第十三届华罗庚杯数学竞赛七年级测试题
华罗庚初中数学竞赛题
华罗庚初中数学竞赛模拟题华罗庚初中数学竞赛是中国数学竞赛的一种，旨在纪念数学家华罗庚并激发学生学习数学的兴趣。
这种竞赛的题目通常涉及广泛的数学知识，包括代数、几何、概率等，旨在挑战学生的数学思维和问题解决能力。
例如，一些典型的华罗庚初中数学竞赛题目可能包括：1.代数题：例如，给定一个二次方程，求解该方程的根，或者证明某个代数恒等式。
2.几何题：例如，求解某个几何图形的面积或体积，或者证明某个几何定理。
3.组合数学题：例如，求解某个组合问题的计数公式，或者证明某个组合恒等式。
4.数论题：例如，求解某个数论方程的解，或者证明某个数论定理。
此外，华罗庚初中数学竞赛还可能包括应用题，这类题目将数学知识应用于实际生活中，旨在考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
以下是一份模拟的华罗庚初中数学竞赛题，包含代数、几何和数论等多个领域的题目。
请注意，这些题目是为了模拟竞赛风格而设计的，难度可能较高。
华罗庚初中数学竞赛模拟题一、选择题（每题5分，共20分）1.设x和y是正实数，且满足x+y=1，则x1+y4的最小值为：A. 4B. 5C. 9D. 162.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则角C的最大值为：A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘3.对于任意正整数n，定义f(n)为n的各位数字之和。
则f(2023)+f(20232)+f(20233)的值为：A. 29B. 35C. 37D. 414.已知x和y是整数，且满足方程7x+5y=38，则(x,y)的解有：A. 1组B. 2组C. 3组D. 无穷多组5.已知x和y都是正整数，且满足x1+y1=51，则有序对(x,y)的个数为：A. 1B. 2C. 3D. 无穷多6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，点B在x轴上，且△AOB是等腰三角形（O为坐标原点），则点B的坐标为：A. (6,0)B. (8,0)C. (−3,0) 或(8,0)D. (6,0) 或(−6,0)7.对于任意正整数n，定义f(n)为n的各位数字之积。
各届华杯赛真题集锦-含答案哦!
目录2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (3)2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (5)2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (11)2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (13)2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (19)2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (23)2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (31)2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (33)2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (39)2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (41)2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (47)2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (49)2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (55)2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (57)2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (63)2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (66)2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (73)2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (75)2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (82)2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (84)2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、解答题（共12小题，满分0分）1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷参考答案与解析一、解答题（共12小题，满分0分）1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？考点：竖式数字谜．专题：填运算符号、字母等的竖式与横式问题．分析：根据整数加法的计算方法进行推算即可．解答：解：解法一：个位上：0+“杯”=4，可得“杯”=4；十位上：1+“华”的末尾是0，由1+9=10，可得“华”9，向百位上进1；百位上：9+1=10，向千位上进1；千位上：1+1=2；由以上可得：；因此，“华杯”代表的两位数是94．解法二：已知1910与“华杯”之和等于2004；那么“华杯”=2004﹣1910=94；因此，“华杯”代表的两位数是94．点评：本题非常巧妙地考察了对整数的加法运算法则及数位的进位等知识要点的熟悉掌握程度．2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？考点：百分数的实际应用；长方形的周长；长方形、正方形的面积．专题：分数百分数应用题．分析：设长方形的长为a，宽为b，因此各边长增加10%时，则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，因此各边长增加10%时，周长增加2（1.1a+1.1b）﹣2（a+b）=2（a+b）×10%，即周长增加10%．面积增加1.1a×1.1b﹣ab=1.21ab﹣ab=ab×21%，即面积增加21%．解答：周长增加10%，面积增加21%解：设长方形的长为a，宽为b，边长增加10%时，则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，周长增加：2（110%a+110%b）﹣2（a+b）=220%a+220%b﹣2a﹣2b=2（a+b）×10%；面积增加：110%a×110%b﹣ab=121%ab﹣ab=ab×21%；答：周长增加了10%，面积增加了21%．点评：在求出长宽增加后的长度基础上，根据长方形的周长与面积公式计算是完成本题的关键．3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？考点：正方体的展开图．专题：立体图形的认识与计算．分析：如图，是正方体展开图的“222”结构，把它折叠成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C面与4面相对，相使使其对面两数之和为7，A面填6，B面填5，C面填3．解答：解：如图，折成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C面与4面相对，要使其对面之各为7，则A面填6，B面填5，C面填3．点评：本题是考查正方体的展开图，关键是弄清把它折叠成正方体后，哪两个面相对．4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？考点：数列中的规律．专题：探索数的规律．分析：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要使1﹣＜，则n＞999.5，即从n=1000开始，带入分数，即可得解．解答：解：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，1﹣＜，n＞999.5，从n=1000开始，即从开始，满足条件．答：从开始，1与每个数之差都小于．点评：找出这列数的规律，根据已知列出等式求解．5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．考点：有关圆的应用题．专题：平面图形的认识与计算．分析：先圆形轨道的半径，再根据圆的周长公式：C=2πr求出飞船沿圆形轨道飞行1圈的长度，再乘以10即可求出飞船沿圆形轨道飞行了多少千米．解答：解：2×3.14×（6371+343）×10=2×3.14×6714×10=3.14×134280=421639.2（千米）；答：飞船沿圆形轨道飞行了421639.2千米．点评：考查了有关圆的应用题，关键是熟练掌握圆的周长公式．6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？考点：染色问题．专题：传统应用题专题．分析：根据四个扇形中有一个红色、两个、三个、四个分类列举即可．解答：解：按逆时针方向涂染各扇形：红红红红红红红黄红红黄黄红黄红黄红黄黄黄黄黄黄黄所以，共有6种．点评：本题考查了排列组合知识中的染色问题，还可以列式解答：4×（4﹣1）÷2=6（种）．7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？