7、第七章刚体的基本运动
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刚体的基本运动
转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
v r 0.4 50 20 m / s
an r 0.4 50 1000 m /s
2 2
2
例7-4 定轴轮系如图7-9所示，主动轮I通过轮齿
与从动轮II轮齿啮合实现转动传递。主动轮I和从动轮 II的节圆半径分别为r1、r2，齿数分别为z1、z2。设I轮 的角速度为 1 （转数为n1），角加速度为 1 ；II轮的 角速度为 2（转数为n2），角加速度为 2 。试求上
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an
ω
2
（7-13）
在给定瞬时，刚体的角速度和角加速度有确 定的值，对刚体上任何点都是一样。因而，在同一瞬 时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度 a 的大小均与
该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v 的方向都垂直
O轴作定轴转动，其转动方程为 t 2 4t （1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速 a M 度和角加速度为 d 2t 4 rad / s
当
t 1s，直杆AB上D点的速度和加速度。
解：由于O1A与O2B平行等
第7章刚体的简单运动
2 =0.2 × (-2)=-0.4 m/s aM= r
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
7刚体的平面运动
7.2 求平面图形内各点速度的基点法 例题
例7-1 在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连
杆AB长l，曲柄以匀角速度转动，当OA与铅垂线的 夹角 = 45时，OA正好与AB垂直，试求此瞬时AB杆
的角速度、AB杆中点C的速度及滑块B的速度。
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7.2 求平面图形内各点速度的基点法
选速度已知的点A为基点
而vDA ＝II·r2。
O
vDA
I
所以
II
vDA r2
0 (r1 r2 )
r2
以A为基点, 分析点B的速度。 vB vA vBA
II
vDA r2
0 (r1 r2 )
r2
vBA II BA 0 (r1 r2 ) vA
vBA与vA垂直且相等, 点B的速度
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7.3 求平面图形内各点速度的瞬心法 7.3.2 速度瞬心法
几点讨论
每瞬时平面图形上都存在唯一的速度瞬心。它可 位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。 瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有不 同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加速度 并不等于零。 平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成是 绕一系列的速度瞬心的转动。
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8.1 刚体平面运动的运动方程 绕基点转动的特点
基点不同转角相同
B
1 2
A
ω1 ω2
B
B
A
A
1 2
结论：任意瞬时，平面图形绕其平面内任意基 点转动的角速度与角加速度都相同。
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7.1 刚体平面运动的运动方程
讨论
选择不同的基点，平面图形随同基点平移的速度和 加速度不相同。 相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无 关。于是可以直接称为平面运动的角速度和角加速度 今后标注平面图形的角速度和角加速度时，只需注 明它是哪个刚体的，不必注明它是相对于哪个基点。
刚体的简单运动
5
运动学
例 题 7- 1
第七章 刚体的简单运动
O1 l A O
（+）
O2 l M B
荡木用两条等长的钢索 平行吊起，如图所示。钢索 长为长 l ，度单位为 m 。当荡 木摆动时钢索的摆动规律 π t，其中 t 为 为 ϕ = ϕ 0 sin 4 时间，单位为s；转角φ0的单 位 为 rad ， 试 求 当 t=0 和 t=2 s 时，荡木的中点M的速度和加 速度。
这里ϕ 0和ω 0是t = 0 时转角和角速度。
13
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆 周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转 轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。 用自然法， 点在 Δ t时间内，走过的弧长为 Δs=Δϕ R 速度
d 2 rB d2 d 2 rA aB = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
4
运动学
第七章 刚体的简单运动
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论 平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样， 加速度都一样 各点的运动轨迹 形状相同。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
π s = ϕ 0 l sin t 4
ds π π = lϕ 0 cos t dt 4 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v=
7
运动学
例 题 7- 1
O1 O2
第七章 刚体的简单运动
再求一次导，得A点的切向加速度
φ l
A O
（+）
l M B
