1.2.1 三角函数线 教案(优秀经典公开课比赛教案)
1.2.1 三角函数线 教案 (1)(优秀经典公开课比赛教案)
1.2.1 三角函数线一、教学目标：知识与技能：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
过程与方法：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
情感、态度与价值观通过任意角的三角函数定义学习，让学生体会数形结合的思想方法，帮助学生形成科学的世界观、价值观。
二．重点难点重点：正弦、余弦、正切线的概念。
难点：正弦、余弦、正切线的利用。
三、教材与学情分析利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程1.导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.新知探究（1）提出问题：问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P 作x 轴的垂线,垂足为M;过A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标.显然,线段OM 的长度为|x|,线段MP的长度为|y|,它们都只能取非负值.当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段:如果x>0,OM 与x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果x<0,OM 与x 轴正向相反(即反向), 规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.如果y>0,把MP 看作与y 轴同向,规定此时MP 具有正值y;如果y<0,把MP 看作与y轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段. 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有sin α=r y =1y =y=MP, cos α=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tan α=x y =OAAT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段.（2）提出问题：问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.讨论结果:①略.②略.（3）学以致用例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.活动:根据三角函数线的定义可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=A T,sinβ=NQ,cosβ=ON,tanβ=A T′.答案:MP OM AT NQ ON A T′点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.变式训练1.利用三角函数线证明｜sinα｜+｜cosα｜≥1.解:当α的终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于r,所以｜sinα｜+｜cosα｜=1.当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有｜sinα｜+｜cosα｜=｜OM ｜+｜MP ｜>1,∴｜sinα｜+｜cosα｜≥1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合: (1)sinα=21;(2)sinα≥21. 活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sinα=y,所以要作出满足sinα=21的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为21的点A,则OA 即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sinα=21的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.解:(1)作直线y=21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 为角α的终边,如图8所示.故满足条件的角α的集合为{α|α=2kπ+6π或α=2kπ+65π,k ∈Z }. (2)作直线y=21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 围成的区域(如图中的阴影部分) 即为角α的终边所在的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+6π≤α≤2kπ+65π,k ∈Z }. 点评:在解简单的特殊值(如±21,22等)的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线),一般情况下,用(0,2π)内的角表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来. 例2. 求下列函数的定义域:(1)y=log sinx (2cosx+1); (2)y=lg(3-4sin 2x).活动:先引导学生求出x 所满足的条件,这点要提醒学生注意,研究函数必须在自变量允许的范围内研究,否则无意义.再利用三角函数线画出满足条件的角x 的终边范围.求解时,可根据各种约束条件,利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围,写出适合条件的x 的取值集合.解:(1)由题意,得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->≠>>+≠>21cos ,1sin ,0sin ,01cos 2,1sin ,0sin x x x x x x ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<<-+≠+<<,322322,22,22πππππππππk x k k x k x k (k ∈Z ). ∴函数的定义域为{x|2kπ<x<2kπ+2π或2kπ+2π<x<2kπ+32π,k ∈Z }. (所求x 的终边所在的区域如图中的阴影部分所示)(2)∵3-4sin 2x>0,∴sin 2x<43.