考点：时间与钟面．专题：时钟问题．分析：可设当前是9点x分，则5分钟前分针指向x﹣5的位置，而分针转动的速度是时针的12倍，分针5分钟后指向x+5的位置，时针指向9刻度后刻度处，根据题意列出方程解答即可．解答：解：设当前时刻是9点x分．则5分钟后时针的位置为45+=x﹣5540+x+5=12x﹣6011x=605x=55；答：此时刻是9点55分．点评：本题主要考查钟表问题的实际应用，熟练掌握钟表的特征是解答本题的关键．8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？考点：抽屉原理．专题：传统应用题专题．分析：建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小鬼不相同，那么（54﹣2）÷4=13，所以一共有13+2=15个抽屉；分别是：1、2、3、…K、小鬼、大鬼，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答．解答：解：建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看做15个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，15+1=16（张），答：至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数．点评：此类问题关键是根据点数特点，建立抽屉，这里要注意考虑最差情况．9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？考点：带余除法．专题：余数问题．分析：先设这个两位数为10a+b，则可用含a、b的代数式表示将它依次重复写3遍成的一个8位数，再将此8位数除以该两位数得到商为1010101，然后将1010101除以9即可求解．解答：解：设这个两位数为10a+b，则将它依次重复3遍成的一个8位数为：1000000（10a+b）+10000（10a+b）+100（10a+b）+10a+b=1010101（10a+b），将此8位数除以该两位数得到的商为：1010101（10a+b）÷（10a+b）=1010101，则1010101÷9=112233…4．答：得到的余数是4．点评：本题考查了带余除法的定义及应用，难度中等，用含a、b的代数式正确表示将（10a+b）这个数依次重复写3遍成的一个8位数是解题的关键．10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？考点：图形的拆拼（切拼）．专题：平面图形的认识与计算．分析：因为这块长方形木板的面积为90×40=3600（平方厘米），又因为3600=60×60，即所求的正方形的边长为60厘米，如下图所示．解答：解：因为90×40=3600，3600=60×60，所求的正方形的边长为60厘米，可以如下图拼成：因此，能拼成一个正方形．点评：先求出总面积，看看是否能分成两个数的平方．11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．考点：组合图形的面积．专题：平面图形的认识与计算．分析：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，利用圆的面积公式即可求解．解答：解：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，所以阴影部分的面积是：×3.14×（12÷2）2=×3.14×36=56.52（平方厘米）；答：图中阴影部分的面积是56.52平方厘米．点评：此题可以巧妙地利用“缩小法”，得出阴影部分的面积与直径为AB的圆的面积的关系，问题即可得解．12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？考点：有关圆的应用题．专题：平面图形的认识与计算．分析：由于小铁环的半径为25厘米，大铁环的半径为50厘米，可得小铁环的半径是大铁环半径的一半．根据周长与半径的关系可得大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，再减去公转的1圈，可得小环自身转动的圈数．解答：解：由于小铁环的半径是大铁环半径的一半，所以大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，其中有1个周长属于小环公转的，而另一个周长才是小环自身转动的，因此，小环自身转动1圈．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，小铁环运动的圈数乘以它的周长就等于大铁环的周长．2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、解答题（共12小题，满分0分）1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？2004年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分0分）1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？考点：日期和时间的推算．分析：先求出郑和首次下西洋的时间，再求差．解答：解：2005﹣600=1405（年），1492﹣1405=87（年）．答：这两次远洋航行相差87年．点评：本题先根据2005年求出郑和首次下西洋的时间，再用较晚的时间减去较早的时间．2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？考点：日期和时间的推算．分析：先求出2004年的12月21日到2005年的2月4日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．解答：解：2004年的12月21日到12月31日共有11天，1月份有31天，2月4日是2月的第四天，那么一共经过了：11+31+4=46（天），46÷9=5…1，说明已经经过了5个9天，还余1天，这一天就是六九的第一天．答：立春之日是六九的第1天．点评：本题的是9天为1个周期，先求出经过的天数（注意两头的天数都算），再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数判断．3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？考点：规则立体图形的体积．分析：根据棱柱的体积公式：底面积×高，进行计算．解答：解：因为直三棱柱的底面是直角边都为1的直角三角形，高为1，所以直三棱柱的体积=×1×1×1=．答：这个直三棱柱的体积是．故答案为：．点评：本题考查了直三棱柱及展开图的特征和直三棱柱体积计算．直三棱柱是由三个长方形的侧面和上下两个底面组成．4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？考点：加法原理．分析：可先把我放在第一个位置，进而考虑我的左邻的情况，我的左邻的左邻的情况，找到总情况数即可．解答：解：共有6种不同的入座方法．点评：考查用列表法解决问题；把1个人固定位置，进而考虑左邻的情况是解决本题的关键．5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．考点：分数除法应用题．分析：把自行车的距离看成单位“1”，那么长跑的距离就是自行车的，游泳的距离是自行车的，它们的差对应的数量是8.5千米，用除法可以求出自行车的距离，根据自行车的距离求出另外两项的距离，再把三者加起来．解答：解：自行车比赛距离是长跑的4倍，那么长跑的距离就是自行车的，8.5÷（）=8.5÷，=40（千米）；40×=10（千米）；40×=1.5（千米）；40+10+1.5=51.5（千米）；答：三项的总距离是51.5千米．点评：本题关键是把倍数关系看成一个是另一个的几分之几，找出单位“1”分析出数量关系，再由基本的数量关系求解．6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？考点：事物的简单搭配规律．分析：观察图形，分析数列，发现规律：从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…据此规律，推出即可．解答：解：6﹣3=3；10﹣6=4；15﹣10=5；21﹣15=6；…从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…往下写数：3，6，10，15，21，28，36，45，55，…第9个数是55．答：这列数中的第9个是55．点评：观察图形，分析数列，发现规律，然后利用规律解决问题．7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？考点：规则立体图形的体积．分析：根据圆锥的体积公式求出容器甲容积，根据球的体积公式求出容器乙容积，相除即可求解．解答：解：容器甲容积：V甲=×π×（）2×1=π；容器乙容积：V乙=×π×13=π，V乙÷V甲=π÷π=8．答：至少要注水8次．点评：考查了圆锥的体积和球的体积．球的体积公式是V=πr3．圆锥的体积是V=sh=πr2h．8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？考点：鸡兔同笼．分析：可设高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，根据等量关系：高年级组数+低年级组数=41组解答即可．解答：解：高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，由题意得：=41，3x+2（100﹣x）=246，3x+200﹣2x=246，x=46，100﹣46=54（人），答：高年级有46人，低年级有54人．