π dv π2 at = =− lϕ 0 sin t dt 16 4
运动学
例 题 7- 1
第七章 刚体的简单运动
O1 l A O
（+）
O2 l M B
荡木用两条等长的钢索 平行吊起，如图所示。钢索 长为长 l ，度单位为 m 。当荡 木摆动时钢索的摆动规律 π t，其中 t 为 为 ϕ = ϕ 0 sin 4 时间，单位为s；转角φ0的单 位 为 rad ， 试 求 当 t=0 和 t=2 s 时，荡木的中点M的速度和加 速度。
这里ϕ 0和ω 0是t = 0 时转角和角速度。
13
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆 周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转 轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。 用自然法， 点在 Δ t时间内，走过的弧长为 Δs=Δϕ R 速度
d 2 rB d2 d 2 rA aB = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
4
运动学
第七章 刚体的简单运动
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论 平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样， 加速度都一样 各点的运动轨迹 形状相同。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
π s = ϕ 0 l sin t 4
ds π π = lϕ 0 cos t dt 4 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v=
7
运动学
例 题 7- 1
O1 O2
第七章 刚体的简单运动
再求一次导，得A点的切向加速度
φ l
A O
（+）
l M B
π dv π2 at = =− lϕ 0 sin t dt 16 4
第七章--刚体的基本运动
ω1 α1
O2
ω2
某瞬时主动轮Ⅰ的角速度为ω1 ， 角加速度为α1，试求该瞬时从动
α2
轮Ⅱ 的角速度ω2和角加速度α2 ， 本例ω1、ω2、α1、α2都代表绝对
值。
第七章 刚体的基本运动
应用运动学
例题3
Ⅰ
a2ta1tv2v1
r1O1
Ⅱ
r2 M2M1
ω1 α1
O2
ω2
α2
解： 两齿轮节圆相切并无相对滑 动，故两轮啮合点M1与M2恒有 相同的速度与切向加速度。即
应用运动学
角速度矢量
角加速d度矢量(angular acceleration vector)
dt
加速度矢积
at R r
因此:
an
at 2
R
r
v
因此: an v
数z2。
Ⅴ DⅣ
ⅠⅡ
n1
Ⅲ
第七章 刚体的基本运动
应用运动学
思考题
解: 对于直接啮合的齿轮或用齿条联动的一对齿轮，转
速与齿数成反比。以 n 表示转速，则：
n2 n3 , n4 n5 ,
n2 z1 , n4 z3 n1 z2 n3 z4
Ⅴ DⅣ
因而
n4 n1
z1 z2
z3 z4
轮Ⅳ的转速为
应用运动学
例题2
vM
at
aM
M
O an
αω
A vA
aA
物体A作直线平移，轮缘上M点
随滑轮作圆周运动，由于细绳不能
伸长，物体A与M点的速度大小相等，
A的加速度与M点切向加速度的大小
也相等，于是有
vA vM aA at
第七章：刚体的简单运动
ϕ = f (t) 角速度 ω = d ϕ
dt
M0
rr
ϕ
O
M
角速度表示刚体转动的快慢和方向，单位为弧度/ 秒（rad/s），是代数量。
角加速度
α
=
dω
dt
=
d 2ϕ
dt 2
角加速度表示角速度变化的快慢，单位为弧度/秒2
（rad/s2），是代数量。
§7-2 刚体绕定轴的转动
ω与α同号，转动加速
α ω
vr A = vr B
rrA
vrB
O
rrB B B1 B2
y
x
vr A = vr B
继续求导，则
dvrA = dvrB dt dt ar A = ar B
§７-１刚体的平行移动
z
A rrA
vrA A1 arvrAB
A2
O
rrB B arBB1 B2
y
x
当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同、在 每一瞬时，各点的速度和加速度相同。
角速度矢量
ωr
⎧⎪大 ⎪⎪⎨作
小 用
ωr
线
= 沿
ω
轴
= 线
dϕ
dt 滑动
矢
量
⎪
⎪
⎪⎩指 向 右 手 螺 旋 规 则
ωr = ωkr
角加速度矢量
αr
=
dωr
=
dω
r k
=
α
r k
dt dt
2 绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
vv = ωv × rv 速度
⎪⎧大小： ωv ⋅ rv sinθ = ωv R = vv
ω2 α2 +ω4
av
dt
M0
rr
ϕ
O
M
角速度表示刚体转动的快慢和方向，单位为弧度/ 秒（rad/s），是代数量。
角加速度
α
=
dω
dt
=
d 2ϕ
dt 2
角加速度表示角速度变化的快慢，单位为弧度/秒2
（rad/s2），是代数量。
§7-2 刚体绕定轴的转动
ω与α同号，转动加速
α ω
vr A = vr B
rrA
vrB
O
rrB B B1 B2
y
x
vr A = vr B
继续求导，则
dvrA = dvrB dt dt ar A = ar B
§７-１刚体的平行移动
z
A rrA
vrA A1 arvrAB
A2
O
rrB B arBB1 B2
y
x
当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同、在 每一瞬时，各点的速度和加速度相同。
角速度矢量
ωr
⎧⎪大 ⎪⎪⎨作
小 用
ωr
线
= 沿
ω
轴
= 线
dϕ
dt 滑动
矢
量
⎪
⎪
⎪⎩指 向 右 手 螺 旋 规 则
ωr = ωkr
角加速度矢量
αr
=
dωr
=
dω
r k
=
α
r k
dt dt
2 绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
vv = ωv × rv 速度
⎪⎧大小： ωv ⋅ rv sinθ = ωv R = vv
ω2 α2 +ω4
av
第七章 刚体的基本运动
7