∴23-<sinx<23. ∴x ∈(2kπ3π-,2kπ+3π)∪(2kπ+32π,2kπ+34π)(k ∈Z ),即x ∈(kπ-3π,kπ+3π)(k ∈Z ). (所求x 的终边所在的区域如图中的阴影部分所示)变式训练2. 求函数y=1-2cosx 的定义域. 解:要使函数有意义,需满足2cosx-1≥0,所以cosx≥21. 故由余弦函数线可知函数的定义域为［2kπ-3π-,2kπ+3π］,k ∈Z . 六、课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义,这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段,其之所以特殊,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示. 三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或证明三角不等式,求函数的定义域以及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.七、课后作业课时练与测八、教学反思教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角函数定义解读三角函数线,让学生在解题应用中感受数形结合思想。
任意角的三角函数-课件1PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
m5
m5
m ________．
（4）若角 旳终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
（5）角 旳终边在直线 y 2x上，求 旳六个三
角函数值．
正弦上为正， 余弦右为正， 正切余切一三正， 其他为负不为正
例２:
1、判断下列各三角函数旳符号 A.260 B. 4 C. 672 10 D.11 3
2、若sin 0且 tan 0，那么是第几象限角？
3、已知是第三象限角，试判定： sin( cos ) cos(sin )的符号
练习:
（1）若角 终边上有一点P 3，0，则下列函数值不
§1.2.1 任意角旳三角函数
设 是任意角， 旳终边上任意一点 P旳坐标是x，y，
当角 在第一、二、三、四象限时旳情形，它与原点
旳距离为 r ，则 r x 2 y 2 x2 y2 0 ．
任意角旳三角函数
1、定义：
①比值 y 叫做 旳正弦，记作sin ，即 sin y ．
r
r
x
②比值
叫做
旳余弦，记作cos ，即cos
Байду номын сангаас
x
．
r
r
③比值 y 叫做 旳正切，记作tan，即 tan y ．
x
x
④比值 x 叫做 旳余切，记作cot ，则 cot x ．
y
y
⑤比值 r 叫做 旳正割，记作sec ，则 sec r ．
x
x
⑥比值 r 叫做 旳余割，记作csc ，则csc r ．
y
y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都 看成是以角为自变量，以比值为函数值旳函数，以上 六种函数统称三角函数．
人教版高中数学任意角的三角函数——三角函数线教案word版
人教版高中数学任意角的三角函数——三角函数线教案word版
1.积极响应新课标教学理念，把课堂教给学生，提倡学生自主学习.在新课标教学理念指导下，充分发挥多媒体的优势，既丰富三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，提高学生的探索精神、创新意识.
2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动.
3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学.苏XX说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！。
高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;根据任意角的三角函数的定义认识其定义域,能够判断三角函数值的符号.
2、过程与方法:
学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义,体验三角函数概念的形成、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,渗透函数思想和数形结合的思想方法.
3、情感态度价值观:
通过学生积极参与知识的“再创造”过程,从中感悟数学概念的严谨性与科学性.
2学情分析
对于学习任意角三角函数而言,学生的认知困难主要体现在用终边上点的坐标表示三角函数,把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
3重点难点
1、教学重点
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
2、教学难点
用角终边上点的坐标定义任意角的三角函数.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、设置情境引入新课
情景1.感受生活中周期性现象:周二的七天一循环、一岁一枯荣的小草、摩天轮等。
〖2021年整理〗《三角函数线》优秀教案
单位圆与三角函数线--预习案班级： 小组： 姓名： 教师评价：【使用说明】1.认真阅读课本15-17页，用红笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答问题；2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑【预习目标】1.通过阅读文本，自主归纳三角函数线的定义；2.尝试画出给定角的三角函数线。
【问题导学】1.什么是单位圆？如图是一个以原点O 为圆心的单位圆，作出圆上一点P 在x 、y 轴上的正射影.2.设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),,tan x y r r x αα== (当x ≠0时).在单位圆中画出角α的终边分别在第一、二、三、四象限的三角函数线。