点评：此类题目中一般都有两个等量关系，抓住其中一个等量关系设出一个未知数，从而得出另一个未知数；另一个等量关系用来列方程．9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？考点：整数、小数复合应用题；合数与质数；质数与合数问题．分析：先将48分解质因数：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因数全写出来，再找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价．解答：解：48=48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价；只有4×12和6×8，12比8多4，4比6少2，则零售价为6元，批发价为4元；答：零售价为6元．点评：解答此题应结合合数和质数的含义进行分析，通过分解质因数，找出符合题意的答案即可．10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？考点：最大与最小．分析：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a人，第二种的人数是8+5b人，因为总人数一定相等，求出a与b的关系，根据a和b关系讨论取值．解答：解：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a，第二种的人数是8+5b，则5+8a=8+5b即；8a=5b+3，当b=1时，a=1，总人数为5+8×1=13（人）；当b=9时，a=6，总人数为5+8×6=53（人）；当b=17时，a=11，总人数为5+8×11=93（人）．数字再大就超过100了，所以最多有93人．答：最多有93名同学．点评：本题先找出两种组数之间的关系，然后根据组数是自然数和它们之间的关系讨论取值，找出100以内最大的即可．11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？考点：整数、小数复合应用题．分析：水平面的刻度是80毫升，说明空的部分是80毫升；根据每分钟的输液量和输液时间求出已经输出的体积，用100毫升减去已经输出的体积就是瓶内剩下的体积；整个吊瓶的容积就是空的部分加剩下的这部分体积．解答：解：100﹣2.5×12=70（毫升），80+70=150（毫升），答：整个吊瓶的容积是150毫升．点评：本题第12分时瓶子上方没有溶液的容积的等量关系是解决本题的关键．12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？考点：乘法原理．分析：根据题意，“夹角”只能是30°，60°或90°，都是30°的倍数，根据这个倍数，通过旋转的方法，进一步解答即可．解答：解：因为夹角只能是30°、60°或者90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证两两直线夹角为30°的倍数，即为30°、60°或者90°（因为如果每次旋转度数其他角度，例如15°，则必然会出现两条直线的夹角为15°或15°的其它倍数，如45°这与题目不符）；因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转过5次，5×30°=150°，如果再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°=180°，这样第七条直线就与第一条直线平行了．如图：所以最多能画出六条．答：至多有6条直线．点评：根据题意，由题目给出的条件，通过旋转的方法进一步解答即可．2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（6分）如图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD．取AB的中点M和BC的中点N，剪掉AMBN得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（）A．B．C．D．2．（6分）2008006共有（）个质因数．A．4B．5C．6D．73．（6分）（2007•北塘区）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”．聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（）A．星期一B．星期二C．星期六D．星期日4．（6分）如图，长方形ABCD小AB：BC=5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A 的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（）边上．A．A B B．B C C．C D D．D A5．（6分）如图，ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°）．以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是（）平方厘米．A．6.36 B．3.18 C．2.12 D．1.596．（6分）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝见、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目，如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法．A．48 B．72 C．96 D．120二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．（3分）在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6.7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于_________•8．（3分）全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有_________人．9．（3分）如图是﹣个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为_________立方厘米．（取π=3.14）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）10．（3分）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有_________个．11．（3分）李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥．若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克．那么李大爷共承包了麦田_________亩，这批化肥有_________千克．12．（3分）将从1开始的到103的连续奇数依次写成﹣个多位数：a=13579111315171921…9799101103．则数a共有_________位，数a除以9的余数是_________．。
华杯赛决赛第13~16届(初一组)试题及答案
y 的, 而当 y 1时, 由第一个等式得到 2x 1, 所以 x 1 .
2 评分参考: 1) (1)之前给 2 分; 2) (1)和(2)各给 4 分.
三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）
1 k
4k 2 9
4k
2
9
,
其中,
对于有理数
x,
x= x x.
所以有1 k2
,
9
1
1
k
4k 9
2
0.
当 k 取不同整数时, 1 k 4k 2 的情况如下表: 9
k
2
1
0
=1
=2
xy 0 . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:
(1) x y xy x . 由后一等式得到, y 1或 y 1, 而 y 1是不可能的, 因为 y
此时由第一个等式得到 x 1 x , 矛盾. 当 y 1 时, 由第一个等式得到 x 1 x , 即 2x 1 , 所以 x 1 .
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（初一组）
（建议考试时间：2008 年 4 月 19 日 10:00～11:30）
一、填空（每题 10 分，共 80 分）
1. 某地区 2008 年 2 月 21 日至 28 日的平均气温为-1℃，2 月 22 日至 29 日的平
枚围棋
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
华罗庚数学竞赛题目
华罗庚数学竞赛是中国数学竞赛的一种，旨在纪念数学家华罗庚并激发学生学习数学的兴趣。
以下是一些典型的华罗庚数学竞赛题目，供您参考：
1. 已知一个正整数n，满足n^2 - n - 12 = 0，求n 的值。
2. 一个长方形的长是宽的2倍，如果长方形的周长是60厘米，求长方形的面积。
3. 一个班级有40名学生，其中有18名喜欢数学，有24名喜欢物理，有6名两者都喜欢。
问有多少名学生不喜欢数学也不喜欢物理？
4. 一个数列的前两项分别是2和5，从第三项起，每一项都是前两项之和。
求第10项的值。
5. 一个正方形的对角线长度是10厘米，求正方形的面积。
6. 已知一个数列的通项公式为an = 3n + 2，求第10项的值。
7. 一个圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米，求圆柱的表面积。
8. 一个分数的分子比分母小1，如果将分子和分母都加上5，得到的新分数是5/7。
