一次函数与正比例函数概念资料
正比例函数及一次函数
，下列结论正确的是（ A. 函数图象必经过点（1，2） B．函数图象经过二、四象限 C． y 随 x 的增大而减小 D． y 随 x 的增大而增大
）
问题探究
如图所示，在同一直角坐标系中，正比例函数 y k1 x 、y k2 x、 y k3 x 、y k4 x的图象分别为 l1 、 l2 、 l3 、 l4 ，
待定系数法
待定系数法 y 正比例函数中只有一个待定系数 k ，故只要有一对 x ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 k 值. 一次函数中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立条件 确定两个关于 k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两 y 的值. 对x ，
待定系数法
1、根据函数的图象，求函数的解析式．
22Biblioteka 一次函数的性质3.已知一次函数 y 2m 4 x 3 n ． n 是什么数时，y 随 x 的增大而增大； （1）当m 、 n 是什么数时，函数图象经过原点； （2）当 m 、 （3）若图象经过一、二、三象限，求 m 、 n 的取值范围.
一次函数的性质 4.函数 y kx k (k 0) 在直角坐标系中的图象可能是（
1、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用 电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系 如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
一次函数图像的应用
2.小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下 坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关 系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需 要的时间是( ) A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
《正比例函数与一次函数》知识点归纳知识讲解
《正比例函数与一次函数》知识点归纳《正比例函数》知识点一、表达式：y=kx （k≠0的常数）二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线；说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”；三、性质特征：1、图像经过的象限:k>0时，直线过原点，在一、三象限；k<0时，直线过原点，在二、四象限；2、增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；四、成正比例关系的几种表达形式:1、y与x成正比例：y=kx (k≠0);2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0);3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0);《一次函数》知识点一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数）注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
二、图像：一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。
说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”；（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）；直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.三、性质特征：1、图像经过的象限：（1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限；（2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限；（3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限；（4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；2、增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”：（1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；（2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大；∣k∣越小，直线越平缓，直线越远离y轴，与x轴的夹角越小；(3) b的作用：b决定直线与y轴的交点位置b>0时，直线与y轴正半轴相交(或与y轴的交点在x轴的上方)；b﹤0时，直线与y轴负半轴相交（或与y轴的交点在x轴的下方）；（4）k和b的共同作用：k和b共同决定直线所经过的象限四、直线的平移规律：直线y=kx+b可以由直线y=kx平移得到当b>0时，将直线y=kx：向上平移b个单位得到直线y=kx+b；当b﹤0时，将直线y=kx：向下平移∣b∣个单位得到直线y=kx+b；五、两条直线平行和垂直：直线m：y=ax+b; 直线n: y=cx+d（1）当a=c，b≠d时，直线m∥直线n,反之也成立；例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
《正比例函数与一次函数》知识点归纳
《正比例函数与一次函数》知识点归纳《正比例函数》知识点表达式：y=kx （心0的常数）图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1,说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kX'；性质特征：1、图像经过的象限：k>0时，直线过原点，在一、三象限；k<0时，直线过原点，在二、四象限；增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由高降低;，直线从左往右由低升高;1、y与x成正比例：y=kx （k工0）;2、y 与x+ a 成正比例：y=k（x + a）（k 工0）;3、y + a与x成正比例：y + a=kx （k工0）;4、y + a 与x+ b 成正比例：y + a= k（x + b）（k 工0）;《一次函数》知识点表达式：y=kx+b （心0, k, b为常数）注意：（1）k M0,自变量x的最高次项的系数为1 ；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
四、成正比例关系的几种表达形式：的直线;2、、图像:一次函数y=kx+b （k丰0, b丰0）的图像是：一条经过（」,0）和k （0, b）的直线。
说明：（1）一次函数y=kx+b （k工0, b工0）的图像也叫做“直线y=kx+b” ;（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-丄，0）；k直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.三、性质特征：1、图像经过的象限：（1）、k>0, b>0时，直线经过一、二、三象限；（2）、k>0, b< 0时，直线经过一、三、四象限；（3）、k < 0,b>0时，直线经过一、二、四象限；（4）、k < 0, b < 0时，直线经过二、三、四象限；b/02、增减性及图像走向:k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；3、一次函数y=kx+b （k工0, b工0）中“ k和b的作用”：（1）k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低;k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高;（2）I k I的作用：l k I决定直线的倾斜程度I k I越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大;I k I 越小，直线越平缓，直线越远离 y 轴，与x 轴的夹角越小；(3) b 的作用：b 决定直线与y 轴的交点位置b>0时，直线与y 轴正半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的上方)；b <0时，直线与y 轴负半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的下方)；(4) k 和b 的共同作用：k 和b 共同决定直线所经过的象限四、 直线的平移规律：直线y=kx+b 可以由直线y=kx 平移得到当b>0时，将直线y=kx :向上平移b 个单位得到直线y=kx+b ;当b < 0时，将直线y=kx :向下平移I b I 个单位得到直线y=kx+b ;五、 两条直线平行和垂直： 直线 m y=ax+b;直线n: y=cx+d(1)当a=c ， b M d 时，直线m//直线n,反之也成立；例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x 平行。
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
总第27课时——2 一次函数与正比例函数
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总第27课时——2 一次函数与正比例函数
分层作业
1．[2018·陆丰市校级一模]在下列四个函数中，是正比例函数的是( D )
A．y＝2x＋1
B．y＝2x2＋1
C．y＝2x
D．y＝2x
2．[2018·黄埔区一模]小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱 Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是Q＝ 50－8x .
