南昌大学概率论与数理统计课件练习四

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概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解：由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

概率论与数理统计第四章习题解

7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002

概率论与数理统计ppt课件

04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称。
概率
衡量事件发生可能性的数值，通常表示为0到1之间的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种特性，然后通过样本信息来判断这个假设是否合理。
双侧检验
当需要判断两个假设是否相等时，如总体均值是否等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变量。
方差
衡量随机变量取值分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两种变异，得出因素的显著性。

【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望和方差

8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终，显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件

概率论与数理统计完整ppt课件

化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布，如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概率论中，分别定义了X_1的边缘分布、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据的数据集合，样本是总体的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况，如均值、中位数、标准差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的未知参数，如均值、方差等。
点估计
用样本统计量作为总体参数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计区间，表示对总体的参数有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的

《概率论与数理统计》课件

频数
17 20
10
2
1
入则参数的极大似然估计值为 ( )．
A1
B2
C3 D4
提交
设9八是9 的极大似然估计,g(9)是9函数,
若g(9)具有单值反函数,则g(9)的极大似然估计
为g(9八).
例 4 设总体X 的概率分布为
X
12
3
p
92 29(1−9) (1−9)2
现在观察容量为 3 的样本，观测值分别为 1 ，2 ，1，
n
9k ) = ln p(xi ;91 ,92
9k );
, i=1
(三) 对9i求偏导,然后令其为零,得到方程组
? ln L(91 ,92 ,
)
?9i
9
k = 0,
i = 1, 2,
k
解方程组得 (i = 1,2, , k) 则为9i的极大似然估计量.
X ~ B(1, p), X1 , X2 , , Xn
其中入> 0, 山 > 0 为未知参数，求参数入, 山的矩估计．
解设X1 , X2 , , Xn 为来自总体X 的一个样本，由于总体中
包含了两个未知参数，因此考虑总体的一阶、二阶原点矩，
1
j j EX = xf (x)dx = x入e −入(x−山)dx =山+ 入
2
j j EX2 = x2 f (x)dx = x2入e−入(x−山)dx = 山+ 1 + 1
矩估计量为( )．
A)
n −1
n
(Xi − X)2
i=1
1n
n C)
Xi 2
i=1
A
C
B) n −1 n Xi 2 i=1

概率论与数理统计课件(4-2)

测量结果的均值都是 a
a

甲仪器测量结果

a
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：
3. 计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
即
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .

x e
2

x
2
2
dx 1
若X ~ N (0,1), 则
E ( X ) 0, D( X ) 1
若X ~ N ( , )，则Z
2
X

~ N（0， 1）
E ( Z ) 0, D( Z ) 1
而X Z ,由数学期望和方差的性质得
E ( X ) E (Z ) E ( Z ) E ( )
下面我们举例说明方差性质的应用 . 例6 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解 X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 若设 X i 0
n
如第i次试验成功如第i次试验失败
i=1,2，…，n
则 X X是n次试验中“成功” 的次数 i
i 1
可知X i 是0 1分布，所以

概率论与数理统计数学PPT课件

i 1
i 1
且 fn (A) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
13
(二) 概率
定义1：fn ( A)的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 0 P( A) 1
2。 P(S) 1
k
k
3。若A1, A2,…,Ak两两互不相容，则 P( Ai ) P( Ai )
3
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；
①，②，…，n
Ak
)
a n
a
a}，Ak
b
{ ①，②，…，a
}
无关，且与 a， b都无关，若a ＝0呢？对吗？
为什么？
不是等可能概
记第k次摸到的球的颜色为一样本点：
型
S＝{红色,白色}，Ak {红色} P( Ak ) 1 2 22
例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?
----------与k无关
21
解2：
视哪几次摸到红球为一样本点
, , ,, 12 k n
总样本点数为
Cna
，每点出现的概率相等，而其中有
C a1 n 1
个
样本点使 Ak
发生，
P( Ak )

概率论与数理统计教程第四章优秀PPT

k1
0.5 npq
np
注意点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为

概率论与数理统计ppt课件(完整版)

*
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件：事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件为可列个事件A1, A2, ...的积事件.

概率论与数理统计自学课件第四章

0 0
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章随机变量的数字特征
一、数学期望二、方差三、协方差和相关系数四、矩和协方差矩阵
第一节数学期望
一、数学期望的概念二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、几种离散型分布的期望五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？

概率论与数理统计第四版ppt精选课件

子弹都未打中}＝C （3〕{三发子弹恰有一发打中目标}＝D （4〕{三发子弹至少一发打中目标}＝E （5〕{三发子弹至多一发打中目标}＝F
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第一章概率论的基本概念
§3 频率与概率
(一) 频率的定义和性质定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
(2) B2 = (A1∪A3)( A2∪A4)
第一章概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
例3 在S4 中（测试灯泡寿命的试验）
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品”
事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品”
则 A与B是互为对立事件； A与C是互不相容事件；
这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 .
也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档. 这时，样本点有（高,高）, （高,中），…，(低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 .
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第一章概率论的基本概念
二随机事件
§2 样本空间随机事件
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件，记作 A, B, C 等等；
第一章概率论的基本概念
§1 随机试验
§1 、随机试验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
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其典型的例子有 E1：抛一枚硬币两次，观察正面H（Heads）、