求原分数。
9. 一个数加上它的2倍再加上它的3倍，结果是90。
求这个数。
10. 一个等差数列的前5项和是35，公差是2，求第10项的值。
这些题目涵盖了数论、代数、几何、概率等多个数学领域，适合不同年级的学生进行练习。
解决这些题目需要学生具备良好的数学基础和逻辑思维能力。
华杯赛历届试题及答案
华杯赛历届试题及答案华杯赛，全称“华罗庚数学金杯赛”，是一项面向中学生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。
以下是历届华杯赛的部分试题及答案，供参考：一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，那么这个数除以15的余数是多少？- A. 3- B. 4- C. 5- D. 6答案：A二、填空题1. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是________ 立方厘米。
答案：2402. 计算下列数列的第10项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...答案：55三、解答题1. 一个水池有注水口和排水口，单开注水口每小时可注水20吨，单开排水口每小时可排水10吨。
如果同时打开注水口和排水口，水池每小时净增水量是多少吨？如果池中原有水100吨，需要多少时间才能将水排空？答案：同时打开注水口和排水口时，水池每小时净增水量是20吨- 10吨 = 10吨。
要将100吨水排空，需要的时间为100吨÷ 10吨/小时 = 10小时。
2. 一个班级有48名学生，其中1/3是男生，剩下是女生。
问这个班级有多少名女生？答案：班级中有48名学生，其中1/3是男生，即48 * (1/3) = 16名男生。
剩下的学生是女生，所以女生人数为48 - 16 = 32名。
四、证明题1. 证明对于任意的正整数n，n的立方与n的和不小于n的平方与n 的两倍之和。
答案：设n为任意正整数。
我们需要证明n^3 + n ≥ n^2 + 2n。
展开立方项，得到n^3 + n - n^2 - 2n = n(n^2 - n - 1) = n(n - (1 + √5)/2)(n - (1 - √5)/2)。
由于n是正整数，(n - (1 +√5)/2)和(n - (1 - √5)/2)都是负数或零，因此整个表达式是非负的，即n^3 + n ≥ n^2 + 2n。
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组)初赛试卷(含答
总分第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（初中组广东卷）（建议考试时间: 2008 年 3 月 22 日 10:00～11:00）一、选择题（每小题 10 分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的.请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1．若有理数a、b在数轴上的位置如图1所示.则下列各式中错误的是（）.（A）-ab＜2 （B）＞（C）＜（D）＜-12．关于数a有下面四个命题:①若,则a必为0;②若,则a,a+1,a-1中至少有一个为零；③若,则a=0,或a=1;④若,则的值必为零.四个命题中正确的个数为（）.（A）1 （B）2 （C）3 （D）43．图2（a）是长方形纸带，∠SAB=20°，将纸带沿AB折叠成图2（b），再沿BN折叠成图2（c），则图2（c）中的∠TBN为（）.（A）（B）（C）（D）4．今有四个数,其中一个数与其它三个数的平均数之和分别为92,86,80,90,那么,这四个数中最大的数等于（）.（A）51 （B）48 （C）33 （D）425．依次排列4个数:2,11,8,9.对相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差排在这两个数之间得到一串新的数:2,9,11,-3,8,1,9.这称为一次操作,做二次操作后得到一串新的数:2,7,9,2,11,-14,-3,11,8,-7,1,8,9.这样下去,第100次操作后得到的一串数的和是（）.（A）737 （B）700 （C）723 （D）7306．如图3所示,一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发,经过每个面的中心点后,又回到A 点,蚂蚁爬行最短程S满足（）.（A）5＜S≤6 （B）6＜S≤7（C）7＜S≤8（B）8＜S≤9二、填空题（每小题 10 分,满分40分,第10题每空5分）7．计算:= .8．如图4所示,圆的半径为2,圆的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E.若圆心O到弦AB的距离OF=1,EF=1.则图中阴影部分的面积等于 .（取3.41）9．可将1～30这30个整数写成一行,使得由第二个数开始的每个数都是它前面所排列的所有数之和的约数.则排在第30个位置上的数最大应是 .10．把符号“★”放在图5的小方格中,则含有“★”的由小方格组成的正方形个数随“★”的放法而改变.在所有的放法中,含有“★”的正方形个数最多时有个,最少时有个.第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛初一组试题答案一、选择题（每小题10分，满分60分）题号 1 2 3 4 5 6答案 D B C A D B二、填空题（每小题10分，满分40分，第10题每空5分）题号7 8 9 10答案8.28 15 44，7。
第华罗庚杯赛决赛初一组试题及答案
x 2 n⎪第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初一组） （时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）1. 已知 n 个数 x 1, x 2 , , x n , 每个数只能取 0, 1, -1中的一个. 若x 1 + x 2 + + x n = 2016 , 则 2015 1 + x 2015 + + x 2015 的值为 .2. 某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明 2 月份白天 的停车时间比夜间要多 40% , 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40% . 若 3 月 份的总停车时间比 2 月份多 20% , 但停车费用却少了 20% , 那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是 .3. 在 9⨯ 9 的格子纸上, 1⨯1 小方格的顶点叫做格点. 如右图, 三角形 ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点 P 使得三角 形 PAB 与三角形 PAC 的面积相等, 就称 P 点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有 个“好点”.4. 设正整数 x , y 满足 xy - 9x - 9y = 20, 则 x 2 + y 2 = .5. 甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一, 乙后完成工程的三分 之二, 两队所用的天数为 A ; 甲先完成工程的三分之二, 乙后完成工程的三分 之一, 两队所用天数为 B ; 甲、乙两队同时工作完成的天数为 C . 已知 A 比 B 多 5, A 是 C 的 2 倍多 4. 那么甲单独完成此项工程需要 天.6. 已知 x + y + z = 5 , 1 + 1 + 1 = 5 , xyz = 1, 则 x 2 + y 2 + z 2 = . x y z7. 关于 x , y 的方程组⎧ 1 x + y = a ⎨ 2 ⎪⎩| x | - y = 1只有唯一的一组解, 那么 a 的取值为 .总分 密封线内请勿答题学校____________姓名_________参赛证号8.右图是一个骰子的展开图, 每个面是一个单位正方形. 用 四个骰子粘成一个 2⨯ 2⨯1的长方体放到桌面上, 要求每 两个粘在一起的面上的“点数”相同．长方体放到桌面上 的六个面分别记为上、下、左、右、前、后六个面, 两个 长方体不同是指对应六个面的“点”的拼图不同. 不考虑长方体的旋转, 共 可以粘出种不同的长方体二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 在恰有三条边相等的四边形中, 有两条等长的边所夹的内角为直角. 若从 该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形, 求该直 角所对的角的度数.10. 围着一张可以转动的圆桌, 均匀地放着 8 把椅子, 在桌子上对着椅子放有 8个人的名片. 这 8 个人入座后, 将圆桌顺时针转动, 第一次转 45︒ , 从第二 次开始, 每次转动比上一次多转 45︒ . 每转动一次, 当某人对着自己的名片 时, 取走自己的名片. 如果入座时谁都没有对着自己的名片, 那么桌子至少 转多少度才能保证所有入座可能的情况下 8 个人都拿到了自己的名片?11. 两张 8 ⨯12 的长方形纸片重叠地放置, 有一个顶点重合, 尺寸如右图所示. 问图中阴影部分的面积是多少？12. 证明: 对任何非零自然数 n , 1212323-++n n n ，都是整数, 并用 3 除余 2。
第十三届华罗庚杯数学竞赛初一考试试题
第十三届华罗庚杯数学竞赛初一试题1、一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示为。