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总第27课时——2 一次函数与正比例函数
解：(1)y＝2.4＋(x－3)＝x－0.6(x≥3，x为整数)． (2)当x＝5时，y＝5－0.6＝4.4.故应付4.4元． (3)当y＝8.4时，x－0.6＝8.4，解得x＝9.故他打了9 min电话．
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总第27课时——2 一次函数与正比例函数
(2)某顾客想购买这种商品20件，他到哪个商场购买更实惠？
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总第27课时——2 一次函数与正比例函数
解：(1)当购买件数x不超过10件时，y甲＝10x， 当购买件数x超过10件时， y甲＝10×10＋10(x－10)×0.7＝7x＋30， y乙＝9x. (2)当x＝20时，y甲＝7×20＋30＝170(元)， y乙＝9×20＝180元，y甲<y乙． 故该顾客到甲商场购买更实惠．
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总第27课时——2 一次函数与正比例函数
6．同一种商品在甲、乙两个商场的标价都是每件10元，在销售时都有一定 的优惠．甲的优惠条件是：购买不超过10件按原价销售，超过10件，超出部分按 七折优惠；乙的优惠条件是：无论买多少件都按九折优惠．
八年级数学上册教学课件《一次函数与正比例函数》
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
思考 一次函数的结构特征有哪些？
答：一次函数的结构特征： （1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数.
一次函数 正比例函数
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
素养考点 1 一次函数与正比例函数的判断
例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
数是“1”
巩固练习
变式训练
已知函数y=2x|m|+(m+1).
4.2 一次函数与正比例函数
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）由题意得： m 1 因此 m=±1.
（2）由题意得：m+1=0 , 解得m= -1.
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
y=0.12x
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行 驶路程x（km）之间的关系式吗？ z = 60-0.12x
探究新知
4.2 一次函数与正比例函数
研讨以下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点？
解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次. 3．自变量x的系数都不为0.