思考： 3.三角函数线与三角函数值有什么关系？【思考】三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么关系？4.（1）当角α的终边在x 轴上时，正弦线、余弦线、正切线的数量分别是什么？（2）当角α的终边在y 轴上时，正弦线、余弦线、正切线的数量分别是什么？（3）正切线始点坐标是什么？【预习自测】1、若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1； ②单位圆与x 轴的交点为（1,0）；③过点（1,0）的单位圆的切线方程为x=1； ④与x 轴平行的单位圆的切线方程为y=1；以上结论正确的为2、已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（ ）A 在x 轴B 在y 轴上C 在直线y=x 上D 在直线y=-x 上3、如图，分别画出下列各角的三角函数线.（1）3π （2）32π-我的疑惑：单位圆与三角函数线---探究案【学习目标】进一步探究三角函数线，总结并归纳用三角函数线比较大小、求角的范围的规律和方法，体会数形结合的数学思想.【课程核心】重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值；难点：用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
探究一：作三角函数线1、分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线.(1)65π (2) 613π-探究二：利用三角函数线求角的范围2、在单位圆中画出适合下列条件的角α的三角函数线，并写出角α.(1) 3sin =α (2) 1cos =α (3) 1tan =α【拓展一】 已知21sinx ≥，求x 的取值范围.探究三：利用三角函数线比较大小(1) 3sin π与5sin π (2) 5tan 3tan ππ与【拓展二】利用三角函数线求下列函数的定义域.（1）2sin 2-=x y （2）)cos 21lg(x y -=规律方法总结： M。
1.2.1单位圆与三角函数线(讲授课)
利用三角函数线比较三角函数值的大小：
规律方法： 利用三角函数线比较三角函数值的 大小时，一般分三步：
①在单位圆中作出各角的三角函数线，角的位
置要“对号入座”；
②比较三角函数线的长度；
③确定有向线段的正负.
跟踪演练 1 是
2 6 2 sin 5 π ， cos 5 π ， tan 5 π 从小到大的顺序 .
(Ⅰ) x>0,y＝0
10
三角函数线的意义
sin MP cos OM tan AT
α的 终边
y P
M O
y
T P
α的 终边 A(1,0)
A(1,0)
T
x
O
M
x
当角α的终边与 y轴重合时,余弦 线变成一个点, 正切线不存在, 此时角α的正切 值不存在.正弦 值为1或-1;
(Ⅱ) x<0,y＝0
2 x－ 2 的定义域.
解：
π 3 . x |2 k π ＋ ≤ x <2 k π ＋ π ， k ∈ Z 即定义域为 3 4
利用三角函数线求函数的定义域
规律方法： 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式
(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三
(k∈Z)，
即
π π x∈nπ－3，nπ＋3
(n∈Z).
练习题：
1.角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符 号相异，那么α的值为(
π A.4 3π B. 4
) D
7π C. 4 3π 7π D. 4 或 4
2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( C )
高中数学第一章三角函数1.2.1.2三角函数线教案新人教A版
1.2.1.2 三角函数线1.知识与技能(1)通过实例,了解有向线段的含义.(2)理解三角函数的几何意义——三角函数线.(3)掌握利用三角函数线解简单的三角不等式,比较三角函数值的大小.2.过程与方法(1)让学生经历从实例中理解三角函数的几何意义.(2)让学生体会数形结合思想的灵活运用.3.情感、态度与价值观通过学生亲自动手操作,逐步培养出从实际出发,通过尝试、观察、归纳、抽象和概括,达到感性向理性的升华.重点:三角函数的几何意义的理解.难点:三角函数的几何意义的应用.(1)重点的突破:在教学过程中,建议让学生明确以下三个方面:①三角函数线的数量.当三角函数线与坐标轴平行时,我们可根据三角函数线的方向与数轴的方向相同或相反,分别把它的长度加上正号或负号,这样所得的数,叫做三角函数线的数量.②正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示,它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴(或与坐标轴重合)的有向线段.③在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还可以从图形角度考察任意角的三角函数,即用有向线段表示三角函数值,这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.(2)难点的解决:考虑到三角函数线的应用有一定的难度,教学时可结合一些具体的例子,通过问题的由浅入深的解决,让学生不断总结,教师再适时点拨,必要时辅助典例教学,这样学生既对三角函数线体会深刻,又对三角函数线的应用得以深化,突出重点的同时化解难点.三角函数线的应用利用单位圆中的三角函数线可以比较同名三角函数值的大小,解(证明)简单的三角不等式,研究三角函数值域或最值等问题,解决这类问题的关键是准确作出单位圆中的三角函数线.1.比较下列各组数的大小.(1)cos和cos;(2)sin和tan.解:(1)如图,在单位圆中作出的余弦线OM2和OM1.因为OM1<OM2,所以cos>cos.(2)如图,分别作出的正弦线和正切线,sin=MP,tan=AT,因为AT>MP,所以tan>sin.2.用三角函数线证明:|sin α|+|cos α|≥1.证明:当角α的终边在坐标轴上时,正弦线(余弦线)变成一个点,而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1).所以|sin α|+|cos α|=1.当角α的终边落在四个象限时,如图,利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|+|cosα|=|MP|+|OM|>1,综上有|sin α|+|cos α|≥1.。