2、某种皮衣标价为1650元，若以8折降价出售仍可盈利10%（相对于进价）那么若以标价1650元出售，可盈利元。
3、求多位数111……11（2000个）222……22（2000个）333……33（2000个）被多位数333……33（2000个）除所得商的各个数上的数字的和为。
4、计算（1/（1×2）+2/（1×2×3）＋3/（1×2×3×4）＋......＋9/（1×2×3× (10)的值为。
5、一只船顺流而行的航速为30千米/小时，已知顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船顺水漂流1小时的航程为（）千米。
6、某电视机厂计划15天生产1500台，结果生产5天后，由于引进新的生产线生产效率提高25%，则这个电视机厂会提前（）天完成计划。
7、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（）种不同的选法。
8、某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…当将这些页码相加时，某人把其中一个页码错加了两次，结果和为2001，则这书共有（）页。
9、现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。
10、三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件。
他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务全部完成时，张强才加工了160个，王充还有48个没有加工。
当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有__个零件没有加工。
11、有一块表在10月29日零点比标准时间慢4分半，一直到11月5日上午7时，这块表比标准时间快了3分钟，那么这块表正好指向正确的时间是在11月日时。
12、一个水箱中的水以等速流出箱外，观察到上午9：00时，水箱中的水是2/3满，到11点，水箱中只剩下1/6的水，那么到什么时间水箱中的水刚好流完？（）13、清华大学附中共有学生1800名，若每个学生每天要上8节课，每位教师每天要上4节课，每节课有45名学生和1位教师，据此请推出清华大学附中共有教师名？14、某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班四道题都对的同学至少有人？15、一个数先加3，再除以3，然后减去5，再乘以4，结果是56，这个数是_______。
华罗庚竞赛数学题
1. 有一个人有100块要买100头牛公牛3块一头，母牛2块一头，小牛一块钱2头。
可以买公牛母牛小牛各几头？2.甲、乙两个建筑队共同修筑3000米的一段公路。
当甲队完成所分任务的4/5，乙队完成所分任务的2/3时，还剩920米的任务没有完成。
甲、乙两队的修路任务各是多少米？3.搬运一个仓库的货物,单独运,甲需10小时,乙需12小时,丙需15小时.有同样货物的仓库A 和B,甲在A仓,乙在B仓同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又去帮助乙搬运,恰巧两个仓库同时被搬完,丙帮助甲搬运了几小时?4.某学校入学考试。
有1000人报考，录取了150人。
录取者的平均成绩是55分。
录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分。
问录取分数线是多少分？5.六次数学测验的平均分是A，后4次的平均分比A提高了3分。
第一次、第二和第六这三次平均分比A降低了2.6分，那么前5次平均分比A（提高、降低）多少分？6.一个圆柱体,如果底面半径增加3厘米,侧面积就增加75.36平方厘米,如果高增加3厘米,侧面积就增加94.2平方厘米.圆柱体原来体积是多少?7.ABC三人原来共有存款3460元,由于A取出380元,B存入720元,C存入他原来存款数的1/3,现在三人存款数的比是5:3:2。
A,B,C,三人现在存款各是多少元?8.甲班人数是乙班的1.4倍，如果从甲班调9人到乙班，人数就相等了。
甲乙原来各有多少人。
9.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？10.某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？11. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比.12. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？13. 有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池.这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？14. 小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？15. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车.16. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？____________________________________________________1、一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示为。
第11-17届初一华杯赛试题及答案
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（初一组）（时间2006年3月18日10：00～11：00）一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
（每小题6分）1、下面用七巧板组成的六个图形中，有对称轴的图形为（）个（不考虑拼接线）（A）5 （B） 2 （C）3 （D）42、有如下四个命题：①最大的负数是－1；②最小的整数是1；③最大的负整数是－1；④最小的正整数是1；其中真命题有（）个（A）1个（B）2 个（C）3个（D）4个3 、如果a，b，c均为正数，且a（b＋c）＝152，b（c＋a）＝162，c（a＋b）＝170，那么abc 的值是（）（A）672 （B）688 （C）720 （D）7504、下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和右视图，图中单位为厘米。
立体图形的体积为（）立方厘米。
（A）2π（B）2.5π（C）3π（D）3.5π俯视图左视图正视图5、甲、乙两轮船在静水中航行的速度分别为是v1，v2，(v1＞v2)，下游的A港与上游的B港间的水路路程为150千米。
若甲船从A港，乙船从B港同时出发相向航行，两船在途中的C点相遇。
若乙船从A港，甲船从B港同时出发相向航行，两船在途中D点相遇,已知C、D间的水路路程为21千米。
则v1∶v2等于（）（A ）4155（B ）4357 （C ）4559 （D ）47616、有一串数：1，22，，33，44，……，20042004，20052005，20062006。
大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和，并且记为a ，小光计算余下的1003个数的末位数字之和，并且记为b ,则a －b =（ ）。
（A ）－3 （B ）3 （C ）－5 （D ）5二、A 组填空题（每小题8分）7、如图，以AB 为直径画一个大半圆。
BC =2AC分别以AC ，CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积之比等于___。
华罗庚数学竞赛题
华罗庚数学竞赛题一、数论部分1. 求满足方程x^2+y^2=z^2，x,y,z∈ N且x + y+ z = 1000的所有正整数解。
- 解析：- 已知x^2+y^2=z^2，x + y+ z = 1000，由x^2+y^2=z^2可联想到勾股数的关系。
- 设x = k(m^2-n^2),y = 2kmn,z = k(m^2+n^2)（m,n,k∈ N，m > n，m,n互质且m - n为奇数）。
- 代入x + y+ z = 1000得k(m^2-n^2+2mn + m^2+n^2)=1000，即2k(m^2+mn)=1000，k(m^2+mn) = 500。
- 通过试值法，当k = 1，m = 20，n = 5时，x=375,y = 200,z = 425等多组解。
2. 证明：对于任意正整数n，n^5-n能被30整除。
- 解析：- n^5-n=n(n^4 - 1)=n(n^2+1)(n^2-1)=n(n - 1)(n + 1)(n^2+1)。
- 因为n(n - 1)(n+1)是三个连续整数的乘积，所以一定能被6整除。
- 当n = 5k时，n^5-n能被5整除；当n=5k±1时，n^2+1=(5k±1)^2+1 = 25k^2±10k + 2能被5整除；当n = 5k±2时，n^2+1=(5k±2)^2+1=25k^2±20k + 5能被5整除。
所以n^5-n能被5整除。
- 因为n^5-n既能被6整除又能被5整除，所以能被30整除。
二、代数部分3. 已知a,b,c是实数，且a + b + c=0，abc = 1，求证：a,b,c中至少有一个大于(3)/(2)。
- 解析：- 不妨设a是a,b,c中的最大者，由a + b + c = 0得b + c=-a，bc=(1)/(a)。
- 则b，c是方程x^2+ax+(1)/(a)=0的两个根。
历届华罗庚金杯赛试题与答案(初中)
图4
8．0，1，2，3，4，5，6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成有
一位数和两位数的整数算式．问填在方格里的数是几?
