（﹣2a2）2＝4a4，正确，故本选项不符合题意；C、当x≠0时，（x2）﹣3＝，正确，故本选项不符合题意；D、当x≠0时，x0＝1，原式计算错误，故本选项符合题意；故选：D．3．针对所给图形，如果不区分颜色，说法正确的是（）A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．非轴对称图形，也非中心对称图形【分析】根据中心对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：此图形是不是轴对称图形，是中心对称图形，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．可能性很大的事件，在一次试验中一定发生B．可能性很小的事件，在一次试验中可能发生C．必然事件，在一次试验中有可能不会发生D．不可能事件，在一次试验中也可能发生【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的意义和发生可能性的大小，逐项进行判断即可．【解答】解：可能性很大的事件，在一次试验中也不一定发生，只是发生的可能性很大，因此选项A不正确；可能性很小的事件，在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，因此选项B正确；必然事件，一定会发生的事件，即发生的可能性为100%，因此在一次试验中有可能不会发生是错误的，选项C不正确；不可能事件，一定不会发生的事件，即发生的可能性为0，在一次试验中更不可能发生，因此选项D不正确；故选：B．5．若△ABC的一边为4，另两边分别是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，则△ABC的周长（）A．为10B．为11C．为12D．不确定【分析】设x2﹣6x+k＝0的两个根分别为x1、x2，由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，分两种情形分别求解即可．【解答】解：设x2﹣6x+k＝0的两个根分别为x1、x2，则有x1+x2＝﹣＝﹣＝6，当两边不同时，周长为4+4+2＝10，当两边相同时．周长为4+3+3＝10，故选：A．6．将抛物线y＝x（x+2）向左平移1个单位后的解析式为（）A．y＝x（x+1）B．y＝x（x+3）C．y＝（x﹣1）（x+1）D．y＝（x+1）（x+3）【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y＝x（x+2）的顶点坐标为（﹣1，﹣1），再利用点平移的规律得到点（﹣1，﹣1）平移后对应点的坐标为（﹣2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式，然后整理即可．【解答】解：∵y＝x（x+2）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴抛物线y＝x（x+2）的顶点坐标为（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）向左平移1个单位后对应点的坐标为（﹣2，﹣1），所以平移后抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣1，即y＝（x+1）（x+3）．故选：D．7．如图，小王从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东60°方向行走至C处，则∠ABC等于（）A．90°B．100°C．110°D．120°【分析】根据方向角的定义求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．【解答】解：如图：∵小王从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东60°方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠CBE＝60°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+60°＝100°．故选：B．8．若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？（）A．﹣15B．﹣16C．﹣17D．﹣18【分析】根据不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50可以求得x的取值范围，从而可以得到a、b 的值，进而求得a+b的值．【解答】解：∵20＜5﹣2（2+2x）＜50，解得，，∵不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，∴a＝﹣5，b＝﹣12，∴a+b＝（﹣5）+（﹣12）＝﹣17，故选：C．9．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．15【分析】如图，连接OA，OC，OB．想办法求出中心角∠BOC即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意30°＝，∴n＝12，故选：C．10．如图，正方形ABCD中，点E是BC边的中点．将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF 交CD边于点G，连接AG，CF．下列结论：①AE∥FC；②△ADG≌△AFG；③CG＝2DG；④S△CEF＝S正方形ABCD．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．②③④D．①②③④【分析】①由中点定义和折叠性质得CE＝EF，进而得∠ECF＝∠EFC，再由三角形的外角性质得∠AEB＝∠ECF，最后由平行线的判定方法得AE∥CF，便可判断①的正误；②由“HL”可证Rt△ADG≌Rt△AFG，便可判断②的正误；③设正方形ABCD的边长为a，CG＝x，则EC＝BE＝EF＝a，GF＝DG＝a﹣x，由勾股定理可求CG＝a，可求DG＝a，便可判断③的正误；④求出S△CEF的值，即可判断④的正误．【解答】解：①∵E是BC边的中点，∴BE＝CE，由折叠知，∠AEB＝∠AEF，BE＝EF，AB＝AF，∴CE＝EF，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF，故①正确；②在Rt△ADG和Rt△AFG中，，∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL），故②正确；③设正方形ABCD的边长为a，CG＝x，则EC＝BE＝EF＝a，GF＝DG＝a﹣x，在△CEG中，由勾股定理得，EG2＝GC2+EC2，∴（a+a﹣x）2＝（a）2+x2，解得，x＝a，∴CG＝a，∴DG＝a，∴CG＝2DG，故③正确；④∵S△CEG＝EC•CG＝×a×a＝a2，又∵EF：FG＝a：a＝3：2，∴S△CEF＝×a2＝a2，∴S△CEF＝S正方形ABCD，故④正确，故选：D．二、填空：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将答案填在答题卡对应题号的横线上．11．若a﹣＝，则a2+的值是4．【分析】将已知等式两边平方可得a2﹣2+＝2，据此可得答案．【解答】解：∵a﹣＝，∴（a﹣）2＝2，即a2﹣2+＝2，∴a2+＝4，故答案为：4．12．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第四象限．【分析】求出方程组的解确定出点坐标，即可做出判断．【解答】解：，①﹣②得：3y＝﹣6，即y＝﹣2，将y＝﹣2代入②得：x＝，∴所求坐标为（，﹣2），则此点在第四象限．故答案为：四．13．下个月学校将为片区学校展示“音乐、体育、美术”兴趣活动观摩．小明、小丽随机从三个场所选择一个担任志愿者服务，两人恰好选择同一场所的概率是．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，所以两人恰好选择同一场所的概率＝＝．14．如图，AC与BD交于O，AB＝CD，要使△ABC≌△DCB，可以补充一个边或角的条件是AC＝BD．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可可以为AC＝BD或∠ABC＝∠DCB等．【解答】解：添加的条件是：AC＝BD，理由是：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS），故答案为：AC＝BD．15．如图，BD是△ABC的高，AB＝，BC＝2，tan A＝1，则CD＝1．【分析】首先证明△ABD是等腰直角三角形，求出BD，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵tan A＝1，∴∠A＝45°，∵BD⊥AD，∴∠D＝90°，∴AD＝BD，∵AB＝，∴AD＝BD＝，∴CD＝＝＝1，故答案为1．16．如图，抛物线y＝x2+ax+2经过点P（﹣2，2），Q（m，n）．若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是1≤n＜10．【分析】把点P（﹣2，2）代入y＝x2+ax+2中，即可求出a，得到解析式，进而得到顶点坐标，由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可．【解答】解：把点P（﹣2，2）代入y＝x2+ax+2中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+2，∴顶点坐标为（﹣1，1），∵点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．三、解答题：本大题共9个小题，共86分．解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．（8分）计算：1﹣．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝1﹣•＝1﹣＝﹣＝．18．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，在BC上截取BE＝BA．若∠A＝100°，∠C ＝30°，试求∠BDE的度数．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△EBD，可得∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠BED＝100°，由三角形的外角性质可求解．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠BED＝100°，∴∠DEC＝80°，∴∠ADE＝∠C+∠DEC＝110°，∴∠BDE＝55°．19．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了50名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？【分析】（1）根据总数＝个体数量之和计算即可；（2）根据平均数、总数、中位数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10＝50（人），故答案为50；（2）平均数＝（4×6+10×7+15×8+11×9+10×10）＝8.26；众数：得到8分的人最多，故众数为8．中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分；（3）得到10分占10÷50＝20%，500人时，需要一等奖奖品500×20%＝100（份）．故需准备100份“一等奖”奖品．20．（10分）a为实数，关于x的方程（x﹣a）2+2（x+1）＝a有两个实数根x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）若（x1﹣x2）2+x1x2＝12．试求a的值．【分析】（1）把方程化为一般式得到x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0，再根据判别式的意义得到△＝4a﹣4≥0，然后解不等式即可求解；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，再利用（x1﹣x2）2+x1x2＝12得到a2﹣5a﹣14＝0，然后解关于a的方程后利用a的范围确定满足条件的a的值．【解答】解：（1）（x﹣a）2+2（x+1）＝a，变形为x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a+2＝0．根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a+2）＝4a2﹣8a+4﹣4a2+4a﹣8＝﹣4a﹣4≥0，解得a≤﹣1．即a的取值范围是a≤﹣1；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a+2，∵（x1﹣x2）2+x1x2＝12，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝12，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a+2）＝12，即a2﹣5a﹣14＝0，解得a1＝﹣2，a2＝7，∵a≤﹣1，∴a的值为﹣2．21．（10分）如图，直线AB与x轴交于点A（﹣，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，双曲线y＝经过点C．（1）求直线AB和双曲线y＝的解析式．（2）平移直线AB，使它与双曲线y＝（x＜0）有唯一公共点P时，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式；证明△ACH≌△BAO（AAS），则AH ＝OB＝2，CH＝AO＝，则点C（﹣3，），求出反比例函数表达式；（2）设平移后AB的表达式为：y＝2x+n，则2x+n＝﹣，即2x2+nx+18＝0，由△＝n2﹣4×2×18＝0，解得：n＝12，进而求解．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（0，2），则设直线AB的表达式为：y＝mx+2，将点A的坐标代入上式并解得：m＝2，故直线AB的表达式为：y＝2x+2，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠1+∠2＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵AB＝AC，∴△ACH≌△BAO（AAS），∴AH＝OB＝2，CH＝AO＝，故点C（﹣3，），∴k＝﹣3×＝﹣18，故反比例函数表达式为：y＝﹣；（2）设平移后AB的表达式为：y＝2x+n，则2x+n＝﹣，即2x2+nx+18＝0，∵△＝n2﹣4×2×18＝0，解得：n＝12（舍去负值），此时，x1＝x2＝﹣＝﹣3，故y＝﹣＝6，故点P的坐标为（﹣3，6）．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD ＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O 于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．23．（10分）某商店经营一款新电动玩具，进货单价是30元．在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出10件．（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，求这款玩具销售单价是定为多少元的，并考虑了顾客更容易接受．（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．【解答】解：（1）设销售单价为x元，（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝6000，解得，x1＝50，x2＝60，∴销售单价定为50元时，顾客更容易接受；（2）设利润为w元，单价为x元，w＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝﹣10（x﹣55）2+6250，∵玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，∴，解得，43≤x≤45，∵当x＜55时，w随x的增大而增大，∴当x＝45时，w取得最大值，此时w＝5250，答：商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润是5250元．24．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB 到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．【分析】（1）证四边形AFED是平行四边形，∠DEF＝90°，即可得出结论．（2）求出CE＝BF＝5，则FC＝FE+CE＝12，证出△ABF是等腰直角三角形，得出AF ＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AC＝13，由平行四边形的性质得出OA＝OC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝CE，∴FE＝BC，∴四边形AFED是平行四边形，∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形AFED是矩形．（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，∵AD＝7，BE＝2，∴FE＝7，∴FB＝FE﹣BE＝5，∴CE＝BF＝5，∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC为y ＝x﹣2．（1）求抛物线的解析式．（2）过点A作直线AD与抛物线在第一象限的交点为D．当S△ABD＝3S△ABC时，确定直线AD与BC的位置关系．（3）在第二象限抛物线上求一点P，使∠PCA＝15°．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）求出直线AD的表达式，即可求解；（3）tan∠ACO＝＝＝，则∠HCO＝∠ACO﹣∠PCA＝60°﹣15°＝45°，求出直线CP的表达式，进而求解．【解答】解：（1）对于y＝x﹣2，令y＝x﹣2＝0，解得x＝2，令x＝0，则y ＝﹣2，故点B、C的坐标分别为（2，0）、（0，﹣2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2①；（2）令y＝x2﹣2＝0，解得x＝±2，故点A、B的坐标分为（﹣2，0）、（2，0），∵S△ABD＝3S△ABC，∴y D＝3CO＝6＝x2﹣2，解得x＝﹣4（舍去）或4，故点D的坐标为（4，6），设直线AD的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AD的表达式为y＝x+2，∵直线AD表达式中的k值和直线BC表达式中的k值相同，故AD∥BC；（3）设直线PC交x轴于点H，则tan∠ACO＝＝＝，故∠ACO＝60°，∴∠HCO＝∠ACO﹣∠PCA＝60°﹣15°＝45°，故设直线CP的表达式为y＝﹣x+t，将点C的坐标代入上式并解得t＝﹣2，故直线CP的表达式为y＝﹣x﹣2②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为（﹣6，4）．。

2024年四川省南充市中考数学一诊试卷(含解析)

2024年四川省南充市中考数学一诊试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(−3)2的相反数是( )A. −6B. −9C. 9D. −192.下列运算正确的是( )A. a6÷a3=a2B. (−a+b)(−a−b)=−a2−b2C. −a2b2⋅ab3=a3b5D. (−3a3b2)2=9a6b43.一张矩形纸片，截下一个三角形后，剩下部分的形状不可能是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 四边形D. 五边形4.如图，在正五边形ABCDE中，作AF⊥CD于F，连接BE与AF交于G.下列结论，错误的是( )A. ∠1=∠2B. ∠4=2∠3C. AF⊥BED. BG=CD5.不等式组{2x+3>0x−23<0的整数解的个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 66.已知一组数据4，5，6，7，a的平均数为5，则这组数据的方差为( )A. 1B. 1.2C. 1.5D. 27.若A(a,m)，B(b,m)，P(a+b,n)是抛物线y=x2+2x+3上不同三点，则n的值为( )A. 3B. 2C. 6D. 不确定8.如图，A，B，C，D均在⊙O上，∠BCD=5∠BAD，若BD=3，则AB的长最大为( )A. 3B. 4C. 23D. 329.甲计划用若干天完成某项工作，两天后，乙加入合做，结果提前两天完成任务.若甲、乙两人工效相同，则甲计划完成此项工作的天数是( )A. 6B. 8C. 9D. 1010.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD靠近点A的四等分点.F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG.连接DG，则DG的最小值为( )A. 6B. 222C. 52D. 3二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

.(选用“>”或“<”)11.比较大小：2−1______1212.在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3.从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为______．13.如图，在直角坐标系中，已知A(−3,0)，B(1,−2).将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是______．14.设p是关于x的方程x2−2x+n−1=0的一个实数根，若(p2−2p+3)(n+4)=7，则n=______．15.如图，▱ABCD中，E，F在BC的延长线上，连接AE，AF，分别与CD交于G，H，若BC=4CE=4，AG=2.4，AH=FH，则∠HAG与∠HAD的大小关系是______．16.如图，经过(2,0)的抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有个交点的横坐标在0与1之间.下列结论：①abc <0；②2a >c ；③a +2b +4c >0；④b a+4a b +4<0.正确的有______．三、解答题：本题共9小题，共86分。