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第7章-刚体力学
d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有
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第七章
刚体的基本运动
第七章
刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动(平动)
如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平 行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动。 vA A1 A A2
rA2
平面平行四连杆机构
o
rB
r r B A A B
vA vB aA aB
M 点和物体 A 的速度和加速
A
度。
解：
首先根据滑轮的转动规律，求得它的角 速度和角加速度
vM M
0 .45 t2
代入 t =2 s， 得
0 . 9 t
O
α
ω
1 . 8 rad s 1 . 8rad s ,
－ 1
－ 2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
O1 an
φ
O2
v an A C v
B
A0
v v v l A B C
d2s dv aτ 2 0 dt dt
(l )2 2 a l n l v2
2 a a a a l A n n 2 2
2 a a a l C A n
3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线 4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同
滑轮的半径 r=0.2 m ，
可绕水平轴 O 转动，轮缘上
缠有不可伸长的细绳，绳的
M O α ω
一端挂有物体 A （如图）， 已知滑轮绕轴 O 的转动规律 φ=0.15t3 ，其中t以s计，φ 以 rad 计，试求 t=2 s 时轮缘上
A
－ 1 v r 0 . 36 m s M
加速度的两个分量
－ 2 a r 0 . 36 m s t
vM at
aM
O α
φ
an ω
M
a r 0 . 648 m s n
2
－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
－ 2 a a a 0 . 741 m s M t n 2 2
－ 1 v v 0 . 36 m s A M
ω
A
－ 2 a a 0 . 36 m s A t
vA
aA
它们的方向铅直向下。
半径 R=20 cm 的滑轮可绕 水平轴 O 转动，轮缘上绕有不 能伸长的细绳，绳的另一端与
M R
O
v
滑轮固连，另一端则系有重物 A ，设物体 A 从位置 B 出发，以 匀加速度 a =4.9 m· s － 2 向下降
dt
角加速度:
常用转速n（每分钟的转数，单位为r/min）来表示转 动部件转动的快慢。角速度与转速之间的关系为
2πn πn ＝ 60 30
匀速运动，ω=常数，ε=0
d dt
t 0 , t 0 0
匀变速运动，ε=常数 d t 0 , 0 0
§7-2 刚体绕定轴的转动 在一般情况下，运动的 π 刚体或其扩大部分内有一条 φ 固定不动的直线，这种运动 称为刚体绕固定轴转动，简 称定轴转动。这条固定不动 的直线称为转轴（转动轴）。
转角:
转动方程: 角速度:
z
φ φ=φ(t) d
2 d d 2 dt dt
落，初速 v0=4 m· s － 1 ，求当物
B
体落下距离s =2 m时轮缘上一
s
A
点 M 的速度和加速度。
解:
根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
v 2 as v 5 . 96 m s
2 0
－ 1
M R
O
v
M点的切向加速度
dv at a. dt
2 2asv0 an R
当刚体平行移动时,其上各点的轨迹、速度、 加速度也完全相同。刚体的平动可以归结为刚 体内一点的运动。
例： 如图所示机构,已知杆O1A与 O2B 长度相等且相互平 行。曲杆O1A为l，以匀角速度ω= 2 rad/s绕O1点转动，试 求任一瞬时刚体ABC上，点C的速度和加速度。 解：根据题意，刚体ABC 作平动。只需求出A点或B 点的速度和加速度即可。 ds s l l t v A l dt
n 2 a a cos 60 r
O
φ
两式相除：
a
tg60 2 2 3 d 3 2
d 3 2 d
d
0
3d
0
dt
d d 3 2 dt d
d
3 d
3
0e
M点的法向加速度
B
v2
M点的总加速度
2 2 － 2 a a a 178 m s t n
s
A
练习题：一飞轮绕固定轴O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某 段运动过程中与轮半径的夹角恒为600，当运动开始时，其转角 φ0=0， 初角速度为 ω0，求飞轮的角速度与转角的关系。 解：
τ a a sin 60 r
dt
0 t 1 2 0 0t t 2
2 2 0 2( 0 )
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
速度:
s R 大小： v s R R
方向：
v
切向加速度:
a s R R
o
s
R M
2 2 v ( R ) 2 法向加速度: a R n R R
全加速度:
aa a n
tg a an
2 2 4 2 a a a R n
§7-4 轮系的传动比
ω1
ω2 r2
v r r 1 1 2 2
传动比： ω1 r1
A
tan 2 0 .556 ,
29
vM a O α an
at M
因为物体 A 与轮缘上 M 点的 运动不同，前者作直线平移， 而后者随滑轮作圆周运动 ，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体 A 与 M 点的速度大小相等， A 的加速度与 M 点切向加速度的 大小也相等，于是有
r1
v
r2 ω2
1 r2 i12 2 r1
R z2 1 2 i12 R z 2 1 1
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定 2）两齿轮啮合时： 接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