○×○ = □ = ○÷○
9．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了 4 盘， 乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁赛了 l 盘．问小强赛了几盘? 10．有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样
6、6 7、29 8、8 点 11 分 9、19 10、0 16、40 17、 2.718281 18、10 19、108
复赛简略答案 1、85 2、392 3、37.5 4、5000 5、5 11、8/9 12、8 点 32 分 13、162 14、84
6、2.5
7、0.2
பைடு நூலகம்
8、12
9、2
10、4/9
25 20
4．在一条公路上，每隔一百千米有一个仓库，共有五个仓库．一号仓库存有 10 吨货物，
二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所
30
有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一千米需要 0.5 元的运费，那么最少
图3
要花多少运费才行?
5．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1，问这个数除以 12 的余数是几?
图6
棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下．小明回来仔细察看了一番，没有发现
有人动过这些盒子和棋子．问共有多少个盒子? 12．如图，把 1.2、3.7、6.5、2.9、4.6 分别填在五个○内．再在每个□中填上和
它相连的三个○种的数的平均值，再把三个□中的数的平均数填在△中，找一个
第十三届“华杯赛”小学组决赛试题答案
圖1第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（小学组）一、填空(每题10分，共80分)注：第6题，每答对1个给5分.二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)9. 答案：2900元.解答： 根据已知条件，五种职位的月薪分别为：A, B, C, D 和E , 那么：A+B =3000 (1)B+C =3200 (2)C+D =4000 (3)D+E =5200 (4)E+A=4400 (5)(5)-(1) 得：E -B =1400, (4)-(3)+(2) 得：E +B =4400. 因此E =2900（元）. 因此，主任的月薪为2900元.评分参考：①每列对一个方程给1分；② 正确解出方程给5分.10. 解答：54)444(=÷+⨯,64)44(4=÷++,74444=÷-+,84444=-++,94444=÷++.评分参考：答案不唯一,每列对一个算式给2分.11. 答案：49.5 cm 2.解答：如图1，连接AC ，FG ，那么四边形ACGF 是梯形，三角形ACF 和三角形CAG 同底同高, 因而面积相等, 因此有6cm C H G A H F S S ∆∆==2（）；（2分） 由于11116cm 2236CHG S CH CG CF CG CG CG ∆=⨯=⨯⨯=⨯=2（）. 因此，6cm CG =；（2分）因为62313122121==⨯=⨯=⨯⨯=⨯=∆AD AD CG AD CF AD CH AD FH S AHF (cm 2),（2分） 因此，3=AD cm. 易得3cm FD CF CD CG AD =-=-=，所以5.4933213366=⨯⨯+⨯+⨯=++=∆ADF CGEF ABCD ABGEF S S S S (cm 2). （4分） 注：不做参考线，通过下面推导同样可以得出6cm CHG AHF S S ∆∆==2（）, BC AB CG AB BC CG AB S ABG ⨯+⨯=+=∆2121)(21 ABCF S BC AB CF BC AB CF BC =⨯+=⨯+⨯=)(212121. 四边形ABCF 和三角形ABG 有公共的部分四边形ABCH ，因此6cm CHG AHF S S ∆∆==2（）评分参考：①可依据上述的采分点给分; ② 仅有正确(或猜出)答案，无过程，只给2分.③ 步骤正确，推导合理，计算错误，适当给分.12. 答案：111111, 102564.解答：设abcde x =，依题意得100000(10)f x f x f +=+.（3分）整理得：(101)(100000)f x f f -=-，其中19f ≤≤.当1f =时，999999x =，所以11111x =，即111111abcdef =；3分）当4f =时，39499996x =⨯，所以10256x =，即102564abcdef =；（3分）当2,3,5,6,7,8,9f =时，x 无整数解. （5分）因此,满足条件的六位数是111111和102564.（1分） 评分参考：①列出解式, 给3分; ②能给出全部求解过程,并判断正确,共给11分; 计算错误,适当减分; ③最后给出正确答案，给1分; ④仅给出正确答案，给5分.三、解答下列各题 (每题15分，共30分, 要求写出详细过程)13. 答案：甲共走了11266分钟, 乙走了77593833米. 解答：记跑道周长为l ，则甲的速度为4l ，乙的速度为7l .甲走完10圈需40分钟，乙走完10圈需70分钟,同向行进时，甲两次相邻追上乙（同向而行的相邻两次击掌的时间间隔）所需时间为32874=-l l l分钟；（2分）. 相向行进时，甲、乙二人相遇（击掌）到下一次相遇所需时间为112874=+l l l分钟；（2分）. 所以在开始40分钟里，即甲走完10圈时，二人击掌的次数为小于32840÷的最大整数次,即4次.（2分）第40分钟时，乙已走过的路程为l l 740407=⨯，所以甲和乙相距（根据题意，较短的那段）的路程为l 72；（1分）.从此开始，甲改变行进方向，甲乙相向而行，所以，二人到第5次相遇（击掌）时需 282811711⨯= 分钟；（1分）.接下来，二人还需要相遇（击掌）10次，需时 28280101111⨯=分钟，（1分）.因此，二人到第15次相遇（击掌），需要828024066111111++= 分钟.（3分） 因此，甲行走共享了26611分钟，此时，乙行走也用了26611分钟，因此，乙行走了24007385966383371171177l ⨯=⨯=米.（3分） 评分参考：①可依据上述的采分点给分；② 仅有正确（或猜出）答案，无过程，两问都对，只给3分. ③ 步骤正确，推导合理，计算错误，适当给分.14. 答案：647、638和836.解答：① 因为 “梦”、“想”、“成”和“真”代表2、3、4、5、6、7和8中 4个不同的数字，并且“梦想成真”所代表的四位数能被9整除，因此它们代表的数字的和也能被9整除，并且由于13<“梦”+“想”+“成”+“真”<27，所以“梦”+“想”+“成”+“真”＝18. （5分）② 由1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45和“北”+“京”+“梦”+“想”+“成”+“真”＝1+9+18=28, 可以得到“奥”＋“运”＋“会”＝17，从而“奥”、“运”和“会”所代表的3个不同的数字相应地就应当是：{4,6,7}、{4,5,8}、{3,6,8}和{2,7,8}. （5分）③ 由{4,6,7}、{4,5,8}、{3,6,8}和{2,7,8}四组数，可以组成24个三位数，分别乘9，仅有647×9＝5823，638×9＝5742，836×9＝7524符合要求，即算式中的8个数字不同，没有1和9.所以，“奥运会”所代表的三位整数是647、638和836. （5分） 评分参考：①能给出全部推断过程，分析正确，每步骤给5分；②推理正确，分析合理，但计算错误，适当减分；③仅给出正确答案，给5分.。