2020年四川省南充市高考数学一诊试卷(理科)

2020年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =-…，2{|1}B x x =…，则(A B = )A ．{|1}x x …B ．{|1}x x -…C ．{|1}x x …D ．{|1}x x -…2．（5分）1(2i=- ) A ．2155i -+B ．2155i --C ．2155i +D ．2155i -3．（5分）“3πα=“是“1cos 2α=“成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A ．83πB ．323πC ．8πD 5．（5分）函数1()sin cos 2f x x x =的最小值是( )A ．14B ．12 C ．12-D ．14-6．（5分）101(1)2x +的展开式中3x 的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．207．（5分）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．(8．（5分）设函数|1)()||,(||1)x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，若方程()f x a =有且只有一个实根，则实数a 满足( ) A ．0a <B ．01a <…C ．1a =D ．1a >9．（5分）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若||2BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||(AM = ) A ．12B ．1C ．2D ．410．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若tan tan a ba b A B+=+，则角(C = ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 11．（5分）设()f x '是函数()f x 的导函数，且()2()()f x f x x R '>∈，1()(2f e e =为自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为( )A ．(0,)2eB ．C ．1(e ，)2eD ．(2e12．（5分）已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m+=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11y E x m -=-在第一象限的交点，直线l 为C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则M ，N 横坐标之差为( ) A ．1- B ．2-C ．3-D ．随m 的变化而变化二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(1,1)A ，(2,4)B -，(,9)C x -，且//AB AC ，则x = ．14．（5分）函数()sin f x x x =+在区间[0，]2π上的最大值为．15．（5分）已知函数2()sin 1x x xe x f x xe ++=++，则(5)(4)(3)f ff ff f f -+-+-+-+-++（1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）的值是16．（5分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为p = 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a ，b 的值．18．（12分）在等比数列{}n a 中，*0()n a n N >∈，公比(0,1)q ∈，且153528225aa aa a a ++=，又3a 和5a 的等比中项为2．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求数列{}n S 的通项公式；（3）当312123n S S S S n+++⋯+最大时，求n 的值． 19．（12分）如图，在四棱锥P BCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB =，BC a =，PA ⊥底面ABCD ．（1）当a 为何值时，BD ⊥平面PAC ？证明你的结论；（2）当122PA a ==时，求面PDC 与面PAB 所成二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点(1,P -在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 21．（12分）已知函数2()f x mx x lnx =-+，（Ⅰ）若在函数()f x 的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当102m <…时，若曲线:()C y f x =在点1x =处的切线L 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值或取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知曲线1:2cos C ρθ=和曲线2:cos 3C ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|||1|f x x x =+-．（Ⅰ）若()|1|f x m -…恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a ，b 满足22a b M +=，证明：2a b ab +…．2020年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =-…，2{|1}B x x =…，则(A B = )A ．{|1}x x …B ．{|1}x x -…C ．{|1}x x …D ．{|1}x x -…【解答】解：{|1}A x x =…，{|11}B x x =-剟，{|1}AB x x ∴=-…．故选：B ． 2．（5分）1(2i=- ) A ．2155i -+ B ．2155i --C ．2155i +D ．2155i -【解答】解：12212(2)(2)55i i i i i +==+--+．故选：C ． 3．（5分）“3πα=“是“1cos 2α=“成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由3πα=一定能推出1cos 2α=，当由1cos 2α=，则不一定推出3πα=，故“3πα=“是“1cos 2α=“成立的充分不必要条件，故选：A ．4．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A ．83πB ．323πC ．8πD ．3【解答】解：设半径为R∴截面圆的面积为2(1)S R ππ=-=，22R ∴=， ∴球的表面积248S R ππ==．故选：C ．5．（5分）函数1()sin cos 2f x x x =的最小值是( )A ．14B ．12 C ．12-D ．14-【解答】解：函数11()sin cos sin 224f x x x x ==，当222x k ππ=-+，即4x k ππ=-+，k Z ∈时，()f x 取得最小值为14-．故选：D ．6．（5分）101(1)2x +的展开式中3x 的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20【解答】解：由二项式的展开式的通项公式为1101011()()22r r r r rr T C x C x +==，3r =，则3x 的系数为33101()152C =，故选：C ．7．（5分）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．( 【解答】解：设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径|1d =…，得2241k k +…，213k …，故选：C ．8．（5分）设函数|1)()||,(||1)x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，若方程()f x a =有且只有一个实根，则实数a 满足( ) A ．0a <B ．01a <…C ．1a =D ．1a >【解答】解：关于x 的方程()f x a =有且只有一个实根()y f x ⇔=与y a =的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当1a =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点故选：C ．9．（5分）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若||2BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||(AM = ) A ．12B ．1C ．2D ．4【解答】解：点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若||2BC =，||||AB AC AB AC +=-，设AB AC AD +=，AB AC BC -=，则||||AD BC =，∴平行四边形ABDC 的对角线AD BC =，则11||||||122AM AD BC ===，故选：B ．10．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若tan tan a ba b A B+=+，则角(C = ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【解答】解：根据题意，tan tan a ba b A B+=+，由正弦定理可得sin sin sin sin sin sin cos cos sin sin tan tan cos cos A B A BA B A B A BA B A B+=+=+=+，则有sin sin cos cos A B A B +=+，变形可得：2sin()cos()2cos()cos()2222A B A B A B A B+-+-=，又由222A B ππ--<<，则cos()02A B -≠，则有2sin()cos()22A B A B ++=，即tan()12A B +=，又由022A B π+<<，则24A B π+=，即2A B π+=，则2C π=，故选：D ．11．（5分）设()f x '是函数()f x 的导函数，且()2()()f x f x x R '>∈，1()(2f e e =为自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为( ) A ．(0,)2eB． C ．1(e ，)2eD ．(2e【解答】解：可构造函数2()()xf x F x e =， 22222()2()()2()()()x xx xf x e f x e f x f x F x e e -'-'==，由()2()f x f x '>，可得()0F x '>，即有()F x 在R 上递增．不等式2()f lnx x <即为2()1f lnx x <，(0)x >，即2()1lnxf lnx e<，0x >．即有1()12()12f F e ==，即为1()()2F lnx F <，由()F x 在R 上递增，可得12lnx <，解得0x <故不等式的解集为，故选：B ．12．（5分）已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m+=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11y E x m -=-在第一象限的交点，直线l 为C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则M ，N 横坐标之差为( ) A ．1-B ．2-C ．3-D ．随m 的变化而变化【解答】解：由题意可得曲线C ，E 有相同的焦点(,0)m -，(,0)m ，且12||||4PF PF +=，c =，联立222214411x y my x m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩，消去y可得x =设0(P x ，0)y，且0x =，0y = 直线l 的方程为00144x x y ym+=-①，设三角形12F PF 的内切圆的半径为r ，则由等面积可得012112(||||2)22c y r PFPF c =++，即0(4r =+， M r y∴==②，由(1,)M M y，1(F 0)，可得直线1F M 的斜率为k=，直线1F M 的方程为y x=+③，联立①②③，化简可得=2N x =， 1M x =，1M N x x ∴-=-．故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(1,1)A ，(2,4)B -，(,9)C x -，且//AB AC ，则x = 3 ．【解答】解：(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //AB AC ，105(1)0x ∴-+-=，解得3x =．故答案为：3．14．（5分）函数()sin f x x x =+在区间[0，]2π上的最大值为 2 ．【解答】解：函数()sin 2sin()3f x x x x π==+，故函数在区间[0，]2π，6x π=时，取到最大值2，故答案为：2． 15．（5分）已知函数2()sin 1x x xe x f x xe ++=++，则(5)(4)(3)f ff ff f f -+-+-+-+-++（1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）的值是 11【解答】解：22()sin sin 11x x xxe x f x x x x e e ++=+=++++， 22()()sin sin 11x x f x f x x x x x e e -∴-+=+++--++，22211xx xe e e =+=++，则(5)(4)(3)(2)(1)(0)f f f f f f f -+-+-+-+-++（1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）， 52111=⨯+=．故答案为：11．16．（5分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ，若梯形ABCD的面积为p = 【解答】解：抛物线的焦点坐标为(0,)2p F ，则过焦点斜率为1的直线方程为2p y x =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，221)()y x x >，由题意可知10y >，20y >．由222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2220x px p --=，由韦达定理得，122x x p +=，212x x p =-∴梯形ABCD 的面积为：1221122111()()()()22S y y x x x x p x x =+-=++-2113(2p x x =+=，又0p >，p ∴=．．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a ，b 的值．【解答】解：（Ⅰ）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有62210++=名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率1010.9100P =-=；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（Ⅱ）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6)的人数为17，则频率是170.17100=，所以由频率分布直方图得，0.085a ==频率组距，同理可得，0.250.1252b ==． 18．（12分）在等比数列{}n a 中，*0()n a n N >∈，公比(0,1)q ∈，且153528225aa aa a a ++=，又3a 和5a 的等比中项为2．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求数列{}n S 的通项公式；（3）当312123n S S S S n+++⋯+最大时，求n 的值．【解答】解：（1）153528225a a a a a a ++=，223355225a a a a ∴++=又a 0n >，355a a ∴+= ⋯（1分）又3a 与5a 的等比中项为2，354a a ∴= ⋯（2分）而(0,1)q ∈，35a a ∴>，34a ∴=，51a =，12q ∴=，116a =，15116()22n n n a --∴=⨯=．（2）2log 5n n b a n ==-，11n n b b +∴-=-， 12122log log 16log 2b a ===44=，{}n b ∴是以14b =为首项，1-为公差的等差数列，(9)2n n n S -∴=．⋯（8分）（3）92n s nn -=， 8n ∴…时，0n s n >，9n =时，0n s n =，9n >时，0n sn<， 8n ∴=或9时，312123n s s s s n+++⋯+最大⋯（12分） 19．（12分）如图，在四棱锥P BCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB =，BC a =，PA ⊥底面ABCD ．（1）当a 为何值时，BD ⊥平面PAC ？证明你的结论；（2）当122PA a ==时，求面PDC 与面PAB 所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）当2a =时，ABCD 为正方形，则因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊆平面ABCD ．所以DB PA ⊥，又AC PA A =，所以BD ⊥平面PAC ，所以当2a =时，BD ⊥平面PAC ．（2）以A 为原点，,,AB AD AP 的正方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．(0D ，4，0)，(2C ，4，0)，(0P ，0，2)，(2,0,0)DC =，(2,4,2)PC =-设(,,)n x y z =是平面PDC 的一个法向量，则 0n DC n PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即202420x x y z =⎧⎨+-=⎩；取1y =，则(0,1,2)n = AD 是平面PAB 的法向量；所以5cos ,||||n AD n AD n AD <>==；所以2sin ,n AD <>=故面PDC 与面PAB 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点(1,P -在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y '' 与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32tx x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MNk k =-=又3(4t E ，)3t，所以141324F E t k t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<，所以不存在满足条件的直线l ．21．（12分）已知函数2()f x mx x lnx =-+，（Ⅰ）若在函数()f x 的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当102m <…时，若曲线:()C y f x =在点1x =处的切线L 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值或取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为2121()21(0)mx x f x mx x x x-+'=-+=>，依题意知2210mx x -+<在(0,)+∞上有解．当0m …时显然成立；当0m >时，由于函数221y mx x =-+的图象的对称轴104x m=>，故需且只需△0>，即180m ->，解得18m <，故108m <<．综上所述，实数m 的取值范围为1(,)8-∞．（Ⅱ）因为f （1）1m =-，f '（1）2m =，故切线L 的方程为12(1)y m m x -+=-，即21y mx m =--．从而方程221mx x lnx mx m -+=--在(0,)+∞上有且只有一解．设2()(21)g x mx x lnx mx m =-+---，则()g x 在(0,)+∞上有且只有一个零点．又g （1）0=，故函数()g x 有零点1x =．则212(21)1(21)(1)()212mx m x mx x g x mx m x x x-++--'=-+-==．当12m =时，()0g x '…，又()g x 不是常数函数，故()g x 在(0,)+∞上单调递增．所以函数()g x 有且只有一个零点1x =，满足题意．当102m <<时，由()0g x '=，得12x m =或1x =，且112m>．由()0g x '>，得01x <<或12x m>；由()0g x '<，得112x m<<．所以当x 在(0,)+∞上变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：根据上表知1()02g m<．而函数1()[(2)]1g x mx x m lnx m=-++++．所以1(2)0g m +>，故在1(,)2m+∞上，函数()g x 又存在一个零点，不满足题意．综上所述，12m =．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知曲线1:2cos C ρθ=和曲线2:cos 3C ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值．【解答】解：(1)I C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，⋯（2分）， 2C 的直角坐标方程为3x =；⋯（4分）()II 设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A ，PQ ∴过点(2,0)A ，设直线PQ 的参数方程为：2cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩，代入1C 可得22cos 0t t θ+=，解得，可知2|||||2cos |AP t θ==⋯（6分）代入2C 可得2cos 3t θ+=，解得1/cos t θ=，可知1|||/|||cos AQ t θ== ⋯（8分）所以1|||||2cos |||cos PQ AP AQ θθ=+=+1|2cos |||cos θθ=时取等号，所以线段PQ长度的最小值为⋯（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|||1|f x x x =+-．（Ⅰ）若()|1|f x m -…恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a ，b 满足22a b M +=，证明：2a b ab +…．【解答】解：()I 由已知可得12,0()1,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩……，所以()1min f x =，⋯（3分）所以只需|1|1m -…，解得111m --剟，02m ∴剟，所以实数m 的最大值2M =⋯（5分）()II 法一：综合法正实数a ，b 满足222a b +=，11ab ∴剟，当且仅当a b =时取等号，①⋯（7分）又∴12∴ab a b +…，当且仅当a b =时取等号，②⋯（9分）由①②得，∴12ab a b +…，所以2a b ab +⋯…（10分）法二：分析法因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +…，只需证222()4a b a b +…，即证222224a b ab a b ++…，，所以只要证22224ab a b +…，⋯（7分）即证22()10ab ab --…，即证(21)(1)0ab ab +-…，因为210ab +>，所以只需证1ab …，下证1ab …，因为2222a b ab =+…，所以1ab …成立，所以2a b ab +⋯…（10分）。

2020年四川省南充市高考数学一诊试卷1 (含答案解析)

