南丁格尔玫瑰图
半径不等的扇形图
半径不等的扇形图（极区图南丁格尔玫瑰图风玫瑰图）标签：半径不等扇形图不等宽柱形图分类：Excel | 图表2010-12-24 20:47半径不等的扇形图文/ ExcelPro的图表博客一位读者曾来信询问Excel能否制作如下的图表。
说实话，我不大喜欢这个图，感觉它显得很狰狞的样子。
其实用一个简单的柱形图、条形图来比较不是就可以了吗？最近网上流传一个Facebook与Twitter比较的信息图表，也是这种类型的图，并且加入了百分比堆积。
又引起很多人的询问：“Excel可以做这样的图吗？”人似乎总是喜欢一些新奇、复杂的东西。
这种图从外观特征上看是一种“半径不等的饼图”，老外似乎称为fanchart，可以翻作扇形图。
它用扇区的角度和半径分别反映2个度量。
有个老外Andy曾经介绍一种Excel做法，完成效果如下图。
20101225 update：谢谢后知后觉朋友的指出，这种图为南丁格尔所发明，名为极区图或南丁格尔玫瑰图，以下是相关资料：出于对资料统计的结果会不受人重视的忧虑，她发展出一种色彩缤纷的图表形式，让数据能够更加让人印象深刻。
这种图表形式有时也被称作「南丁格尔的玫瑰」，是一种圆形的直方图。
南丁格尔自己常昵称这类图为鸡冠花图（coxcomb），并且用以表达军医院季节性的死亡率，对象是那些不太能理解传统统计报表的公务人员。
她的方法打动了当时的高层，包括军方人士和维多利亚女王本人，于是医事改良的提案才得到支持。
其实这种图一方面很难读懂，另一方面视觉误导很大，因为半径长一点，面积就会大很多，完全不成比例。
尽管如此，这篇日志还是讨论一下Excel中模仿制作这种图的方法。
作图思路：每一个扇区其实是一个雷达图序列，有多少个扇区就是使用多少个序列。
每个序列有360个数据点，对应一个圆圈，且只在部分角度上（对应度量1）出现数值（对应度量2），其他数据点均为0。
下图是数据准备的过程和生成的图表效果。
作图步骤：1、数据组织。
棕色简约复古风南丁格尔人物介绍宣传PPT课件
感谢您的倾听
主讲人：代用名
南丁格尔出生于意大利的一个英国上流社会的家庭。 在德国学习护理后，曾往伦敦的医院工作。
于1853年成为伦敦慈善医院的护士长。克里米亚战争 时，她极力向英国军方争取在战地开设医院，为士兵 提供医疗护理。她分析过堆积如山的军事档案，指出 在克里米亚战争中，英军死亡的原因是在战场外感染 疾病，及在战场上受伤后没有适当的护理而伤重致死， 真正死在战场上的人反而不多。她更用了圆形图以说 明这些资料。
南丁格尔于1854年10月21日和38位护士到克里米亚野战医院工作。成为该 院的护士长，被称为“克里米亚的天使”又称“提灯天使”。
由于南丁格尔的努力，让昔日地位低微的护士，于社会地位与形象都大为 提高，成为崇高的象征。“南丁格尔”也成为护士精神的代名词。她是世 界上第一个真正的女护士，开创了护理事业。“5.12"国际护士节设立在南 丁格尔的生日这一天，就是为了纪念这位近代护理事业的创始人。
弗洛伦斯•南丁格尔
中文名 弗洛伦斯•南丁格尔 外文名 Florence Nightingale 别 名 提灯女神 国 籍 英国 民 族 英格兰人 出生日期 1820年5月12日 逝世日期 1910年8月13日 毕业院校 剑桥大学、弗里奈尔护理学校 职 业 护士 主要成就 世界上第一个真正的女护士，开创了护理事业 出生地 意大利佛罗伦萨 信 仰 基督教 代表作品 南丁格尔玫瑰图；《医院札记》；《护理札记》
主要事件
英国、法国、土耳其联军与沙皇俄国在克里米
亚交战。克里米亚战争爆发。由于没有护士且
医疗条件恶劣，英国的参战士兵死亡率高达 42%。南丁格尔主动申请担任战地护士，率领 38名护士抵达前线服务于战地医院，为伤员解 决必须的生活用品和食品，对他们进行认真的
写人类习作范文——统计学家南丁格尔
写人类习作范文——统计学家南丁格尔1820年5月12日，南丁格尔出生于英国一个上层家庭。
父亲威廉·爱德华·南丁格尔毕业于剑桥大学三一学院，从家族继承了一大笔财富。
母亲弗朗西斯·南丁格尔·史密斯是国会议员、废奴主义者威廉·史密斯的女儿。
在一个充满自由精神和人道主义情怀的富裕家庭长大，南丁格尔和姐姐从小就接受了那个时代大多数女性无法享有的全面教育，包括算术、植物学、法语、地理、绘画和钢琴。
南丁格尔对数学情有独钟，在她的一再要求下，父亲聘请了一位很大牌的老师詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特来教她。
西尔维斯特在矩阵理论上做过重要的工作，并发现了三次方程的判别式，被同行评价为“精通最现代的科学形式”。
一些讲统计学方法的著作也在当时的文化圈中流行。
其中，比利时天文学家、气象学家和统计学家阿道夫·凯特勒的作品给了南丁格尔很大启发。
凯特勒于1835年出版了《人类论》，描述了他所提出的“平均水平的人”这一概念，其特征是遵循正态分布的测量变量的平均值。
我们熟悉的体质指数（BMI）量表也是凯特勒开发的。
南丁格尔从他那里学到的是，要有条不紊地记录一切事实。
1837年至1839年旅行期间，她对所经之处的法律、土地制度、社会条件和慈善机构做了细致的观察和记录。
1854年冬，当南丁格尔从慈善医院带着38名女性志愿护士赶到土耳其司库塔里的军营，发现那里的士兵因为营养不良、卫生奇差、空气污浊以及过度劳累而大批死去，导致其丧生概率远远高于阵亡时，她第一时间拿起她的统计学和统计图形学知识作为武器。
南丁格尔最早出版的书之一——《关于影响英国军队健康、效率和医院管理事项的说明》（1858年），就用翔实的统计数据表明，英军的高死亡率是由营地糟糕的卫生条件造成的。
她以此告诫决策者，“我们的士兵应征入伍，在军营中被处死”。
书中使用了后来被称为“南丁格尔玫瑰图”的极坐标区域图，来突出显示战争期间因疾病而死亡的人数。
基于R语言数据可视化-类别数据可视化
R 语言
贾俊平
Chap 3
类别数据可视化
3.1 条形图及其变种 3.2 树状图 3.3 马赛克图及其变种 3.4 关联图和独立性检验P值图 3.5 气球图和热图 3.6 南丁格尔玫瑰图 3.7 金字塔图 3.8 饼图及其变种
Chap 3
类别数据可视化
简单条形图 帕 累 托图 并 列条 形 图 堆 叠条 形 图 不等 宽 条 形 图 脊形图
气球图
l 气球图是用气球大小表示数据的图形，它画出的是一个图形 矩阵，其中每个单元格包含一个点（气球），其大小与相应 数据的大小成比例
l 气球图可用于展示由两个类别变量生成的二维列联表，也可 以用于展示具有行名和列名称的其他数据
l 绘图的数据形式是一个数据框或矩阵，数据框中包含至少三 列，第1列对应第1个类别变量，第2列对应第2个类别变量， 第3列是两个类别变量对应的频数或其他数值
35
数据可视化
12/15/2019
3.5
气球图——例题分析
【例3-1】 使 用 ggpubr包 中 的 ggballoonplot 函数可以绘制气 球图
图气球图和热图
36
数据可视化
12/15/2019
3.5
图气球图和热图
气球图——例题分析
【例3-1】 使 用 ggpubr 包中的 ggballoonplo t函数可以绘 制气球图
25
数据可视化
12/15/2019
3.3
马赛克图
马赛克图的变种——筛网图
l 使用sieve函数可以绘制筛网图（sieve plot） l 该图可用于展示二维列联表或多维列联表，图
中矩阵的面积与相应单元格的观测频数成比例， 每个矩形中的多个小正方形（网格）表示该单 元格的观测频数，网格的密度表示观察频数与 期望频数的差异
浙江省五校联考2024届高考数学模拟卷含答案
2024年浙江省高考数学模拟卷（答案在最后）命题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足1i3i z=+-，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算性质求出z ，再利用共轭复数的性质求出z ，最后利用复数和对应点的关系求解即可.【详解】由题意得1i 3iz=+-，故2(1i)(3i)33i i i 2i 4z =+-=+--=+，故2i 4z =-+，显然z 在复平面上对应的点是(4,2)-，在第四象限，故D 正确.故选：D2.设集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂=（）A.{}21,Z x x k k =+∈B.{}31,Z x x k k =-∈C.{}61,Z x x k k =+∈ D.{}61,Z x x k k =-∈【答案】D 【解析】【分析】利用最小公倍数排除A ，B ，利用奇数和偶数排除C ，求解即可.【详解】易知集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂中k 前面的系数应为2,3的最小公倍数，故排除A ，B ，对于C ，当1k =时，集合{}61,Z x x k k =+∈为{}7x x =，而令317k -=，可得k 不为整数，故{}31,Z N x x k k ==-∈不含有7，可得M N ⋂中不含有7，故C 错误，故选：D3.已知不共线的平面向量a ，b满足()()2a b a b λλ++∥ ，则正数λ=（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出λ.思路二：由共线向量基本定理即可得解.【详解】方法一：由已知有12λλ⋅=⋅，0λ>，解得λ=方法二：设()()2,R a b a b λμλμ+=+∈ ，由题意120μλλμ=⎧⎨=>⎩，解得λ=故选：B.4.传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1i i m Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（）倍A.B.mC.32mD.2m 【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布性质，根据信噪比的定义列式计算即可求解.【详解】由Y 服从正态分布()2,N ms m σ，则Y的信噪比为22s m σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又接收一次信号1X 的信噪比为2s σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22s m m s σσ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的m 倍.故选：B5.已知函数()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ-为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断.