知识点 2 一次函数与正比例函数的应用
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否
为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)
与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也
是x的正比例函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
一次函数与正比例函数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.4一次函数与正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与正比例函数的定义1.定义若两个变量x,y的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.2.一次函数与正比例函数的关系(1)正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中b=0的特例,即正比例函数都是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,(2)若已知y与x成正比例,则可设函数关系式为y=kx(k≠0);若已知y是x的一次函数,则可设函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)【知识点2】一次函数的关系式列一次函数的步骤(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；(3)写出一次函数的关系式；(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题,还要考自变量的取值要使实际问题有意义.特别提醒（1）确定一次函数关系式的方法：（2）按相等关系写出含有两个变量的等式；（3）将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式.【考点一】一次函数与正比例函数的定义【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？2πC r =，22003y x =+，200t v =，2(3)y x =-，(50)s x x =-．【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成形如y kx =的函数（k 为常数，x 的次数为1，且0k ≠），那么y kx =就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数y kx b =+中k b 、为常数，0k ≠，自变量次数为1．解：2πC r =，是正比例函数，2πk =；22003y x =+是一次函数，23k =，200b =；200t v=不是一次函数，也不是正比例函数；2(3)y x =-26x =-+，是一次函数，2k =-，6b =；(50)s x x =-250x x =-+，不是正比例函数也不是一次函数．【点拨】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）若y 关于x 的函数(4)y a x b =-+是正比例函数，则a ，b 应满足的条件是（）A ．4a ≠且0b ≠B ．4a ≠-且0b =C ．4a =且0b =D ．4a ≠且0b =【答案】D【分析】正比例函数的解析式为y kx =，其中0k ≠，据此求解．解： (4)y a x b =-+是正比例函数，∴40a -≠且0b =，∴4a ≠且0b =．故选D ．【点拨】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0，无常数项．【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）下列关系式：①6x y =；②321y x =+；③25y x =-+；④221y x =+；⑤5y x =-．其中y 是x 的一次函数的有个．【答案】3【分析】形如y kx b =+（0k ≠，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案．解：函数①6xy =，③25y x =-+，⑤5y x =-是一次函数，共有3个，②321y x =+，④221y x =+，不是一次函数，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．【考点二】一次函数与正比例函数的参数【例2】（2022秋·安徽安庆·八年级校考阶段练习）已知函数1012y m x m =-+-（）．（1）m 为何值时，这个函数是一次函数；（2）m 为何值时，这个函数是正比例函数．【答案】（1）10m ≠；（2）12m =【分析】（1）根据一次函数的定义求解；（2）根据正比例函数的定义求解．解：（1）根据一次函数的定义可得：100m -≠，∴当10m ≠时，这个函数是一次函数；（2）根据正比例函数的定义，可得：100m -≠且120m -=，∴12m =时，这个函数是正比例函数．【点拨】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如()0y kx b k =+≠的函数叫做一次函数，特别的，当0b =时，()0y kx k =≠叫做正比例函数，熟知概念是关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，且当213x x =+时，211y y =-，则k 的值为（）A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【分析】分别把点()11,A x y ，()22,B x y 代入一次函数y kx b =+，根据213x x =+，211y y =-时，即可得出结论．解： 一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，∴1122y kx b y kx b =+=+，，∴1212y y kx kx -=-，213x x =+ ，211y y =-，∴121213x x y y -=-=-，，31k ∴-=，即13k =-．故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．【变式2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知()2835my m x m -=++-是关于x 的一次函数，则m =.【答案】3【分析】根据一次函数的定义得到281m -=且30m +≠，据此求出m 的值即可．解：()2835my m x m -=++- 是关于x 的一次函数，281m ∴-=且30m +≠，解得：3m =，故答案为：3．【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如()0y kx b k =+≠的函数，叫做一次函数，会利用x 的指数构造方程，会利用k 限定字母的值是解题关键．【考点三】求一次函数的自变理或函数值【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数()()2324m y m x m -=++-，（1）当m 是何值时函数是一次函数．（2）当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当1x =时的函数值．（3）点(),2A n 在此一次函数图象上，则n 的值为多少．【答案】（1）2m =；（2）42y x =-，当1x =时，2y =；（3）1n =【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m 得值求出对应的函数关系式，再把1x =代入对应的函数关系式求出此时y 的值即可；（3）代入2y =，求出此时x 的值即可得到答案．（1）解：∵函数()()2324my m x m -=++-是一次函数，∴22031m m +≠⎧⎨-=⎩，∴2m =，∴当2m =时，函数()()2324my m x m -=++-是一次函数；（2）解：由（1）得()()232442my m x m x -=++-=-，∴当1x =时，4122y =⨯-=；（3）解：在42y x =-中，当422y x =-=时，1x =，∴()1,2A ，∴1n =．