2020年四川省南充市高考数学一诊试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4}，B ={y|y =3x −5,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {1,4}C. {2,4}D. {3,4} 2. i(2+3i)=( )A. 3−2iB. 3+2iC. −3−2iD. −3+2i3. 下列命题中的假命题是( )A. ∀x ∈R ，2−x +1>1B. ∀x ∈[1,2]，x 2−1≥0C. ∃x ∈R ，sinx +cosx =32D. ∃x ∈R ，x 2+1x 2+1≤14. α为第四象限角，，则sin α=( )A. 15 B. −15 C. 513 D. −513 5. 在区间(0,100)上任取一数x ，则lg x >1的概率是( )A. 0.1B. 0.5C. 0.8D. 0.96. 若函数f (x )=sin (ωx +π3)−1(ω>0)的最小正周期为2π3，则f (x )图象的一条对称轴为( )A. x =−π18B. x =−5π2C. x =7π18D. x =π27. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(0)=−1，且对任意x ∈R ，有f(x)=−f(2−x)成立，则f(2015)的值为( )A. 1B. −1C. 0D. 2 8. 已知圆x 2+y 2−2x +my −4=0上两点M 、N 关于直线2x +y =0对称，则圆的半径为( )A. 9B. 3C. 2√3D. 29. 函数f(x)=ln(x 2+2)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，若将其沿BD 折成直二面角A −BD −C ，则三棱锥A −BDC 的外接球的表面积为( )A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π11. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知∠A =60°，b =1，面积S =√3，则asinA 等于( )A. 2√393B. 8√33C. 26√33D. √392612. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( ) A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=a 2x−4+n(a >0且a ≠1)的图像恒过定点P(m,2)，则m +n =____.14. 某班共有36人，编号分别为1，2， 3，…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________． 15. 若变量x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥0x +y −2≤02y −1≥0，则z =x −13y 的最大值为______ ．16. 设已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m <n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2，则n +m = 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 1=101，a 3+a 4=187，求数列{|a n |}的前n 项和T n ．18. 为了解某班学生喜爱体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部女生中随机调查2人，恰好调查到的2位女生都喜爱体育运动的概率为320． (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱体育运动与性别有关？说明你的理由；下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，D,E分别为B1C1，AB中点．(1)证明：平面AA1D⊥平面EB1C1；(2)若AB⊥AC，求点B到平面EB1C1的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△AF1F2的周长为6．(1)求椭圆C的方程；(2)当直线AB 的斜率为1时，求△F 2AB 的面积．21. 已知函数f(x)=a 2lnx −x 2+ax (a ∈R)．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调区间．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =acosθy =sinθ(θ为参数，a >0)，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =3−t(t 为参数)． (Ⅰ)若a =2，求曲线C 与l 的普通方程；(Ⅱ)若C 上存在点P ，使得P 到l 的距离为√24，求a 的取值范围．23.已知函数f(x)=|x+2|−|x+a|．(1)当a=3时，解不等式f(x)≤1；2(2)若关于x的不等式f(x)≤a解集为R，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了集合的交集，属于基础题．【解答】解：集合A={1,2，3，4}，B={y|y=3x−5,x∈A}={−2,1，4，7}，则A∩B={1,4}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，是基础题．利用复数的运算法则直接求解即可．【解答】解：．故选D．3.答案：C解析：解：由于对∀x∈R，2−x>0，故A为真命题；由于y=x2−1在[1,2]上为增函数，则y min=1−1=0，故B为真命题；由于sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，而32∉[−√2,√2]，故C为假命题；由于x=0∈R时，x2+1x2+1=1，故D为真命题．故选：C．根据指数函数的值域，我们可以判定A的真假；根据二次函数的图象与性质，我们可以判断B的真假；根据正弦型函数的值域，我们可以判断C的真假；根据不等式的基本性质，可以判断D的真假，进而得到答案．本题考查的知识点是全称命题和特称命题，其中根据基本不等式和正弦型函数的性质，是解答本题的关键．4.答案：D解析：【分析】本题考查的同角三角函数的基本关系，属于基础题．【解答】解：因为α是第四象限角，，所以，，又且α是第四象限角，所以cosα=1213，sinα=−513，故选D．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查几何概型的概率的计算，属于基础题．求出不等式的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：在区间(0,100)上任取一数x，结合lgx>1得10<x<100，则在区间(0,100)上任取一数x，则lg x>1的概率为：100−10100−0=90100=0.9，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查三角函数解析式的求法及对称轴方程的求法，考查计算能力．通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性，即可求出对称轴方程，属于基础题．【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)−1最小正周期为2π3，T=2πω=2π3，∴ω=3，所以3x+π3=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ3+π18，k∈Z，当k=1时，x=7π18，是一条对称轴方程．故选C．7.答案：C解析：由知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=−f(2−x)可知函数f(x)为周期为4的周期函数，令x=1得，f(1)=−f(2−1)=−f(1)所以，f(1)=0所以f(2015)=f(−1)=f(1)=0．8.答案：B解析：试题分析：求出圆的圆心，代入直线方程即可求出m的值，然后求出圆的半径．因为圆x2+y2−2x+my−4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，所以直线经过圆的圆心，圆x2+y2−2x+my−4=0的圆心坐标(1,−m2)，所以2×1−m2=0，m=4．所以圆的半径为：12√(−2)2+(4)2+4×4=3故选B9.答案：D解析：【分析】本题考查函数图象的应用，属于基础题．结合函数的奇偶性以及值域可以求解．【解答】解：由f(−x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；又ln(x2+2)≥ln2>0，排除A，B；故选D．10.答案：C解析：【分析】本题考察了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，镶嵌几何体的求解方法，转为常见的几何体求解，属于中档题．折叠之后，得出三棱锥A −BDC 的外接球与长方体的外接球相同，利用对角线求解即可，再利用面积公式求解即可．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，若将其沿BD 折成直二面角A −BD −C ， ∴三棱锥A −BDC 镶嵌在长方体中，即得出：三棱锥A −BDC 的外接球与长方体的外接球相同， ∴2R =√3+1=2，R =1， ∴外接球的表面积为4π×12=4π，故选C ．11.答案：A解析：解：S =√3=12bcsinA =12×b ×c ×√32，⇒bc =4， ⇒c =4，故由余弦定理知：a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+16−8×12=13，故asinA=√13√32=2√393．故选：A ．由三角形的面积公式可求得c ，从而由余弦定理可求得a 的值，从而可求asinA 的值．本题主要考察了三角形的面积公式的应用，考察了余弦定理的应用，属于基础题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ，设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ，∴e =√1+(ba)2=√5，故选：C13.答案：3解析：【分析】本题考查指数函数的图象与性质，由指数函数y =a x 图象的性质，我们知道y =a x 的图象恒过(0,1)点．由题可得 {2m −4=01+n =2 ，进而得出答案．【解答】解：由函数f(x)=a 2x−4+n(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(m,2)知， {2m −4=01+n =2，解得{m =2n =1，则m +n =3．故答案为3．14.答案：21解析：【分析】本题考查系统抽样，根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行计算即可．【解答】解：样本抽取间隔为36÷4=9，则样本中还有一个编号是12+9=21，故答案为21．15.答案：43解析：解：不等式对应的平面区域如图：(阴影部分). 由z =x −13y 得y =3x −3z ，平移直线y =3x −3z ，由平移可知当直线y =3x −3z ，经过点A 时，直线y =3x −3z 的截距最小，此时z 取得最大值，由{2y −1=0x +y −2=0，解得{x =32y =12，即A(32,12)代入z =x −13y 得z =x −13y =32−13×12=43，故答案为：43根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，利用平移求出z 最大值，即可．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16.答案：52解析：【分析】本题考查函数图像的应用、对数函数的性质、对数方程，属于中档题．由题意知0<m <1<n ，且mn =1.又函数在区间[m 2,n]上的最大值为2，f(m)=f(n)，f(m 2)=2f(m)，∴f(m 2)=2，即|log 2x|=2，解出m ，n 即可．【解答】解：∵函数f(x)=|log 2x|，正实数m 、n 满足m <n ，且f(m)=f(n)， ∴0<m <1<n ，且mn =1，∴0<m 2<m <1，又∵函数在区间[m 2,n]上的最大值为2， ∴当x =m 时，f(x)取最大值，，∴m =12，∴n =2，∴m +n =52．故答案为52．17.答案：解：∵a 1=101，a 3+a 4=a 1+a 6=187，∴a 6=86∴a 6−a 1=5d =−15， ∴a n =−3n +104，∴|a n |={−3n +1043n −104n ∈{1,2,3,…,34}n ∈{35,35,37,…}，当n ∈{1,2，3，…，34}时， T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a n |，=12[101+(−3n +104)]⋅n =−32n 2+2052n ，当n ∈{35,35，37，…}时，T n =(|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 34|)+(|a 35|+|a 36|+⋯+|a n |)， =12(101+2)⋅34+12[1+(3n −104)]⋅(n −34)，=32n 2−2052n +3502，∴T n ={−32n 2+2052n32n 2−2052n +3502(n ≤34)(n ≥35)．解析：由题意可知a 1=101，a 3+a 4=a 1+a 6=187，求得a 6=86，根据等差数列的性质，即可求得d ，根据等差通项公式即可求得数列{a n }的通项公式，由当n ≤34时，求得T n =12[101+(−3n +104)]⋅n =−32n 2+2052n ，当n ≥35时，求得T n =32n 2−2052n +3502，即可求得数列{|a n |}的前n项和T n ．本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查含有绝对值的等差数列前n 项和公式的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．18.答案：解：(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35，可得喜爱打篮球的学生为30人，故可得列联表如下：(2)∵k 2=50(20×15−5×10)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．解析：本题考查独立性检验及古典概型，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35，可得喜爱打篮球的学生，即可得到列联表；(2)利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．19.答案：证明：(1)由已知可得，A1B1=A1C1，则B1C1⊥A1D，∵AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴B1C1⊥AA1，又∵A1D、AA1⊂平面AA1D，A1D∩AA1=A1，∴B1C1⊥平面AA1D，∵B1C1⊂平面EB1C1，∴平面AA1D⊥平面EB1C1．(2)连接EC，由已知，在Rt△AEC中，EC=√5，∴在Rt△ECC1中，得EC1=3，由题可得，在Rt△EBB1中，EB1=√5，在Rt△A1B1C1中，B1C1=2√2，∴在△EB1C1中，根据余弦定理可得：cos∠EB1C1=√5)2√2)222×√5×2√2=√1010，∴sin∠EB1C1=3√1010，∴S△EB1C1=12B1E⋅B1C1⋅sin∠EB1C1=3，∵C1A1⊥A1B1，C1A1⊥AA1，A1B1、AA1⊂平面BB1E，A1B1∩AA1=A1，∴C1A1⊥平面BB1E，∵S△EBB1=12BB1⋅BE=1，∴V C1−EBB1=13S△EBB1⋅C1A1=23，设点B到平面EB1C1的距离为h，由V C1−EBB1=V B−B1C1E得13S△EB1C1⋅ℎ=23，解得：ℎ=23即点B到平面EB1C1的距离为23．解析：本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)推导出B 1C 1⊥AD ，B 1C 1⊥AA 1，从而B 1C 1⊥平面AA 1D ，由此能证明平面AA 1D ⊥平面EB 1C 1． (2)连接EC ，设点B 到平面EB 1C 1的距离为h ，由V C 1−EBB 1=V B−B 1C 1E ，能求出点B 到平面EB 1C 1的距离．20.答案：解：(1)由离心率e =ca =12，a =2c ，∵△AF 1F 2的周长为6，即2a +2c =6，即a +c =3，即可求得a =2，c =1， b 2=a 2−c 2=3 故椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；(2)由(1)可知焦点F 1(−1,0)，直线AB 的方程：y =x +1，将直线方程代入椭圆方程得： 7x 2+8x −8=0，由x 1+x 2=−87，x 1⋅x 2=−87由弦长公式丨AB 丨=√1+1⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2， =√2×12√27， =247，F 2到直线的距离为d =1+1=√2，△F 2AB 的面积S =12×d ×丨AB 丨=12×√2×247=12√27．解析：(1)利用离心率，椭圆的定义，列出方程组，即可求的a 、b 和c 的值，即可求得椭圆C 的方程；(2)求得焦点坐标，求得AB 的直线方程，代入椭圆方程，求得关于x 的一元二次方程，由韦达定理求得x 1+x 2，x 1⋅x 2，由弦长公式及点到直线的距离公式求得丨AB 丨和d ，由三角形面积公式即可求得△F 2AB 的面积．本题考查椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：.解：(1)当a =2时，f(x)=4lnx −x 2+2x,∵f (1)=1,∴切点为(1,1)，∵f′(x)=4x −2x +2,∴切线斜率k =f′(1)=4,∴切线方程为y −1=4(x −1)⇒4x −y −3=0 (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞) ，f′(x)=a 2+ax−2x 2x=(a−x)(a+2x)x.由f′(x)=0得 x =a 或x =−a2.当a =0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间．当a >0时，x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间是(0,a)当a <0时，x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间是(0,−a2)2解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、几何意义、切线方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，难度一般．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =acosθy =sinθ(θ为参数，a >0)，由于：a =2，故：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)，所以转换为直角坐标方程为：x 24+y 2=1．(Ⅱ)设点P(acosθ,sinθ)，则：点P 到直线的距离d =√2=|√1+a 2sin(β+θ)−2|√2，当√1+a 2≥2时，即a ≥√3时，0≤d ≤√1+a 2+2√2，当√1+a 2<2时，即：0<a <√3时，2−√a 2+1√2≤d ≤√1+a 2+2√2，由于：√1+a 2+2√2>√2=√2，所以当a ≥√3时,始终满足条件．当a <√3时，2−√a 2+1√2≤√24，解得：a ≥√52故：a 的取值范围是：[√52,+∞)．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，无理不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论的方法，对无理不等式进行求解，最后求出a 的取值范围．23.答案：解：(1)当a =3时，f(x)=|x +2|−|x +3|，f(x)={1, x ≤−3−2x −5 , −3<x <−2−1 , x ≥−2，根据题意{x ≤−31≤12或 {−3<x <−2−2x −5≤12或{x ≥−2−1≤12，−114≤x <−2或x ≥−2，故不等式的解集为：{x|x ≥−114 }； (2)由x 的不等式f(x)≤a 解集为R ，得函数f(x)max ≤a ，∵|x +2|−|x +a|≤|(x +2)−(x +a)|=|2−a|=|a −2|(当且仅当(x +2)(x +a)≥0取“=”)， ∴|a −2|≤a ，∴{a ≤2−(a −2)≤a 或{a >2a −2≤a ，解得：a ≥1．则a的取值范围[1,+∞)解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数的最大值，是一道中档题．(1)将a=3代入f(x)，得到关于f(x)的分段函数，求出不等式的解集即可；(2)求出f(x)的最大值，得到|a−2|≤a，解出即可．。