【详解】一方面，当，()ππ8k k θ=+∈Z 时，()ππcos 22πsin 244f x x k x θ⎛⎫+=+++=- ⎪⎝⎭是奇函数，()ππcos 22πcos 244f x x k x θ⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭是偶函数，故充分性成立，另一方面，当5π8θ=时，有()π5πcos 2sin 244f x x x θ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭是奇函数，()π5πcos 2cos 244f x x x θ⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭是偶函数，但此时关于k 的方程()π5ππ88k k +=∈Z 没有解，故必要性不成立，综上所述，在已知()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的情况下，“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ-为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +-+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（）A.12-或112-B.－1或－6C.32-或132- D.－2或－7【答案】C 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据2π3ACB ∠=，得到圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式求得t 的值即可.【详解】由题意可知，圆C ：22240x y x y +-+=，标准化后可得圆C ：()()22125x y -++=因为，2π3ACB ∠=，过点C 作AB 的垂线CD ，AB CD ⊥.如图所示，AC BC ==，在Rt ACD 中，π5cos 32CD ==.所以，圆心C 到直线l 的距离:52d ==因此，542t +=，解得，12313,22t t =-=-故选：C .7.已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（）A.12 B.14C.16D.18【答案】B 【解析】【分析】将排法分为两种情况讨论，再利用分类加法计数原理相加即可.【详解】依据题意，分两种情况讨论，情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在2号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻，当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种，当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种，情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位，若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种，若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种，故符合题意的情况有8614+=种，故B 正确.故选：B.8.已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC 为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.)+∞B.)+∞C.()2,+∞ D.,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】设点(),A x y，则可取),C ，代入双曲线方程整理可得22222233y a b x a b+=+，结合渐近线列式求解即可.【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为b y x a=±，设点(),A x y，则可取),C，则222222221331x y a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得2222222233y a b b x a b a +=<+，解得22b a >，即222c a a ->，可得222c a>，则c e a ==所以该双曲线离心率的取值范围是)∞+．故选：A.【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点(),A x y，根据垂直和长度关系可取),C；2.根据渐近线的几何意义可得：2222y b x a<.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（）A.()f x 在区间()2,-+∞上单调递增B.()f x 的最小值为21e -C.方程()2f x =的解有2个D.导函数()f x '的极值点为3-【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A ，B ，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C ，对()f x '构造函数再次求导，判断极值点即可.【详解】易知()()1e x f x x =+，可得()()2e x f x x +'=，令()0f x '<，(),2x ∞∈--，令()0f x '>，()2,x ∞∈-+，故()f x 在(),2∞--上单调递减，在()2,∞-+上单调递增，故()f x 的最小值为()212e f -=-，故A ，B 正确，若讨论方程()2f x =的解，即讨论()()1e 2xg x x =+-的零点，易知()2122eg -=--，()10g >，故()()120g g ⋅-<，故由零点存在性定理得到存在()02,1x ∈-作为()g x 的一个零点，而当x →-∞时，()g x →-2，显然()g x 在(),2∞--内无零点，故()()1e 2xg x x =+-只有一个零点，即()2f x =只有一个解，故C 错误，令()()()2e xh x f x x =+'=，故()()3e xh x x =+'，令()0h x '=，解得3x =-，而(0)0h '>，(4)0h '-<，故3x =-是()h x '的变号零点，即3x =-是()h x 的极值点，故得导函数()f x '的极值点为3-，故D 正确.故选：ABD10.南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）A.由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B.1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C.1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D.此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡【答案】BCD【解析】【分析】根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，分析相应的面积大小或面积变化，就能判断出选项A、B、C的正确与否，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，是由于志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而降低了不必要的死亡，所以D选项是正确的.【详解】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积，根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误；对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确；对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确；对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确,故选：BCD.11.如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OA OB +=恒成立，则l 始终和曲线C1+=相切，关于曲线C 的说法正确的有（）A.曲线C 关于直线y x =和y x =-都对称B.曲线C 上的点到11,22⎛⎫⎪⎝⎭和到直线y x =-的距离相等C.曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是,14⎤⎥⎣⎦D.曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14-【答案】BCD 【解析】【分析】根据方程与图形，进行距离和面积的相关计算，逐项判断即可.【详解】对于A ，曲线C1+=中，0,0x y ≥≥，所以不关于直线y x =-对称，故错误；对于B ，设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy =⇔+---+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=--⇔+---+=，故正确；对于C，2221OP x y =+≤=，()22222112228x y x y ⎛⎫++ ⎪+≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭，所以221[,1]8x y +∈，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是,14⎤⎥⎣⎦，故正确；对于D ，(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy =-+-=+--+=+≥，故曲线C 位于圆()()22111x y -+-=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14-．故选：BCD .三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12.若62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为160-，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得r 的值，代入列出方程，即可求解.【详解】由二项式62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()6662166C 2(()2C r r r r r r rr a T x a x x ---+=-=-，令620r -=，可得3r =，代入可得333346()2C 160160T a a =-=-=-，解得1a =.故答案为：1.13.已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =-+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．【答案】2【解析】【分析】设出公比，公差，首项，依据给定条件得到62026S S +=，进而得到132da =-，最后写出n S ，利用二次函数的性质求解即可.