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如y kx b =+（其中k 、b 都是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．【举一反三】【变式1】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）不论实数k 取何值，一次函数3y kx =-的图象必经过的点是（）A ．()0,3-B ．()0,3C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】令0x =，求出y 值即可得解．解： 一次函数3y kx =-，当0x =时，=3y -，∴不论k 取何值，函数图象必过点(0,3)-．故选：A ．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线34y x =+过点(,)P a b ，则32023a b -+的值为．【答案】2019【分析】把(,)P a b 代入34y x =+即可得到34a b +=，代入32023a b -+即可求解．解： 直线34y x =+过点(,)P a b ，34b a ∴=+，34a b ∴-=-，32023420232019a b ∴-+=-+=，故答案为：2019．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系y kx b =+是解题的关键．【考点四】列函数解析式及求函数值【例4】（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x （人)与这趟公交车每月的利润（利润=收入费用-支出费用）y （元)的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）x （人)50010001500200025003000⋯y （元)3000-2000-1000-010002000⋯请回答下列问题：（1）自变量为，因变量为；（2）y 与x 之间的关系式是；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润；（2）24000y x =-；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案；（2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；（3）把x =4000代入函数关系式求出y 的值即可．（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．故答案为：每月的乘车人数，公交车每月的利润．（2）解： 从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，∴每位乘客坐一次车需要10005002÷=（元)，即函数关系式为：2(500)300024000y x x =--=-．（3）解：当4000x =时，2400040004000y =⨯-=（元)．答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．【点拨】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A ．()1203004S t t =-≤≤B ．()3004S t t =≤≤C ．()120300S t t =->D ．()304S t t ==【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t 的取值范围即可．解：∵汽车行驶的路程为：30t ，∴汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系为：12030S t =-，∵120304÷=，∴自变量t 的取值范围是04t ≤≤，故选：A ．【点拨】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）一根长为24cm 的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm ，则其剩余长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的函数关系式为，自变量的取值范围是．【答案】y =24-1.2x0≤x ≤20【分析】根据题意，剩下的蜡烛长度=总长度-已经燃烧的长度，已经燃烧的长度=每分钟缩短长度×燃烧时间，即可写出解析式；列出关系式，根据蜡烛最长的燃烧时间可得自变量的取值范围；解：由题意可得：函数关系式为：y=24-1.2x ，∵x 0≥，y 0≥∴24-1.2x 0≥∴x 20≤．∴自变量x 的取值范围是0≤x≤20．故答案为：y=24-1.2x ，0≤x≤20．【点拨】本题目考查一次函数的实际应用，正确理解题意，找到实际问题中的等量关系是解题的关键．。
正比例函数,一次函数
【例4】 在抗击“非典”过程中，某医药研究所开发了 】 在抗击“非典”过程中， 一种预防“ 非典” 的药品.经试验这种药品的效果得知 经试验这种药品的效果得知， 一种预防 “ 非典 ” 的药品 经试验这种药品的效果得知 ， 当成人按规定剂量服用该药后1小时时 小时时， 当成人按规定剂量服用该药后 小时时， 血液中含药量最 达到每毫升5微克 接着逐步衰减， 微克， 高 ， 达到每毫升 微克 ， 接着逐步衰减 ， 至 8小时时血液 小时时血液 中含药量为每毫升1.5微克 每毫升血液中含药量y(微克 微克， 微克) 中含药量为每毫升 微克，每毫升血液中含药量 微克 随时间x(小时 的变化如图3-2-9所示 在成人按规定剂量服 小时)的变化如图 所示.在成人按规定剂量服 随时间 小时 的变化如图 所示 药后： 药后： (1)分别求出 分别求出x≤1，x≥1时，y与x之间的函数关系式 之间的函数关系式. 分别求出 ， 时 与 之间的函数关系式 (2)如果每毫升血液中含药量为 微克或 微克以上，对预 如果每毫升血液中含药量为2微克或 微克以上， 如果每毫升血液中含药量为 微克或2微克以上 非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时? 防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时 1、x ≤ 1时， y = 5x
3 k =− 2 = −3k + b 4 ⇒ 则有： 则有：−1= k + b 1 b = − 4
3 1 故M′N∶y=- x- 令x=0得y=∶ 得 4 4
1 4
P点坐标为 ，-1/4) 点坐标为(0， 点坐标为
【 例 3】 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观 如 】 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如 果游客过多， 对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时 果游客过多 ， 对馆中的珍贵文物会产生不利影响 但同时 考虑到文物的修缮和保存费用问题， 考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票 收入.因此 因此， 收入 因此 ， 博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参 观人数.在该方法实施过程中发现 在该方法实施过程中发现： 观人数 在该方法实施过程中发现 ： 每周参观人数与票价 之间存在着如图所示的一次函数关系.在这样的情况下 在这样的情况下， 之间存在着如图所示的一次函数关系 在这样的情况下 ， 如果确保每周4万元的门票收入 万元的门票收入， 如果确保每周 万元的门票收入 ，那么每周应限定参观人 数是多少?门票价格应是多少元 门票价格应是多少元? 数是多少 门票价格应是多少元 每周应限定参观人数为2000人， 人 每周应限定参观人数为 门票价格为20元 门票价格为 元.