2019-2020四川南充市一中九年级下第一次考试数学试题

南充一中2020春初2020届第一次诊断考试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数y ＝中自变量x 的取值范围是（）A ．x ≥﹣2且x ≠1B ．x ≥﹣2C ．x ≠1D ．﹣2≤x ＜12.不等式组1022->≤-x x 的解集在数轴上表示为（）3．化简（a ﹣）÷的结果是（）A ．a ﹣bB ．a +bC ．D ．4．若x 1，x 2是一元一次方程x 2﹣4x ﹣5＝0的两根，则x 1•x 2的值为（） A ．﹣5B ．5C ．﹣4D ．45．如图，在△ABC 中，AD 平分△BAC 交BC 于点D ，△B ＝30°，△ADC ＝70°，则△C 的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°6.如图，△O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，△CAO ＝22.5°，OC ＝6，则CD 的长为（）A．6B．3C．6D．127．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A．B．C．D．9.如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，△ABC＝60°，△EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：△BE＝CF；△△EAB＝△CEF；△△ABE△△EFC；△若△BAE＝15°，则点F到BC的距离为2﹣2．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，下列结论中：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④﹣4a＜b＜﹣2a．其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．①④二、填空题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分）11.因式分解：x2y﹣y＝．12．一组数据1，7，8，5，4的中位数是a，则a的值是．13.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是．14.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．15.如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝．16．如图，直线y＝4﹣x与双曲线y交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是．17.如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为．18.已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共5个小题，满分60分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）19．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．20．（12分）已知：如图，一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?（10分）21．（12分）如图，直线y =x 与双曲线y =xk （x ＞0）相交于点A ，且OA =，将直线向左平移一个)45.26,73.13,41.12(≈≈≈单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求直线BC的解析式及k的值；（2）连结OB、AB，求△OAB的面积．22．（12分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A 作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．23．（12分））如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE△x轴于点E，PG△y轴，交抛物线于点G，过点G作GF△x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作△DMN＝△DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．。

四川省南充市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析

四川省南充市2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．6 B．8 C．14 D．162．若，则的值为（）A．﹣6 B．6 C．18 D．303．某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示：下列说法正确的是（）A．这10名同学体育成绩的中位数为38分B．这10名同学体育成绩的平均数为38分C．这10名同学体育成绩的众数为39分D．这10名同学体育成绩的方差为24．如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A．50π﹣48 B．25π﹣48 C．50π﹣24 D．5．如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤6．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上7．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（5，﹣3）D．（﹣3，4）8．81的算术平方根是（）A．9 B．±9 C．±3 D．39．如图，下列四个图形是由已知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是()A．①②③④B．②①③④C．③②①④D．④②①③10．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④11．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）A．18B．16C．14D．1212．下列运算正确的是（）A ．（a ﹣3）2=a 2﹣9B ．（12）﹣1=2C ．x+y=xyD ．x 6÷x 2=x 3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．方程3x 2﹣5x+2=0的一个根是a ，则6a 2﹣10a+2=_____．14．如图，ABCDE 是正五边形，已知AG=1，则FG+JH+CD=_____．15．不等式组5243x x +>⎧⎨-≥⎩的最小整数解是_____． 16．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为_____． 17．如图，在正六边形ABCDEF 中，AC 于FB 相交于点G ，则AG GC值为_____．18．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是3，则另一组新数据x 1+1，x 2+2，x 3+3，x 4+4，x 5+5的平均数是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）先化简，再求值：（x ﹣2﹣52x +）÷2(3)2x x ++，其中x=3． 20．（6分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.(1)求证：四边形AEDF 是菱形(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S21．（6分）某校初三进行了第三次模拟考试，该校领导为了了解学生的数学考试情况，抽样调查了部分学生的数学成绩，并将抽样的数据进行了如下整理．（1）填空m =_______，n =_______，数学成绩的中位数所在的等级_________．（2）如果该校有1200名学生参加了本次模拟测，估计D 等级的人数；（3）已知抽样调查学生的数学成绩平均分为102分，求A 级学生的数学成绩的平均分数．①如下分数段整理样本等级等级分数段各组总分人数A110120X <≤ P 4 B 100110X <≤ 843n C 90100X <≤ 574m D 8090X <≤171 2 ②根据上表绘制扇形统计图22．（8分）已知x 1﹣1x ﹣1＝1．求代数式（x ﹣1）1+x （x ﹣4）+（x ﹣1）（x+1）的值．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，直线y=kx+b 交BC 于点E （1，m ），交AB 于点F （4，12），反比例函数y=n x （x ＞0）的图象经过点E ，F ．（1）求反比例函数及一次函数解析式；（2）点P 是线段EF 上一点，连接PO 、PA ，若△POA 的面积等于△EBF 的面积，求点P 的坐标．24．（10分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）25．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=1．若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是多少？26．（12分）已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA=EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果∠BDC=30°，DE=2，EC=3，求CD 的长．27．（12分）（1）计算：0|28(2)2cos45π︒-+．（2）解方程：x 2﹣4x+2＝0参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1•x 2=-5，再变形x 12+x 22得到（x 1+x 2）2-2x 1•x 2，然后利用代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x 2-2x-5=0的两根是x 1、x 2，∴x 1+x 2=2，x 1•x 2=-5，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=22-2×（-5）=1．故选C．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．2．B【解析】试题分析：∵，即，∴原式=====﹣12+18=1．故选B．考点：整式的混合运算—化简求值；整体思想；条件求值．3．C【解析】试题分析：10名学生的体育成绩中39分出现的次数最多，众数为39；第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=39；平均数==38.4方差=[（36﹣38.4）2+2×（37﹣38.4）2+（38﹣38.4）2+4×（39﹣38.4）2+2×（40﹣38.4）2]=1.64；∴选项A，B、D错误；故选C．考点：方差；加权平均数；中位数；众数．4．B【解析】【分析】【详解】设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，∴AD⊥BC，∴BD=DC=BC=8，而AB=AC=10，CB=16，∴AD===6，∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积，=π•52﹣•16•6，=25π﹣1．故选B．5．B【解析】试题分析：①、MN=12AB，所以MN的长度不变；②、周长C△PAB=12（AB+PA+PB），变化；③、面积S△PMN=14S△PAB=14×12AB·h，其中h为直线l与AB之间的距离，不变;④、直线NM与AB之间的距离等于直线l与AB之间的距离的一半，所以不变；⑤、画出几个具体位置，观察图形，可知∠APB的大小在变化．故选B考点：动点问题，平行线间的距离处处相等，三角形的中位线6．C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．A【解析】【分析】直接利用平移的性质结合轴对称变换得出对应点位置．【详解】如图所示：顶点A2的坐标是（4，-3）．故选A．【点睛】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．8．D【解析】【分析】根据算术平方根的定义求解.【详解】81，又∵（±1）2=9，∴9的平方根是±1，∴9的算术平方根是1．811．故选:D．【点睛】考核知识点：算术平方根.理解定义是关键.9．B【解析】【分析】根据常见几何体的展开图即可得．【详解】由展开图可知第一个图形是②正方体的展开图，第2个图形是①圆柱体的展开图，第3个图形是③三棱柱的展开图，第4个图形是④四棱锥的展开图，故选B【点睛】本题考查的是几何体，熟练掌握几何体的展开面是解题的关键.10．C【解析】试题分析：1．21=2．32；1．31=3．19；1．5=3．44；1．91=4．5．∵ 3．44＜4＜4．5，∴1．5＜4＜1．91，∴1．41．9，故选C考点：实数与数轴的关系11．B【解析】【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是1 6 .故选B.考点：简单概率计算.12．B【解析】分析：根据完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同底数幂的除法的运算法则进行计算即可判断出结果.详解：A. （a﹣3）2=a2﹣6a+9,故该选项错误；B. （12）﹣1=2，故该选项正确；C.x与y不是同类项，不能合并，故该选项错误；D. x6÷x2=x6-2=x4，故该选项错误.故选B.点睛：可不是主要考查了完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同度数幂的除法的运算，熟记它们的运算法则是解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．-1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程3x1-5x+1=0，列出关于a的一元二次方程，通过变形求得3a1-5a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【详解】解：∵方程3x1-5x+1=0的一个根是a，∴3a1-5a+1=0，∴3a1-5a=-1，∴6a1-10a+1=1（3a1-5a）+1=-1×1+1=-1．故答案是：-1．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．14【解析】【详解】根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，∴四边形JHBG是平行四边形，∴JH=BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，∴CD=FB，∴FG+JH+CD=FG+BG+FB=2BF，设FG=x，∵∠AFG=∠AFB，∠FAG=∠ABF=36°，∴△AFG∽△BFA，∴AF2=FG•BF，∵AF=AG=BG=1，∴x（x+1）=1，∴x=12（负根已经舍弃），∴BF=512-+1=512+，∴FG+JH+CD=5+1．故答案为5+1．15．-1【解析】分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．详解：5243xx+⎧⎨-≥⎩＞①②.∵解不等式①得：x＞-3，解不等式②得：x≤1，∴不等式组的解集为-3＜x≤1，∴不等式组的最小整数解是-1，故答案为：-1．点睛：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．16．3【解析】≈3.317，且在3和4之间，∵3.317-3=0.317，4-3.317=0.683，且0.683＞0.317，∴距离整数点3最近．17．12．【解析】【分析】由正六边形的性质得出AB=BC=AF，∠ABC=∠BAF=120°，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠BAC=∠BCA=30°，证出AG=BG，∠CBG=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出CG=2BG=2AG，即可得出答案．【详解】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝AF，∠ABC＝∠BAF＝120°，∴∠ABF＝∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝BG，∠CBG＝90°，∴CG＝2BG＝2AG，∴AG GC ＝12；故答案为：12．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．18．1【解析】【分析】根据平均数的性质知，要求x 1+1，x 2+2，x 3+3，x 4+4、x 5+5的平均数，只要把数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的和表示出即可．【详解】∵数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是3，∴x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=15，则新数据的平均数为1234512345151555x x x x x ++++++++++==1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．192【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】原式()2245223x x x x --+=⨯++， ()()()2+33223x x x x x -+=⨯++，33x x -=+．当x ==2= 【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是化简成最简再代入计算.20．(1)证明见解析；(2)253 2.【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=12AB=AE，DF=12AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，AD=53，进而得到菱形AEDF的面积S．【详解】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE=12AB=AE，Rt△ACD中，DF=12AC=AF，又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵AB=AC=BC=10，∴EF=5，3，∴菱形AEDF的面积S=12EF•AD＝12×5×3253．【点睛】本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．21．（1）6；8；B；（2）120人；（3）113分．【解析】【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以求得本次抽查的人数，从而可以得到m、n的值，从而可以得到数学成绩的中位数所在的等级；（2）根据表格中的数据可以求得D等级的人数；（3）根据表格中的数据，可以计算出A等级学生的数学成绩的平均分数．【详解】（1）本次抽查的学生有：72420360︒÷=︒（人），2030%62043211 m n=⨯==---=，，数学成绩的中位数所在的等级B，故答案为：6，11，B；（2）2120020⨯=120（人），答：D等级的约有120人；（3）由表可得，A等级学生的数学成绩的平均分数：102208435741711134⨯---=（分），即A等级学生的数学成绩的平均分是113分．【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．2.【解析】【分析】将原式化简整理,整体代入即可解题.【详解】解：（x﹣1）1+x（x﹣4）+（x﹣1）（x+1）＝x1﹣1x+1+x1﹣4x+x1﹣4＝3x1﹣2x﹣3，∵x1﹣1x﹣1＝1∴原式＝3x1﹣2x﹣3＝3（x1﹣1x﹣1）＝3×1＝2．【点睛】本题考查了代数式的化简求值,属于简单题,整体代入是解题关键.23．（1）2yx=；1522y x=-+；（2）点P坐标为（114，98）．【解析】【分析】（1）将F（4，12）代入0ny xx=（＞），即可求出反比例函数的解析式2yx=；再根据2yx=求出E点坐标，将E、F两点坐标代入y kx b=+，即可求出一次函数解析式；（2）先求出△EBF 的面积，点P 是线段EF 上一点，可设点P 坐标为1522x x +（，﹣），根据面积公式即可求出P 点坐标.【详解】解：（1）∵反比例函数0n y x x =（＞）经过点142F （，），∴n=2，反比例函数解析式为2y x =． ∵2y x=的图象经过点E （1，m ）， ∴m=2，点E 坐标为（1，2）． ∵直线y kx b =+ 过点12E （，），点142F （，）， ∴2142k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴一次函数解析式为1522y x =+﹣；（2）∵点E 坐标为（1，2），点F 坐标为142（，），∴点B 坐标为（4，2），∴BE=3，BF=32， ∴1139•32224EBF S BE BF ∆==⨯⨯=， ∴94POA EBF S S ∆∆== ．点P 是线段EF 上一点，可设点P 坐标为1522x x +（，﹣）， ∴115942224x ⨯-+=（），解得114x =， ∴点P 坐标为11948（，）．【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数的解析式以及三角形的面积公式.24．（1）商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y ＝700x ，当10＜x≤1时，y ＝﹣5x 2+750x ，当x ＞1时，y ＝300x ；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．【解析】（1）设件数为x，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．【详解】（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元．由题意得：3200﹣5（x﹣10）＝2800，解得：x＝1．答：商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为2800元；（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，当10＜x≤1时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，当x＞1时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，答：公司应将最低销售单价调整为2875元．【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．R=或R=【解析】【分析】【详解】解：当圆与斜边相切时，则R=，即圆与斜边有且只有一个公共点，当R=时，点A在圆内，点B在圆外或圆上，则圆与斜边有且只有一个公共点．考点：圆与直线的位置关系．26．（1）证明见解析；（2）CD的长为23【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；（2）作EF⊥CD于F，在Rt△DEF中，根据30°的性质和勾股定理可求出EF和DF的长，在Rt△CEF 中，根据勾股定理可求出CF的长，从而可求CD的长.【详解】证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）作EF⊥CD于F.∵∠BDC=30°，DE=2，∴EF=1，DF=，∵CE=3，∴CF=2，∴CD=2+．.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，菱形的判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理.证明AD=BC是解（1）的关键，作EF⊥CD于F，构造直角三角形是解（2）的关键.27．（1）-1；（2）x1＝，x2＝2【解析】【分析】（1）按照实数的运算法则依次计算即可；（2）利用配方法解方程．【详解】（1﹣﹣＝﹣1；（2）x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，∴x﹣2＝∴x1＝，x2＝2．【点睛】此题考查计算能力，（1）考查实数的计算，正确掌握绝对值的定义，零次幂的定义，特殊角度的三角函数值是解题的关键；（2）是解一元二次方程，能根据方程的特点选择适合的解法是解题的关键.。