【详解】设{}n b 的公比为q ，故()()2223414222S b b b b q =-+=-+，()()()24612561266S b b b b b b q =++=+，可得62026S S +=，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，故得110212665a d a d++=+，化简得1230a d +=，解得132da =-，故23(1)2222n d n n S n d n n d d ---=+=，故当n S 最小时，2222d n d -=-=⨯，故得2S 是n S 的最小项，即{}n S 的最小项是第2项．故答案为：214.已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC 绕点O 逆时针旋转角2π03θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ''' ，使得两三角形所在平面的距离为3，连接AA '，AC '，BA '，BB '，CB '，CC '，得到八面体ABCA B C '''，则该八面体体积的取值范围为______．【答案】3⎛ ⎝⎦【解析】【分析】将八面体转换成四个三棱锥的体积之和，结合三角函数的值域即可得解.【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,A C AB a C A B CAB α==∠=∠=，三棱柱111ABC A B C -的高为h ，则三棱锥的体积为1121sin 6C A AB V a h α-=.引理的证明如下：()1111111111111111111112223C A AB C A AB C A ABB ABC A B C C ABC ABC A B C ABC A B C V V V V V V V -------⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭111221111sin sin 3326ABC A B C V a h a h αα-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，引理得证.事实上上述引理等价于，若三棱锥11C A AB -满足，11A C AB a ==，异面直线11,C A AB 所成夹角为α，且异面直线11,C A AB 之间的距离为h ，则三棱锥的体积为1121sin 6C A AB V a h α-=.从而由上述引理有ABCA B C A ABC C A B C A B BC A C ACV V V V V ''''''''---''-'=+++213261π261262222sin 22sin 34363363θθ⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭π1sin sin333θθ⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭11sin cos 22θθ⎫=++⎪⎪⎭π1sin 6θ⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎭．若2π03θ<<，则ππ5π663θ<+<，从而πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是1,12⎛⎤⎥⎝⎦，π1sin6ABCA B C V θ'''⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎭的取值范围是3⎛ ⎝⎦.故答案为：3⎛ ⎝⎦.【点睛】关键点点睛：关键在于对八面体的适当划分，结合体积公式以及引理即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C -．【答案】（1）12（2）24-【解析】【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得1tan 2B =；（2）由（1）得2sin cos sin sin BB A C=，再借助角B 的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解.【小问1详解】因为a ，b ，c 是等比数列，所以2b ac =，有2sin sin sin B A C =，因为1tan A ，1cos B ，1tan C 是等差数列，所以211cos cos sin cos tan tan sin sin sin sin A C BB AC A C A C =+=+=.故22sin sin 1cos sin sin sin sin B B B A C B B===.所以1tan 2B =．【小问2详解】由（1）的过程可知2sin cos sin sin B B A C =，若π3B =，则13sin sin sin cos 28A CB B ==.又由()13cos cos cos cos sin sin cos cos 28B AC A C A C A C -=-=+=-=-，得1cos cos 82A C =-，故()12cos cos cos sin sin 8284A C A C A C -=+=-+=．16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分别为1+1-．（1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P '，求PF P F '+；（3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）；（3）4.【解析】【分析】（1）设出椭圆上的点00(,)M x y ，求出||MF 的最值，进而求出,a c 即可.（2）利用椭圆的对称性及椭圆定义求解即得.（3）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的表达式，再求出最大值即得.【小问1详解】令(,0)F c -，设00(,)M x y 是椭圆22221x y a b+=上的点，则22220002(),b y a x a x a a =--≤≤，则0||c MF a x a===+，显然当0x a =-时，min ||MF a c =-，当0x a =时，max ||MF a c =+，则11a c a c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.【小问2详解】记椭圆的右焦点为F '，由椭圆对称性知，||||P F PF ''=，所以2PF P F PF PF a +=+==''.【小问3详解】显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为2x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由22222x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(2)420m y my +++=，222168(2)8(2)0m m m ∆=-+=->，则12122242,22m y y y y m m +=-=++，1222||y y m -==+，因此122|1322|||22ABFS QF y y m =-=+，令0t =>，于是24224ABF S t t =≤=+⨯ ，当且仅当2t =，即m =时取到等号，所以FAB面积的最大值4.17.如图，已知三棱台111ABC A B C -，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点.（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）取AB 中点M ，利用平行四边形的性质证明AD OM ∥，从而利用线面平行的判定定理证明即可；（2）法1（建系）：利用梯形性质证明1A O OM ⊥，建立空间直角坐标系，设))1cos C αα-，利用平面11BCC B ⊥平面11ACC A 求得,0,33C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，再利用线面角的向量公式求解即可；法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取11A C 中点N ，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，根据面面垂直的性质定理，结合线面角的定义得1AVC ∠即为所求，在直角三角形中求解即可；法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，根据三余弦定理求解即可.【小问1详解】取AB 中点M ，连接,,CM MO CO ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面，由AM 与OD 平行且相等得，ODAM 为平行四边形，故AD OM ∥，因为AD ⊄平面1OCC ，OM ⊂平面1OCC ，所以AD ∥平面1OCC .【小问2详解】法1（建系）：连接OA ，因为BA ∥1B O ，且1=2BA B O =，所以1BAOB 为平行四边形，故12AO BB ==，又点D 为线段1OA 的中点，所以1AO AD ⊥，由AD OM ∥得1A O OM ⊥，故以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则)()())11,0,2,0,0,2,0,1,0AA B B--，因为2AB BC CA ===，AB 的中点M ，所以AB CM ⊥，又AB OM ⊥，CM OM M = ,,CM OM ⊂平面CMO ，所以AB ⊥平面CMO ，又AB ⊂平面11ABB A ，所以平面CMO ⊥平面11ABB A ，设CMO α∠=，CM =，则))1cos ,0,Cαα-，设平面11ACC A 的法向量为()1111,,n x y z =，()))1,,1cos ,2,AC A C αααα=-=-- ，则()111111cos sin 01cos 2sin 0y y αααα⎧-+=⎪--+=，取11x =，则111cos sin y z αα+==，则平面11ACC A的法向量为11cos sin n αα+⎛⎫= ⎪⎝⎭ ；设平面11BCC B 的法向量为()2222,,n x y z =，()))1,1cos ,2,BC B C αααα==- ，则()222222cos sin 01cos 2sin 0y y αααα⎧+=⎪-+=，取21x =，则221cos sin y z αα+==，则平面11BCC B的法向量为21cos 1,sin n αα+⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，所以120n n ⋅=，即(1cos 1cos 110sin sin αααα++⨯+⨯=，即23cos 2cos 10αα+-=，解得1cos 3α=或cos 1α=-（舍去），故,0,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(21,n =，记直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角为θ，()1AA =，则1212sin 2AA n AA n θ⋅===，故π4θ=，即直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角π4.