高考数学专题练习：平面向量的综合应用 (含参考答案)

数学 平面向量的应用

一、选择题

1．若O 为△ABC 内一点，|OA →|＝|OB →|＝|OC →

|，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心

D ．重心

2．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝2，则|BA →＋BD →＋BC →

|＝( ) A ．5 B ．35 C ．45

D ．25

3．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →

)＝0，则△ABC 的形状为( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．正三角形

D ．等腰直角三角形

4．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．2

5．已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →

等于( ) A ．－5

2

B ．5

2

C ．0

D ．532

6．在△ABC 中“AB →·BC →

<0”是“△ABC 为锐角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

7．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝14λ

DC →，则AE →·AF →

的最小值为( )

A ．29

18

B ．7

8

C ．17

18

D ．158

8．(安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测数学试题)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12

AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的

最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．3

D ．43

二、填空题

9．已知向量a ＝(λ，－6)，b ＝(1，－2)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_______．

10．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.DE →·DC →

的最大值为________． 11．已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x 4)．若m ·n ＝1，则cos(2π3－x )＝ ___ ．

12．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →

＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．

三、解答题

13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(c －2b ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，且m ⊥n ．

(1)求角A 的大小；

(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求△ABC 的面积．

14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n ．

(1)求角B 的大小；

(2)设BC 中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．

1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行，则A ＝( )

A ．π

6

B ．π

3

C ．π

2

D ．2π3

2．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →

，λ∈R ，若BQ →·CP →

＝－32

，则实数λ＝( )

A ．1

2

B ．1±22

C ．1±102

D ．－3±222

3．已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →

|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝ ．

4． (2018·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是_________，最大值是 ___ ．

5．(2018·广西南宁摸底)已知向量m ＝(2cos x ，sin x )，n ＝(cos x,23cos x )(x ∈R )，设函数f (x )＝m·n －1．

(1)求函数f (x )的单调增区间；

(2)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝2，B ＝π

4，边AB ＝3，求边BC ．

【参考答案】

一、选择题

1．若O 为△ABC 内一点，|OA →|＝|OB →|＝|OC →

|，则O 是△ABC 的( B ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心

D ．重心

[解析] 由向量模的定义知O 到△ABC 的三顶点距离相等，故O 是△ABC 的外心，故选B ．

2．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝2，则|BA →＋BD →＋BC →

|＝( C ) A ．5 B ．35 C ．45

D ．25

[解析] 由平行四边形法则可得BA →＋BC →＝BD →，则原式＝2|BD →

|＝2

42＋22＝45．

3．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →

)＝0，则△ABC 的形状为( A )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．正三角形

D ．等腰直角三角形

[解析] ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，∴CB →·[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝CB →·(AB →＋AC →

)＝0，由此可得△ABC 中，BC 与BC 边上的中线垂直，∴△ABC 为等腰三角形，故选A ．

4．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．2

[解析] ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝

02＋(sin θ－cos θ)2＝

1－sin2θ．

∴|a －b |最大值为 2.故选B ．

5．已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →

等于( A )