杨启刚1.3三角函数的诱导公式-公开课教案
1.3__三角函数的诱导公式教案
1.3 三角函数的诱导公式李亚军教学目标(1)学习从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法，从而借助于单位圆推导诱导公式．(2)能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，并从中体会未知到已知，复杂到简单的转化过程．重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．复习引入 1.（1）利用单位圆表示任意角的正弦值、余弦值和正切值.（2）复习诱导公式一及其用途.新课讲授探究一：任意角α与(π＋α)三角函数值的关系.①α与 (π＋α)角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）②设α与(π＋α)角的终边分别交单位圆于点P1，P2，则点P1与P2位置关系如何？（关于原点对称）③设点P1(x，y)，那么点P2的坐标怎样表示？（P2(－x，－y)）④sinα与sin(π＋α)，cosα与cos(π＋α)，tanα与tan(π＋α)的关系如何？经过探索，归纳成公式()()()sinπsincosπcostanπtanαααααα+=-+=-+=------公式二探究二：任意角α与(-α)三角函数值的关系.经过探索，归纳成公式()()()sin sincos costan tanαααααα-=--=-=--------------公式三探究三：α与(π－α)的三角函数值的关系．经过探索，归纳成公式()()()sinπsincosπcostanπtanαααααα-=-=--=-------公式四总结概括公式一、二、三、四：ααα-±∈+,π,Z)(π2k k 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”例1 利用公式求下列三角函数值:(1)cos225°; (2)sin 311π; (3)sin(316π-); (4)cos(-2 040°).活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.课本本节练习1,2课堂小结1．四组诱导公式及公式的记忆方法可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.”2.把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数一般步骤：3.公式中的α是任意角.板书设计1.诱导公式 例1公式一 公式二2.求任意角的三角函数一般步骤公式三 公式四。
2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(1)教学教案新人教A版必修4
简要回顾本节课学习的三角函数诱导公式内容，强调重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的三角函数诱导公式内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
拓展与延伸
1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料，如关于三角函数在工程、科学和技术领域中的应用案例，以及诱导公式的发现和发展历史的介绍等。
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解三角函数诱导公式的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习三角函数诱导公式内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确三角函数诱导公式的教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保三角函数诱导公式教学过程的顺利进行。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解三角函数诱导公式的知识点，结合实例帮助学生理解。
突出诱导公式的重点，强调推导和应用的难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕诱导公式的推导和应用展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
课后作业
1.题目：已知正弦函数的图像经过点(0, 1)和(π/2, -1)，求正弦函数的解析式。
答案：y = sin(x)
2.题目：已知函数f(x) = 2sin(x) - 3cos(x) + 1，求f(π/3)的值。
答案：f(π/3) = 2sin(π/3) - 3cos(π/3) + 1 = √3 - 3/2 + 1 = (2 - √3)/2
1.3 三角函数的诱导公式(1) 教案(优秀经典公开课比赛教案)
1.3 三角函数的诱导公式（1）一、教学目标：知识与技能：（1）识记诱导公式．（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．过程与方法：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．情感、态度与价值观（1）由诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．二．重点难点重点：诱导公式的推导及应用。
难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
三、教材与学情分析1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
-y)四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题 1、初中我们已经会求锐角的三角函数值。
2、和30°、45°、60°终边相同的角如何表示？本节我们将研究任意角三角函数值之间的某中关系，以及如何求任意角的三角函数值。
诱导公式教案详案
普通高中课程标准实验教科书必修4 第一章第三节.§1.3 三角函数的诱导公式（第一课时）授课人：胡永刚授课对象：高一学生【教材分析】本节课位于数学必修4 第一章第三节——三角函数的诱导公式。
本节主要学习三角函数的诱导公式，并利用公式进行运算。
诱导公式是三角函数运算的重要工具。
从知识网络结构上看，三角函数的诱导公式是单位圆上任意角的三角函数的延续和拓展，也是三角函数运算的基础。
在研究和解决各种三角问题时，诱导公式都有其广泛应用。
其中，诱导公式的推导过程包含有诸多数学思想。
对于进一步探究三角函数的其他性质有很大帮助。
【教学目标】㈠知识与技能①从π±α，-α，π/2-α的图像出发，直观地认识三角函数的一些性质。
②从三角函数定义出发，完成对公式二～四的推导。
③利用公式二～四运算一些简单或复杂的三角函数㈡过程与方法通过观察π±α，-α，π/2-α的终边与任意角α的终边的对称关系，形成对三角函数性质的直观认识，再通过单位圆上任意角的三角函数定义，导出所有诱导公式。
从图形到数学语言，将″数″与″形″进行有机结合，得出三角函数的诱导公式的推导。
能让学生更快﹑更好地掌握诱导公式。
㈢情感态度与价值观学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从未知到已知，从感性到理性的探究过程，体验数学公式的推导过程。
培养了学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
【教学重难点】教学重点：诱导公式的推导以及诱导公式的应用教学难点：诱导公式的推导和化归思想的应用。
诱导公式的推导既是难点又是重点，因为它体现了较强的数形结合思想的应用，同时，化归思想在诱导公式的应用中复杂多变，这也增加了学习难度。
【教法学法】教法：启发探究、问题推动基于学生认知水平，学生就图像的对称性的发现并不感到困难，但困难在于怎样利用三角函数定义和对称性去推导一个个诱导公式，并用精确的数学语言描述出来，这里就需要老师以问题形式推动，引导学生积极动脑，主动参与知识的探究活动。
三角函数的诱导公式教案
1.3三角函数的诱导公式贾斐三维目标1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排2课时教学过程导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.②复习诱导公式一及其用途.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,于90°到360°(2能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.新知探究提出问题由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得90°到360°的角β能否与锐角α相联系通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.β=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180 βββa a a提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何②它们与单位圆的交点的位置关系如何③任意角α与180°+α呢活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.并指导学生写出角为弧度时的关系式:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tan α.引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.②它们与单位圆的交点关于原点对称.③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么②-α角的终边与角α的终边位置关系如何活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题①下一步的研究对象是什么②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin311π;(3)sin(316π-);(4)cos(-2 040°).