随机过程第六章

S

b
a
f (t ) X (t )dt
16Байду номын сангаас
定理6.7
f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为

b b
a a
f (t1 ) f (t 2 ) RX (t1 , t 2 )dt1dt2

存在。二阶矩过程X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为RX(t1,t2) 在[a,b]×[a,b]上可积。
X (t ) lim 1 T 2T

T
T
X (t )dt 常数
时间平均
集合平均
20
定义6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，若
X (t ) lim

T
以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若
1 2T


T
T
X (t ) dt m X
联合平稳过程自相关函数的性质
1) RXY ( ) RX (0) RY (0), RYX ( ) RX (0) RY (0);
2 2
2) RXY ( ) RYX ( ), 当X (t ), Y (t )为实联合平稳过程时,有 RXY ( ) RYX ( ), 注意无对偶性.

1 X (t ) X (t ) lim T 2T
T
T
X (t ) X (t ) dt RX ( )
以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。
定义6.11 如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T}的均值和相关函数都具有各态历 经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。
18
t
推论：设X (t )均方可微，且X (t )均方连续，则 X (t ) X (a) X (t )dt.
a t
及
X (b) X (a) X (t )dt.
a
b
例6.7：设{X (t ), t T }是实均方可微过程，求其导数过程 {X (t ), t T }的协方差函数BX (s, t )．
做和式
n i 1
max{(ti ti 1} n
1i n
Sn f (ti' )X (ti' )(ti ti 1 ),
ti 1 ti' ti
如果当Δ n→0时，Sn均方收敛于S，即
n 0
lim E | S n S |2 0
则称f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，记作
R X (t , t ) E[ X (t ), X (t )]
x x x x

1 2 1 2
f 2 ( x1 , x2 ; t , t )dx1dx2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2
R X ( )
严平稳过程+二阶矩过程=宽平稳；反之不成立。
h0
lim E |
X (t h) X (t ) X (t ) |2 0 h dX (t ) X (t h) X (t ) l.i.m h0 dt h
则称X(t)在t点均方可微，记作 X (t )
14
二阶矩过程的相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数记作
2 RX (t1 , t 2 ) t1t2 RX (t h1 , t h2 ) RX (t h1 , t ) RX (t , t h2 ) h1h2 = lim h 1 RX (t , t ) h2 h1h2
定理6.8 设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有
1、E[ f (t ) X (t )dt ] f (t ) E[ X (t )]dt
a a
b b a
b
b
E[ X (t )dt]
a
b

a
b
E[ X (t)]dt
a
b
2、E[ f (t1 ) X (t1 )dt1 f (t2 ) X (t2 )dt2 ]
5
例题1： 设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性。 例题2： 设{Xn，n=0, ±1, ±2, …}是实的互不相关随机变量序列，且 E[Xn]=0,D[Xn]=σ2。试讨论随机序列的平稳性。
例题3： 设{Xn，n= 1, 2, …}是相互独立且都服从N(0,1)的随机变量序列， {Yn，n= 1, 2, …}是相互独立且都服从 ( 3, 3) 上的均匀分布的随机 变量序列，且Xn 与Yn 相互独立， n= 1, 2, …。令
9
收敛性概念
对于概率空间(Ω ,F,P)上的随机序列{Xn}每个试验结果e都对应一序列，如 果该序列对每个e都收敛，则称随机序列{Xn}处处收敛，即满足
n
lim X n X
称二阶矩随机序列{Xn(e)}以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，即
P{e : lim X n (e) X (e)} 1
严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确 定。
2
宽平稳过程的定义
设{X(t),t∈T}是随机过程，如果 1、{X(t),t∈T}是二阶矩过程； 2、对任意t∈T，mX(t)=EX(t)=常数；
3、对任意s,t ∈T，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(s-t) 。
i , j 1
R
n
X
(ti , t j )a i a j 0
5、若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX(τ )=RX(τ 6、若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当| τ 相互独立，则
| |
+T)；
|→∞时，X(t)与X(t+ τ )
8
lim R X ( ) m X m X
n
或称{Xn(e)}几乎处处收敛于X(e)，及作 X n X
a.e
称二阶矩随机序列{Xn(e)}依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任给 ε>0，有
lim P{| X n e X (e) | } 0
n
记作
Xn X
P
10
设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有
X n，若n为奇数 Zn Yn，若n为偶数
证明{Zn，n= 1, 2, …}是宽平稳过程，但不是严平稳过程。
6
联合平稳过程
设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是两个平稳过程，若它们的互相关函数
E[ X (t ) Y (t ) ] 和 E[Y (t ) X (t )]仅与τ 有关，而与t无关，则称X(t) 和Y(t)是联合平稳随机过程。
n
lim E[| X n X |2 ] 0
成立，则称{Xn}均方收敛于X，记作
Xn X
m. s
l.i.m X
n
n
X
称二阶矩随机序列{Xn}依分布收敛于二阶矩随机变量X，若{Xn}相应的分 布函数列{Fn(x)}，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有
n
lim Fn ( x) F ( x)
n , m
12
定理6.4 设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在：
n , m
lim E[ X n X m ]
定义6.6 设有二阶矩过程{X(t),t∈T}，若对每一个t∈T，有
h 0
lim E[| X (t h) X (t ) |2 ] 0
h 0
1、l.i.mcn lim cn c
n
n
2、l.i.mU U
3、l.i.m(cnU ) cU 4、l.i.m(aX n bYn ) aX bY
5、 lim E[ X n ] E[ X ] E [l .i.mX n ]
n
6、lim E[ X nYm ] E[ XY ] E[(l .i.mX n )(l .i .mYm )]


当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。
7
平稳过程自相关函数的性质
设{x(t),t∈T}为平稳过程，则其相关函数具有下列性质： 1、

R X (0) 0
2、 R X ( ) R X ( ) 3、 | RX ( ) | RX (0) 4、RX(τ )是非负定的，即对任意实数t1,t2, …,tn及复数a1,a2, …,an，有
a

b
a
f (t1 ) f (t2 ) RX (t1 , t 2 )dt1dt 2

E|
定理6.9
X (t )dt | R
2 a a a
b
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续，则 Y (t ) a X ( )d 在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
mX (t ) xf1 ( x)dx mX

2 2 ( X (t )) E[ X 2 (t )] X mx

若随机过程X(t)为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。
4
对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)， 若令ε=-t1，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ)