随机过程 第三讲

定义 性质
混合型
定义 性质
三类随机变量之例(p.31-33)
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随机向量
样本空间是高维欧氏空间 和随机变量的本质区别
不仅有分量（随机变量）的概率信息 还有分量之间的关联信息
描述
联合概率质量函数 联合概率分布函数 联合概率密度函数 降维：边界概率（质量、分布、密度）函数
联合概率分布（密度）函数的性质(2.4) 随机向量的例子
对于自然数集 N 1,2,3,4,5,L ，偶数集合
是一个子集 E 2,4,6,L ，但我们将N中的 n
和 E 中的2n建立对应关系，就发现这是一 个双射。 自然数旅馆的“故事” 不可数集合的“部分等于全体”
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无穷大的趣闻——三次数学危机
第一次危机：无理数的发现（正方形的 对角线）
x
2
2, x
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对“无穷问题”的评价：大脑的概念和 存在性问题（认识主体和客体的关系）。
11
事件和Borel集
事件：样本空间中满足一定条件的全体 元素构成子集，“一定条件”有事件的 意义，因此称样本空间的子集为事件。
（举例说明）
不可能事件 必然事件 基本事件：可数和不可数 Borel集：规定了事件的全体及其相容性
原像集
像集 单射（不同的原
f
像具有不同的像）
f a1 f a2
4
满射（每一个像都有原像）
原像集
像集
f
b, a, s.t.
b f a
5
双射（既是单射，又是满射）
原像集
像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两 个集合，其所含元素的“个数”一样多。
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可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的 一个子集建立双射关系的集合称为可数 集合；否则称为不可数集合。 可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念，是对无穷的分类。 已经证明连续的区间，和实数集等都是 不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
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概率空间的定义
阅读讲解p.16定义2.1 理解概率空间
概率空间是对随机现象的基本建模方法 概率空间有三个要素：样本空间、Borel事
件集、概率集函数,(S,B,P) 样本空间和Borel事件集是随机系统的输出 概率集函数对事件发生可能性的大小进行了
先验的量化
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概率空间的建模方法
舍弃了对输出某个结果机制的观察，而 是观察某个结果的输出可能性 是对输出结果的统计观察 先验量化的理由有许多 完成先验量化的是概率集函数
《随机过程》教程
第三讲 随机对象（一）
本章要义（阅读引言部分）
本章介绍如何对随机现象建立数学模型。
根本思想是对随机系统的输出机制不加考虑，而是对 输出样本的可能性大小进行先验地规定。
按照随机系统输出样本的差异，有三类随机对象
随机变量、随机向量（瞬态观察） 随机过程（过程观察）
如何描述、刻画这三类随机对象
证明 应用意义 在连续情形下的推广
Bayes公式
16
随机对象
样本空间的标准化：同构 随机对象是抽象的概念（图2.4） 三类具体的随机对象
随机变量、复随机变量 随机对象 随机过程
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随机变量
用一维实数集合标准化了的样本空间，或者说 样本空间是实数集合 此时，概率集函数则有相应的形式
概率质量函数（pmf,probability mass function）（离
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RV的独立性和条件分布
独立的定义(定义2.8) 条件概率分布（密度）函数的定义 性质2.5
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总结
样本空间、事件集合 概率空间（三要素） 条件概率：全概率公式、Bayes公式 随机对象 随机变量 随机向量 三类函数及其性质
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作业
2.4 2.7 2.12 2.19 2.20 2.26 2.27
n m
n2
2m2
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n
2n1
m2 2n12 m 2m1 n12 2m12 L L
第二次危机：微积分中的无穷小量（确 定无穷小是运动的量，无限趋于零但不 等于零）
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第三次数学危机
罗素悖论
A x is set x x,
if A A, then A A; if A A, then A A.
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概率集函数
概率集函数的标准化 概率集函数的性质2.1 证
明
概率集函数的确定：从基本事件集上进 行扩充
可数样本空间概率集函数的确定（p.18） 不可数样本空间概率集函数的确定（p.19）
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条件概率 P
A
|
B
P A B PB
,
P
B
0
理解意义：此时条件已经成了必然事件 阅读p.20 独立性的概念 全概率公式
第一章的总结和第二章的总结可以合并成一次，注意：总结应包 含两部分内容
一是内容总结； 二是学习心得，即自己的理解、体会及思想
书本内容的理解 定理及习题新的证明 书本知识用途举例 等等
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《随机过程》第三讲“随机对象 （一）” 终
27
7
无穷大的分类
0, 1 ,2 ,3,……(自然数集合的无限多 为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有 子集构成的集合的势为2 ， ……)，在数 学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等之 间不能建立双射的关系。
8
对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立
完全描述 不完全描述
2
概率空间
认识随机系统
举例，p.13-14
要点：随机系统的关键在于输出的不可预知性，但 对输出的范围是清楚的。因此给出样本空间是关键
认识样本空间
可数和不可数 瞬态和过程
插入部 分
标准化：数、向量、函数
下一 张
3
关于可数和不可数
集合的映射：单射、满射和双射(p.23)
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概率密度函数的性质
理解：单位长度上的概率（密度） 性质2.3的证明 连续和离散样本空间皆可描述 再强调质量分布的比喻
20
离散型随机变量
定义 概率质量函数 概率分布函数（Heavyside函数的表述） 概率密度函数（delta函数的表述）
Delta函数的定义性质
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连续型和混合型随机变量
连续型
散样本空间）
概率分布函数(cdf,cumulative distribution function)
（离散和连续样本空间）
概率密度函数(pdf,probability density function)（离散
和连续样本空间）
广义导数的定义
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概率分布函数的性质
理解：是累积概率(总质量) 性质2.2的证明 好处：不论离散样本空间还是连续样本 空间，皆可以描述概率的分布。