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 第2课时 三角函数线及其应用数学教案
第2课时 三角函数线及其应用(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM ，MP .2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M .②过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T .(2)图示：(3)结论：有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？提示：当角的终边落在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y 轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．1．角π7和角8π7有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定C [角π7和角8π7的终边互为反向延长线，所以正切线相同．] 2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线OM ，正切线A ′T ′B ．正弦线OM ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C [α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确．]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 1 [若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y 轴上，正弦线与单位圆的交点为(0,1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]作已知角的三角函数线【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3. [解] 如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．三角函数线的画法1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.2作正切线时，应从A 1，0点引x 轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T ，即可得到正切线AT . [跟进训练] 1．作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线． [解] 如图：sin ⎝⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT . 利用三角函数线比较大小【例( )A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin βB ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin βD ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β(2)利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．思路点拨：(1) (2)(1)D [由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，故A 错误；图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B 错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C 错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D 正确．]图(4)(2)解：如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′. 显然|MP |＞|M ′P ′|，符号皆正，∴sin 2π3＞sin 4π5；|OM |＜|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3＞cos 4π5； |AT |＞|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3＜tan 4π5. 1利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负.2利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.,②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.[跟进训练]2．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [由如图的三角函数线知：MP ＜AT ，因为2π7＞2π8＝π4， 所以MP ＞OM ，所以cos 2π7＜sin 2π7＜tan 2π7， 所以b ＜a ＜c .]3．设π4＜α＜π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2＜α＜3π4，上述长度关系又如何？ [解] 如图所示，当π4＜α＜π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT ＞MP ＞OM ；当π2＜α＜3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′＞M ′P ′＞OM ′.利用三角函数线解三角不等式[1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式？