北师大版八年级数学上册 (一次函数与正比例函数)一次函数教育课件
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明天是小美妈妈的生日，小美坐爸爸的车以48 km/h的速度去 花店为妈妈准备生日礼物.很快到了花店，花店里琳琅满目： 康乃馨6元/支，君子兰8元/支，……包装费为20元/次. 此时小美爸爸提出了一些数学问题，你能帮忙解决吗？
（6）函数w＝8m+20有何特点？
式子两边各有一个变量， 式子左边是一个单项式，式子右边是两个单项式的和.
42 36 30
(2) 你能写出y与x的关系吗? y=60－0.12x
上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5x 有什么关系?
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成
y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x 的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
体会一次函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型， 体会数学应用的广泛性.
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明天是小美妈妈的生日，小美坐爸爸的车以48 km/h的速度去 花店为妈妈准备生日礼物.
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…
康乃馨 6 元/支
君子兰
8 元/支
…
包装费 20 元/次
明天是小美妈妈的生日，小美坐爸爸的车以48 km/h的速度去 花店为妈妈准备生日礼物.很快到了花店，花店里琳琅满目： 康乃馨6元/支，君子兰8元/支，……包装费为20元/次. 此时小美爸爸提出了一些数学问题，你能帮忙解决吗？
所以 m2－24＝1且m－5≠0， 所以 m＝±5且m≠5， 所以 m＝－5. 所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24 ＋m＋1是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0. 所以 m＝±5且m≠5且m＝－1， 则这样的m不存在， 所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为 正比例函数．
八年级上册一次函数与正比例函数
八年级上册一次函数与正比例函数一、一次函数与正比例函数的概念。
1. 一次函数。
- 定义：一般地，形如y = kx + b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
- 当x = 0时，y=b，所以b为函数y = kx + b在y轴上的截距。
例如，y =2x+3是一次函数，其中k = 2，b = 3。
2. 正比例函数。
- 定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
例如，y = 3x是正比例函数，比例系数k = 3。
- 正比例函数是特殊的一次函数，当b = 0时，一次函数y=kx + b就变成了正比例函数y = kx。
二、一次函数与正比例函数的图象与性质。
1. 正比例函数y = kx的图象与性质。
- 图象：- 当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大。
例如y = 2x的图象是一条经过原点且过一、三象限的直线，随着x的值增大，y的值也增大。
- 当k < 0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
例如y=-3x的图象经过原点且在二、四象限，x增大时y减小。
- 性质：- 正比例函数y = kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线。
- 直线的倾斜程度由k决定，| k|越大，直线越靠近y轴。
2. 一次函数y = kx + b的图象与性质。
- 图象：- 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，它可以由正比例函数y = kx的图象平移得到。
当b>0时，将y = kx的图象向上平移b个单位；当b < 0时，将y = kx的图象向下平移| b|个单位。
例如，y = 2x+1的图象是将y = 2x的图象向上平移1个单位得到的。
- 性质：- 当k>0时，y随x的增大而增大。
此时直线从左到右上升。
- 当k < 0时，y随x的增大而减小。
此时直线从左到右下降。
- 直线与y轴的交点坐标为(0,b)，与x轴的交点坐标为(-(b)/(k),0)（k≠0）。
知识点16正比例函数与一次函数图象、性质及其应用
正比例函数的斜率决定了直线的倾斜程度，斜率越大，直线 越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
正比例函数性质分析
比例系数决定函数增减性
正比例函数的增减性由比例系数决定。当比例系数大于0时，函数值随自变量增 大而增大；当比例系数小于0时，函数值随自变量增大而减小。
函数值与自变量成正比
在正比例函数中，函数值与自变量成正比关系，即当自变量成倍增加时，函数值 也成倍增加。
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实际问题中的一次关系
线性增长问题
某个量随时间的变化而线性增长 ，如年龄、身高等。
线性减少问题
某个量随时间的变化而线性减少， 如汽车行驶中的油耗等。
定价问题
在商品销售中，销售额与销售量之 间的一次函数关系，即销售额=单 价×销售量。
综合应用举例
速度、时间、路程的综合应用
在解决行程问题时，需要同时考虑速度、时间和路程三个因素，利用正比例函数和一次函 数进行求解。
04
正比例函数与一次函数应用
实际问题中的正比例关系
匀速运动问题
当物体做匀速直线运动时，其速度与 时间成正比例关系，即速度=路程/时 间。
工作量问题
在工作效率一定的情况下，工作总量 与工作时间成正比例关系，即工作总 量=工作效率×工作时间。
购物问题
在购买同一种商品时，总价与商品数 量成正比例关系，即总价=单价×数量 。
03
一次函数图象与性质
一次函数图象特点
01
02
03
直线性
一次函数的图象是一条直 线。
斜率
直线的斜率等于一次函数 的比例系数。
截距
直线在y轴上的截距等于 一次函数的常数项。
一次函数性质分析
《一次函数与正比例函数》一次函数PPT优秀课件
《一次函数与正比例函数》一次函数PPT优秀课件北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》一次函数PPT优秀课件，共29页。