活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-;(2)sin 311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-; (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π) =-(-sin 3π)=23; (4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°) =-cos60°=21-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin(317-π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′= 2;(2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23.例2 2007全国高考,1cos330°等于( ) A.21 B.21- C.23 D.23- 答案:C变式训练化简:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 解:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21 ++++-+ =70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--. 例3 化简co s315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°)21--sin45°+cos120° =cos45°21-22-+cos(180°-60°) =2221-22--cos60°=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----. 分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=)5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+---- =)sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+---- =θθθθθsin cos cos sin tan =tanθ=右边. 所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练课本本节练习1—3.解答:1.(1)-cos 94π;(2)-sin1;(3)-sin 5π;(4)cos70°6′. 点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1)21;(2)21;(3) 8;(4)23 .点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sin 2αcosα;(2)sin 4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.作业课本习题 A 组2、3、4.。
1_1.3三角函数的诱导公式教案
三角函数的诱导公式目标：理解诱导公式及其探究思路，学会利用诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。
一、问题情景：回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢？二 、学生活动： 讨论：1、找出我们可以解决的和目前无法解决的2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解3、这些角之间有何关联指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它和单位圆的交点记为（00,x y ），然后分别画出另外四个角的终边和单位圆的交点，看看你在画图的时候发现了什么。
（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和开始的锐角的关系） 三、 意义建构：A第一组：由画图发现0390的角的终边和6π的终边是重合的，它们相差0360，由三角函数定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。
我们可否也把它推广到任意的角呢？总结一下就是“终边相同的角的三角函数值相同”，如何用符号表示？ 诱导公式一: απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+kαπαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ） 这个公式有什么作用？作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为00360 之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在000360 内找出与角α终边相同的角再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果简单来说就是“大化小”。
此处还可以得出三角函数是“多对一”的单值对应，为下面研究函数的周期性打下铺垫。
B 、第二组：由画图发现030-的角的终边和6π的终边是关于x 轴对称的，由三角函数定义可知,它们的余弦值相等，正弦值和正切值互为相反数。
我们可否也把它推广到任意的角？ 总结一下就是“函数名不变，正号是余弦”，如何用符号表示？诱导公式二： αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-） 这个公式有什么作用？作用：把任意负角的正弦、余弦、正切化为该角正角的正弦、余弦、正切，其方法是对于正弦和正切直接提出负号，对于余弦可以直接去掉负号，简单来说就是“负变正”。
1.3三角函数的诱导公式(教案)
1.3三角函数的诱导公式教案教学目标：（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题；（3）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；（4）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.教学重点：用联系的观点发现并证明诱导公式．教学难点: 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．教学过程:一．问题引入与复习巩固:角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。
求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = cosα，ta n(α+2kπ) = tanα (k∈Z) 。
(公式一) 二．尝试推导由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。
反过来呢？问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π-α与角α的终边关于y轴对称,有sin(π -α) = sin α，cos(π -α) = - cos α，（公式二）tan(π -α) = - tan α。
因为与角α终边关于y轴对称是角π-α，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
于是，我们就得到了角π-α与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。
三．自主探究问题：两个角的终边关于x轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角-α与角α的终边关于x轴对称，有：sin(-α) = -sin α，cos(-α) = cos α，（公式三）tan(-α) = -tan α。
1.3三角函数诱导公式(一)教学设计[修改版]
![1.3三角函数诱导公式(一)教学设计[修改版]](https://img.taocdn.com/s3/m/3f1b36b4be1e650e53ea9908.png)
第一篇：1.3三角函数诱导公式(一)教学设计1．3三角函数的诱导公式（第一课时）[教学目标] 1）学习从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法，从而借助于单位圆推导诱导公式．2）能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简和恒等式的证明，并从中体会未知到已知，复杂到简单的转化过程．[重点、难点、疑点] 重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．疑点：运用诱导公式时符号的确定．[课时安排] 2课时第一课时，诱导公式二、三、四[教学设计] 引入新课：先让同学们思考单位圆的对称性并举出一些特殊的对称轴和对称中心，如轴，轴，，原点．这些对称性对三角函数的性质有什么影响呢？先思考阅读教科书第26页的“探究”．1、角的对称关系：给定一个角，发现：1）终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为；同样，让学生探究问题(2) ，(3)不难发现．2）终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为（或）；3）终边与角的终边关于轴对称的角可以表示为：；4）终边与角的终边关于直线=对称的角可以表示为．2、三角函数的关系诱导公式二：以问题（1）为例，引导学生去思考，角的对称关系怎样得出三角函数的关系？角————终边与单位圆交点————————∴同理，，，∴诱导公式二：请同学们自己完成公式三、四的推导：诱导公式三：诱导公式四：让学生把探究诱导公式二、三、四的思想方法总结概括，引导学生得出：圆的对称性____________角的终边的对称性对称点的数量关系角的数量关系三角函数关系即诱导公式总结规律，引导学生记忆学过的四组公式，即：，，的三角函数值，等于角的同名三角函数值，前面加上一个把角看成锐角时的原函数的符号．P28 例1，例2．思考：诱导公式有什么作用？负角→正角大角→小角→锐角三角函数即所有的角的三角函数值都可转化成锐角三角函数来求．上述步骤体现了未知转化为已知的化归思想．P27例3 [练习] P301，2，3．通过对公式的应用，加深对公式的理解，并对学生所做练习进行点评．[小结]本节课我们学习了诱导公式二、三、四，并运用诱导公式求任意角的三角函数值及化简，在学习过程中逐步学习化归思想，要注意诱导公式中符号的确定．[作业] P33A组2，3，4．化简：1、2、第二篇：三角函数诱导公式(一)教学设计学科：数学年级：高一教材：学校：江苏省羊尖高级中学姓名：郭丽娟三角函数诱导公式（一）教学设计【主题释义】教师是教学活动中的参与者、组织者与引导者，课堂上必须留足学生活动的时间。