法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取11A C 中点N，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面11BCC B 平面11ACC A ，1CA ⊂平面11ACC A ，故1CA ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin 2A C AVC AV ∠==，所以1πsin 4AVC ∠=，故直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角的大小为π4.法3（三余弦定理）：先证三余弦定理：设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ，AC 为α平面内的一条直线，令OAC θ∠=，1OAB θ∠=，2BAC θ∠=，则这三个角存在一个余弦关系：12cos cos cos θθθ=(其中1θ和2θ只能是锐角)，称为三余弦定理，又称最小张角定理.证明：如上图，自点O 作OB AB ⊥于点B ，过B 作BC AC ⊥于C ，连接OC ，因为OB ⊥平面α，AC ⊂平面α，所以OB AC ⊥，又BC AC ⊥，BC OB B ⋂=，,BC OB ⊂平面CBO ，所以AC ⊥平面CBO ，又OC ⊂平面CBO ，所以AC OC ⊥，则cos ,cos ,cos AC AB ACOAC OAB BAC OA OA AB∠=∠=∠=，所以cos cos cos OAC OAB BAC ∠=∠⋅∠，即12cos cos cos θθθ=.延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，所以2111cos 2C VA ∠=，所以112cos 2C VA ∠=，故直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角为11π4C VA ∠=.18.第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N .甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N N X i =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =-作为N 的估计.乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果.例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅-=<.（1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值.当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明.【答案】（1）16（2）分布列见解析，()365E M =（3）()E M N <，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分别求出()5P M =和()5P Y M M <=且，代入条件概率公式计算即得；（2）根据题意，列出M 的可能取值4,5,6,7,8，利用古典概型概率公式计算概率，写出分布列，求出其均值即可；（3）直观判断()E M N <，根据随机变量均值的定义列式，并将其适当放大，利用分布列的性质即可证得.【小问1详解】由5N =，3n =知，当5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C 种可能，故()2435C 35C 5P M ===，由Y M <，有215X -<，解得3X <，故总编号和小于9，则除最大编号5外，另2个编号只能是1，2，故()35115C 10P Y M M <===且，因此()()()1511053565P Y M M P Y M M P M <=<=====且；【小问2详解】依题意，用M 作为N 的估计值，因8N =，则M 的可能取值有4,5,6,7,8，于是3348C 1(4)C 70P M ===，3448C 42(5)C 7035P M ====，3548C 11(6)C 707P M ====，3648C 202(7)C 707P M ====，3748C 351(8)C 702P M ====，于是M 的分布列如下：M 45678P170235172712故()12121364567870357725E M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】直观上可判断()E M N <，证明：因()()(1)(1)()E M nP M n n P M n NP M N ==++=+++= [()(1)()]N P M n P M n P M N N <=+=+++== .【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于，正确理解题意，将相关量合理表达，如把握,,M n N 的含义，求出()5P M =和()5P Y M M <=且；以及用M 作为N 的估计值时，M 的可能值的概率；最后对于()E M N <的推理证明.19.卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11N nn k n kk c a bn +-+==∈∑，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2nn b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n i d a n i+-<⎧=⎨≥⎩的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i -项，前1i -项都取为0．试找到数列(){}i n t ，使得(){}{}{}innint a T a ⋅=；（3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c --=-+．【答案】（1）12c =，28c =，322c =，452c =（2）()1,0,n i n i t n i=⎧=⎨≠⎩（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式，分别求出这两个数列的前四项，再根据数列{}n c 的定义求出1c ，2c ，3c ，4c .（2）通过特例(1)n t 和前面的一些项来寻找规律及性质，有效转化特殊与一般.（3）思路一：由卷积运算的交换律，得()11nkn k n k bc =+-=∑，记{}n b 的前n 项和为n S ，再利用n S 求n b .思路二：记{}n b 的前n 项和为n S ，(){}int 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列为{}nT ，易证卷积关于数列加法有分配律、卷积运算满足结合律，因此可得{}{}{}*n n n T b S =，1nn ii c S==∑，再利用n S 求n b .【小问1详解】因为n a n =，2nn b =，所以11a =，12b =；22a =，24b =；33a =，38b =；44a =，416b =.因为{}{}{}*n n n a b c =，()11N n n k n k k c a bn +-+==∈∑，所以12c =，28c =，322c =，452c =.【小问2详解】(1)1,10,2n n t n =⎧=⎨≥⎩，对一般的N i +∈，()1,0,n i n i t n i =⎧=⎨≠⎩.【小问3详解】方法一：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11n k n k n k b c =+-=∑,故()11n n k n k n S kbc =+-=∑，因此()()111121n n k n n k n S kb n bc +++=+--+=∑，②②－①得11n n n S c c ++=-，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c ------=-=---=-+．方法二：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1N n T n +∈=∀，注意（Ⅰ）易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意（Ⅱ）注意{}n T 是(){}i nt 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*n n i t T 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1n n i i c S==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c ------=-=---=-+．注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中n n n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****n n n n n n x y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***n n n n n n nx y x y ωωω+=+．因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111n n i j i j i n n n n n n n j i j i i a b t t b t t b S ∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫⎛⎫*=**=**= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义与卷积运算的综合问题，属于难题.1、解决数列新概念问题时需注意:（1）读懂定义，理解新定义数列的含义；（2）通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解.2、卷积运算具有的性质（1）交换律：{}{}{}{}**n n n n a b b a =.（2）结合律：{}{}(){}{}{}{}()****n n n n n n x y x y ωω=.（3）分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***n n n n n n nx y x y ωωω+=+.。
河南省洛阳市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(自测卷)完整试卷