华罗庚金杯数学邀请赛决赛初一组练习题含答案
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组) 总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组·练习用）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）1. 点O为线段AB 上一点， AOC 10 ， COD 50 ，A O B则 BOD 或．2018 12k2.已知m＞0 ，且对任意整数k，均为整数，则m 的最大值为．3m3. [x]表示不超过x 的最大整数，如[ 1.3] 2 ，[1.3] 1．1 2 9[a ] [a ] K [a ] =4已知，则a 的取值范围是．10 10 104. 使 2n 1和 11n 121 都是平方数的最小正整数n 为．5. 在3 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的三数之和都相等．如图，有 3 个方格已经填的数分别为 3，10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等于．6. 已知某三角形的三条高线长a，b，c 为互不相等的整数，则a b c 的最小值为．7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数的和为 17，共有种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字的顺序，视为相同的分法．)abc8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，则的最小值为．4ab 2bc 3ca第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年年初交 10 万元，第 6 年年初返 6 万元，以后每年处返 1.5 万元；方案二：购买一款年利率5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款10 万元，接下来两年每年年初追加本金 10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更划算？请说明理由．（参考数据：1.054 1.053 1.052 =3.47563125）10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整的一个“角”，考古专家判定D ，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ，D 两个顶点之间隔有一个顶点．经过测量 CDE 135 ，DE 13厘米．原正多边形的周长是多少厘米？11. 一筐苹果，若分给全班同学每人 3 个，则还剩下 25 个；若全班同学一起吃，其中 5 个同学每人每天吃 1 个，其他同学每人每天吃 2 个，则恰好用若干天吃完．问筐里最多共有多少个苹果？12. 给定一个 5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续 3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格）．如果开始时所有25 个小方格均为白色，请问：能否经过8 次这样的操作，使得5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图所示），且任何一个小方格在前 4 次操作中至多变色 1 次？如果能，请给出一种操作方案（直接画出第 4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）；如果不能，请给出证明．三、解答下列各题（每小题15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 求证：不存在 3 个有理数的平方和等于 15．14. 如图，一个由 41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任意 8 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都有恰好 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染成黑色？第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中一年级组）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 80.5≤a＜ 0.41202答案或或者264 11040 9 10531400.4≤a＜0.5二、解答下列各题（每小题10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 【答案】：方案二更划算.解：方案二，第 4，5 年年初将之前的本息全部续存，到第 6 年年初时，共有本息10 (1 5%)5 10 (1 5%)4 10 (1 5%)3 ≈10.5 3.4756≈36.5（万元），提取 6 万元后仍有约36.5 6 30.5（万元）可不断续存，以后每年可提取利息约30.5 5% 1.525 （万元）．在前期投入及回报一致的情况下，显然比方案一以后每年返1.5万元划算．而且方案二还可以随时提取或部分提取30.5万元储蓄用于应急或者选择其它更理想的理财方式，而方案一无此选择权．综上所述，方案二更划算．10. 【答案】156 厘米【解答】如图，设原图是正n 边形，其中C ，D 间的顶点为 F ，连接CF ，DF ，则(n 2 )CFD FDE 180 ，n因为 C F F D，1 8 0 C F D 1 8所以 C D F F C D ，2 n- 1 -n 3C D E F D E F D C 1 80 1 3，所以n解得n 12 ．所以原本多边形是正 12 边形，周长为13 12=156（厘米）．11. 【答案】130.【解答】解答1：设全班同学有n 人，根据题意，3n 25是2n 5的倍数，则30n2n5数．为整n n30 1 2 5 65 1 65又 1∵，2 5 2 2 5 2 2 5n n n65∴是奇数，2n 5∴ 2n 5最大为 65，n 最大为 35，∴筐里最多共有3 35 25 130个苹果．解答2：设全班同学有n 人，根据题意，3n 25是2n 5的倍数，则30n2n5数．为整记n 302n 5k ，k 为正整数，则n 30 k(2n 5) ，两边同乘2，得到2n 60 2k(2n 5) ，2n 60 2n 5 65， 2n 5 65 2k(2n 5) ，(2k 1)(2n 5) 65 5 13．2k 1 1时，2n 5 65，n 35，2k 1 5时，2n 5 13，n 9 ，2k 1 13时，2n 5 5，n 5，2k 1 65时，2n 5 1，n 3，n 为 35 时，苹果数最多，此时筐里的苹果数为35 3 25 130．12. 【答案】可以【解答】操作如下：（1）经过 4 次操作可染成如下：- 2 -第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)，（2）继续操作第 5次 第 6次 第 7次 第 8次三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 证明：注意到( x )2 x 2 ，只需考虑非负有理数的平方和．假设存在 3 个有理数n m ， q p ， t k ，其中 m ，n ，p ，q ，k ，t 是自然数， 且(m ，n ) 1，( p ，q ) 1，(k ，t ) 1，使得15 ( n )2 ( q )2 ( t )2，m p k那么15m 2n 2 p 2 (npk )2 (mqk )2 (mpt )2 ，即15d 2 a 2 b 2 c 2 ，其中 a ，b ，c ，d 是自然数．（1）如果 d 为偶数，那么经过有限次如下步骤，可使得 d 为奇数．假设 d 2d ，若 a ，b ，c 两奇一偶，则 a 2 b 2 c 2 被 4 除余 2，而15d 2 被 41整除，矛盾！所以 a ，b ，c 都是偶数，故令 a 2a ，b 2b ，c 2c （11 1 a ，b ，c1 1 1 都是自然数），所以15d2 a 2 b 2 c 2（其中 1 1 1 1a b c ab c ）．如果 d 还 1 1 1 1是偶数，类似上述讨论，经过有限次后可得到奇数．（2）如果 d 为奇数，即 d 2r 1（ r 是自然数），那么15d 2 15(2r 1)215 4r (r 1) 1 ，即15d 2 被 8 除余 7． 另一方面，若 a ，b ，c 为三个奇数，那么 a 2 b 2 c 2 被 8 除余 3；若a ，b ，c 为两偶一奇，那么 a 2 b 2 c 2 被 8 除余 1 或 5；- 3 -。