《三角函数的诱导公式(第一课时)》教学设计
《三角函数的诱导公式（第一课时）》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A版）第一章第一节1.3三角函数的诱导公式。
根据我所任教的学生的实际情况，我将《三角函数的诱导公式》划分为两节课（第一节探究公式及其规律；第二节公式的准确运用）。
三角函数作为描述具有周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是地理学、物理学）有紧密联系，因此通过三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
二、学生学习情况分析三角函数诱导公式是在学生系统学习了三角函数定义：单位圆上点的坐标定义（教科书中使用的呈现形式）和比值的定义（教科书中以对话框的形式给出），以及终边相同的角的三角函数公式的基础上进行研究的，是学生对三角函数相关问题的第一次探究。
三、设计思想1.三角函数是历来高考中的必考内容，而学生往往出现的问题是公式太多易于混淆从而导致辛苦半天得出一个错误的结论，而造成这个结果的主要原因是：没有准确的认识到公式之间内在的联系，只是单一的套用公式。
而这种方法也是学习数学不可取得。
本节课，力图让学生从应用定义---发现规律---归纳总结，对三角函数的诱导公式进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能教会学生一些学习和研究的方法。
2.结合我承担的区级课题《读书指导法在高中数学课堂中的实践与运用》，在本课的教学中我努力实践以下两点：⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用三角函数的定义及公式一推导出公式二、三、四、五．并由公式四、五推出公式六。
1.3 三角函数的诱导公式(第1课时) 精品教案
1.1.1 诱导公式（一）
【课题】：诱导公式（一） 【教学三维目标】： 一、知识与技能 1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性鱼任意角终边的对称性中发现问题（任意角α的三角函数值与πα-，πα+等三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程； 二、过程与方法
1、理解诱导公式的推导方法；
2、掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明；
3、培养学生化归、转化的能力； 三、情感态度与价值观
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径． 【教学重点】：理解并掌握诱导公式． 【教学难点】：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
【课前准备】：三角板、圆规、多媒体．。
必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)
必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.3 三角函数的诱导公式教案 A教学目标一、知识与技能1．理解诱导公式的推导过程；2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．二、过程与方法的轴对称性以及关于原点利用三角函数线，从单位圆关于x轴、y轴、直线y xO的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．三、情感、态度与价值观通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯．教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的灵活运用．教学关键：五组诱导公式的探究．教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究．教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合．学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中．1.充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程；2.强调记忆规律，加强公式的记忆；3.通过对例题的学习，完成学习目标．教学准备教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规．学生准备：练习本、直尺、圆规．教学过程一、创设情境，导入新课1我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x轴、y 轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？二、主题探究，合作交流提出问题①锐角α的终边与π+α角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系．无论α为锐角还是任意角，π+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择π+α为研究对象．利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P1(x，y)和P2 (-x，-y)．指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．提出问题：-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考．-α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．从而完成公式三的推导，即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．2提出问题：π-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．从而完成公式四的推导，即：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．我们可以用下面一段话来概括公式一～四：α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．提出问题终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系？师生互动：我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系．教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导．讨论结果：如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，由于角π2-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有sinα=y，cosα=x，cos(π2-α)=y，sin(π2-α)=x．从而得到公式五：cos(π2-α)=sinα， sin(π2-α)=cosα．提出问题能否用已有公式得出π2+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？34 师生互动：教师点拨学生将π2+α转化为π- (π2-α)，从而利用公式四和公式五达到我们的目的．因为π2+α可以转化为π- (π2-α)，所以求π2+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六： sin (π2+α)=cos α， cos(π2+α)=-sin α． 提出问题你能概括一下公式五、六吗？师生互动：结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括． 讨论结果：2π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～六都叫做诱导公式． 三、拓展创新，应用提高例1 利用公式求下列三角函数值：（1）cos225°；（2）sin 11π3；（3）sin(16π3-)；（4）cos(-2 040°)． 解：（1）cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-； （2）sin 11π3=sin(4ππ3-)=-sin π3=23-； （3）sin(16π3-)=-sin 16π3=-sin(5π+π3)=-(-sin π3)=23； （4）cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=21-． 点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：5上述步骤体现了由未知转化为已知的化归的思想方法．例2 化简 0cos(180)sin(360).sin(180)cos(180)αααα︒++︒---︒- 解：sin(180)sin[(180)]αα--︒=-+︒ sin(180)(sin )sin ααα=-+︒=--= cos(180)cos[(180)]cos(180)cos .αααα-︒-=-︒+=︒+=-所以，原式cos sin 1.sin (cos )αααα-==- 例3 证明：（1）sin(3π2-α)=-cos α；（2）cos(3π2-α)=-sin α． 证明：（1）sin(3π2-α)=sin[π+(π2-α)]=-sin(π2-α)=-cos α； （2）cos(3π2-α)=cos[π+(π2-α)]=-cos(π2-α)=-sin α． 