河南省洛阳市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题数列是等差数列，是数列的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题已知函数，则（）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C ．为偶函数D．的最小正周期为第(3)题已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．，，，则第(4)题已知i为虚数单位，若复数，则（）A．B．C．D．第(5)题南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年某国知识付费用户数量(单位:亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示)，根据此图，以下说法错误的是（）A．2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加B．2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加量2019年最多C．2016年至2023年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D．2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍第(6)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题中，若，则（）A．54B．27C．9D．第(8)题已知，则下列说法一定正确的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则下列说法正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上的值域为D．的图象可由的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到第(2)题如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则（）A．平面B．异面直线和所成的角为60°C．直线与平面所成的角为45°D．点与点到平面的距离相等第(3)题已知数列满足，则下列结论成立的有（）A．B．数列是等比数列C．数列为递增数列D．数列的前项和的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列的通项公式，为其前n项和，则______．第(2)题设，直线，直线，记分别过定点，且与的交点为，则的最大值为__________.第(3)题在等差数列中，若，则的值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，M，N分别是对角线，上异于端点的动点，且.(1)求证：直线平面；(2)当的长最小时，求二面角的余弦值．第(2)题如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，CD＝AE，，将沿AD翻折，使点E翻折到点P．(1)证明：PC⊥BC；(2)若PC＝3，求二面角P－AD－B的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值．第(3)题已知函数.(1)证明：；(2)若有两个不相等的实数根，求证：.第(4)题已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为．(1)求点的坐标；(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值．第(5)题已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．(1)若，求数列的通项公式；(2)若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．。
2024浙江省高三下学期五校联考高考模拟考试数学及答案
2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （ ） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（ ）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（ ）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（ ） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1． （1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+； （3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ． 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<． （1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=； （3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学 审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项． 第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+， 故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==， 又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−． 注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=， 故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面， 由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥， 故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ， 记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===， 由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2， 仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且， 因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=． （2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠． （3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+． 因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。
医学统计学智慧树知到课后章节答案2023年下宁波大学
医学统计学智慧树知到课后章节答案2023年下宁波大学宁波大学绪论单元测试1.约翰斯诺，在1854年统计了一些霍乱死者的生活情况，发现霍乱的发生与水源有明显关联。
( )答案:对2.南丁格尔根据南丁格尔玫瑰图发现士兵战死人数明显少于由于受伤而缺乏及时治疗而死亡的士兵人数。
( )答案:对3.统计学的应用无处不在。
( )答案:对4.统计学就是？以下说法正确的是（）。
答案:是分析事物发展及规律的重要工具;用数据说话的科学5.当今，统计已成为（）。
答案:政府决策的参谋部;百姓生活的智慧帮手;经济运行的千里眼;企业运营的百宝箱第一章测试1.统计中所说的总体是指（）。
答案:根据研究目的确定的同质的研究对象的全体2.概率，则表示（）。
答案:某事件必然不发生3.测量身高、体重等指标的原始资料叫（）。
答案:定量资料4.若以舒张压大于等于12kPa 为高血压，调查某地1000 人，记录每人是否患有高血压。
最后清点结果，其中有10 名高血压患者，有990 名正常人（）。
答案:定性资料5.以下属于定量变量的是（）。
答案:住院天数;病人白细胞计数;心律;门诊人数6.样本是总体的（）。
答案:有代表性的部分7.计量资料、计数资料和等级资料的关系是（）。
答案:等级资料兼有计量资料和计数资料的一些性质8.统计工作的基本步骤是（）。
答案:收集资料、整理资料、分析资料9.在统计学上的统计量是指（）。
答案:描述样本特征的指标10.统计上小概率事件通常是指（）。
答案:一次实验或观察中该事件发生的可以性很小第二章测试1.研究一组数据的分布规律时，画频数表的第一个步骤应该是（）。
答案:找出这组数据的最大值和最小值2.制作频数表的主要目的是（）。
答案:观察数据的分布规律3.描述一组正态分布资料的平均水平应选择用（）。
答案:算术均数4.描述一组成等比关系的数据的平均水平应选择用（）。
答案:几何均数5.一组数据的均数等于其中位数，描述这组数据的集中趋势应选择用（）。
03-第二节 用样本估计总体-课时1 总体取值规律的估计高中数学必修第二册人教版
√
7.（多选）[2024河南开封联考]汽车的燃油效率是指汽车每消耗 汽油最多行驶的路程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )
【解析】 写出一条满足题意的评价即可，比如:①该市一个月中有2天空气质量为优，占当月天数的;有26天空气质量为良，占当月天数的 .空气质量为优或良的天数共有28天，占当月天数的 ，说明该市空气质量基本良好.②该市一个月中轻度污染有2天，占当月天数的 .空气质量指数在 内（接近轻度污染）的天数有15天，加上轻度污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过 ，说明该市空气质量有待进一步改善.
【解析】 第一组和第二组的频率之和为 ，又第一组与第二组共有20人，故选取志愿者的总人数为 ，故第三组人数为，其中有疗效的人数为 .
2.随机抽查了某校100名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数之和为64.设这100名学生中视力在4.6到4.8之间的学
D
A.20 B.10 C.60 D.40
【解析】 由频率分布直方图可得 ，，所以 .
2.[2024河南焦作期末]某样本的频率分布直方图如图，若在,,, 内的数据的频率之比为，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为在,,, 内的数据的频率之比为 ,所以可设这四组的频率分别为,,, ，则
8.某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费.为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据（单位： ），并绘制了如图不完整的条形图（每组数据包括右端点但不包括左端点）和扇形图.