素养目标1. 结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.2. 能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.3. 能利用一次函数解决简单的实际问题.探究新知一次函数与正比例函数的概念问题1 某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm.（1）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：（2）你能写出y与x之间的关系式吗？分析：它们之间的数量关系是：弹簧长度=原长+增加的长度问题2 某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.研讨以下两个函数关系式:(1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60.它们的结构有什么特点？解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.2．x和y的指数都是一次.3．自变量x的系数都不为0.定义：若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.函数是一次函数关系式为：y=kx+b(k,b为常数，k≠0）特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.函数是正比例函数关系式为：y=kx(k为常数，k≠0）思考一次函数的结构特征有哪些？答：一次函数的结构特征：（1）k≠0 .（2）x 的次数是1.（3）常数项b可以为一切实数.方法点拨1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．一次函数与正比例函数的应用写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;解：由路程=速度某时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.课堂小结一次函数与正比例函数一次函数形式：y=kx+b（k≠0）特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数一次函数的简单应用... ... ...关键词：一次函数与正比例函数PPT课件免费下载，一次函数PPT下载，.PPTX格式；。
八年级数学《一次函数与正比例函数》知识点总结
八年级数学《一次函数与正比例函数》知识点总结1．一次函数的定义 若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)．谈重点 一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式．【例1】 下列函数中，是一次函数的是( )．A ．y ＝7x 2B ．y ＝x －9C ．y ＝6xD ．y ＝1x ＋1 解析：A× x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B√ 符合一次函数的一般形式． C× 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D× 答案：B2．正比例函数的定义对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数．辨误区 一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．【例2】 下列函数中，是正比例函数的是( )．A ．y ＝－2xB ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x 2D ．y ＝－2x 解析：A √ 符合正比例函数的一般形式．B×b＝1≠0，所以它不是正比例函数．C×x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.D×含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.答案：A辨误区正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b(k≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx(k≠0)的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．点技巧如何列函数关系式列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．【例3】甲、乙两地相距30 km，某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地，并继续向乙地走．(1)试分别确定甲、丙两地距离s1(km)及丙、乙两地距离s2(km)与时间t(h)之间的函数关系式．(2)它们是什么函数．分析：路程＝速度×时间，s2＝30－s1.解：(1)s1＝4t，s2＝30－4t.(2)两个函数都是一次函数，而s1＝4t还是正比例函数．点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b ＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．【例4－1】 在下列函数中，x 是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y ＝3x ；(2)y ＝1x ；(3)y ＝－3x ＋1；(4)y ＝x 2.分析：这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式．解：一次函数是(1)y ＝3x 和(3)y ＝－3x ＋1.其中(1)y ＝3x 还是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数．【例4－2】 已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式．分析：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，要求出待定系数k ，必须有x 与y 的一组对应值，所以关键是要将已知条件转化为具体的数值．因为当x ＝0时，y ＝0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x ＝1时，y ＝－2.