初一数学历年“华罗庚杯”竞赛试题
初一数学试题集
初一数学
历年“华罗庚杯”竞赛试题
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二〇〇九年九月十六日
第一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试试题（初一组）
［初一组］第一届“华杯赛”数学第２试答案
第二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试试题（初一组）
第二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试试题参考答案（初一组）
第二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛二试试题（初一组）
第二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛二试试题参考答案（初一组）
第三届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试试题参考答案（初一组）
［初一组］第三届“华杯赛”数学第１试答案
第三届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛二试试题（初一组）
第三届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛二试试题参考答案（初一组）
［初一组］第四届“华杯赛”数学第１试
第四届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试试题参考答案
第四届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛二试试题（初一组）
第四届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛二试试题参考答案（初一组）
第五届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试试题（初一组）
第五届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试试题参考答案（初一组）
［初一组］第五届“华杯赛”数学第２试
第五届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛二试试题参考答案（初一组）
［初一组］第六届“华杯赛”数学第１试答案
［初一组］第六届“华杯赛”数学第２试。
第十三届华罗庚杯数学竞赛初一试题.doc
第十三届华罗庚杯数学竞赛初一试题1、一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示为。
2、某种皮衣标价为1650元，若以8折降价出售仍可盈利10%（相对于进价）那么若以标价1650元出售，可盈利元。
3、求多位数111……11（2000个）222……22（2000个）333……33（2000个）被多位数333……33（2000个）除所得商的各个数上的数字的和为。
4、计算（1/（1×2）+2/（1×2×3）＋3/（1×2×3×4）＋......＋9/（1×2×3× (10)的值为。
5、一只船顺流而行的航速为30千米/小时，已知顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船顺水漂流1小时的航程为（）千米。
6、某电视机厂计划15天生产1500台，结果生产5天后，由于引进新的生产线生产效率提高25%，则这个电视机厂会提前（）天完成计划。
7、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（）种不同的选法。
8、某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…当将这些页码相加时，某人把其中一个页码错加了两次，结果和为2001，则这书共有（）页。
9、现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。
10、三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件。
他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务全部完成时，张强才加工了160个，王充还有48个没有加工。
当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有__个零件没有加工。
11、有一块表在10月29日零点比标准时间慢4分半，一直到11月5日上午7时，这块表比标准时间快了3分钟，那么这块表正好指向正确的时间是在11月日时。
12、一个水箱中的水以等速流出箱外，观察到上午9：00时，水箱中的水是2/3满，到11点，水箱中只剩下1/6的水，那么到什么时间水箱中的水刚好流完？（）13、清华大学附中共有学生1800名，若每个学生每天要上8节课，每位教师每天要上4节课，每节课有45名学生和1位教师，据此请推出清华大学附中共有教师名？14、某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班四道题都对的同学至少有人？15、一个数先加3，再除以3，然后减去5，再乘以4，结果是56，这个数是_______。
华罗庚杯竞赛题初中
华罗庚杯竞赛题初中
（原创版）
目录
1.华罗庚杯竞赛简介
2.华罗庚杯竞赛题目：初中阶段
3.华罗庚杯竞赛对初中生的意义
4.如何准备华罗庚杯竞赛
正文
【华罗庚杯竞赛简介】
华罗庚杯竞赛，是以我国著名数学家华罗庚先生命名的一项全国性数学竞赛，旨在激发青少年学习数学的兴趣，培养他们的数学思维能力和创新能力。
该竞赛分为小学、初中、高中三个阶段，每年在不同地区举行。
【华罗庚杯竞赛题目：初中阶段】
初中阶段的华罗庚杯竞赛题目涵盖了初中数学课程的全部内容，包括代数、几何、组合等。
题目难度适中，既有基础题型，也有提高题型。
这样的设置旨在考察学生的数学基本功和解题能力。
【华罗庚杯竞赛对初中生的意义】
对于初中生来说，参加华罗庚杯竞赛有重要的意义。
首先，它可以激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性。
其次，通过竞赛，学生可以了解自己的数学水平，找出自己的不足之处，从而提高自己的数学能力。
最后，如果取得好成绩，还可以为学生的升学简历增色。
【如何准备华罗庚杯竞赛】
要参加华罗庚杯竞赛，首先要打好数学基础，这包括熟悉课本内容，掌握基本概念和定理。
其次，要多做题目，通过做题来提高解题能力。
同
时，也要关注竞赛动态，了解竞赛的规则和题型，以便更好地应对竞赛。