患者安全及风险
目的七 提升管路安全
建立管路事件旳报告流程并鼓励主动上报， 对管路事件旳发生原因及时进行分析和改善， 有效降低管路事件旳发生。
建立管路事件旳监测流程，及时处
3
置管路事件，降低对患者旳伤害。
2
落实非计划拔管风险防范措施，建立相
4
应防范和处置预案，并进行有效演练。
建立管路安全旳管理 制度和风险评估流程。
目
录
患患者者安安全旳全概旳念 概念
患者十大安全目旳
风险防范
将来展望
一、患者安全旳概念
上世纪90年代，美国医疗诉讼案件旳激增引起了人们对患者安全问题旳 高度注重。 1999年，美国医学研究所（Institute of Medicine，IOM）在“人非圣贤 孰能无过：建 立愈加安全旳卫生体系（To Err Is Human：build a safer health system）”旳报告中首 次提出了患者安全这一概念，并提出 经过分析医疗差错改善医疗系统和流程旳理念 。 美国医学研究所将患者安全定义为：是确保患者免于意外伤害旳举措。 2023年WHO将患者安全定义为“将卫生保健有关旳不必要伤害降低到 可接受旳 最低 限旳 医疗风险控制过程”。
“全民健康”需要政府、有关部门和社会各界共同努力，需要广 大卫生计生工作者和广大人民群众共同参加。加紧转变健康发展 方式，让“健康”成为改革旳关键词，让“安全”成为发展旳新 常态。
患者是否安全？
• 医院感染 据世界卫生组织统计，有5%-15%旳 患者在医院 诊疗过程中会受到不同程度旳感 染，而ICU更高，到达40%。欧洲国家发生旳 医院感染事件，每年在500万例左右。
• 用药错误 美国每年有150万人遭遇用药错误。 • 手术差错 国内媒体曾报道，患者右脚有病，
2024年高考数学(新高考卷)(全解全析)
2024年高考押题预测卷【新高考卷】数学·全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12345678BDBCABCD1.定义差集{M N x x M -=∈且}x N ∉，已知集合{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，则()A A B -= （）A.∅B.{}2 C.{}8 D.{}3,51．【答案】B 【解析】因为{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，所以{}3,5A B = ，所以(){}2A A B -= ．故选：B2.已知函数()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π，下列结论中正确的是（）A.函数()f x 的图象关于π6x =对称B.函数()f x 的对称中心是()ππ,0122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C.函数()f x 在区间5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象可以由()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度得到2.【答案】D【解析】A 选项，()21cos23sin2sin cos 22x xf x x x x ωωωωω-=+=+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为2ππ2ω=，解得1ω=，所以()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，πππ1sin 2sin 6362x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 选项，令π2π,6x k k -=∈Z ，即ππ,122k x k =+∈Z ，函数()f x 的对称中心是()ππ1,1222k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，故B 错误；C 选项，π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π20,63u x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，显然()1sin 2f x u =+在其上不单调，故C 错误；D 选项，()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度，得到()π2π1π1cos 2sin 233262g x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：D ．3.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A.18B.36C.54D.723.【答案】B【解析】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有1333C A 18=种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有213313C C A 18=种选择，综上，共有181836+=种选择.故选：B4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔()Florence Nightingale 设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误．．的是（）A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍4.【答案】C【解析】对于A ，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A 说法正确；对于B 和C ，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.960.480.48-=；2017年，1.880.960.92-=；2018年，2.95 1.88 1.07-=；2019年，3.56 2.950.61-=；2020年，4.15 3.560.59-=；2021年，4.77 4.150.62-=；2022年，5.27 4.770.5-=；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B 说法正确，C 说法错误；对于D ，由5.27100.48>⨯，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D 说法正确.综上，说法错误的选项为C.故选：C5.在ABC 中，D 为边BC 上一点，2π,4,23DAC AD AB BD ∠===，且ADC △的面积为43，则sin ABD ∠=（）A.1538 B.1538+ C.534- D.534+5.【答案】A【解析】因为113sin 4222ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯⨯=△，解得4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则π6ADC ∠=，在ADB 中由正弦定理可得sin sin AB DB ADB BAD=∠∠，即21sin 2DB DBBAD =∠，解得1sin 4BAD ∠=，因为5π6ADB ∠=，所以BAD ∠为锐角，所以15cos 4BAD ∠==，所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠⎪⎝⎭ππsin cos cos 81sin 5663BAD BAD =∠=-∠.故选：A6.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，若13n n n n S a S a ++=，且13242111n n M a a a a a a ++++< 恒成立，则实数M 的最小值为（）A.13 B.49C.43D.36.【答案】B【解析】因为13n n n nS a S a ++=，所以()133n n n n n n n a S a S a S S +==++，即()13n n n n a S S S +-=，即13n n n a a S +=，则1213n n n a a S +++=，与上式作差后可得()()121133n n n n n n a S a a S a ++++-=-=，因为正项数列{}n a ，所以23n n a a +-=，所以22223111113n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11a =，11212333n n n a S a a a a a +=⇒=⇒=，所以1324213243521111111111113n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫+++=-+-+-+- ⎪⎝⎭1212121111111111333n n n n a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=⨯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12411499n n a a ++⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，所以实数M 的最小值为49，故选：B.7.设方程33log 1xx ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（）A.101x <<，23x >B.121x x >C.1201x x <<D.124x x +>7.【答案】C【解析】由33log 1xx ⋅=可得311log 33xx x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在同一直角坐标系中同时画出函数3log y x =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如图所示：由图象可知，因为1311log 133⎛⎫<= ⎪⎝⎭，23311log 2log 239⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以12012x x <<<<，所以1213x x <+<故A ，D 错误；()12312313211log log log 33x xx x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12x x <，所以121133x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()312log 0x x <，所以1201x x <<，即121x x <，故B 错误，C 正确.故选：C8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别为棱BC ，CD ，1CC 的中点，平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得的截面面积为（）A.215π3B.8π3C.35π3D.5π3【答案】D【解析】取正方体的中心为O ，连接,,OP OQ OR，由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为正方体外接球球心为点O，半径12R =⨯=，又易得12OP OQ OR ===⨯=，且12PQ PR QR ===⨯=，所以三棱锥O PQR -为正四面体，如图所示，取底面正三角形PQR 的中心为M，即点O 到平面PQR 的距离为OM ，又正三角形PQR 的外接圆半径为MQ ，由正弦定理可得262sin 60332PQMQ ===︒，即63MQ =，所以233OM==，即正方体1111ABCD A B C D-外接球的球心O到截面PQR的距离为3OM=，所以截面PQR被球O所截圆的半径r==，则截面圆的面积为25ππ3r=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011AB AD BD9.已知,z z∈C是z的共轭复数，则（）A.若13i13iz+=-，则43i5z--=B.若z为纯虚数，则20z<C.若(2i)0z-+>，则2iz>+D.若{||3i3}M z z=+≤∣，则集合M所构成区域的面积为6π9.【答案】AB【解析】()()()213i13i43i13i13i13i5z++-+===--+，所以43i5z--=，故A正确；由z为纯虚数，可设()i R,0z b b b=∈≠，所以222iz b=，因为2i1=-且0b≠，所以20z<，故B正确；由()2i0z-+>，得i(2)z a a=+>，因为i(2)z a a=+>与2i+均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C错误；设复数i,,Rz a b a b∈=+，所以()3ia b++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10.