高考数学知识点之三角函数

高考数学知识点之三角函数

考试内容：

角的概念的推广．弧度制．

任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．

两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．

考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示．

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”．

§04. 三角函数 知识要点

1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：

{}Z

k k ∈+⨯=,360

|αββ

②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|

ββ

④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x

y

-=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|

ββ

⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk

SIN \C O S 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π

180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝

180

π

≈0.01745（rad ）

3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：2

11||2

2

s lr r α=

=

⋅扇形

4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则

=

α

sin r

x =

αcos ； x

y =

α

tan ； y

x =

α

cot ； x

r =

α

sec ；. α

csc 5、三角函数在各象限的符号：

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

8、同角三角函数的基本关系式：α

α

α

tan cos sin =

α

α

αc o t s i n c o s =

1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α

1c o s s e c =α⋅α

1cos sin 2

2

=+αα 1tan sec 2

2

=-αα 1cot csc 2

2

=-αα

9、诱导公式：

2

k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：

(3) 若 o

,则sinx

16. 几个重要结论:

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组二 公式组三

x

x k x x k x x k x x k c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (=+=+=+=+ππππ

x

x x x x x x

x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=-=--=-

公式组四 公式组五 公式组六

x

x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x

x x x x x x

x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x

x x x x x x

x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n

= βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2

222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=

β

αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2

t a n 1t a n 22t a n -=

β

αβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

2

c o s 12

s i n α

α

-±

=

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+

2

c o s 12

c o s

α

α

+±

=

β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

-

公式组三 公式组四 公式组五

2

tan

12

tan

2sin 2

α

α

α+=

2

tan

12

tan

1cos 2

2

α

α

α+-=

2

tan

12

tan

2tan 2

α

α

α-=

4

2

675

cos 15

sin -=

=

,4

2

615cos 75

sin

+=

=

,3275cot 15tan -

==

,3

215cot 75tan +

==

.

公式组一sin x ·csc x =1tan x =

x

x cos sin sin 2

x +cos 2

x =1cos x ·sec x x =

x

x sin cos 1+tan 2x =sec 2x

tan x ·cot x =1

1+cot 2

x =csc 2

x

=1()()[]

()()[]()()[]()()[]

β

αβαβαβ

αβα

βαβ

αβαβ

αβαβαβα--+-

=-++=

--+=

-++=

cos cos 2

1sin sin cos cos 2

1cos cos sin sin 21sin cos sin sin 2

1cos sin 2cos 2sin 2sin sin β

αβ

αβα-+=+2sin

2cos

2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos

2cos cos βαβ

αβα

-+=+2

sin

2

sin

2cos cos βαβαβα-+-=-α

αα

αα

ααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

tan -=

+=+-±

=α

απsin )21cos(

-=+α

απcos )21sin(=+ααπcot )21

tan(

-=+ααπsin )21cos(

=-α

απcos )2

1sin(

=-α

απcot )2

1

tan(

=-