理论力学7—刚体的基本运动-改

7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时， 刚体内任意一点都作圆周运 动，圆心在轴线上，圆周所 在的平面与轴线垂直，圆周 的半径R等于该点到轴线的 垂直距离。 设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B 位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐 标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是
上式两边求一阶及二阶导数，则得
A
vA vM
因此
aA a M
v A 0.4m / s
aA 0.4m / s 2
例7-3 在刮风期间，风车的角加速度 0.2q rad / s 2 ，其中转 s 角θ 以rad计。若初瞬时 q0 0, w0 6rad /，其叶片半径为0.75m 。 q）时其顶端 P 点的速度。 4 rad 试求叶片转过两圈（
则有：
n1 3000 n3 86r / min i13 34.8
7.5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
角速度矢量w 从转轴上任一点画出，其长度按比例
尺由 w w j 决定，指向由右手法则确定。
z
k w
以 k 表示Z轴的单位矢量，如图，则
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7.2 刚体绕定轴的转动
如图，两平面间的夹角 用 j 表示，称为刚体的转角。 转角 j 是一个代数量，它确 定了刚体的位置，它的符号 规定如下：自z轴的正端往 负端看，从固定面起按逆时 针转向计算取正值；按顺时 针转向计算取负值。并用弧 度(rad)表示。
7.2 刚体绕定轴的转动
当刚体转动时，角 j 是时间t的单 值连续函数，即 j f (t ) 这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 转角 j 对时间的一阶导数，称为刚 体的瞬时角速度，用w表示: dj w j dt 角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s (弧度/秒)表示。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针 转动时角速度取正值，反之取负值。
R
M
如图所示。
a r aw v w v O r
an
w r
综上所述：转动刚体上任一点的 速度等于刚体的角速度矢量与该 点矢径的矢量积；任一点的切向 加速度等于刚体的角加速度矢量 与该点矢径的矢量积；任一点的 法向加速度等于刚体的角速度矢 量与该点速度的矢量积。
方向如图所示。
M点的全加速度及其偏角为
2 a a2 an (0.4) 2 (0.8) 2 0.894 m / s 2
a arctg 2 arctg0.5 2634 w
如图。
a Ma a an R O
现在求物体A的速度和加速度。因为
s A sM
at
at
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a at 2 an2 R a 2 w 4 at a tan q 2 an w
(1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。
(2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间 的夹角q 都有相同的值。
w
w v a
O
dv d dw dr a (w r ) r w dt dt dt dt
即
将上式对时间求一阶导数，有
w r
z
于是
a r w v a r an w v
7.2 刚体绕定轴的转动
角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加 速度，用字母a表示，即
dw d 2j a w 2 j dt dt
角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用 rad/s2 (弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量。 如果 w与 a 同号，则转动是加速的；如果 w与 a异 号，则转动是减速的。
例7-1 齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用 来改变转速和转向。如图，已知r1、 r2、 w1、 1， 求w2、 2 。
解：因啮合点无相对滑动，所以
t v1 v2 , a1t a2
1
r1
w1
O1
v1 v2 at1 at2
w2
O2 r2
2
由于
v1 r1w1, v2 r2w2
w1 r2 i12 w2 r1
例2-4 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为 Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13； (b)如果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
n2 3
2
n3 4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4 i13 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z3
P ω
dw dw dq dw w 解： dt dq dt dq
w
dw 0.2q dq
4
0
α
w wdw
w
0
0.2q dq
w 2 0.2(4 )2 w02 w 8.221rad / s v rw 6.166m / s
7.4 轮系的传动比
主动轮与从动轮角速度之比称为传动比，记为i12。
Leabharlann Baidu
rA
O
aA aB
rB
aB
B2
y
x
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一 瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一 点的运动。
7.2 刚体绕定轴的转动
在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上 有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运 动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直 线称为转轴。
t a1t r11 , a2 r2 2
于是可得
r1 r1 w2 w1 , 2 1 r2 r2
即
w1 1 r2 w2 2 r1
例7-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
7.4 轮系的传动比
1) 齿轮传动
w1 R2 i12 w2 R1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径 成反比。
由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故
w1 z2 i12 w2 z1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比 与它们的齿数成反比。
7.4 轮系的传动比
2) 带轮传动
法向加速度为：
v ( Rw ) 2 an Rw R
2 2
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度) 的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直 距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加 速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同； 如果w与a异号，刚体作减速转动， at与v的指向相反。 这两种情况如图所示
7.2 刚体绕定轴的转动
匀速转动
w Const j j0 wt
工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单 位是转/分(r/min)， w与n的转换关系为
2 w n n 0.1n 60 30
匀变速转动
w w0 a t
1 2 j j 0 w0 t a t 2
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7.1 刚体的平行移动
如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最 初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。
摆式输送机的料槽
夹板锤的锤头
直线行驶的列车车厢
7.1 刚体的平行移动 rA rB BA
z
A
vA aA vB
B B1
A1
A2
v A vB
s Rj
动点速度的大小为
ds dj v R Rw dt dt
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与 该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切 线而指向转动的一方。
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点M的加速度有切向加速度和法向加速度，切向 加速度为：
第七章 刚体的基本运动
7 刚体的基本运动 • 刚体的平动 • 刚体的定轴转动 • 转动刚体上各点的速度和加速度 • 轮系的传动比 • 以矢量表示角速度和角加速度· 以 矢积表示点的速度和加速度
7.1 刚体的平行移动
如果在物体内任取一直线段，在运动过程 中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种 运动称为平行移动，简称平移。
w wk jk

z
如图。
对上式求导，则的角加速度矢量
dw dw k k dt dt
角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二 者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时， 刚体越转越慢。
k

z
如图，在轴线上任选一点O为原点， R 动点的矢径用 r 表示，则点M的速度可 M 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， r 即 v w r
dv d dw at ( Rw ) R Ra dt dt dt
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度) 的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离 的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值 时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
O
R
dj w 2t 4 dt
求当t=1s时，则为
2rad / s 2 w 2rad / s
2 2 2
d 2j 2 2 dt
A
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
v Rw 0.4m / s a R 0.4m / s an Rw 0.8m / s
z
R
M
a r aw v w v O r
an
w r