提示：对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：图①画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围．2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式？提示：对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：图②画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围．【例3】 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12. 思路点拨：[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z .(2)如图，由正切线知角α的取值范围是 ⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜α≤k π＋π6，k ∈Z .(3)由|sin α|≤12，得－12≤sin α≤12. 如图，由正弦线知角α的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧ α⎪⎪⎪ k π－π6⎭⎬⎫≤α≤k π＋π6，k ∈Z . 1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围． [解] 如图，由余弦线知角α的取值范围是 ⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4＜α＜2k π＋7π4，k ∈Z .2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin α＜32”，求α的取值范围．[解] 由三角函数线可知sin π3＝sin 2π3＝32，sin 7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，且－12≤sin θ＜32，故θ的取值集合是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π3∪⎝⎛⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋7π6(k ∈Z )． 3．利用本例的方法，求函数y ＝2sin x －1的定义域．[解] 要使函数有意义，只需2sin x －1≥0，即sin x ≥12. 由正弦线可知定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法1首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.2角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.3写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.1．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题(1)三角函数线的画法，见类型1；(2)利用三角函数线比较大小，见类型2；(3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.2．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．3．利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围A．α一定时，单位圆中的正弦线一定B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上B [A 正确；B 错误，如π6与5π6有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D 正确．]2．如果OM ，MP 分别是角α＝π5的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．MP ＜0＜OMC ．MP ＞OM ＞0D ．OM ＞MP ＞0D [角β＝π4的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角α＝π5的余弦线和正弦线满足OM ＞MP ＞0.]3．若a ＝sin 4，b ＝cos 4，则a ，b 的大小关系为________．a ＜b [因为5π4＜4＜3π2， 画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，观察可知sin 4＜cos 4，即a ＜b .]4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. [解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π3＋2k π≤α≤23π＋2k π，k ∈Z . 图① 图②(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 23π＋2k π≤α≤43π＋2k π，k ∈Z .。
三角函数线教案
1.2 三角函数线一、教学目标：1、知识与技能（1）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（2）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；2、过程与方法根据角终边所在位置不同, 主要是借助有向线段进一步认识三角函数以及这三种函数的值在各象限的符号.最后.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数.二、教学重、难点重点:三角函数线的正确理解.难点:三角函数线的实际应用.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用三角函数线定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.