点评：由公式五及六推得3π2±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到212+k π(k ∈Z )的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用．例4 化简π11πsin(2π)cos(π)cos()cos()22.9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin()2a a a a a a a a -++-----+ 解：原式=π(sin )(cos )(sin )cos[5π()]2π(cos )sin(π)[sin(π)]sin[4()]2a a a a a a a a π---+----+++6 =2πsin cos [cos()]2π(cos )sin [(sin )]sin()2a a a a a a a ------+=a a cos sin -=-tan a ． 四、小结①熟记诱导公式；②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进行简单的求值；③运用诱导公式进行简单的三角化简．课堂作业1．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A ．sin 2B A +=-cos 2C B ．sin(2A +2B )=-cos2C C ．sin(A +B )=-sin CD ．sin(A +B )=sin C2．如果f (sin x )=cos x ，那么f (-cos x )等于( )A ．sin xB ．cos xC ．-sin xD ．-cos x3．计算下列各式的值：（1）sin(-1 200°)cos(1 290°)+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°；（2）tan(27°-α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β)．4．化简：sin(540)tan(270)cos(270).cos(180)tan(810)sin(360)a a a a a a •---︒-+-- 参考答案：1．D 2．A3．（1）2；（2）-1．4．-tan a ．教案 B教学目标一、知识与技能1．牢记诱导公式.2．理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1．通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.2．通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.3．通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1．通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.2．通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．学法与教学用具78学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习．在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板．教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到360°(π2到2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究新知1. 诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．（3）任意角α与180α+呢？结论：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二：sin(180)α+=sin α-；cos(180)α+=-cos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin(π)α+=sin α-，cos(π)α+=-cos α；③公式特点：函数名不变，符号看象限；9 ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-． 用弧度制可表示如下： sin(π-sin αα+=）；cos(π-cos αα+=）；tan(πtan αα+=）．2. 诱导公式三：思考：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；（2）任意角α与α-的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan()tan αα-=-．3. 诱导公式四： sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-．说明：①公式四中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-．用弧度制可表示如下：sin(πsin αα-=）；cos(π-cos αα-=）；tan(πtan αα-=-）． 4. 终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系． 结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x ，y ），由于角π2-α的终边与10角α的终边关于直线y =x 对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y ，x ），于是我们有sin α=y ，cos α=x ； sin(π2-α) = x ， cos(π2-α) = y ． 从而得到诱导公式五： sin(π2-α) = cos α， cos(π2-α) = sin α． 由于π2+α =π-(π2-α)，由公式四及五可得 公式六 sin(π2+α) = cos α， cos(π2+α) =- sin α． 公式五和公式六可以概括如下：π2±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式.三、例题讲解例1 求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6π-． 解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=sin(18060)sin 60=+=-=． （2）43π43πcos()cos 66-=7π7πcos(6π)cos 66=+= ππcos(π)cos 66=+=-=．11例2 已知：tan 3α=，求2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+-+-的值. 解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--． 例3 化简sin(π)sin(π)()sin(π)cos(π)n n n n n αααα++-∈+-Z ． 解：①当2n k k =∈Z ，时， 原式sin(2π)sin(2π)2sin(2π)cos(2π)cos k k k k ααααα++-==+-． ②当21,n k k =+∈Z 时， 原式sin[(21)π]sin[(21)π]2sin[(21)π]cos[(21)π]cos k k k k ααααα+++-+==-++-+ 例4．已知π2π63α<<，πcos()(0)3m m α+=≠，求2πtan()3α-的值． 解：因为2πππ()33αα-=-+，所以，2ππcos()cos[π()]33αα-=-+=πcos()3α-+＝-m . 由于π2π63α<<所以2ππ032α<-< 于是2πsin()3α-21m -. 所以，2πsin()2π3tan()32πcos()3ααα--=-=m m 21--12 四、课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）3．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．五、作业课本第29页习题1．3B 组第1、2题.。
三角函数的诱导公式教案
§1．3三角函数的诱导公式教学目标：（一）知识目标理解并掌握三角函数诱导公式二～四的推导过程及应用.（二）能力目标通过诱导公式的推导，培养学生的创新能力；通过类比、归纳思维的训练，培养学生把未知转化为已知的能力.（三）情感目标通过诱导公式的引导、发现，让学生感受数学探索的成就感，激发学生的学习热情及兴趣，让学生养成善于观察、思考、发现的好习惯.教学重点：诱导公式二~四的推导过程及灵活运用．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，解决问题．以及推导过程中数形关系的转换，符号的判定．教学过程（一）设置情景（1）复习回顾回忆复习节2.1学习的三角函数诱导公式一：()()()sin 2sin cos 2cos ,tan 2tan k k k Z k απααπααπα+=+=∈+=提出问题：公式一的作用是什么？分析：利用诱导公式一可以将任意角的三角函数值转化为求0到2π（或0360︒︒ ）角的三角函数值．（2）思考?310cos =π（二）探究新知1.小组合作探究给定一个角α1）角πα+的终边与角α的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?2）角α-的终边与角α的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?3）角πα-的终边与角α的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系? 教师启发及学生共同探讨得出：1）角πα+的终边与角α的终边关于原点对称；2）角α-的终边与角α的终边关于x 轴对称；3）角πα-的终边与角α的终边关于直线y x =对称．2.教师引导推出诱导公式二以问题1）为例，引导学生思考，角的对称关系怎样得出三角函数的关系？角απ+——————角α终边与单位圆交点 )(y x P --',—————(,)P x y ()sin y πα+=- y =αs i n； 同理 c o s ()x πα+=- c o s x α=；()t a n y y x x πα-+==- tan y x α=； 所以 ()ααπsin sin -=+ ;cos()cos παα+=-；tan()tan παα+=．