复数知识点归纳

复 数

【知识梳理】

一、复数的基本概念

1、虚数单位的性质

i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=

2、复数的概念

（1）定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做 ，b 叫做 。全体复数所成的集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R ) 对于复数的定义要注意以下几点：

①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘

②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式

（2）分类：

例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(2

-++-是实数？虚数？纯虚数？

二、复数相等 ),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==⇔+=+

也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等

注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小

例题：已知0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值

三、共轭复数

bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔

bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_

b a z z +=⋅

四、复数的几何意义

1、复平面的概念

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义

复数bi a z +=与复平面的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）

相等的向量表示同一个复数

例题：（1）当实数m 为何值时，复平面表示复数i m m m m z )145()158(2

2--++-=的点

①位于第三象限；②位于直线x y =上

（2）复平面)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→

CD 对应的复数

3、复数的模：

向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =

若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2

221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值

五、复数的运算

（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R

①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±

②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③222

1)()()()())(()()(d c i

ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++

=-⋅+-+=++=

（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给

出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→

＋

OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→

.

六、常用结论

（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i

求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次

例题：=675i

（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-

（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3

-=±i

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )

(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )

(5)复数的模实质上就是复平面复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )

【考点自测】

1.(2015·)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( )

A.3＋3i

B.－1＋3i

C.3＋i

D.－1＋i

2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )

A.－2－i

B.－2＋i

C.2－i

D.2＋i

3.在复平面，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )

A.4＋8i

B.8＋2i

C.2＋4i

D.4＋i

4.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2

等于( )

A.3－4i

B.3＋4i

C.4－3i

D.4＋3i

5.已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.

【题型分析】

题型一 复数的概念

例1 (1)设i 是虚数单位.若复数z ＝a －103－i

(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 (2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1

z 2为纯虚数，则复数z 1z 2

的虚部为( ) A.1 B.i C.25

D.0 (3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2

＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件