表明了正弦、余弦、正切函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机四、教学设想第三课时【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长Array度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y，过点P作PM x⊥轴交x轴于点M，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin|==MP yαOM xα==；|||||cos|随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==cosOM xα同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有sinMP yα==4.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT、,我们有tanyATx α==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.当堂检测9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】1． 作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第1课时 三角函数线教案数学教案
1.2.1三角函数线一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解正弦线、余弦线、正切线的定义；利用三角函数线解三角方程；利用三角函数线解三角简单不等式；利用三角函数比较大小；利用三角函数线证明有关不等式。
教学目的：引导学生认识正弦线、余弦线、正切线的价值。
教学意义：培养学生三角函数中数形结合的思想二、教学过程１．有向线段：被看作带有方向的线段，叫做有向线段．数轴上或与数轴平行的有向线段是正向时，它的数量等于长度；有向线段是负向时，它的数量等于长度的相反数；有向线段长度是０，那么其数量为０．２．正弦线、余弦线、正切线的定义：如图，角α的终边与单位圆交于点Ｐ．过点Ｐ作x 轴的垂线，垂足为Ｍ．根据三角函数的定义，我们有MP y ==αsin ，OM x ==αcos ，AT OA AT OM MP x y ====αtan 举例：用正弦线、余弦线、正切线表示45tan ,45cos ,45sin πππ，并比较444sin ,cos ,tan 333πππ ３．利用三角函数线解三角方程４．利用三角函数线解三角简单不等式例 在]2,0[π上满足21sin ≥x 的x 的取值范围（ Ｂ ）Ａ．]6,0[π Ｂ．]65,6[ππ Ｃ．]32,6[ππ Ｄ．],65[ππ ５．利用三角函数比较大小例 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（ Ｃ ） Ａ．若βα,是第一象限角，则βαcos cos >；Ｂ．若βα,是第二象限角，则tan tan αβ>；Ｃ．若βα,是第三象限角，则βαcos cos >Ｄ．若βα,是第四象限角，则tan tan αβ>６．利用三角函数线证明有关不等式：例 已知：角α为锐角，试证：（１）αααtan sin <<；（２）sin cos 1αα+>。
三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行） 四、教学备用例子１．已知：40πα<<，试证：ααcos 22sin <<． ２．已知21cos -≤α，求满足此不等式的角α的集合．Z k k k ∈++],342,322[ππππ３．求下列函数的定义域：（１）y =（２）)sin 43lg(2x y -=； （１）7[2,2],66k k k Z ππππ++∈；（２）(,),33k k k Z ππππ-+∈ 五、课后作业 同步练习１．已知ααsin cos ≤，那么角α的终边落在第一象限内的范围是（ Ｃ ）Ａ．]4,0(π Ｂ．)2,4[ππ Ｃ．Z k k k ∈++),22,42[ππππＤ．Z k k k ∈+],42,2(πππ ２．若24πθπ<<，则下列不等式成立的是（ Ｄ ）Ａ．θθθtan cos sin >> Ｂ．θθθsin tan cos >>Ｃ．θθθcos tan sin >> Ｄ．θθθcos sin tan >>３．如图，角α，角β的终边关于y 轴对称，则下面关系式： ①βαsin sin =；②sin sin αβ=-；③cos cos αβ=；④βαcos cos -=．其中，正确关系式的序号是 ①④ ．４．已知点Ｐ的坐标为)3cos 3sin ,3cos 3(sin +-，则点Ｐ在第 四 象限．５．比较下列各组数的大小：（１）π56sin 与7sin()5π-；（２）6cos 5π与7cos()5π-；（３）6tan 5π与7tan()5π- （１）＜；（２）＜； （３）＞６．若02παβ<<<，试比较ββsin -与ααsin -的大小； ββsin -＞ααsin -提示：利用两条正弦线，两条弧长，观察作差的结果． ７．已知α为锐角，求证：1sin cos 2παα<+<．提示：利用两个三角形面积和小于41圆面积．。
山东省滕州市第一中学高中数学4教案：1.2.1任意角的三角函数(2)
1。
2。
1任意角的三角函数（2）一、【教学目标】重点: 三角函数线的概念及应用.难点:理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，三角函数线的应用．知识点:有向线段，正弦线、余弦线、正切线的概念，作三角函数线.能力点：逐步发现三角函数值与单位圆中的“有向线段”的对应，分类讨论及数形结合的数学思想的运用。
教育点：让学生通过经历由不确定的对应建立确定的对应的过程，体会发现的艰辛,享受发现的乐趣。
自主探究点：角的终边在坐标轴上时三角函数线的情况. 考试点:利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.易错易混点:三角函数线作为有向线段与一般线段的联系与区别. 拓展点:利用三角函数线证明有关不等式。
二、【引入新课】前面我们学习了角的弧度制,角α弧度数的绝对值rl =α，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径.特别地, 当1=r 时，l =α，此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?这就是我们今天一起要研究的问题. 【师生互动】教师设问,学生思考。