从而得到诱导公式二：()()()sin sin cos cos tan tan πααπααπαα+=-+=-+=.3.同学们分组合作，完成公式三和四的推导．诱导公式三：()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-;诱导公式四：()()()sin sin cos cos tan tan πααπααπαα-=-=-+=-.分析同学们对上述两个公式的推导过程，对于公式四，提出新的推导方法，通过类比()a b a b -=+-的形式，考虑到()παπα-=+-，从而利用本节课已经学习的公式二和三，推导出公式四，将未知转化为已知．有()()()sin sin(())sin()sin cos cos(())cos()cos tan tan(())tan()tan παπαααπαπαααπαπααα-=+-=--=-=+-=--=-+=+-=--=4.公式说明：引导学生通过对比记忆学过的四组公式，即： παk 2+(Z)k ∈ ，α-， πα±的三角函数值，等于α角的同名三角函数值，前面加上一个把α角看成锐角时的原函数的符号．（函数名不变，符号看象限）（三）例题讲解例1 利用公式求下列三角函数值： 16cos()3π-． 解：原式16cos()3π= 4cos(4)3ππ=+ 4cos 3π= cos()3ππ=+ cos 3π=- 12=- 例2 化简cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα︒+⋅+︒--︒⋅-︒-． 解：cos(180)cos αα︒+=- sin(360)=sin αα+︒ sin(180)sin(180)sin ααα--︒=-+︒=co s (180)c o s (180)ααα-︒-=︒+=- 原式cos sin 1sin (cos )αααα-⋅==⋅- （四）巩固练习练习： 化简sin(180)cos()sin(180)ααα+︒---︒．解： sin(180)sin αα+︒=-cos()cos αα-=sin(180)sin(180)sin ααα--︒=-+︒=原式sin cos sin ααα=-⋅2s i n c os αα=- （五）课时小结（1）知识：诱导公式二~四的推导过程及应用．（2）方法：结合三角函数的定义，根据单位圆中角的终边的对称性来推导公式．（3）思想：学会利用数形结合、类比、归纳的思想，将未知转化为已知求解问题．（六）作业布置1）P27： 3（2），4．2）思考1：诱导公式一~四的作用？思考2：如果 的终边不在第一象限，推导出的诱导公式与在第一象限时是否相同？那么老师为什么要通过第一象限来分析呢？。
1.3三角函数的诱导公式 说课稿
1.3三角函数的诱导公式（说课稿）各们专家、老师：大家好,今天我说课的课题是三角函数的诱导公式，下面，就本人对教材的理解，说一下本节课的设计，请大家斧正。
对于本节课，我想从教材、目标、教法、学法、教学过程和板书设计这六个方面来分析。
一、教材分析1、教材的地位和作用《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。
前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数值的求法，在此基础上，继续学习这五组公式，体会发现过程，由未知到已知的转化过程，为以后的三角函数求值、化简、证明等打好基础。
本节共二课时，第一课时为公式二、三、四，第二课时为公式五、六。
2、教学重点和难点重点：（1）公式的发现，通过多媒体演示去探究发现公式；（2）公式的记忆，编成口诀以便于记忆；（3）公式的应用，会用诱导公式解决简单三角函数的求值和化简。
难点：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关于直线x y =对称的点的性质与)2(απ±的诱导公式的关系。
二、目标分析根据《普通高中新课程标准》的要求和教学内容的结构特征，依据学 生学的心理规律和素质教育的要求，结合学生的认知水平，制定本节课的 教学目标如下：1、知识目标：通过本小节的学习要使学生掌握三角函数的诱导公式，能正确运用这些公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明。
2、能力目标：借助单位圆中的对称关系，让学生观察推导出诱导公式，通过公式的应用，让学生了解未知到已知、简单到复杂的转化过程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
3、德育目标：通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯。
三、教法分析根据上述教材分析和目标分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：1、计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的角的终边的对称关系，角的终边变化和三角函数值的关系使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示变化的过程，使问题形象、直观，易于得出一般结论。
《1.2.3三角函数的诱导公式一》教学案
《1.2.3三角函数的诱导公式(一)》教学案●三维目标1．知识与技能(1)能够推导公式一～四．(2)能够应用公式一～四解决一些三角函数求值、化简和证明问题．2．过程与方法(1)借助于单位圆，利用对称性，推导出公式一～四．(2)观察公式一～四的结构特征，将它们统一成一句话：函数名不变，符号看象限．(3)利用公式一～四的解题步骤为：负角→正角→0～2π角→锐角．(4)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．3．情感、态度与价值观用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．●重点难点重点：诱导公式的推导．难点：应用诱导公式进行化简、求值和证明．教学方案设计●教学建议(1)本课首先利用三角函数的定义及终边相同的角得出诱导公式一，然后利用单位圆推导出正弦、余弦函数中角α与角π±α，－α的终边的关系，进而推导出角α与角π±α，－α的正弦、余弦函数的关系，从而概括出诱导公式二、三、四．本课内容是后续推导诱导公式的理论依据，也是进一步学习三角函数的基础．(2)关于诱导公式的教学，建议教师在教学过程中：①对于诱导公式一的推导要结合三角函数线，利用数形结合的数学思想得出结论．②对于诱导公式二、三、四，教师在引导学生发现角之间的关系时，紧密联系角的对称，推导过程让学生完成．③通过练习使学生明确诱导公式的作用：把求任意角的三角函数值问题转化为0°～90°角的三角函数值问题．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出诱导公式一～四.⇒引导学生探究诱导公式一～四的特征，总结其规律：函数名不变，符号看象限.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式一～四解决给角求值问题的方法.⇒完成例2及其互动探究，从而解决给值求值问题，并总结诱导公式在该类型问题应用中注意的事项.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式化简三角函数式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学1．终边相同的角的三角函数值相等吗？【提示】根据三角函数的定义知：终边相同的角的三角函数值相等．2．若点P与点P′分别为角α，β的终边与单位圆的交点，并且P与P′关于x轴对称，那么sin α与sinβ，cosα与cosβ有何关系？【提示】sinβ＝－sinα，cosβ＝cosα.3．若角α的终边与角β的终边关于y轴对称，sinα与sinβ，cosα与cosβ有何关系？【提示】sinβ＝sinα，cosβ＝－cosα.1．终边相同的角的诱导公式(公式一)sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．2．终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.3．终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；tan(π－α)＝－tan_α.4．终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)sin(π＋α)＝－sin_α；cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α.课堂互动探究给角求值例1 计算：(1)sin (－31π6)－cos (－10π3)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.【思路探究】 利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数． 【自主解答】 (1)原式＝－sin (4π＋7π6)－cos (2π＋4π3)＝－sin (π＋π6)－cos (π＋π3)＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1.(2)原式＝1＋2sin －70°＋360°cos 70°＋360°sin 180°＋70°＋cos 70°＋2×360°＝ 1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°2cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：变式训练求下列各式的值： (1)sin 4π3·cos 19π6·tan 21π4； (2)cos (－2 640°)＋sin 1 665°.【解】 (1)原式＝sin 4π3·cos (2π＋7π6)·tan (4π＋5π4)＝sin 4π3·cos 7π6·tan 5π4 ＝sin (π＋π3)·cos (π＋π6)·tan (π＋π4) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·tan π4 ＝(－32)·(－32)·1 ＝34.