这就是我们需要的等量关系．解：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，根据题意，当x ＝1时，y ＝－2.代入函数解析式，得－2＝k .故所求函数解析式为y ＝－2x .5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．辨误区写解析式，定自变量的范围通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．【例5】一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L，行驶了1 h 后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L时，老王行驶了多少千米？分析：根据油箱中原有油9 L,1 h耗油1.5 L，则t h耗油1.5t L，得到行驶t h后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L，由此可得出函数关系式．解：(1)Q＝9－1.5t，由9－1.5t＝0，得到t＝6，故t的取值范围为0≤t≤6.(2)由3＝9－1.5t，得t＝4.于是s＝v t＝60×4＝240(km)．故老王行驶了240 km.。
一次函数和正比例函数
一次函数和正比例函数正比例函数一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析式.一次函数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的图象（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0k<0直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：(1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．(2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．直线：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)．直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为(，0)与y轴交点坐标为(0，b)．用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.利用图象解题通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.典型例题剖析例1、已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限，则（）A．y随x的增大而减小B．y随x的增大而增大C．当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小D．不论x如何变化，y不变答案：A例2（1）若函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为（）A．0B．1C．±1D．－1（2）已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_____________.（3）当m=_______时，函数是一次函数.解;（1）由于y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，∴，∴k=1，∴应选B.（2）是正比例函数的条件是：m2－3=1且2m－1≠0，要使y随x的增大而减小还应满足条件2m－1<0，综合这两个条件得当即m=－2时，是正比例函数且y随x的增大而减小.（3）根据一次函数的定义可知，是一次函数的条件是：解得m=1或－3，故填1或－3.例3、两个一次函数y1=mx＋n，y2=nx＋m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）例4、列说法是否正确，为什么？（1）直线y=3x＋1与y=－3x＋1平行；（2）直线重合；（3）直线y=－x－3与y=－x平行；（4）直线相交.解：（1）该说法不正确，∵k1≠k2，∴两直线相交；（2）该说法不正确，∵k1=k2，但b1≠b2，∴两直线平行；（3）该说法正确，∵k1=k2，b1≠b2，∴两直线平行；（4）该说法不正确，∵k1=k2，b1=b2，∴两直线重合.例5、如果直线y=kx＋b经过第一、三、四象限，那么直线y=－bx＋k经过第__________象限.例6、直线y=kx＋b过点A（－2，0），且与y轴交于点B，直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，求直线y=kx＋b的解析式．解：设点B的坐标为(0，y)，则|OA|=2，|OB|=|y|，有S=·|OA|·|OB|=×2×|y|=3．所以y=±3．所以点B的坐标是(0，3)或(0，－3)．(1)当直线y=kx＋b过点A（－2，0）和点B（0，3）时，所以y=＋3．(2)当直线y=kx＋b过点A(－2，0)，B(0，－3)时，所以y=－3．因此直线解析式为y=＋3或y=－3．例7、如图所示，阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线OAB表示某个实际问题的函数的图象，请你编写一道符合图象意义的应用题；(2)根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B 两点的坐标；(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围．解：本题为开放题，现举一例如下：小明从家骑车去离家800米的学校，用了5分钟，之后又立即用了10分钟步行回到家中，此时x轴表示时间，y轴表示离家的距离，A(5，800)，B(15，0)．图象AB的解析式为y=－80x＋1200(5≤x≤15)．例8、某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩电的进价每台分别为2000元、1600元，一月份A、B两种彩电的销售价每台为2700元、2100元，月利润为1.2万元（利润=销售价－进价）.为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略：策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长30%、40%.策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长50%.