已知向量a 在向量b 方向上的投影向量为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，向量(b = ，且a 与b 夹角π6，则向量a 可以为（）A.()0,2 B.()2,0C.(D.)10.【答案】AD【解析】由题设可得(233,22a b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故22a b b ⋅=，而2b = ，a 与b 夹角π6，故33242a b ⨯= ，故2a = ，对于A ，233cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故A 正确.对于B ，21cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π,3a b = ，故B 错误.对于C ，4cos ,122a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故,0a b = ，故C 错误.对于D ，233cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故D 错误.故选：AD.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为()()()112233,,,,,,F A x y B x y D x y 为抛物线C 上的任意三点（异于坐标原点O ），0FA FB FD ++=，且6FA FB FD ++=，则下列说法正确的有（）A.4p =B.若FA FB ⊥，则FD AB=C.设,A B 到直线=1x -的距离分别为12,d d ，则12d d AB+<D.若直线,,AB AD BD 的斜率分别为,,AB AD BD k k k ，则1110AB AD BDk k k ++=11.【答案】BD【解析】对于A ，因为,,A B D 为抛物线上任意三点，且0FA FB FD ++=，所以F 为ABD 的重心，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1231233,02px x x y y y ++=++=又123362pFA FB FD x x x ++=+++=，即2p =，故A 错误；对于B ，延长FD 交AB 于点E ，因为F 为ABD 的重心，所以2FD FE =，且F 是AB 的中点，因为FA FB ⊥，在Rt FAB 中，有2AB FE =，所以FD AB =，故B 正确；对于C ，抛物线方程为24y x =，所以抛物线的准线为=1x -，所以,A B 到直线=1x -的距离之和12d d FA FB +=+，因为,,F A B 三点不一定共线，所以FA FB AB +≥，即12d d AB +≥，故C 错误；对于D ，因为2114y x =，2224y x =，两式相减,得：()()()1212124y y y y x x +-=-,所以1212124AB y y k x x y y -==-+,同理可得324BD k y y =+,134AD k y y =+,所以()123211104AB AD BD y y y k k k ++++==，故D 正确.故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024届山东省菏泽市高考冲刺押题卷(六)数学试题(原卷版)
2024届山东省菏泽市高考冲刺押题卷（六）数学试题注意事项:1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，在规定的位置贴好条形码．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数2i212i z +=+-，则z =（）A.2i- B.2i+ C.12i+ D.12i -2.已知集合{}2|670M x x x =--<，{2,1,0,1,2,3}N =--，则M N ⋃=（）A.{27}x x -<<∣B.{27}x x -≤<∣C.{17xx -≤<∣或}2x =- D.{2,1,0,1,2,3}--3.已知向量1sin ,1,cos(),24m n παπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若m n ⊥ ，则cos α的值为（）A.2B.12C.4D.144.已知抛物线26y x =的焦点为F ，点P 是抛物线上位于第一象限的点，且152PF =，则直线PF 的斜率为（）A.43 B.34C.35D.455.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年某国知识付费用户数量(单位:亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示)，根据此图，以下说法错误的是（）A.2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加B .2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加量2019年最多C.2016年至2023年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍6.若实数,,x y z 满足2,ln()y xz z x y x y ==+--，则下列不等式错误的是（）A.ln()x y x y +<+ B.0x > C.0y > D.z x y<<7.已知函数()()()2e 1ln 2013mx f x m x+=->-是定义在区间(),a b 上的奇函数，则实数b 的取值范围是（）A.(]0,9 B.(]0,3 C.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦8.将一个圆柱整体放入棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，圆柱的轴线与正方体体对角线1AC 重合，则圆柱的底面圆的半径的取值范围为（）A.30,3⎛ ⎝⎭B.230,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.60,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.60,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将函数()2sin cos 1f x x x =+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 的图象关于π3x =对称C.()g x 的图象关于π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()g x 的单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z10.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．如图，在堑堵111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且11,2BC AC AA ===，过点A 分别作1AE A B ⊥于点1,E AF AC ⊥于点F ，则下列结论正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.直线AE 与平面ABC 所成的角为60︒C.1EF A B⊥ D.堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为82π311.已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=*n ∈N ，则下列结论错误的是（）A.322a -=B.存在*n ∈N12>+C .113n nn a a n ++≤+ D.22192a >三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在61x ⎛ ⎝的展开式中,常数项是______．（用数字作答）13.写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程:________________①圆心在直线23y x =+上，②与x 轴相切．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(),0F c ，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是C 上第一象限内的一点，M 到直线2a x c =的距离为，且2MBA MAB ∠=∠，则||||MA MB =________________．四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.投壶是古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏.《礼记・投壶》说：“投壶者，主人与客燕饮，讲论才艺之礼也.”春秋战国时期，诸侯宴请宾客时的礼仪之一就是请客人射箭，后来慢慢用投壶代替了射箭，成为一种大众游戏.甲、乙两人做投壶游戏，比赛规则：第1次用抛一枚质地均匀的硬币确定甲、乙谁先投箭，投入壶内继续，未投入壶内换另一人，依次类推.假设甲、乙两人投壶互不影响，甲把箭投入壶内的概率为35，乙把箭投入壶内的概率为45.（1）求第2次是乙投的概率；（2）求两次投完后，甲投中的箭数的分布列和数学期望.16.如图，在正四棱锥S ABCD -中，已知SA AB SO ==⊥平面ABCD ，点O 在平面ABCD 内，点P在棱SD 上．（1）若点P 是SD 的中点，证明：平面SAD ⊥平面PAC ；（2）在棱SD 上是否存在一点P ，使得二面角S AC P --的余弦值为5？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．17.定义:如果数列{}n a 从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列{}n a 为“跳动数列"．（1）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足1322n n S a +=-，且11a =，求{}n a 的通项公式，并判断{}n a 是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)；（2）若公比为q 的等比数列{}n a 是“跳动数列”，求q 的取值范围；（3）若“跳动数列”{}n a 满足211322n n a a +=-+，证明：11n a -<<或13n a <<．18.已知函数2()ln 1(02)f x tx x x t =-+<≤．（1）求函数()f x 的单调区间;（2）若0a b >>，证明:2244ln a b a b<-．19.已知在平面直角坐标系Oxy 中，一直线与从原点O 出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于M ，N 两点，且满足2OM ON ⋅=，线段MN 的中点为S ，记点S 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）点()1,0P ，()1,1Q ，()0,1R -，过点Q 的一条直线l 与E 交于A 、B 两点，直线PA ，PB 分别交直线QR 于点C ，D ，且满足QC QR λ= ，QD QR μ= ，证明：11λμ+为定值.。
广西钦州市(新版)2024高考数学苏教版考试(自测卷)完整试卷