(2)原式＝cos [240°＋(－8)×360°]＋sin (225°＋4×360°)＝cos 240°＋sin 225° ＝cos (180°＋60°)＋sin (180°＋45°) ＝－cos 60°－sin 45°＝－1＋22.给值求值例2 (1)已知sin β＝13，cos (α＋β)＝－1，则sin (α＋2β)＝________. (2)已知cos (α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin (α＋125°)的值．【思路探究】 (1)先由cos (α＋β)＝－1，可求出α＋β，再代入sin (α＋β)中利用诱导公式求解．(2)由于α＋125°＝180°＋(α－55°)，故求sin (α＋125°)可转化为求－sin (α－55°)，利用平方关系由cos (α－55°)可求得sin (α－55°)的值． 【自主解答】 (1)由cos (α＋β)＝－1得， α＋β＝2kπ＋π(k ∈Z )，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k ∈Z )， ∴sin (α＋2β)＝sin (2kπ＋π＋β) ＝sin (π＋β)＝－sin β＝－13. 【答案】 －13(2)∵cos (α－55°)＝－13＜0， 且α为第四象限角， ∴α－55°是第三象限角． sin (α－55°)＝－1－cos2α－55°＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin (α＋125°)＝sin [180°＋(α－55°)]＝－sin (α－55°)＝223. 规律方法1．先找出所求角和已知角之间的关系，把所求角的三角函数化为已知角的三角函数求解．2．该类问题需先用诱导公式转化，再用同角基本关系式求解，因此当用到平方关系时确定符号非常关键，符号不确定时还要分类讨论．互动探究本例(2)中条件不变，如何求cos (α＋125°)＋tan (α－55°)的值？ 【解】 cos (α＋125°)＝cos [180°＋(α－55°)] ＝－cos (α－55°)＝13， tan (α－55°)＝sin α－55°cos α－55°＝22， ∴cos (α＋125°)＋tan (α－55°) ＝13＋2 2.利用诱导公式化简三角函数式例3 化简：(1)sin α＋2πcos α＋πtan α＋99πcos π＋αsin 3π＋αsin α－π； (2)sin n π＋αcos n π＋α(n ∈Z )．【思路探究】 解答本类题的关键是熟练应用诱导公式，应注意含参数时有时需对参数加以讨论．【自主解答】(1)sin α＋2πcos α＋πtan α＋99πcos π＋αsin 3π＋αsin α－π＝sin α－cos αtan α－cos α－sin α－sin α＝1cos α. (2)当n 为奇数时， 设n ＝2k ＋1，k ∈Z ，则sin n π＋αcos n π＋α＝sin 2k π＋π＋αcos 2k π＋π＋α＝sin π＋αcos π＋α＝－sin α－cos α＝tan α，当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈Z ，则sin n π＋αcos n π＋α＝sin 2k π＋αcos 2k π＋α＝sin αcos α＝tan α， ∴sin n π＋αcos n π＋α＝tan α.规律方法1．三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． 2．含有kπ＋α的三角函数式的化简：用诱导公式进行化简，碰到kπ＋α的形式时，常对k 分奇数、偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．变式训练化简：cos θ＋4πcos 2θ＋πsin 2θ＋3πsin θ－4πsin 5π＋θcos 2－π＋θ. 【解】 cos θ＋4πcos 2θ＋πsin 2θ＋3πsin θ－4πsin 5π＋θcos 2－π＋θ ＝cos θcos 2θsin 2θ＋πsin θsin π＋θcos 2θ＝cos θsin 2θ＋πsin θsin π＋θ＝－cos θsin 2θsin θsin θ＝＝－cos θ. 思想方法技巧转化与化归思想典例 (14分)设f (θ)＝ 2cos 32π－θ＋sin 2π＋θ＋cos －θ－32＋2cos 2π－θ－cos π＋θ，求f (π3)的值． 【思路点拨】 先将f (θ)的式子化简，再把θ＝π3代入求值． 【规范解答】 ∵f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ 3分＝2cos 3θ－cos 2θ＋cos θ－22＋2cos 2θ＋cos θ6分 ＝2cos 3θ－1－cos θcos θ－12cos 2θ＋cos θ＋29分 ＝cos θ－12cos 2θ＋cos θ＋22cos 2θ＋cos θ＋2 ＝cos θ－1，12分∴f (π3)＝cos π3－1＝－12.14分思维启迪1．本题先由诱导公式将函数式化简，将函数式的角度统一，然后利用sin 2θ＋cos 2θ＝1，统一函数名称，这样就可以避免因为公式交错使用导致混乱．2．在计算、化简、证明三角函数式时，常采用化繁为简、化异为同、化切为弦、“1”的代换、整体代换等方法，这些都体现了三角函数问题中转化与化归的思想．1．明确各诱导公式的作用2.诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.当堂双基达标1．cos (－π3)＝________. 【解析】 cos (－π3)＝cos π3＝12. 【答案】 122．已知sin (π＋θ)<0，cos (π－θ)<0，则角θ的终边在第________象限． 【解析】 ∵sin (π＋θ)＝－sin θ<0， ∴sin θ>0，∵cos (π－θ)＝－cos θ<0，∴cos θ>0， ∴θ为第一象限角．【答案】 一3．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值等于________． 【解析】 原式＝(12)2＋(22)2＋2×(－12)＋(－22)2＝14. 【答案】 144．已知cos α＝14，求sin 2π＋αcos －π＋αcos －αtan α的值． 【解】sin2π＋αcos －π＋αcos －αtan α＝sin α－cos αcos αtan α ＝－cos α＝－14. 课后知能检测 一、填空题1．已知sin (π＋α)＝45且α是第四象限角，则cos (α－2π)＝________. 【解析】 sin (π＋α)＝－sin α＝45，sin α＝－45，cos (α－2π)＝cos α＝35. 【答案】 352．sin 2(π＋α)－cos (π＋α)cos (－α)＋1的值为________． 【解析】 原式＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 【答案】 23．已知sin (45°＋α)＝513，则sin (225°＋α)＝________.【解析】 sin (225°＋α)＝sin (180°＋45°＋α)＝－sin (45°＋α)＝－513. 【答案】 －5134．若cos 100°＝k ，则tan 80°的值为________．【解析】 cos 80°＝－cos 100°＝－k ，且k ＜0.于是sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，从而tan 80°＝－1－k 2k .【答案】 －1－k 2k5．若f (sin x )＝cos 17x ，则f (12)的值为________．【解析】 由sin x ＝12得x ＝π6＋2kπ，k ∈Z 或x ＝5π6＋2kπ，k ∈Z .当x ＝π6＋2kπ时，f (12)＝cos [17×(π6＋2kπ)]＝cos 5π6＝－32； 当x ＝5π6＋2kπ时，f (12)＝cos [17×(5π6＋2kπ)]＝cos π6＝32. 【答案】 －32或326．化简sin n π＋αcos n π－αcos[n ＋1π－α]的结果为________． 【解析】 当n 为偶数时，原式＝sin αcos αcos π－α＝sin αcos α－cos α＝－sin α，当n 为奇数时，原式＝－sin α－cos αcos α＝sin α. 【答案】 (－1)n ＋1sin α(n ∈Z )7．已知cos (α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.【解析】 由cos (α＋β)＝－1知α＋β＝2kπ＋π(k ∈Z )，∴β＝2kπ＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan (2kπ＋π－α)＝tan (π－α)＝－tan α＝－2.【答案】 －28．(2013·盐城高一检测)已知sin (π－α)＋3cos (π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________． 【解析】 ∵sin (π－α)＋3cos (π＋α)＝0，即 sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310. 【答案】 310 二、解答题9．(2013·扬州高一检测)求值：sin 2840°＋cos 540°＋tan 225°－cos 2(－330°)＋sin (－210°)． 【解】 原式＝[sin (2×360°＋120°)]2＋cos (360°＋180°)＋tan (180°＋45°)－[cos (180°＋150°)]2－sin (180°＋30°) ＝sin 2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 2150°＋sin 30° ＝(32)2－1＋1－(－32)2＋12＝12.10．(1)已知cos (π＋α)＝－12，且3π2<α<2π，求sin (2π－α)的值； (2)已知sin (α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求 2sinα－π＋3tan 3π－α4cos α－3π的值． 【解】 (1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12. ∵3π2<α<2π， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. ∴sin (2π－α)＝－sin α＝32.