四川省南充市高三高考适应性考试(一诊)考试数学(理)答案

2024届南充一诊理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．题号123456789101112选项CDCABABDBDCD二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．1 14．3 -15．87 π16．21 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17―21题必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.(一)必考题17．解：(1) 数列{}n a 是等比数列且4a 是26a 和3a 的等差中项21131 3246262q a q a q a a a a +=+=∴即0622=--q q 整理得：解得：2=q 或23-=q .2211n n n q a a q =⋅==-时，当.)23(2231-11n n n q a a q -⋅=⋅=-=-时，当*).( 23(221-N n a a n n n n ∈-⋅==∴或（2）:由(1)得，若0>q ，nn a 2=111)1(12log 2log 1log log 1122122+-=+=⋅=⋅=++n n n n a a b n n n n n .20242023202411 2024120231()2023120221()3121()211( 20232022212023=-=-+-++-+-=++++= b b b b T 18解：(1).由题意得60140100100)40802060(200))()()(()(222⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 879.7524.921200>≈=分4 分6 分8 分12 分4故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人.再从6人中随机抽出4人，则抽出的4人中可能有以下3种组合：①有慢性疾病4人；此时8=ξ万元②有慢性疾病3人，无有慢性疾病1人；此时7=ξ万元③有慢性疾病2人，无有慢性疾病2人；此时6=ξ万元所以ξ的可能取值为6 7 8，，故151)8(4644===C C P ξ；158)7(461234===C C C P ξ；156)6(462224===C C C P ξ故ξ的分布列为：ξ876P15115852则ξ的数学期望32052615871518)(=⨯+⨯+⨯=ξE (万元)19(1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 232 422=-==∴==⊥∴=DF AD AF DF AD BD BDAF AB AD DEAF DE AF DE BD DE BCD DE =∴=⊥∴⊥，平面//22 FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ 分5 分6 分8 分11 分12 分6 分2 分4方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 4 3222=-=∴⊥∴===DF AD AF BD AF BD AB AD ， BCD AF BDBCD ABDE ABDE AF BCDABDE ABDE DE BCD DE 平面平面平面，平面平面平面平面，平面⊥∴=⊂⊥∴⊂⊥ DEAF DE AF =∴，//FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ (2)取BC 的中点M ，连结FM AM ,.90=∠BCD 2==∴FB CF ，BCD DE DE AF 平面，⊥// BCD AF 平面⊥∴CFAF ⊥∴222==AF CF ，又3222=+=∴CF AF AC AB AC =∴的平面角为二面角的中点为D BC A AMF AMBC MF BC BC M --∠∴⊥⊥∴, 22tan ==∠∆∴MFAFAMF AFM Rt 中，3221==∴=∴BC CD FM ，分2 分5 分6 分4 分8方法一：以轴，为轴，为为坐标原点，y CB x CD C 建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，()() 0,0,2 0,0,0，，D C ∴ )22,3,1( )22,0,2(，，A E ).0,32,0(B )0,32,0( )22,3,1( )22,0,2(===∴CB CA CE ，，设平面ABC 的法向量),,( z y x n =, 0 0⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅CB n CA n 由 0320223⎩⎨⎧==++y z y x 得1-=z 取得：)1,0,22( -=n 设直线CE 与平面ABC 所成角为θ,9633222222 , cos sin =⨯-⨯=⋅⋅=><=CEn CE n CE n θ则∴直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96.方法二：过C 作BD 的垂线交BD 于HBDCH ⊥∴BCD CH BCD DE 平面，平面⊂⊥ CH DE ⊥∴D DE BD = 又ABDECH 平面⊥∴在BCD ∆中，3 , 2121=⨯=⨯=∆CH CH BD CD BC S BCD 得由又2221=⨯==∆∆DE AE S S DAE BAE 3623223131=⨯⨯=⨯=∴∆-CH S V BAE BAE C 32===CA BC AB 又ABC ∆∴为等边三角形，33=∆ABC S 设点E 到平面ABC 的距离为h ，由BAE C ABC E V V --=得：322=h .故点E 到平面ABC 的距离为322.222==∆CD DE CDE Rt ，中，又分12 分10 分10 分11分12 分2 分6 分1 分4 32=∴CE 所以直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96=CE h 注：以下方法酌情给分的距离相等到平面、知，平面由ABC F E ABC EF //，如右图，取，中点M BC .,FN ABC E ABC FN N AM FN F 的距离等于到平面，即平面则可证于作过⊥⊥20题：(1).由2sin )( 2)(≥≥x x mf x h 得：恒成立时xexm x sin 2 ),0(≥∈∴π)0( sin 2)(πϕ<<=x exx x令xe x x x )sin (cos 2)(-='∴ϕππϕπϕ<<<'<<>'x x x x 4:0)(40:0)(得；由得由上单调递减，上单调递增；在，在)4()4 0()(πππϕx 4 max )4()(ππϕϕ-==∴e x 所以),[ 4+∞-πem 的取值范围为(2).由已知)(x f 与)(x g 的图像关于直线x y =对称x x g ln )(=∴设公切线与),()(s x e s e x f 相切于点=，)ln ,(ln )(t t x x g 相切于点与=：知公切线可分别表示为，由xx g e x f x 1)()(='=')1()(s e x e y s x e e y ssss-+=-=-，即或1ln 1)(1ln -+=-=-t x ty t x t t y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴②①1ln )1( 1t s e te s s 1)1(s s e t s --=-得：由①②消去01)1( =---s s e s 即则令 ,1)1()(---=x e x x F x1)(，-='x xe x F 显然0)(0<'≤x F x 时，时，当0>x ，令1)()(-='=x xe x F x μ上单调递增，在故)0()(,0)1()(∞+>+='∴x e x x x μμ分5 (*)8 分分11 分10 分5 分12 分1 分6 又01)1(01)0(>-='<-='e F F ，01)( )1 0(0000=-='∈∃∴x e x x F x 使得，单调递减，时，当)(0)(0x F x F x x <'<∴；单调递增，时，当)(0)(0x F x F x x >'>02)1(013)2(2<-=->+-=-eF e F ，又；03)2(02)1(2>-=<-=e F F ，所以)(x F 有且仅有两个零点 ,21x x ，且).2,1( ),1,2(21∈--∈x x 知：由01)1()(1111=---=x e x x F x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x ex x F 111)1,2(x x x -≠--∈知由02121=+=-∴x x x x 即)(x f ∴与)(x g 有且仅有两条公切线，且)(x f 图像上两切点横坐标互为相反数.处理的解法，评分标准酌情题过程可参照文科再构造函数证明，具体或得：或由①②消去或得：处由①②消去注：)2(20 011ln 01ln )1( 11011 (*) =-+-=----+==-+-t t t t t t s s s e s s e t s s 21解：(1).显然四边形ABCD 为菱形,故其内切圆以O 为圆心，半径为r 的距离到直线AD O )1,0()05(D A ，又由-055=+-y x AD 的方程为：得直线r d AD ==+=65515的距离故原点到直线6522=+y x ABCD 内切圆的标准方程为：故四边形(2).方法一：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),(),(2211y x N y x M ，设则直线MP 的方程为：)1(111--=x x y y )(05105510])1(5[ )1(1 151212121221211122*=-+-+--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+ x x y x y x x y x x yy y x 得：联立分4 分3分7 分8 分6 又上，故在椭圆E y x M ),(11152121=+y x ，即212155x y -=代入)(*式整理得：0355)3(2112121=-+--x x x y x x 0031>∆≠-，显然x33512111x x x x x P --=⋅∴3)2(232)1(1 35311111111-+=-=--=--=∴x x k x y x x y y x x x P P P ，3)2(2,3531111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x P 故同理： 3)2(2,3532222；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x Q 2544)55(2 )3)(53()3)(53()]3)(2()3)(2[(23533533)2(23)2(212121221122122112211kx x x x k x x x x x x x x k x x x x x x k x x k k =--=------+--+=------+--+='∴故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.方法二：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),( ),( ),( ),(44332211y x Q y x P y x N y x M ，，，设),1( ),1(3311y x t y x RPt MR -=--∴=设)( 01 )1(131313131*⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=--=- ty y t tx x ty y x t x 得：23131313122322123*********1211))((5))((151515t ty y ty y tx x tx x t y t y x t x t y x y x -=-++-+∴-=-+-⨯-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+得：②由①②① 分9 分12 分11分9 分10 分11 分12 分5 分7 分8 分9 分10 ttx x t tx x t 55 105))(1()(31231-=--=+-+*即：带入上式得：将tx t x t tx x 23 2313131-=-=∴+=+，又 )52()2(11113t k x k t y t y -=+-=-=∴)52( 23 44μμμ-=-==k y x RQ NR ，，同理可得：设kt t k t k t k x x y y k 25)11(211(5)23()23()52(52(4343=--=------=--='∴μμμμ故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.22.解：(1).显然1C 是过原点且倾斜角为α的直线∴1C 的极坐标方程为αθ=)20(R ∈<<ρπα2C 的极坐标方程为2παθ+=)20(R ∈<<ρπα.(2).由⎩⎨⎧== sin 8αθθρ得A 的极坐标为()αα，sin 8由⎪⎩⎪⎨⎧+==2sin 8παθθρ得B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 cos 82 )2sin(8πααπαπα，，即，.ααcos 8 sin 8==∴OB OA ，AOB ∆∴的面积为：ααα2sin 16cos sin 3221==⋅=OB OA S 又20(πα，∈AOB ∆=∴ 4时，πα面积的最大值为16.分3 分1分2 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分8 分9 分10 23.解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-+--<=+--=4 642 222 624)(x x x x x x x f 6)(4min -=≥∴x f x 时，当05)(2≥+-a a x f 恒成立0562≥+--∴a a 即0652≤+-a a 32≤≤∴a 故a 的取值范围为[]32，.(2)由(1)知：6 .6=++=c b a M 即法1：3618)(3)3()2()3()1()2()1(6 )3)(2(2)3)(1(2)2)(1(23213212=+++=+++++++++++++++≤++++++++++++++=+++++∴c b a c b c a b a c b a c b c a b a c b a c b a （当且仅当⎩⎨⎧=+++=+=+ 6321c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.法2：（柯西不等式）[]363)6()111()3()2()1()131211(00 02222222=⨯+++=++⋅+++++≤⋅++⋅++⋅+∴>>>c b a c b a c b a c b a 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+6131211c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.。