【设计意图】设置问题，点明主题。
既可以引出单位圆的用途,又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式。
三、【探究新知】 探究1:有向线段的概念【师生活动】教师给出问题，学生解答，师生共同分析完成引入有向线段的讨论.【设计说明】由教师提问,学生分析讨论，层层深入地进入课题的探究，让学生在自主合作探究中解决、理解重难点. 问题1：如果角α是第一象限角，它的三个三角函数值用定义如何来求?【设计意图】利用具体问题探究讨论,降低探究问题的难度。
做出角α的终边和单位圆，记交点为),y x P （,那么,y =αsin ，x =αcos ,x y =αtan .问题2：在求解中,αsin ，αcos 的值都是正数，你能分别用一条线段表示正、余弦值吗?【设计意图】直接指明问题研究的方向，给学生一个明确的思路探究下面的问题。
三角函数线教案
三角函数线教案一、教学目标1、知识与技能目标理解三角函数线的定义和几何意义。
能够利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦和正切值。
掌握利用三角函数线比较角的大小和求解简单的三角不等式。
2、过程与方法目标通过几何画板等工具的演示，培养学生的观察能力和抽象思维能力。
引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程，体会数形结合的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
让学生在探究过程中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点1、教学重点三角函数线的定义和几何意义。
利用三角函数线表示三角函数值和求解三角不等式。
2、教学难点正确理解三角函数线的概念，特别是正切线的定义。
灵活运用三角函数线解决相关问题。
三、教学方法讲授法、演示法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课复习任意角三角函数的定义：设角α的终边与单位圆交于点 P(x, y)，则sinα ＝ y，cosα ＝ x，tanα ＝ y ／ x（x ≠ 0）。
提出问题：如何用几何图形直观地表示三角函数值呢？从而引出三角函数线的概念。
2、讲解三角函数线的定义正弦线：在单位圆中，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则有向线段 MP 叫做角α的正弦线，sinα ＝ MP。
余弦线：有向线段 OM 叫做角α的余弦线，cosα ＝ OM。
正切线：过点 A(1, 0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点 T，则有向线段 AT 叫做角α的正切线，tanα ＝ AT。
3、利用几何画板演示三角函数线展示不同象限角的三角函数线的位置和长度变化，让学生直观感受三角函数值的大小与角的关系。
引导学生观察并总结规律：当角的终边在第一象限时，正弦线、余弦线和正切线均为正；在第二象限时，正弦线为正，余弦线和正切线为负；在第三象限时，正切线为正，正弦线和余弦线为负；在第四象限时，余弦线为正，正弦线和正切线为负。
初中数学三角函数市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
初中数学三角函数教案一、教学目标1. 理解三角函数的基本概念和性质；2. 掌握正弦、余弦以及正切的定义和计算方法；3. 能够运用三角函数解决实际问题。
二、教学重点1. 正弦、余弦、正切的定义和性质；2. 三角函数的计算方法；3. 实际问题的应用。
三、教学难点1. 正弦、余弦、正切的性质理解；2. 实际问题的应用能力培养。
四、教学方法1. 探究教学法：通过引导学生观察实际物体和现象，引发学生对三角函数的兴趣，探索三角函数的性质；2. 归纳总结法：引导学生总结三角函数的定义和计算方法，加深对知识点的理解；3. 分组合作法：将学生分组进行小组合作，共同解决实际问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力；4. 演示法：通过教师的演示和示范，帮助学生更直观地理解三角函数的计算方法。
五、教学过程1. 导入环节通过展示一个右脚高度为20cm的台阶和一个10m高的塔，引发学生对三角函数的好奇心，激发学生的学习兴趣。
2. 探索三角函数的定义（1）教师引导学生观察直角三角形中两个锐角的变化，并与各边的比例进行探究；（2）学生合作讨论，总结出正弦、余弦、正切的定义；（3）教师进行讲解和概括总结，确保学生掌握三角函数的定义。
3. 正弦、余弦、正切的计算方法（1）教师以示例的方式，向学生讲解正弦、余弦、正切的计算方法；（2）学生进行课堂练习，加深对计算方法的理解和掌握；（3）教师对计算方法进行巩固和强化训练。
4. 三角函数的性质（1）教师以图示的方式，向学生展示三角函数的周期性和对称性；（2）学生进行观察和分析，总结出三角函数的周期和对称轴；（3）教师进行讲解和概括总结，并进行小结。
5. 实际问题的应用（1）教师通过示例，向学生展示如何运用三角函数解决实际问题；（2）学生进行实际问题的讨论和解答，培养解决问题的能力；（3）教师对实际问题的解决方法进行巩固和强化训练。
六、课堂小结教师对本节课的要点进行总结，并强调三角函数的重要性和应用领域。
1.2.1《三角函数线》(课件人教新课标)
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步 研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分 别是原点O和点A（1，0）.
y
正弦线
M
余弦线
像OM、MP这种被看作带有方向的线段， 叫做有向线段.
有向线段：带有方向的线段. 如: 有向线段OM,始点为O点， 终点为M点，方向为：由O点 指向M点
根据实际需要，我们规定： OM与X轴同向时，方向为正向； OM与X轴反向时，方向为负向.
思考
（2）你能借助单位圆，找到一条如OM、 MP一样的线段来表示角α的正切吗？
探究3、正切线
MP AT OM OA
过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边(或其反向延 长线)相交于点T.
