回归模型的建立与分析

x
1
2
3
4
5
6
Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
由计数器算得 Zˆ =0.69X 1.112 则有 yˆ=e0.69x1.112
（3） yˆ
6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9
y
6
12 25
49
95
190
n
n
n
n
eˆi2 ( yi yˆi )2 3.1643, ( yi y)2 yi2 ny2 25553.3.
6
6
x2i ＝2 275，xiyi＝1 076.2
i＝1
i＝1
计算得，^b≈0.183，^a≈6.285， 所求回归直线方程为^y ＝0.183x＋6.285. (2)列表如下： yi－^yi 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025 yi－－y －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
【例2】 下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x＝40时y的值． 审题指导 (1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变 量x、y是否线性相关．由散点图得x、y之间的回归模型． (2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程．
n

yi－－y 2
i＝1
_预__报__变量变化的贡献率，R2 越接近于 1，表 示回归的效果越好
引导探究
【例1】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影 响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x5
10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析． [思路探索] 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说 明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样 本点的带状分布区域的宽窄．
[自主解答] (1)散点图如图
－x ＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5， －y ＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
3．刻画回归效果的方式
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－y^i)是随
残差
机误差．称e^i＝yi－y^i 为残差，e^i 称为相应于点(xi，yi)的
n
残差. (yi－y^i)2 称为残差平方和
i＝1
残差 图
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为__残__差_， 横坐标可以选为_样__本__编__号__，或_身__高__数__据__，或 _体__重__估__计__值__等，这样作出的图形称为残差图
x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
求得回归直线方程为^z ＝0.272x－3.849，
∴^y ＝e0.272x－3.849.
(8 分)
残差
yi
7
11
21
24
66
115 325
^yi 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325
y/个
3
4
25 49
56
95 190
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些
数据的散点图； （2） 描述解释变量与预报变量
繁殖个数
之间的关系；
（3） 计算残差、相关指数R2.
解：（1）散点图如右所示
天数
的周（围2，）于由是散令点Z图=l看n出y,样则本点分布在一条指数函数Cy=1eC2x
i=1
i 1
Leabharlann Baidu
i 1
i=1
R2 1 3.1643 0.9999. 25553.3
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.
强化补清
完成教材全解相关内容
目标升华：
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量 是预报变量。
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它 们之间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线 性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
独立自学
1．回归分析 回归分析是对具有_相__关__关__系__的两个变量进行统计分析的一 种常用方法．
2．线性回归模型 (1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不 是一条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的 关系，因此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b 为未知参数，e为_随__机__误__差__ ．
^ei 0.557 －0.101 1.875 －8.950 9.23 －13.381 34.675
(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1 131.
(10分) (12分)
小结 解决非线性回归问题的方法及步骤 (1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、 对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问 题； (4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程．
[规范解答] (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y
不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布
在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待
定的参数．
(4分)
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则 有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，(a＝ln c1，b＝ c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间 的非线性回归方程了，数据可以转化为：
6
所以
6
(yi－^yi)2≈0.013 18，
(yi－－y )2＝14.678 4.
i＝1
i＝1
所以，R2＝1－01.40.61378148≈0.999 1， 回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大， 需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果 有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据 可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平 带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以 上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系． 规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差 分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面．
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应 残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在 异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
为了研究某种当细菌堂随诊时学间x变化，繁殖的个数，收
集数据如下：
天数x/ 1 2
天
繁殖个数 6 12
课题导入
前面我们已经初步学习了线性回归分析这节课我们继 续来对回归模型的建立和分析做一些探讨
本节课我们将介绍相关知识
目标引领
了解随机误差、残差、残差分析的概念； 会用残差分析判断线性回归模型的拟合效
果； 掌握建立回归模型的步骤； 通过对典型案例的探究，了解回归分析的
基本思想方法和初步应用．
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高
残差平 方和
n
残差平方和为__i＝_1__(y_i_－__^y_)2，残差平方和_越__小__，
模型拟合效果越好
相关指 数R2
n
yi－^yi2
i＝1
R2 ＝ 1 －
，R2 表示_解__释__变量对