一诊数学答案 2020届南充一诊

南充市高 2020 届第一次高考适应性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题:1. B2. C3. A4. C5. D6. C7. D8. A9. B 10. D 11. B 12. A 二、填空题:13． 3 14． 2 15． 11 16． 2 三、解答题:17．解:(1)由频率分布直方图知,100 名学生中课外阅读不少于 12 小时的学生共有 10 名,所以样本中课外阅读时间少于 12 小时的概率为: 101- =0. 9 (6)分100(2)课外阅读时间落在[4,6)的有 17 人,频率为 0. 17,0. 17 所以 a = 2=0. 085, …………9 分课外阅读时间落在[8,10)的有 25 人,频率为 0． 25,0. 25 所以 b =2=0. 125. (12)分18．解:(1)在等比数列{a }中,a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 2 a 8 = 25,n所以 a22所以 a 3 +a 5 =5. ① (2)分因为 2 是 a 3 和 a 5 的等比中项, 所以 a 3 a 5 = 4, ② 因为 q ∈(0,1),所以 a 3 >a 5 .联立①②解得 a 3 = 4,a 5 =1,…………4 分所以 q = 1 2,a 1 = 16,所以 a n = 16×( 1 2)n-1 =25-n . …………6 分 (2)由(1)可得 b n = log 2 a n =5-n.所以数列{b }是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列…………8 分nn(9-n)所以S n=,2S 所以nn =9-n,…………10分2高三数学(理科)一诊答案第1页(共4页)S S所以当n≤8时,>0;当n=9时,n nn nS=0,当n>9时,nn<0.S故当n=8或9时,11S+22S+...+最大. (12)分nn19.解:(1)当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC.…………2分因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,又AC∩PA=A.所以BD⊥平面PAC.故当a=2时,BD⊥平面PAC.…………5分→(2)以A为坐标原点,AB→的方向为x轴的正方向,AD→的方向为y轴的正方向,AP的方向为z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,则…………7分→→D(0,4,0),C(2,4,0),P(0,0,2),DC=(2,0,0),PC=(2,4,-2),设→n=(x,y,z)是面PDC的法向量,则→·D→C=0,n{2x=0,{,即可取→n=(0,1,2),…………9分→·P→C=02x+4y-2z=0,n→AD是平面PAB的法向量,…………10分→·A→D→=5n所以cos<→n,AD>=,|→n||A→D|5→25所以sin<→n,AD>=5,25所以面PDC与面PAB所成二面角的正弦值为 (12)分520.解:(1)因为椭圆C的左右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),所以c=2.…………1分-153由椭圆定义可得2a=(-1+2)2+(2+(-1-2)2+(-153)2=249)+969=26,解得a=6…………3分所以b2=a2-c2=6-4=2x2所以椭圆C的标准方程为6+y22=1…………5分(2)假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,…………6分x22+y=1{62由得x2+3(-x+t)2-6=0,即y=-x+t4x2-6tx+(3t2-6)=0,△=(-6t)2-4×4×(3t2-6)=96-12t2>0,解得-22<t<22…………8分高三数学(理科)一诊答案第2页(共4页)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3t3t2-6,x1x2=,…………9分24由于|F1M|=|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1E⊥MN,1所以KF1E=-KMNt3t=1又E(,4t4),4所以K F1E=3t+24=1,解得t=-4.…………11分当t=-4时,不满足-22<t<22.所以不存在满足条件的直线l.…………12分21.解:(1)f′(x)=2mx-1+当m≤0,成立;1x=2mx2-x+1,即2mx2-x+1<0在(0,+∞)上有解.…………2分x1当m>0时,y=2mx2-x+1的对称轴x=>0,故只需△>0,即1-8m>0,故m<4m 1 8 .综上所述,m<18,故实数m的取值范围为(-∞,18).…………4分(2)因为f(1)=m-1,f′(1)=2m,故切线方程为:y-m+1=2m(x-1),即y=2mx-m-1 (5)分要使方程mx2-x+lnx=2mx-m-1在(0,+∞)上有且只有一解.设g(x)=mx2-x+lnx-(2mx-m-1),则g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.又g(1)=0,故函数g(x)有零点x=1.g′(x)=2mx-1+1x(2mx-1)(x-1)-2m=x…………6分当m=12时,g′(x)≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)有且只有一个零点x=1,满足题意.…………8分当0<m<1211时,由g′(x)=0得x=或x=1,且2m2m>1,1由g′(x)>0,得0<x<1或x>2m;1由g′(x)<0,得1<x<2m.1 1所以g()<0,又g(x)=mx[x-(2+)]+m+lnx+1,2m m1所以g(2+m)>0,1故在(,+∞)上,函数g(x)又有一个零点,不符合题意.…………11分2m高三数学(理科)一诊答案第3页(共4页)综上所述,m =1 2. …………12 分 22. 解:(1)C 1 的直角坐标方程为(x-1)2 +y 2 =1,…………2 分 C2 的直角坐标方程为 x =3,…………4 分(2)设曲线 C 1 与 x 轴异于原点的交点为 A,因为 PQ ⊥OP,所以 PQ 过点 A(2,0) ,x =2+tcos θ(t 为参数),{设直线 PQ 的参数方程为,y =tsin θ,代入 C 1 可得 t 2 +2tcos θ=0 解得 t 1 = 0,t 2 = -2cos θ, 由题意可知 AP = t 2 = 2cos θ ; (6)分1代入 C 2 可得 2+tcos θ= 3,解得 t = cos θ.由题意 AQ = t =1 cos θ…………8 分所以 PQ = AP + AQ = 2cos θ+1 cos θ≥2 2 ,当且仅当 2cos θ = 1 cos θ时取等号.所以线段 PQ 长度的最小值为 2 2 . (10)分23. 解:(1)由已知可得 f(x)=1-2x,x<0,{1, 0≤x<1, 2x-1,x ≥1,所以 f(x)min =1,…………3 分所以只需 m-1 ≤1 解得 0≤m ≤2. 所以 m 的最大值 M =2. …………5 分 (2)因为 a 2 +b 2 ≥2ab,所以 ab ≤1,所以 ab ≤1,当且仅当 a =b 时取等号,①…………7 分a+b 又 ab ≤ ,所以 2 ab a+b ≤ 1 2,ab 所以 ≤ ab ,当且仅当 a =b 时取等号,②,…………9 分2a+bab 由①②得≤a+b 1 2 ,所以a+b≥2ab.…………10分高三数学(理科)一诊答案第4页(共4页)南充市高2020届第一次高考适应性考试数学试题(文科)参考答案及评分意见一、选择题:1.B2.C3.A4.C5.D6.C7.D8.D9.A10.B11.D12.B二、填空题:13．314．2 15．1516．342三、解答题:17．解:(1)由频率分布直方图知,100名学生中课外阅读不少于12小时的学生共有10名,所以样本中课外阅读时间少于12小时的概率为:101-=0.9 (6)分100(2)课外阅读时间落在[4,6)的有17人,频率为0.17,0.17所以a=2=0.085,…………9分课外阅读时间落在[8,10)的有25人,频率为0．25,0.25所以b=2=0.125 (12)分18．解:(1)在等比数列{a}中,a1a5+2a3a5+a2a8=25,n所以a22所以a3+a5=5.① (2)分因为2是a3和a5的等比中项,所以a3a5=4,②因为q∈(0,1),所以a3>a5.联立①②解得a3=4,a5=1,…………4分所以q=12,a1=16,所以a n=16×(12)n-1=25-n.…………6分(2)由(1)可得b n=log2a n=5-n.所以数列{b}是以4为首项,-1为公差的等差数列…………8分nn(9-n)所以S n=,2S 所以nn =9-n,…………10分2高三数学(文科)一诊答案第1页(共4页)S S 所以当 n ≤8 时, >0;当 n =9 时, nnn nS = 0,当 n>9 时,nn<0.S 故当 n =8 或 9 时, 11 S +2 2S+…+ 最大. (12)分n n 19. 解:(1)当 a =2 时,ABCD 为正方形,则 BD ⊥AC. …………2 分因为 PA ⊥平面 ABCD,BD ⊂平面 ABCD, 所以 BD ⊥PA,又 AC ∩PA=A. 所以 BD ⊥平面 PAC. 故当 a =2 时,BD ⊥平面 PAC. …………6 分(2)设 M 是符合条件的 BC 边上的点.因为 PA ⊥平面 ABCD,DM ⊂平面 ABCD 所以 DM ⊥PA,又 PM ⊥DM,PA ∩PM=P 所以 DM ⊥平面 PAM,AM ⊂平面 PAM, 所以 DM ⊥AM.因此,M 点应是以 AD 为直径的圆和 BC 边的一个公共点,则 AD ≥2AB. 即 a ≥4,a ∈[4,+∞ ).…………12 分20. 解:(1)因为椭圆 C 的左右焦点分别为 F 1( -2,0) ,F 2(2,0) ,所以 c=2.…………1 分- 15 3 由椭圆定义可得 2a = (-1+2)2 +( 2 + (-1-2)2 +(- 15 3 ) 2 = 24 9 )+ 969 =2 6 ,解得 a = 6…………3 分所以 b 2 =a 2 -c 2 =6-4 =2x 2所以椭圆 C 的标准方程为6+y 22=1…………5 分(2)假设存在满足条件的直线 l,设直线 l 的方程为 y = -x+t,…………6 分x22+y=1{6 2由得 x 2 +3(-x+t)2 -6 = 0,即 y = -x+t4x 2 -6tx+(3t 2 -6)= 0,△ = ( -6t)2 -4×4×(3t 2 -6)= 96-12t 2 >0,解得-2 2 <t<2 2…………8分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3t3t2-6,x1x2=,…………9分24由于|F1M|=|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1E⊥MN,1所以K F1E=-KMN3t=1又E(,4t4),高三数学(文科)一诊答案第2页(共4页)t4 所以 K F 1E =3t +2 4= 1,解得 t = -4.…………11 分当 t = -4 时,不满足-2 2 <t<2 2 .所以不存在满足条件的直线 l.…………12 分x - x 21. 解:(1)当 a =2 时,f(x)= 2eex-1,x-1-x所以 f ′(x)= 2e x ,…………2 分 e所以 f ′(0)= 2-1 = 1,又 f(0)= 2-1 =1,…………3 分所以曲线 y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为:y-1 =x 即 x-y+1 =0 …………5 分(2)要使函数 f(x)有唯一零点,则需关于 x 的方程a = 1 x ( e x e x+1)有唯一的解.设 g(x)= 1 x ( e x ex+1),则 g′(x)= 1-2x-e x2x , e 设 h(x)= 1-2x-e x 则 h′(x)= -2-e x <0 …………6 分所以 h(x)在 R 单调递减,又 h(0)= 0…………8 分所以当 x ∈( -∞ ,0)时,h(x)>0,即 g′(x)>0,所以 g(x)在 (-∞ ,0)上单调递增;当 x ∈(0,+∞ )时,h(x)<0,即 g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞ )上单调递减. 所以 g(x)的最大值为 g(0)= 1…………10 分所以当 x ∈( -∞ ,0]时,g(x )∈( -∞ ,1] ;当 x ∈(0,+∞ )时,g(x) ∈(0,1).又 a>0,所以当方程 a = 1 x ( e x e x+1)有唯一解时,a =1.故函数 f(x)有唯一零点时,a 的值为 1.…………12 分 22. 解:(1)C 1 的直角坐标方程为(x-1)2 +y 2 =1,…………2 分 C 2 的直角坐标方程为 x =3,…………4 分 (2)设曲线 C 1 与 x 轴异于原点的交点为 A,因为 PQ ⊥OP,所以 PQ 过点 A(2,0) ,x =2+tcos θ(t 为参数),{设直线PQ的参数方程为,y=tsinθ,代入C1可得t2+2tcosθ=0解得t1=0,t2=-2cosθ,由题意可知AP=t2=2cosθ; (6)分高三数学(文科)一诊答案第3页(共4页)1代入 C 2 可得 2+tcos θ= 3,解得 t = cos θ.由题意 AQ = t =1 cos θ…………8 分所以 PQ = AP + AQ = 2cos θ+1 cos θ≥2 2 ,当且仅当 2cos θ = 1 cos θ时取等号.所以线段 PQ 长度的最小值为 2 2 . (10)分23. 解:(1)由已知可得 f(x)=1-2x,x<0,{1, 0≤x<1, 2x-1,x ≥1,所以 f(x)min =1,…………3 分所以只需 m-1 ≤1 解得 0≤m ≤2. 所以 m 的最大值 M =2. …………5 分 (2)因为 a 2 +b 2 ≥2ab,所以 ab ≤1,所以 ab ≤1,当且仅当 a =b 时取等号,①…………7 分a+b 又 ab ≤ ,所以 2 ab a+b ≤ 1 2,ab 所以 ≤ a+bab ,当且仅当 a =b 时取等号,②,…………9 分2ab 由①②得 ≤ a+b 1 2,所以 a+b ≥2ab.…………10 分高三数学(文科)一诊答案第4页(共4页)。

四川省南充市高中2020届高三数学第一次适应性考试试题理含解析

四川省南充市高中2020届高三数学第一次适应性考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}2|1B x x =≤，则AB =（）A. {}|1x x ≥B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x ≤D.{}|1x x ≤-【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，按照并集定义，即可得出答案. 【详解】{}{}2|1|11B x x x x =≤=-≤≤，A B ={}1|x x ≥-.故选:B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.12i=-（） A. 2155i -+ B. 2155i -- C.2551i + D.2155i - 【答案】C 【解析】【分析】分母实数化，即可求得结果. 【详解】12212(2)(2)55i i i i i +==+--+. 故选:C【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题. 3.“60A =︒”是“1cos 2A =”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件判断方法，即可得出结论. 【详解】若060A =，则1cos 2A =成立；若1cos 2A =，则00006036060360()A k k k Z =+⋅-+⋅∈或，故60A =︒不成立，所以“60A =︒”是“1cos 2A =”的充分不必要条件. 故选:A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于基础题. 4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（）A. B. 8πC.D. 4π【答案】B 【解析】试题分析：设球的半径为R ，截面小圆半径为r 21r r ππ∴=∴=R ∴=248S R ππ==考点：圆的截面小圆性质及球的表面积点评：球的半径为R ，截面小圆半径为r ，球心到截面的距离为d,则有222R r d =+，球的表面积24S R π= 5.函数1()sin cos 2f x x x =的最小值是（） A.14B. 12C. 12-D. 14-【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角化简1()sin cos 2f x x x =，即可得答案. 【详解】111()sin cos sin 2244f x x x x ==≥-.故选:D【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于基础题.6.10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】【分析】根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.【详解】10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为1010101101011()(),0,1,2,,1022k k k k kk T C x C x k ---+===，3x 的系数是733101011()1528C C =⨯= 故选:C【点睛】本题考查展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于基础题.7.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A. ⎡⎣B. (C. 33⎡-⎢⎣⎦D.⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k-=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确．8.函数()21,1,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有且只有一个实数根，则实数a 满足（） A. 1a = B. 1a >C. 01a ≤<D. 0a <【答案】A 【解析】【分析】作出函数()f x 图像，数形结合，即可求出答案. 【详解】做出函数()f x 图像，如下图所示：()1f x =有且只有一个实数根.故选:A【点睛】本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.9.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若2BC =，AB AC AB AC +=-，则AM =（）A.12B. 1C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】||||AB AC AB AC +=-两边平方，可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出||AM . 【详解】||||AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0,AB AC AB AC ∴⋅=∴⊥，M 是线段BC的中点，1||||12AM BC ∴==. 故选:B【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题. 10.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a ba b A B+=+，则角C =（） A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果.【详解】tan tan a b a b A B+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A BA B A BA B A B+=+=+， sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=， 22(0,2),22A B A B π∈∴=、或22A B π+=，,A B ∴=或2A B π+=，若,A B =则sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈,42A B C ππ∴==∴=，若2A B π+=，则2C π=.故选:D【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题. 11.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（） A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2e ⎛⎝ 【答案】B 【解析】【分析】构造函数F （x ）=()2xf x e，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F（12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e -，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增．不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x．故不等式的解集为（0），故选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12.已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（） A. 1- B. 2-C. 3-D. 随m 的变化而变化【答案】A 【解析】【分析】先求出P 点坐标，得出切线方程，求出三角形12F PF 的内切圆的半径、直线1F M 的方程，联立求出N 的横坐标，即可得出结论.【详解】联立222214411x y m y x m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩消去y，得24,0,x x x m =>∴= 设00(,)P x y ，直线l 方程为00144x xy y m①设三角形12F PF 内切圆半径为r ，则由等面积可得002(42),2M my my m r r y m=+∴==+ ②直线1F M 的方程为()1My x m m=++ ③联立①②③，化简可得36,2N mx m x =∴=，在12F PF ∆中，内切圆圆心M ，各边的切点分别为,,A D E ，由圆的切线性质可得1122||||,||||,||||F A F D EF AF PD PE ===，121212||||||||||||2F P F P F D F E F A F A ∴-=-=-=，. 121||||2,||1M F A F A m F A m x m +=∴=+=+， 1,1M M N x x x =∴-=-.故选:A【点睛】本题考查双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于综合题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.函数()sin f x x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_________. 【答案】2 【解析】【分析】化简函数()f x ，根据自变量的范围，即可求出结论.【详解】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，50,2336x x ππππ≤≤∴≤+≤， ()f x ∴的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数最值，属于基础题.15.已知函数()2sin 1x xxe x f x x e ++=++，则()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++的值是________. 【答案】11 【解析】【分析】根据所求值的自变量的关系，先求()()f x f x +-的值，即可求出结果.【详解】()()f x f x +-=22sin sin()11x x x xxe x xe x x x e e --++-++++-+-+22211x x x x x xe x x xe e e e ++-+-+=+=+，(5)(5)(4)(4)(1)(1)2f f f f f f ∴-+=-+==-+=，(0)1f =，()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++=11故答案为:11【点睛】本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究()()f x f x +-的值，属于中档题. 16.过抛物线()220x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点，又过A ,B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ,C .若梯形ABCD的面积为p =__________.【解析】【分析】设1122(,),(,),A x y B x y ,联立直线与抛物线方程求出121,2,,x x y y ，代入12121||()2ABCD S x x y y =-+梯形，即可求出p 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，抛物线的焦点(0,)2p F ，直线AB 方程为2p y x =+，联立222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得2220x px p --=，解得121233,,,,22x p x p y p y p -+==+==，212121||()2ABCD S x x y y =-+==梯形p ∴=.故答案为【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。