(2)∵sin (α＋π)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.∵sin αcos α<0，∴cos α>0，∴cos α＝1－sin 2α＝35. ∵tan α＝sin αcos α＝－43，∴2sinα－π＋3tan 3π－α4cos α－3π ＝－2sinπ－α＋3tan π－α4cos π－α＝－2sin α－3tan α－4cos α＝－2×－45－3×－43－4×35＝－73. 11．化简：sin[k ＋1π＋θ]·cos[k ＋1π－θ]sin k π－θ· cos k π＋θ(k ∈Z )． 【解】 当k 为奇数时，不妨设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[2n ＋2π＋θ]·cos[2n ＋2π－θ]sin 2n π＋π－θ·cos 2n π＋π＋θ＝sin θ·cos θsin π－θ·cos π＋θ＝sin θ·cos θsin θ·－cos θ＝－1；当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈N ，则原式＝sin[2n ＋1π＋θ]·cos[2n ＋1π－θ]sin 2n π－θ·cos 2n π＋θ＝sinπ＋θ·cos π－θsin －θ·cos θ＝－sin θ·－cos θ－sin θ·cos θ＝－1.总之，sin[k ＋1π＋θ]·cos[k ＋1π－θ]sin k π－θ·cos k π＋θ＝－1.教师备课资源 备选例题 设tan (α＋87π)＝a . 求证：sin 157π＋α＋3cos α－137πsin 20π7－α－cos α＋227π＝a ＋3a ＋1. 【思路探究】 本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求角．【自主解答】 左边＝sin[π＋87π＋α]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋87π]－cos[2π＋α＋8π7]＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝tan α＋87π＋3tan α＋87π＋1＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴等式成立．规律方法对于利用诱导公式证明三角恒等式的问题，解题的关键在于公式的灵活运用，思路在于如何配角，如何分配角之间的关系，其中要特别注意函数名称与正负号的正确判断．备选变式证明：tan 2π－θ·sin －2π－θ·cos 6π－θcos θ－πsin 5π＋θ＝tan θ. 【证明】 左边＝tan －θsin －θcos －θcos π－θsin π＋θ＝－tan θ·－sin θ·cos θ－cos θ·－sin θ＝tan θ＝右边．∴原等式成立．。
高中数学：必修四 1.3 三角函数的诱导公式
《三角函数的诱导公式》（第一课时）教学设计重庆市育才中学校 屈洋【教学内容及学情分析】本节课的教学内容是诱导公式（二）、（三）、（四），在此之前，学生已学习了角的概念的推广、弧度制、任意角三角函数的定义及同角三角函数之间的关系，学生已初步学会在单位圆中用任意角的三角函数的定义分析解决简单的问题（如推导同角三角函数基本关系）.初中虽然已经学习了锐角三角函数，但是锐角已经难以解释生活中的一些现象，因此需要将角扩充到任意角，但是随之而来的问题是该怎么求任意角的三角函数值，因此需要研究任意角的三角函数求值的基本方法，这是三角函数中的重要问题之一.本节课的教学要紧扣任意角的三角函数的定义，利用单位圆的对称性，通过两个角的终边的对称关系，揭示相关角之间的三角函数值的关系，从而把求任意角的三角函数值问题转化为求0°到90°的三角函数值问题.【教学目标设计】普通高中数学课程标准要求能“借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（απαπ±±、2的正弦、余弦、正切）”.本节课中学生应掌握角απ±、α-的正弦、余弦和正切的诱导公式，能理解公式的探求思路，能正确地运用诱导公式（一）、（二）、（三）、（四）将任意角化为锐角并求出或查表其正弦、余弦和正切值.学生应经历如下知识发生发展过程：首先，本节课的知识生长点是什么，即为什么要研究任意角的三角函数值的求法；其次，研究的方法什么，即回到任意角的三角函数的定义，结合角与角的终边的对称关系得到两个角的三角函数的关系；再次，突破公式中α的任意性这个难点，找到函数名变化和符号变化的规律，得到公式的记忆诀窍；最后，体会并逐步加强对诱导公式的理解，即诱导公式实质上体现了三角函数的周期性、对称性和奇偶性.通过学习本部分内容，学生应初步学会回归定义，体会运用数形结合、化归、类比、特殊到一般的数学思想探究问题的过程.【教学重点、难点分析】本节课的教学重点是理解并掌握诱导公式，运用诱导公式把任意角的三角函数值问题转化为︒︒90~0的角的三角函数值问题.教学难点是公式的推导方法与记忆法则.教学中要紧扣任意角的三角函数的定义和角的终边的对称性发现并推导公式，引导学生从函数名变化和符号变化的规律中找到记忆方法，要突破α的任意性对公式记忆的障碍，说明α取锐角和取任意角时公式记忆方法的一致性.【教学策略分析】从教学任务来看，本节课属新授课，以传授新知识、教给新方法、发展新能力为主要任务，教学中应以“规律学习”为中心内容. 因此教学过程中注重以“探究法”教学为主，创设情境，引导学生自主探索，合作探究，努力让每一位同学参与到新知识的发生发展过程中去.教学内容设计上，精心做好对知识生成的过程性铺垫，设计认知冲突，激发学生兴趣.加强对学生学习难点的分解设计，层层推进.教学技术手段上，充分媒体软件，动态改变角的终边位置，从而体现角的终边的对称关系，便于学生借助单位圆直观判断任意角α与α-、απ±的终边的位置关系，感受诱导公式的本质，加深对公式的理解.【教学过程】：（一）情景引入（引发认知冲突，激发学习兴趣）如图所展示的图片是天津之眼，是一座跨河建设，桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能，是世界上唯一建设在桥上的摩天轮.在乘坐摩天轮的过程中，随着摩天轮的旋转即角α变化，我们离地面的高度对应变化，其实，在这种一圈一圈转动的运动形式背后，也蕴涵了丰富的数学内涵（如：对称性、周期性），下面我们先看一个具体的数学问题：【教师提问1】：如图，摩天轮轴心为O ，轴心到地面距离为d ，轴半径设为1 ，当我们乘坐摩天轮从点P 逆时针运动到1P 时，旋转角︒=30α，此时距离地面高度h 为多少？摩天轮继续转动，你能用任意时刻的旋转角α表达离地高度h 吗？【教师提问2】：你能用任意时刻的旋转角x 表示离地高度h 吗？设计意图：体会生活中的周期现象，初步学会用三角知识刻画周期变化规律；通过分析，学生发现要求高度h ，只需求出角α（任意角）的正弦即可；初步学会抽象实际问题成数学问题的基本方法；激发认知冲突，引出本课课题.（二）问题探究【教师提问3】：已知1sin 302︒=，你还能求哪些角度的正弦值？请给出理由. （注：教师根据情况启发学生，引导学生回顾三角函数定义，发现sin30︒的值即角30︒的终边与单位圆交点的纵坐标）【学生探究1】：单位圆中数形结合发现角3015021030︒︒︒-︒、、、的终边有对称性，由此猜测还可以求上述角的正弦值.【教师提问4】：上述结论中的30︒可以换成任意锐角α吗？【学生探究2】：根据任意角三角函数定义，结合对应角的终边的对称性，发现对任意锐角α均有如下结论成立：sin()sin αα-=-,sin()sin παα-=,sin()sin παα+=-.【教师提问5】：当α为任意角时以上四组公式还成立吗？为什么？【学生探究3】：由前面的分析方法知，当α为任意角时以上四组公式还成立.（注：选择一种情况比如α为第二象限角时作简要分析，学生演示，其余情况留给学生课下验证）【教师提问6】：对任意角α如下结论还成立吗?cos()cos αα-=, cos()cos παα-=-, cos()cos παα+=-. tan()tan αα-=-, tan()tan παα-=-, tan()tan παα+=.【学生探究4】：学生结合余弦、正切的定义，利用上述方法得到结论：上述结论均成立.设计意图：通过特殊角度终边的对称关系，结合正弦定义得到初步结论，掌握回到正弦的定义证明结论的基本方法，再由特殊到一般得到一系列猜想并证明，初步体会终边关于原点、x 轴、y 轴对称的两个角的三角函数的关系.同时将角α推广到任意范围，层层递进，逐步加强学生对对称性的认识.（三）总结发现【教师提问7】：利用角α与α-、απ±的终边的对称关系，我们得到以上三组结论，加上终边相同的角的同名三角函数值相同，一共四组结论，它们对解决相关数学问题和后续学习有什么意义呢？通过分析公式特征，学生发现上述几组结论可以将终边位于第二、三、四象限的角的三角函数值问题转化为求锐角三角函数值的问题.教师顺势点题.【教师总结点题】：我们初中就学习过锐角和锐角三角函数，但是︒︒90~0的角已经难以解释生活中的一些现象，如跳水运动员向前翻腾三周半等等，因此必须对角进行扩充，可是角一旦扩充成了任意角，就像龙中之虎放归大山，然而放虎容易收虎难！既然能将锐角扩充到任意角，就必然随之准备好将任意角重新“收缩”到锐角的手段，这个手段就是我们今天得到的上述几组结论，以它们为工具“诱使”、“引导”任意角重新回笼，化为锐角，所以我们称此公式为“诱导公式”.【教师提问8】：你能找到上述四组公式的记忆法则吗？请用简洁的语言概括这四组公式.【学生探究5】：学生小组讨论，交流观点，共同寻找公式规律.（注：如果学生遇到障碍，教师可尝试先选定一组同名三角诱导公式，比如cos()cos αα-=, cos()cos παα-=-,cos()cos παα+=-让学生观察，并指导学生从函数名变化与符号变化的两个角度寻求规律）公式记忆法则可以归纳为一句话：函数名不变，符号看象限.【教师提问8】：当α为任意角时以上四组公式还成立吗？为什么？同前面的分析方法知，当α为任意角时以上四组公式还成立.（注：教师可选择一种情况比如α为第二象限角时作简要分析，配合动画演示，其余情况留给学生课下验证）设计意图：让学生领悟诱导公式对后续学习与研究的巨大意义，点明本节课的课题并说明公式名称的由来，加强学生对学习诱导公式必要性的认识；公式记忆是学习诱导公式的必经环节，让学生弄清口诀“函数名不变，符号看象限”的具体含义，简要分析并得到结论：当α为任意角时以上四组公式还成立且将α看作锐角时跟α为任意角时的符号规律一致.（四）知识应用：【情景引入中的摩天轮问题解决】（学生讲解，教师点评）【教师提问9】：当摩天轮继续转动，现在你能计算当︒=150α时对应高度h 的值吗？当︒-=240411、πα呢？ 【练习】：计算下列角的三角函数值，总结解题方法. (1)65tanπ (2) )2040cos(︒- 学生展示计算过程和计算结果，得到运用诱导公式求三角函数值的一般方法与步骤：负化正，大化小，化到锐角才算了.设计意图：具体运用公式解决实际问题，初步体会感知并总结运用诱导公式求三角函数值的一般方法与步骤，让学生形成归纳总结的习惯.（五）课堂小结（1）本节课我们探究学习了哪些知识？它们有何意义与作用？运用诱导公式求解三角函数值的一般步骤与方法是什么？（2）研究过程中具体体现了哪些数学思想或方法？谈谈本节课你还有什么收获或者困惑？（六）课外探究本节课中我们研究了终边关于坐标轴和原点对称的角的三角函数值的关系，请思考：坐标系中的角的终边之间除了上述的对称关系还有还有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗?（七）课外作业（人教版数学第四册27页练习第1-6题）（八）板书设计。