广西钦州市（新版）2024高考数学苏教版考试(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（）A．-2B．-1C．1D．2第(3)题已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(4)题已知是偶函数，且在上递减，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题在正三棱台中，下列结论正确的是（）A．B．平面C．D．第(6)题已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，当时，都有，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(7)题南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年某国知识付费用户数量(单位:亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示)，根据此图，以下说法错误的是（）A．2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加B．2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加量2019年最多C．2016年至2023年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D．2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍第(8)题已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的最小正周期为，则（）A．B ．点是图象的一个对称中心C ．在上单调递减D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象第(2)题已知正方体的棱长为，为侧面的中心，为棱的中点，为线段上的动点（不含端点），为上底面内的动点，则下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积为定值B．若平面，则C．若，则线段的最大值为D．当与的所成角为时，点的轨迹为双曲线的一部分第(3)题已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（）A．的对称中心为B．的对称轴为直线C．D．不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题定义域为R的满足对，有，且当时，，设函数对应曲线为C，则以下对于函数性质描述正确的是______.①是奇函数；②是偶函数；③是周期函数；④直线是曲线的一条对称轴．第(2)题已知圆：，线段在直线：上运动，点为线段上任意一点，若圆上存在两点，，使得，则线段长度的最大值是______.第(3)题已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为的等边三角形，平面平面，且，，则球的表面积为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆短轴上的一个顶点，的延长线与椭圆相交于，的周长为，.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆外一点作矩形，使椭圆与矩形的四条边都相切，求矩形面积的取值范围.第(2)题已知函数，其中.(1)若，求的单调区间；(2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围；(3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围.第(3)题已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点在此双曲线上，求．第(4)题已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，.（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，过点（为坐标原点）作，求证：为定值.第(5)题已知函数，，．（1）求函数的极值；（2）若在上为单调函数，求的取值范围；（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．。
陕西省汉中市2024高三冲刺(高考数学)苏教版摸底(综合卷)完整试卷
陕西省汉中市2024高三冲刺（高考数学）苏教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(2)题设集合，则的所有子集的个数为（）A．3B．4C．8D．16第(3)题一个几何体的三视图均为圆，则该几何体可以是（）A．正方体B．球体C．三棱柱D．四棱锥第(4)题已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(5)题在边长为2的等边三角形中，为边上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．第(6)题南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年某国知识付费用户数量(单位:亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示)，根据此图，以下说法错误的是（）A．2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加B．2016年至2023年，知识付费用户数量逐年增加量2019年最多C．2016年至2023年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D．2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍第(7)题在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（）A．B．C．2D．第(8)题正方体中，E为中点，O是AC与BD的交点，以下命题中正确的是（）A．平面B．平面C．上平面D．直线与直线所成的角是60°二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知圆和圆的交点为，直线：与圆交于两点，则下列结论正确的是（）A．直线的方程为B．圆上存在两点和，使得C．圆上的点到直线的最大距离为D．若，则或第(2)题设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数B．函数是周期函数C ．函数的图像关于直线对称D ．方程只有1个实数根第(3)题三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，则下列说法正确的是（）A．B．球心O在三棱锥的外部C．球心O到底面ABC的距离为2D．球O的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，则的解集为________．第(2)题一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为__________.第(3)题已知函数，则函数的图象在处的切线方程为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题甲､乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立，(1)求该比赛三局定胜负的概率；(2)在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为，求的分布列与数学期望.第(2)题已知椭圆，点、、在椭圆上，直线与直线的斜率之积.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线点关于直线的对称点是，求证：过点，的直线恒过定点.第(3)题已知函数.(1)求函数在点处的切线方程；(2)求的单调区间和极值.第(4)题已知四棱锥如图所示，其中，点M，N分别是线段SC，AB的中点．(1)求证：平面；(2)若二面角为直二面角，则，，求四面体SBDM的体积．第(5)题已知函数，.(1)当时，讨论的单调性；(2)若，，求.。
浙江省绍兴市(新版)2024高考数学统编版模拟(备考卷)完整试卷
浙江省绍兴市（新版）2024高考数学统编版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设全集，若集合，则 =（ ）A．B．C．D．第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题若二项式的展开式中所有的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．15B．60C．D．第(6)题已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为（）A．1＋i B ．2C．D．－1＋i第(7)题已知复数满足，则复数的虚部为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，若，则a的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡第(2)题如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（）A．不存在使得B．若四点共面，则C ．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为D．若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为第(3)题如图，在正方体中，E､F､G分别为的中点，则（）A．B．与所成角为C．D．平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作与双曲线的一条渐近线平行的直线l，过点F作直线l的垂线，垂足为P，若线段AP的中点在双曲线的另一条渐近线上，则双曲线的离心率为___________.第(2)题若双曲线C：的左、右焦点为，，P是其右支上的动点.若存在P，使得，，依次成等比数列，则t的取值范围为________.第(3)题已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知点是椭圆上一点，且的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）点、在椭圆上，，为垂足，若直线和直线斜率之积为.求证：存在定点，使得为定值.第(2)题如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，、分别为、的中点．（1）求证：平面平面；（2）若平面与底面所成的锐二面角为，求的长．第(3)题已知函数.（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：.第(4)题已知，，E，F分别为的外心和重心，且.（1）求点C的轨迹Γ的方程；（2）设M､N､P为轨迹Γ上的三个点，以为直径的圆过原点O，点D在线段上，且，求的最大值.第(5)题已知函数，．（1）求的最值；（2）若，求关于的方程（）的实数根的个数．。
可视化的重要作用_大数据技术原理与应用（第2版）_[共2页]
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231 这个水泵移除以后，霍乱的发病人数就开始明显下降。
数据可视化历史上的另一个经典之作是1857年“提灯女神”南丁格尔设计的“鸡冠花图”（又称玫瑰图，见图12-2）。
它以图形的方式直观地呈现了英国在克里米亚战争中牺牲的战士数量和死亡原因，有力地说明了改善军队医院的医疗条件对于减少战争伤亡的重要性。
图12-1 反映霍乱患者分布与水井分布的地图 图12-2 “提灯女神”南丁格尔设计的“鸡冠花图”20世纪50年代，随着计算机的出现和计算机图形学的发展，人们可以利用计算机技术在计算机屏幕上绘制出各种图形图表，可视化技术开启了全新的发展阶段。
最初，可视化技术被大量应用于统计学领域，用来绘制统计图表，如圆环图、柱状图和饼图、直方图、时间序列图、等高线图、散点图等；后来，又逐步应用于地理信息系统、数据挖掘分析、商务智能工具等，有效地促进了人类对不同类型数据的分析与理解。
随着大数据时代的到来，每时每刻都有海量数据在不断生成，需要我们对数据进行及时、全面、快速、准确的分析，呈现数据背后的价值。
这就更需要可视化技术协助我们更好地理解和分析数据，可视化成为大数据分析最后的一环和对用户而言最重要的一环。
12.1.3 可视化的重要作用在大数据时代，数据容量和复杂性的不断增加，限制了普通用户从大数据中直接获取知识，可视化的需求越来越大，依靠可视化手段进行数据分析必将成为大数据分析流程的主要环节之一。
让“茫茫数据”以可视化的方式呈现，让枯燥的数据以简单友好的图表形式展现出来，可以让数据变得更加通俗易懂，有助于用户更加方便快捷地理解数据的深层次含义，有效参与复杂的数据分析过程，提升数据分析效率，改善数据分析效果。
在大数据时代，可视化技术可以支持实现多种不同的目标。
1．观测、跟踪数据许多实际应用中的数据量已经远远超出人类大脑可以理解及消化吸收的能力范围，对于处于不断变化中的多个参数值，如果还是以枯燥数值的形式呈现，人们必将茫然无措。