接触点的切向加速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
刚体的基本运动
第七章
刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动(平动)
如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平 行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动。 vA A1 A A2
rA2
平面平行四连杆机构
o
rB
r r B A A B
vA vB aA aB
M 点和物体 A 的速度和加速
A
度。
解：
首先根据滑轮的转动规律，求得它的角 速度和角加速度
vM M
0 .45 t2
代入 t =2 s， 得
0 . 9 t
O
α
ω
1 . 8 rad s 1 . 8rad s ,
－ 1
－ 2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
O1 an
φ
O2
v an A C v
B
A0
v v v l A B C
d2s dv aτ 2 0 dt dt
(l )2 2 a l n l v2
2 a a a a l A n n 2 2
2 a a a l C A n
3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线 4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同
滑轮的半径 r=0.2 m ，
可绕水平轴 O 转动，轮缘上
缠有不可伸长的细绳，绳的
M O α ω
一端挂有物体 A （如图）， 已知滑轮绕轴 O 的转动规律 φ=0.15t3 ，其中t以s计，φ 以 rad 计，试求 t=2 s 时轮缘上
A
－ 1 v r 0 . 36 m s M
加速度的两个分量
－ 2 a r 0 . 36 m s t
vM at
aM
O α
φ
an ω
M
a r 0 . 648 m s n
2
－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
－ 2 a a a 0 . 741 m s M t n 2 2
－ 1 v v 0 . 36 m s A M
ω
A
－ 2 a a 0 . 36 m s A t
vA
aA
它们的方向铅直向下。
半径 R=20 cm 的滑轮可绕 水平轴 O 转动，轮缘上绕有不 能伸长的细绳，绳的另一端与
M R
O
v
滑轮固连，另一端则系有重物 A ，设物体 A 从位置 B 出发，以 匀加速度 a =4.9 m· s － 2 向下降
dt
角加速度:
常用转速n（每分钟的转数，单位为r/min）来表示转 动部件转动的快慢。角速度与转速之间的关系为
2πn πn ＝ 60 30
匀速运动，ω=常数，ε=0
d dt
t 0 , t 0 0
匀变速运动，ε=常数 d t 0 , 0 0
§7-2 刚体绕定轴的转动 在一般情况下，运动的 π 刚体或其扩大部分内有一条 φ 固定不动的直线，这种运动 称为刚体绕固定轴转动，简 称定轴转动。这条固定不动 的直线称为转轴（转动轴）。
转角:
转动方程: 角速度:
z
φ φ=φ(t) d
2 d d 2 dt dt
落，初速 v0=4 m· s － 1 ，求当物
B
体落下距离s =2 m时轮缘上一
s
A
点 M 的速度和加速度。
解:
根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
v 2 as v 5 . 96 m s
2 0
－ 1
M R
O
v
M点的切向加速度
dv at a. dt
2 2asv0 an R
当刚体平行移动时,其上各点的轨迹、速度、 加速度也完全相同。刚体的平动可以归结为刚 体内一点的运动。
例： 如图所示机构,已知杆O1A与 O2B 长度相等且相互平 行。曲杆O1A为l，以匀角速度ω= 2 rad/s绕O1点转动，试 求任一瞬时刚体ABC上，点C的速度和加速度。 解：根据题意，刚体ABC 作平动。只需求出A点或B 点的速度和加速度即可。 ds s l l t v A l dt
n 2 a a cos 60 r
O
φ
两式相除：
a
tg60 2 2 3 d 3 2
d 3 2 d
d
0
3d
0
dt
d d 3 2 dt d
d
3 d
3
0e
M点的法向加速度
B
v2
M点的总加速度
2 2 － 2 a a a 178 m s t n
s
A
练习题：一飞轮绕固定轴O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某 段运动过程中与轮半径的夹角恒为600，当运动开始时，其转角 φ0=0， 初角速度为 ω0，求飞轮的角速度与转角的关系。 解：
τ a a sin 60 r
dt
0 t 1 2 0 0t t 2
2 2 0 2( 0 )
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
速度:
s R 大小： v s R R
方向：
v
切向加速度:
a s R R
o
s
R M
2 2 v ( R ) 2 法向加速度: a R n R R
全加速度:
aa a n
tg a an
2 2 4 2 a a a R n
§7-4 轮系的传动比
ω1
ω2 r2
v r r 1 1 2 2
传动比： ω1 r1
A
tan 2 0 .556 ,
29
vM a O α an
at M
因为物体 A 与轮缘上 M 点的 运动不同，前者作直线平移， 而后者随滑轮作圆周运动 ，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体 A 与 M 点的速度大小相等， A 的加速度与 M 点切向加速度的 大小也相等，于是有
r1
v
r2 ω2
1 r2 i12 2 r1
R z2 1 2 i12 R z 2 1 1
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定 2）两齿轮啮合时： 接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
接触点的切向加速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定