四川省南充市高中2020-2021学年高三第一次高考适应性考试数学(理)试题

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为（）
A． B． C． D．
5．函数的最小值是（）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数为（）
A． B． C． D．
7．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）
【详解】
，两边平方得，
，
，
是线段的中点， .
故选:B
【点睛】
本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题.
10．D
【分析】
利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出值，即可求出结果.
【详解】
，，
，平方得，
或，
或，
若则
，
若，则 .
故选:D
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题.
四川省南充市高中2020-2021学年高三第一次高考适应性考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．（）
A． B． C． D．
3．“ ”是“ ”的（）
（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．
23．已知函数 .
（1）若恒成立，求实数的最大值；
（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明： .
参考答案

四川省南充市高中2020届高三第一次适应性考试数学试题理含解析

四川省南充市高中2020届高三第一次适应性考试数学试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}2|1B x x =≤，则AB =（）A. {}|1x x ≥B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x ≤D.{}|1x x ≤-【答案】B化简集合B ，按照并集定义，即可得出答案. 【详解】{}{}2|1|11B x x x x =≤=-≤≤，A B ={}1|x x ≥-.故选:B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.12i=-（） A. 2155i -+ B. 2155i -- C.2551i + D.2155i - 【答案】C分母实数化，即可求得结果. 【详解】12212(2)(2)55i i i i i +==+--+. 故选:C【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题. 3.“60A =︒”是“1cos 2A =”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A根据充分必要条件判断方法，即可得出结论.【详解】若060A =，则1cos 2A =成立；若1cos 2A =，则00006036060360()A k k k Z =+⋅-+⋅∈或，故60A =︒不成立，所以“60A =︒”是“1cos 2A =”的充分不必要条件. 故选:A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于基础题. 4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（）A. B. 8πC.D. 4π【答案】B试题分析：设球的半径为R ，截面小圆半径为r 21r r ππ∴=∴=R ∴=248S R ππ==考点：圆的截面小圆性质及球的表面积点评：球的半径为R ，截面小圆半径为r ，球心到截面的距离为d,则有222R r d =+，球的表面积24S R π= 5.函数1()sin cos 2f x x x =的最小值是（） A.14B. 12C. 12-D. 14-【答案】D利用二倍角化简1()sin cos 2f x x x =，即可得答案. 【详解】111()sin cos sin 2244f x x x x ==≥-.故选:D【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于基础题.6.10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.【详解】10112x⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的通项为1010101101011()(),0,1,2,,1022k k k k kkT C x C x k---+===，3x的系数是733101011()1528C C=⨯=故选:C【点睛】本题考查展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于基础题.7.若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1x y-+=有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A. 3,3⎡⎤-⎣⎦ B. ()3,3- C.33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.33,33⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【答案】C设直线方程为(4)y k x=-，即40kx y k--=，直线l与曲线22(2)1x y-+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k kdk-=≤+，得222141,3k k k≤+≤，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．8.函数()21,1,1x xf xx x-≤=>⎪⎩，若方程()f x a=有且只有一个实数根，则实数a满足（）A. 1a= B. 1a> C. 01a≤< D. 0a<【答案】A作出函数()f x图像，数形结合，即可求出答案.【详解】做出函数()f x 图像，如下图所示：()1f x =有且只有一个实数根.故选:A【点睛】本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.9.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若2BC =，AB AC AB AC +=-，则AM =（）A.12B. 1C. 2D. 4【答案】B||||AB AC AB AC +=-两边平方，可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出||AM . 【详解】||||AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0,AB AC AB AC ∴⋅=∴⊥，M 是线段BC中点，1||||12AM BC ∴==. 故选:B【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题. 10.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a ba b A B+=+，则角C =（） A.6π B.4π C.3π D.2π【答案】D利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果.【详解】tan tan a b a b A B+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A BA B A BA B A B+=+=+， sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=， 22(0,2),22A B A B π∈∴=、或22A B π+=， ,A B ∴=或2A B π+=，若,A B =则sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈,42A B C ππ∴==∴=，若2A B π+=，则2C π=.故选:D【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题. 11.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（）A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2e ⎛⎝ 【答案】B构造函数F （x ）=()2xf x e，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F（12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e ，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e -，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增．不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x故不等式的解集为（0），故选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12.已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（） A. 1- B. 2-C. 3-D. 随m 的变化而变化【答案】A先求出P 点坐标，得出切线方程，求出三角形12F PF 的内切圆的半径、直线1F M 的方程，联立求出N 的横坐标，即可得出结论.【详解】联立22221 4411x ymyxm⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩消去y，得24,0,x x xm m=>∴=，设00(,)P x y，直线l方程为00144x x y ym①设三角形12F PF内切圆半径为r，则由等面积可得2(42),2Mmymy m r r ym=+∴==+②直线1F M的方程为()1My x mm=++③联立①②③，化简可得36,2Nmx m x=∴=，在12F PF∆中，内切圆圆心M，各边的切点分别为,,A D E，由圆的切线性质可得1122||||,||||,||||F A F D EF AF PD PE===，121212||||||||||||2F P F P F D F E F A F A∴-=-=-=，.121||||2,||1MF A F A m F A m x m+=∴=+=+，1,1M M Nx x x=∴-=-.故选:A【点睛】本题考查双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于综合题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.函数()sin f x x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_________. 【答案】2化简函数()f x ，根据自变量的范围，即可求出结论.【详解】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，50,2336x x ππππ≤≤∴≤+≤， ()f x ∴的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数最值，属于基础题.15.已知函数()2sin 1x xxe x f x x e ++=++，则()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++的值是________. 【答案】11根据所求值的自变量的关系，先求()()f x f x +-的值，即可求出结果.【详解】()()f x f x +-=22sin sin()11x x x x xe x xe x x x e e --++-++++-+-+22211x x x x x xe x x xe e e e ++-+-+=+=+，(5)(5)(4)(4)(1)(1)2f f f f f f ∴-+=-+==-+=，(0)1f =，()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++=11故答案为:11【点睛】本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究()()f x f x +-的值，属于中档题. 16.过抛物线()220x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点，又过A ,B两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ,C .若梯形ABCD的面积为p =__________.设1122(,),(,),A x y B x y ,联立直线与抛物线方程求出121,2,,x x y y ，代入12121||()2ABCD S x x y y =-+梯形，即可求出p 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，抛物线的焦点(0,)2p F ，直线AB 方程为2p y x =+，联立222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得2220x px p --=，解得1212,,,,x p x p y p y p ==+==，212121||()2ABCD S x x y y =-+==梯形p ∴=.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。

2020年四川省南充市高考数学一模试卷(理科)

2020年四川省南充市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝（）A．{x|x≥1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}2.＝（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣3.“α＝“是“cosα＝“成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（）A．B．C．8πD．5.函数f（x）＝的最小值是（）A．B．C．﹣D．﹣6.的展开式中x3的系数为（）A．5 B．10 C．15 D．207.若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．8.设函数，若方程f（x）＝a有且只有一个实根，则实数a满足（）A．a＜0 B．0≤a＜1 C．a＝1 D．a＞19.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC|＝2，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．B．1 C．2 D．410.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a+b＝+，则角C＝（）A．B．C．D．11.设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）＝e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）12.已知1＜m＜4，F1，F2为曲线C：的左、右焦点，点P为曲线C与曲线E：在第一象限的交点，直线l为C在点P处的切线，若三角形F1PF2的内心为点M，直线F1M与直线l交于N点，则M，N横坐标之差为（）A．﹣1 B．﹣2C．﹣3 D．随m的变化而变化二、填空题（共4小题）13.已知A（l，1），B（2，﹣4），C（x，﹣9），且，则x＝．14.函数f（x）＝sin x+cos x在区间[0，]上的最大值为．15.已知函数f（x）＝+sin x，则f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值是16.过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，又过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为D，C，若梯形ABCD的面积为6，则p＝三、解答题（共7小题）17.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图组号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值．18.在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．19.如图，在四棱锥P﹣BCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，P A⊥底面ABCD．（1）当a为何值时，BD⊥平面P AC？证明你的结论；（2）当P A＝＝2时，求面PDC与面P AB所成二面角的正弦值．20.已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点P（﹣1，﹣）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|＝|F1N|？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）＝mx2﹣x+lnx，（Ⅰ）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当时，若曲线C：y＝f（x）在点x＝1处的切线L与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值或取值范围．22.在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cosθ和曲线C2：ρcosθ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．23.已知函数f（x）＝|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．2020年四川省南充市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．故选：B．【知识点】并集及其运算2.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝＝．故选：C．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断【解答】解：由α＝一定能推出cosα＝，当由cosα＝，则不一定推出α＝，故“α＝“是“cosα＝“成立的充分不必要条件，故选：A．【知识点】充要条件4.【分析】求出截面圆的半径为，利用截面圆的面积为π，可得R2＝2，即可求出球的表面积．【解答】解：设半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝（R2﹣1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．故选：C．【知识点】球的体积和表面积5.【分析】利用二倍角公式化函数f（x）为正弦函数，利用正弦函数的有界性求出f（x）的最小值．【解答】解：函数f（x）＝＝sin2x，当2x＝﹣+2kπ，即x＝﹣+kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值为﹣．故选：D．【知识点】三角函数的最值6.【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数．【解答】解：由二项式的展开式的通项公式为，r＝3，则x3的系数为＝15，故选：C．【知识点】二项式定理7.【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．【解答】解：设直线方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．【知识点】直线与圆的位置关系8.【分析】关于x的方程f（x）＝a有且只有一个实根⇔y＝f（x）与y＝a的图象只有一个交点，结合图象可求观察．【解答】解：关于x的方程f（x）＝a有且只有一个实根⇔y＝f（x）与y＝a的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a＝1时，y＝f（x）与y＝a的图象只有一个交点故选：C．【知识点】函数的值域、分段函数的应用9.【分析】由题意利用两个向量加减法及其几何意义，求出要求式子的值．【解答】解：∵点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC|＝2，|+|＝|﹣|，设+＝，﹣＝，则||＝||，∴平行四边形ABDC的对角线AD＝BC，则||＝||＝||＝1，故选：B．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角10.【分析】根据题意，由正弦定理可得a+b＝+⇒sin A+sin B＝cos A+cos B，由三角函数的恒等变形公式可得2sin（）cos（）＝2cos（）cos（），变形可得tan（）＝1，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，a+b＝+，由正弦定理可得sin A+sin B＝＝+＝cos A+cos B，则有sin A+sin B＝cos A+cos B，变形可得：2sin（）cos（）＝2cos（）cos（），又由﹣＜＜，则cos（）≠0，则有2sin（）＝cos（），即tan（）＝1，又由0＜＜，则＝，即A+B＝，则C＝，故选：D．【知识点】正弦定理11.【分析】构造函数F（x）＝，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【解答】解：可构造函数F（x）＝，F′（x）＝＝，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）＝＝1，即为F（lnx）＜F（），由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选：B．【知识点】导数的运算12.【分析】由题意可得两曲线的焦点，先求出P的坐标，得出切线方程，求出三角形F1PF2的内切圆的半径、直线F1M的方程，联立切线方程求出N的横坐标，即可得出结论．【解答】解：由题意可得曲线C，E有相同的焦点（﹣m，0），（m，0），且|PF1|+|PF2|＝4，c＝，联立，消去y可得x＝±，设P（x0，y0），且x0＝，y0＝，直线l的方程为①，设三角形F1PF2的内切圆的半径为r，则由等面积可得•2c•y0＝r（|PF1|+|PF2|+2c），即2y0＝（4+2）r，∴r＝＝y M②，由M（1，y M），F1（﹣，0），可得直线F1M的斜率为k＝，直线F1M的方程为y＝（x+）③，联立①②③，化简可得3x＝6，得x N＝2，∵x M＝1，∴x M﹣x N＝﹣1．故选：A．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线的简单性质二、填空题（共4小题）13.【分析】可以求出，根据可得出﹣10+5（x﹣1）＝0，解出x的值即可．【解答】解：，∵，∴﹣10+5（x﹣1）＝0，解得x＝3．故答案为：3．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示14.【分析】用辅助角公式对三角函数化简，求出最大值即可．【解答】解：函数f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+），故函数在区间[0，]，x＝时，取到最大值2，故答案为：2．【知识点】三角函数的最值15.【分析】由题意可得f（﹣x）+f（x）＝2，然后代入即可求解．【解答】解：∵f（x）＝+sin x＝，∴f（﹣x）+f（x）＝+，＝＝2，则f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5），＝5×2+1＝11．故答案为：11．【知识点】函数的值16.【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积，建立面积等式求得p．【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y＝x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0．由，消去y得x2﹣2px﹣p2＝0，由韦达定理得，x1+x2＝2p，x1x2＝﹣p2∴梯形ABCD的面积为：S＝（y1+y2）（x2﹣x1）＝（x1+x2+p）（x2﹣x1）＝•3p＝3p2＝6，又p＞0，∴p＝．故答案为．【知识点】抛物线的简单性质三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由求出a、b的值．【解答】解：（Ⅰ）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2＝10名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P＝1﹣＝0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（Ⅱ）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6）的人数为17，则频率是＝0.17，所以由频率分布直方图得，a＝＝0.085，同理可得，b＝＝0.125．【知识点】频率分布直方图18.【分析】（1）根据等比数列的性质可知a1a5＝a32，a2a8＝a52化简a1a5+2a3a5+a2a8＝25得到a3+a5＝5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n代入到b n＝log2a n中得到b n的通项公式，即可得到前n项和的通项s n；（3）把s n代入得到，确定其正负，即可求n的值．【解答】解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8＝25，∴a32+2a3a5+a52＝25又a n＞0，∴a3+a5＝5 …（1分）又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4 …（2分）而q∈（0，1），∴a3＞a5，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝，a1＝16，∴a n＝16×（）n﹣1＝25﹣n．（2）∵b n＝log2a n＝5﹣n，∴b n+1﹣b n＝﹣1，b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，∴{b n}是以b1＝4为首项，﹣1为公差的等差数列，∴S n＝．…（8分）（3）∵＝，∴n≤8时，＞0，n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，∴n＝8或9时，+++…+最大…（12分）【知识点】数列与不等式的综合、数列的求和19.【分析】（1）当ABCD为正方形时，AC⊥BD，即a＝2时满足条件．（2）建立空间直角坐标系，求出平面PDC的一个法向量，是平面P AB的法向量；即可求出答案．【解答】解：（1）当a＝2时，ABCD为正方形，则因为P A⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD．所以DB⊥P A，又AC∩P A＝A，所以BD⊥平面P AC，所以当a＝2时，BD⊥平面P AC．（2）以A为原点，的正方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．D（0，4，0），C（2，4，0），P（0，0，2），，设是平面PDC的一个法向量，则，即；取y＝1，则是平面P AB的法向量；所以；所以故面PDC与面P AB所成二面角的正弦值【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面垂直的判定20.【分析】（1）直接由题意得离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的直线，设直线方程联立与椭圆的方程，判别式大于零，由使得|F1M|＝|F1N|求出参数，结果不满足判别式大于零的条件，所以不存在这样的直线．【解答】解：（1）由题意得，c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的标准方程：＝1；（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y＝﹣x+t，设M（x，y），N（x'，y'）与椭圆联立整理：4x2﹣6tx+3t2﹣6＝0，△＝36t2﹣4•4•（3t2﹣6）＞0，﹣2，x+x'＝，xx'＝，由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k＝﹣＝1又E（，），所以k＝＝1，解得t＝﹣4，当t＝﹣4时，不满足﹣2，所以不存在满足条件的直线l．【知识点】椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系21.【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过当m≤0时显然成立；当m＞0时，结合函数y＝2mx2﹣x+1的图象的对称轴，转化求解实数m的取值范围．（Ⅱ）求出切线L的方程y＝2mx﹣m﹣1．设g（x）＝mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点．利用函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的极值，然后列出不等式，即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）因为，依题意知2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．当m≤0时显然成立；当m＞0时，由于函数y＝2mx2﹣x+1的图象的对称轴，故需且只需△＞0，即1﹣8m＞0，解得，故．综上所述，实数m的取值范围为．（Ⅱ）因为f（1）＝m﹣1，f'（1）＝2m，故切线L的方程为y﹣m+1＝2m（x﹣1），即y＝2mx﹣m﹣1．从而方程mx2﹣x+lnx＝2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．设g（x）＝mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点．又g（1）＝0，故函数g（x）有零点x＝1．则．当时，g'（x）≥0，又g（x）不是常数函数，故g（x）在（0，+∞）上单调递增．所以函数g（x）有且只有一个零点x＝1，满足题意．当时，由g'（x）＝0，得或x＝1，且．由g'（x）＞0，得0＜x＜1或；由g'（x）＜0，得．所以当x在（0，+∞）上变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：x（0，1）1g'（x）+0﹣0+g（x）增极大值减极小值增根据上表知．而函数．所以，故在上，函数g（x）又存在一个零点，不满足题意．综上所述，．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程22.【分析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．【解答】解：（I）C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，…（2分），C2的直角坐标方程为x＝3；…（4分）（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为：，代入C1可得t2+2t cosθ＝0，解得，可知|AP|＝|t2|＝|2cosθ|…（6分）代入C2可得2+t cosθ＝3，解得，可知…（8分）所以PQ＝，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…（10分）【知识点】简单曲线的极坐标方程、参数方程化成普通方程23.【分析】（I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】解：（I）由已知可得，所以f min（x）＝1，…（3分）所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2…（5分）（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a＝b时取等号，①…（7分）又∴∴，当且仅当a＝b时取等号，②…（9分）由①②得，∴，所以a+b≥2ab…（10分）法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…（7分）即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2＝a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…（10分）【知识点】函数恒成立问题。