正切线 y
有向线段AT叫
O
角α的正切线
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交
点为P（x，y），则
是负数，此时用哪条
有向线段表示角α的正切值最合适？
y
P
αA
MO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交
y 3 2
P2
P1
O
或2
33
变式 在0～2 内，求使
范围.
sin
3 成立的α的取值
2
y
y 3 2
P2
P P1
OM
x
y
P2
P2PΒιβλιοθήκη OMxP1
P1
x1
2
思考：视察下列不等式： 你有什么一般猜想？
引申：对于不等式 sinα<α<tanα （其中α为锐角），你能用数形结合思 想证明吗？
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1.2.1 三角函数线一、教学目标：知识与技能：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
过程与方法：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
情感、态度与价值观通过任意角的三角函数定义学习，让学生体会数形结合的思想方法，帮助学生形成科学的世界观、价值观。
二．重点难点重点：正弦、余弦、正切线的概念。
难点：正弦、余弦、正切线的利用。
三、教材与学情分析利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程1.导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.新知探究（1）提出问题：问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P 作x 轴的垂线,垂足为M;过A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标.显然,线段OM 的长度为|x|,线段MP的长度为|y|,它们都只能取非负值.当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段:如果x>0,OM 与x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果x<0,OM 与x 轴正向相反(即反向), 规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.如果y>0,把MP 看作与y 轴同向,规定此时MP 具有正值y;如果y<0,把MP 看作与y轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段. 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有sin α=r y =1y =y=MP, cos α=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tan α=x y =OAAT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段.（2）提出问题：问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.讨论结果:①略.②略.（3）学以致用例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.活动:根据三角函数线的定义可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=A T,sinβ=NQ,cosβ=ON,tanβ=A T′.答案:MP OM AT NQ ON A T′点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.变式训练1.利用三角函数线证明｜sinα｜+｜cosα｜≥1.解:当α的终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于r,所以｜sinα｜+｜cosα｜=1.当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有｜sinα｜+｜cosα｜=｜OM ｜+｜MP ｜>1,∴｜sinα｜+｜cosα｜≥1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合: (1)sinα=21;(2)sinα≥21. 活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sinα=y,所以要作出满足sinα=21的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为21的点A,则OA 即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sinα=21的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.解:(1)作直线y=21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 为角α的终边,如图8所示.故满足条件的角α的集合为{α|α=2kπ+6π或α=2kπ+65π,k ∈Z }. (2)作直线y=21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 围成的区域(如图中的阴影部分) 即为角α的终边所在的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+6π≤α≤2kπ+65π,k ∈Z }. 点评:在解简单的特殊值(如±21,22等)的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线),一般情况下,用(0,2π)内的角表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来. 例2. 求下列函数的定义域:(1)y=log sinx (2cosx+1); (2)y=lg(3-4sin 2x).活动:先引导学生求出x 所满足的条件,这点要提醒学生注意,研究函数必须在自变量允许的范围内研究,否则无意义.再利用三角函数线画出满足条件的角x 的终边范围.求解时,可根据各种约束条件,利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围,写出适合条件的x 的取值集合.解:(1)由题意,得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->≠>>+≠>21cos ,1sin ,0sin ,01cos 2,1sin ,0sin x x x x x x ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<<-+≠+<<,322322,22,22πππππππππk x k k x k x k (k ∈Z ). ∴函数的定义域为{x|2kπ<x<2kπ+2π或2kπ+2π<x<2kπ+32π,k ∈Z }. (所求x 的终边所在的区域如图中的阴影部分所示)(2)∵3-4sin 2x>0,∴sin 2x<43.∴23-<sinx<23. ∴x ∈(2kπ3π-,2kπ+3π)∪(2kπ+32π,2kπ+34π)(k ∈Z ),即x ∈(kπ-3π,kπ+3π)(k ∈Z ). (所求x 的终边所在的区域如图中的阴影部分所示)变式训练2. 求函数y=1-2cosx 的定义域. 解:要使函数有意义,需满足2cosx-1≥0,所以cosx≥21. 故由余弦函数线可知函数的定义域为［2kπ-3π-,2kπ+3π］,k ∈Z . 六、课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义,这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段,其之所以特殊,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示. 三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或证明三角不等式,求函数的定义域以及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.七、课后作业课时练与测八、教学反思教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角函数定义解读三角函数线,让学生在解题应用中感受数形结合思想。