1.3三角函数的诱导公式教案[1]
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1.3.1三角函数的诱导公式（一）一、教学目标：1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
二、重点与难点：重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学法与教学用具： （1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题； （2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯． 四、教学过程：创设情境：我们知道，任一角α都可以转化为终边在)2,0[π内的角，如何进一步求出它的三角函数值？ 我们对)2,0[π范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)2,2[ππ内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想 研探新知1. 诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos)3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到)2,0[π角后，又如何将)2,0[π角间的角转化到)2,0[π角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。
那么它们的三角函数值有何关系呢？若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？特别地，角α-与角α的终边关于x 轴对称，由单位圆性质可以推得：ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二）特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三）特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四） 所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。
三角函数的诱导公式--教案
1.3 三角函数的诱导公式（一）1.3 三角函数的诱导公式（一）【教学目标】1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.2.通过诱导公式的推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.3. 通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．【教学重点与难点】1 教学重点 诱导公式的推导及应用2 教学难点 相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
【教学过程分析】在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习.在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式.【教学过程】 一、 复习引入1. 在单位圆中三角函数的定义2. 公式一的回顾sin(2π)sin ,cos(2π)cos tan(2π)tan (Z),k k k k αααααα+=+=+=∈，（实质是终边相同的角的三角函数值的关系）二、新课讲授A.【终边关于原点对称的角的三角函数值的关系】1.探究角α与角π+α的终边与单位圆的交点P1、P2之间有怎样关系？2.设点P1(x，y)，那么点P2的坐标怎样表示？3.引导学生通过探究得出角α与角π+α的三角函数值的关系：即 sinα与sin(π＋α)，cosα与cos(π＋α)，tanα与tan(π＋α)的关系如何？4.归纳总结出诱导公式二：()()()sinπsin cosπcos tanπtanαααααα+=-+=-+=5.同步练习。
B.【用类似的方法，引导学生自主探究终边分别与角α的终边关于x轴、y轴对称的角与α的数量关系】1.引导学生用上述同样的思路研究:(1)终边关于x轴对称的角的三角函数值的关系;(2)终边关于y轴对称的角的三角函数值的关系.2.学生独立思考并自主探究，归纳得出公式三和公式四。
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公开课教案
教学课题： 1.3三角函数的诱导公式
教学时间：2014.11.20第七节课教学地点：北楼一楼授课班级：高一（2）班执教人：杨启刚●三维目标
1．知识与技能
(1)理解正弦、余弦的诱导公式．
(2)培养学生化归、转化的能力．
2．过程与方法
(1)能运用公式一、二、三推导公式四．
(2)掌握诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
3．情感、态度与价值观
通过公式四的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．
●重点、难点
重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明，提高对数学内部联系的认识．
难点：发现圆的几何性质(特别是对称性)与三角函数性质的联系.式的关系．●教学建议
1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路．利用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)与单位圆(形)得到紧密结合，成为一个整体，不仅大大简化了诱导公式的推导过程，缩减了认识、理解诱导公式的时间，而且还有利于学生对公式的记忆，减轻了学生的记忆负担．2．诱导公式应当在理解的基础上记忆，而且应当使学生学会利用单位圆帮
助记忆．教科书对诱导公式的特点进行了概括，教学中要留有时间让学生思考、讨论、归纳，引导学生建立各组公式与相应图形的联系，并对各个公式的异同进行比较，以此加深公式的理解．
●教学过程
设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，π＋α的角的终边与单位圆交于点P2.
1．点P2的坐标是什么？
【提示】P2(－x，－y)
2．根据三角函数的定义，你能得出角π＋α与角α的三角函数值间的关系吗？
sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α.
任意角α与－α的终边与单位圆的交点有怎样的位置关系？
你能用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系吗？
sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.
任意角α与π－α的终边与单位圆的交点有怎样的位置关系？
1．公式四：sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；tan(π－α)＝－tan_α.
2．公式一～四可以概括为：
α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
例1 （1） cos225 ° （2） （3） （4）cos(-2040 °) 规律方法
1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．若这时角是90°到180°间的角，再利用180°－α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是180°～270°间的角，则用180°＋α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是270°～360°间的角，则利用360°－α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数．
2．求已知角三角函数值时，一般先把负角化为正角．再化为0～2π范围内
的三角函数，最后化成0～π2范围内的三角函数求值．
(1)； （2）
【思路探究】 将式中各三角函数中的角构造诱导公式中需要的形式进行化简．
规律方法
1．进行三角函数式化简时：一是注意化异角为同角、化异名为同名、化异
)
180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--⋅--+⋅+οοοο)
sin()3sin()cos()cos()2sin(πααπαπαπαπ--⋅-⋅-+⋅-π311sin )316sin(π-
次为齐次即化异为同是关键；二是对“切弦混合”问题，一般作“切化弦”处理．2．化简结果要求是：角尽量少，函数名尽量少，函数次数尽量低，尽量不含分母，若必须有分母时分母中尽量不含根式等．
课堂小结
1．诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题．要熟记口诀“函数名不变，符号看象限”，并在解题过程中去理解和掌握．
2．诱导公式是一个有机的整体，解题时要根据角的特征，选取适当的公式进行化简计算.
3．由诱导公式可以看出，在三角函数中，角和三角函数值之间是多值对应关系，一个角对应一个三角函数值，而一个三角函数值则对应多个角．
作业布置：习题A组3题，B组1题。