2020年四川省南充市第一中学九年级下学期第一次诊断考试数学试题(附带详细解析)

A．且 B． C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
3．化简的结果是( )
A．a-bB．a+bC． D．
4．若是一元一次方程的两根，则的值为（）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（）
A．①②B．①③C．②③D．①④
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
11．因式分解：x2y﹣y=_____．
12．一组数据的中位数是，则的值是_____．
13．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是_____．
14．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝_____．
21．如图，直线与双曲线相交于点A，且，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线的解析式及k的值；
（2）连结、，求的面积．
22．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，已知，，，点在的延长线上，点在的延长线上，有下列结论：① ；② ；③ ；④若，则点到的距离为．则其中正确结论的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中：

四川省南充市2020年中考第一次质量检测数学试题

四川省南充市2020年中考第一次质量检测数学试题一、选择题1．已知4＜m＜5，则关于x的不等式组420x mx-<⎧⎨-<⎩的整数解共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2．在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（如图），则它的俯视图是（）A．B．C．D．3．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A. B.C. D.4．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣l ＜x＜3，其中正确的是（）A.①②④B.②④C.①④D.②③5．在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球3个，白球2个搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是白球的概率为（）A．15B．310C．25D．356．计算（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006的结果是（）A B C +2D ．07．某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加10场比赛，各场得分情况如图，下列四个结论中，正确的是（）A ．甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数B ．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值D ．甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差 8．某班同学从学校出发去太阳岛春游，大部分同学乘坐大客车先出发，余下的同学乘坐小轿车20分钟后出发，沿同一路线行驶．大客车中途停车等候5分钟，小轿车赶上来之后，大客车以原速度的107继续行驶，小轿车保持速度不变．两车距学校的路程S （单位：km ）和大客车行驶的时间t （单位：min ）之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的个数是（） ①学校到景点的路程为40km ； ②小轿车的速度是lkm/min ； ③a ＝15；④当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要10分钟才能到达景点入口．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．二次函数y ＝ax 2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y 轴交于点A ，且过点B （3，6）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，那么tan ∠CBA 的值是（） A ．23B ．43C ．2D ．3410．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（） A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝﹣1D ．无解11．如图，在△ABC 中，∠C=50°，∠B=35°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．则∠DAC 的度数为（）A ．85°B ．70°C ．60°D ．25° 12．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m ，将0.0000007用科学计数法可表示为（）A ．60.710-⨯B ．7710-⨯C ．6710-⨯D ．70.710-⨯二、填空题13．某校九年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班能参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表：有一位同学根据上面表格得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大.上述结论正确的是________（填序号）.14．若2x 2+3与2x 2﹣4互为相反数，则x 为__________．15＝_____． 16．如图，等边三角形△ABC 的边长为4，以BC 为直径的半圆O 交AB 于点D ，交AC 于点E ，阴影部分的面积是_____．17．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为______．18．已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x 厘米（x ＞0），周长为y 厘米，那么y 关于x 的函数解析式为_____．三、解答题19．由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD ．20．如图，正方形ABCD中，AB＝O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．21．已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数．22．如图1，P（m，n）在抛物线y=ax2-4ax（a＞0）上，E为抛物线的顶点．（1）求点E的坐标（用含a的式子表示）；（2）若点P在第一象限，线段OP交抛物线的对称轴于点C，过抛物线的顶点E作x轴的平行线DE，过点P作x轴的垂线交DE于点D，连接CD，求证：CD∥OE；（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x轴交于A、B两点，平移后的抛物线的顶点为Q，P是其x轴上方的对称轴上的动点，直线AP交抛物线于另一点D，分别过Q、D作x轴、y 轴的平行线交于点E，且∠EPQ=2∠APQ，求点P的坐标．23．如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，且DE：CE＝1：3，以点A为圆心，AE为半径画弧，交BC于点F，若F是BC中点，则AD：AB的值是( )A．6：5 B．5：4 C．6D 224．八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了如下的统计图1和图2，请根据图中相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）图1中m的值为____________，共有____________名同学参与问卷调查；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）全校共有学生1500人，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？25．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，过A作MN∥BC，求证：MN与⊙O相切；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求⊙O的半径和AE的长．【参考答案】一、选择题二、填空题13．①②③14．±1 215．-116．2 3π17．5 218．y＝12x三、解答题19．山高CD为米．【解析】【分析】首先根据题意分析图形；过点B作CD，AC的垂线，垂足分别为E，F，构造两个直角三角形△ABF与△DAC，分别求解可得AF与FC的值，再利用图形关系，进而可求出答案【详解】解：过点B作CD，AC的垂线，垂足分别为E，F，∵∠BAC＝30°，AB＝1500米，∴BF＝EC＝750米．AF＝AB•cos∠BAC＝1500×2＝设FC＝x米，∵∠DBE＝60°，∴DE米．又∵∠DAC＝45°，∴AC＝CD．即：＝米，解得x＝750．∴CD＝)米．答：山高CD为米．【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（1）详见解析；（2）点F到直线BC．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDF＝90°，DE＝DF，由正方形的性质可得∠ADC＝90°，DE＝DF，可得∠ADE ＝∠CDF，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF；（2）由勾股定理可求AO的长，可得AE＝CF＝3，通过证明△ABO∽△CPF，可得CF PFAO BO=，即可求PF的长，即可求点F到直线BC的距离．【详解】证明：（1）∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，∴∠EDF＝90°，DE＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，DE＝DF，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，且DE＝DF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，（2）解：如图2，过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P，则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离．∵点O是BC中点，且AB＝BC＝∴BO∴AO5，∵OE＝2，∴AE＝AO﹣OE＝3.∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3，∠DAO＝∠DCF，∴∠BAO＝∠FCP，且∠ABO＝∠FPC＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴CF PF AO BO=，∴35 =∴PF，∴点F到直线BC的距离为5.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ABO∽△CPF是本题的关键．21．（1）见解析；（2）∠DFC＝40°【解析】【分析】（1）根据题意由全等三角形的性质AAS 可以推出△ABC ≌△DEF （2）由（1）已知△ABC ≌△DEF ，再根据三角形内角和，即可解答【详解】（1）证明：∵AB ∥DE ， ∴∠B ＝∠E ， ∵BF ＝EC ∴BF+FC ＝EC+CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中， B E BC EF ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠A=∠D ∠∠ ， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；（2）解：∵∠A ＝120°，∠B ＝20°， ∴∠ACB ＝40°，由（1）知△ABC ≌△DEF ， ∴∠ACB ＝∠DFE ， ∴∠DFE ＝40°， ∴∠DFC ＝40°．【点睛】此题考查全等三角形的判定和三角形内角和，解题关键在于找到三角形全等的条件 22．(1) E （2，﹣4a ）；(2)见解析;(3) P （2）．【解析】【分析】（1）将原式提取公因式然后化简即可解答（2）设直线OE 的解析式为：y ＝k x ，把E 点代入可得直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ，由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nx m，得到C （2，2nm ），然后设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，得到：k ＝﹣2a ，即可解答（3）当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1，然后设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，D （3+t ，t 2+2t ），Q （2，﹣1），E （3+t ，﹣1），再设PE 交x 轴于F ，即可解答【详解】解：（1）y ＝ax 2﹣4ax ＝a （x 2﹣4x+4﹣4）＝a （x ﹣2）2﹣4a ， ∴E （2，﹣4a ）；（2）设直线OE 的解析式为：y ＝kx ，把E （2，﹣4a ）代入得：2k ＝﹣4a ， k ＝﹣2a ，∴直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ，由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nxm，∴当x ＝2时，y ＝2n m ，即C （2，2nm）， ∵D （m ，﹣4a ），设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，将点D 和C 的坐标代入得：422km b an k b m +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩（n ＝am 2﹣4am ），解得：k ＝﹣2a ，根据两直线系数相等， ∴OE ∥CD ；（3）如图2，当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1， ∴Q （2，﹣1），A （1，0），B （3，0），设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，联立方程组为：243y tx t y x x =-⎧⎨=-+⎩ ，解得：1110x y =⎧⎨=⎩ ，22232x ty t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ， ∴D （3+t ，t 2+2t ）， ∵Q （2，﹣1）， ∴E （3+t ，﹣1）， ∴PQ ＝QE ＝t+1， ∴∠EPQ ＝45°， ∵∠EPQ ＝2∠APQ ， ∴∠APQ ＝22.5°，设PE 交x 轴于F ， ∵∠DEP ＝45°， ∴ME ＝FM ＝1，∴∠FPA ＝∠PAF ＝67.5°， ∴PF ＝AF ＝t+1， ∵FP，t ＝t+1， t+1， ∴P （2+1）．【点睛】此题为二次函数综合题，需要熟练掌握运算方法 23．D 【解析】【分析】设DE ＝a ，CE ＝3a ，可得CD ＝4a ＝AB ，由勾股定理可得24AD +16a 2＝a 2+AD 2，可得AD ＝，即可求解．【详解】解：∵DE ：CE ＝1：3， ∴设DE ＝a ，CE ＝3a ， ∴CD ＝4a ＝AB ， ∵F 是BC 中点， ∴BF ＝12BC ＝12AD ， ∵以点A 为圆心，AE 为半径画弧，交BC 于点F ∴AE ＝AF∵AF 2＝BF 2+AB 2，AE 2＝DE 2+AD 2，∴24AD +16a 2＝a 2+AD 2，∴AD ＝，∴AD ：AB 2 故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，用参数表示AB 和AD 的长是本题的关键．24．（Ⅰ）41，100；（Ⅱ）平均数是2.54, 众数为2,中位数为2；（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：615 【解析】【分析】（1）用1减去1本，3本，4本所占的比例减去即可；用阅读一本书的人数除以它占的比例即可求出总数. （2）平均数=书的总数总人数，阅读课外书的本书的人数的本书即为众数，将涉及到的本书从小到大排列最中间的就是中位数；（3）用总人数乘以样本中“阅读2本课外书”人数所占百分比可得．【详解】（Ⅰ）∵m%=1-15%-10%-34%=41%, ∴m=41; 10÷10%=100， ∴总人数是100人；（Ⅱ）∵1014123431542.54100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，∴这组数据的平均数是2.54.∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为2.∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有222 2+=，∴这组数据的中位数为2.（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：411500615100⨯=（本）.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用及平均数，众数和中位数的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．25．（1）详见解析；（2）5【解析】【分析】（1）作直径AD，连接DC，证明∠D＝∠NAC，根据∠D＋∠DAC＝90°，可证∠OAN＝90°；（2）作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC，由角平分线的性质可得EG＝EH，BG＝BH＝6，求出AH，在Rt△OBH中由勾股定理列出方程求出半径，再根据△AGE∽△AHB可求出AE.【详解】解：（1）作直径AD，连接DC，∵AB＝AC且MN∥BC，∴∠B＝∠ACB＝∠NAC，∵∠D＝∠B，∴∠D＝∠NAC，∵AD是直径，∴∠D＋∠DAC＝90° ，∴∠NAC＋∠DAC＝90°，∴∠OAN＝90°，又∵点A 在⊙O上，∴MN与⊙O相切；（2）作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC,∵OB＝OC，AB＝AC∴O、A在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC，∵BD平分∠ABC， EG⊥AB，FH⊥BC，∴EG＝EH，BG＝BH＝6，在Rt△ABH中，∵AB＝10，BH＝6，∴由勾股定理得AH＝8，设⊙O的半径为x，在Rt△OBH中，由勾股定理得： (8－x)2＋6２＝x2，∴x＝254，即⊙O的半径为254，∵AB＝10，BG＝6，∴AG＝4 ，由△AGE∽△AHB得：AG AE AH AB，代入解得：AE＝5.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识点，涉及知识点较多，有一定难度，根据题意作出常用辅助线是解题关键.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。