请你研究以下问题：（1）若设一月份A、B两种彩电销售量分别为x台和y台，写出y与x的关系式，并求出A种彩电销售的台数最多可能是多少？（2）二月份这两种策略是否能增加利润？（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，方能使商店所获得的利润较多？请说明理由.解：（1）依题意，有（2700－2000）x＋（2100－1600）y=12000，即700x＋500y=12000.则因为y为整数，所以x为5的倍数，故x的最大值为15，即A种彩电销售的台数最多可能为15台.（2）策略一：利润W1=（2700－100－2000）（1＋30%）x＋（2100－80－1600）（1＋40%）y=780x＋588y；策略二：利润W2=（2700－150－2000）（1＋50%）x＋（2100－80－1600）（1＋50%）y=825x＋630y.因为700x＋500y=12000，所以780x＋588y>12000，825x＋630y>12000.故策略一、策略二均能增加利润.故策略二使该商店获得的利润多，应采用策略二.怎样求一次函数解析式？求字母系数或函数解析式在已知函数解析式中，设置未知的系数，要求该函数是一次函数或具备一次函数的某些性质，据此确定解析式中的未知系数的值或者未知系数的取值范围.求解此类题时，应牢抓一次函数的定义、图象及性质，特别注意容易出错的地方，如系数k≠0，图象经过的象限与k、b的关系等.例1、函数y=(k－5)x|k|－4＋2是一次函数，求此函数的解析式.解：由一次函数的定义，知自变量x的指数等于1，系数不为零，即解得k=－5.因此此函数的解析式为y=－10x＋2.例2、已知一次函数y=mx＋2x－2，要使函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥－2B．m>－2C．m≤－2D．m<2解： B.例3、已知一次函数y=kx＋1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=x ＋k的图象大致是图中的（）解： B.求函数图象与坐标轴围成的三角形面积由于一次函数的图象是直线，所以当它与两坐标轴相交时，可能产生一个三角形，于是就出现了把一次函数与三角形内容相联系的许多问题，大多以考查三角形的周长，面积问题为主.求解此类题时，要多注意利用点的坐标来表示三角形的底与高.例4、直线y=x＋4和直线y=－x＋4与x轴所围成的三角形的面积是（）A．32B．64C．16D．8解： C.利用函数图象解方程组、不等式例5、作出函数y=3x＋1的图象，根据图象，回答：（1）x取什么值时，函数值y大于零？（2）x取什么值时，函数值y小于零？（3）x取什么值时，函数值y 小于－2？解：（1）当时，y>0；（2）当时，y<0；（3）当x<－1时，y<－2.待定系数专题概说：待定系数法是求函数解析式的最重要的方法，求解时首先设出函数解析式，再根据已知建立未知系数的方程（组），进而解方程（组）获得未知系数的值，应注意题目中的某些隐含条件的限制作用.例6、已知直线y=kx＋b过点A（－1，5），且平行于直线y=－x＋2.（1）求直线的解析式；（2）B（m，－5）在这条直线上，O为原点，求m的值及S△AOB.解：（1）由两直线平行，得k=－1.易求b=4.所以y=－x＋4；（2）把B（m，－5）代入y=－x＋4，得m=9.可求y=－x＋4与y轴的交点为C（0，4），则S△AOB=S△ACO＋S△BC O.所以S=×|－1|×4＋×9×4=20.如图所示.数形结合本章自始自终都是用数形结合的思想方法研究问题，平面直角坐标系的建立是实现数与形转化的重要工具，数形结合使抽象的数形象化、直观化，化数为形，以形思数，常常是解决问题的关键，数形结合思想不仅为分析问题，解决问题提供了有利条件，而且是开发智力、培养能力的重要途径.例7、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中，使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如图所示.（1）分别求出通话费y1、y2与通话时间之间的函数解析式；（2）请你帮用户计算一下，在一个月内使用哪种卡便宜？解：（1）设y1=k1x＋b,y2=k2x.由图象可知，y1=k1x＋b，经过点A（0，29），B（30，35）.所以解得所以y1=＋29（0≤x≤43200），y2=k2x的图象过点（30，15）.所以30k2=15.所以k2=.所以y2=（0≤x≤43200）；（2）当y1=y2时，即，得；当y1>y2时，即，得，即当x≤96时，y1>y2；当y1<y2时，即，得，即当x≥97时，y1＜y2.所以，当通话时间为小于97分钟时，“如意卡”便宜；当通话时间大于或等于97分钟时，“便民卡”便宜.分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到很多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法，分类讨论是一种重要的数学方法，不重复、不遗漏是对分类的基本要求.例8、如果一次函数y=kx＋b的自变量x的取值范围是－2≤x≤4，相应函数的范围是－9≤y≤11，求此函数的解析式.解：（1）当k>0时，y随x的增大而增大，一定是当x=－2时，y=－9；当x=4时，y=11.所以有解得所以；（2）当k<0时，y随x的增大而减小，一定是当x=－2时，y=11；当x=4时，y=－9.所以有解得所以.综上所述两种情况，符合条件的解析式为.函数思想函数思想就是用运动和变化的观点去观察、分析具体问题中的数量关系，通过函数形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决，在解决问题时，根据问题的条件去构造函数关系，并借助已知函数的性质和图象，获得解决问题的途径.例9、小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月节存12元.小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小张.请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王存款数和月份数的函数关系的图象，在图上找一找半年以后小王的存款数是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？解：设小张存款数为y1元，小王存款数为y2元，月份数为t.则y1=50＋12t，y2=18t.在同一平面直角坐标系中画出两个系数的图象如图所示.当t=6时，y1=50＋12×6=122，y2=18×6=108，在图上也可以看出半年后小王的存款数是108元，不能超过小张.我们过x轴上（6，0）点作x轴的垂线交两条直线于P1、P2点，显然P2点位置较高，即表示此时小张的存款数比小王的存款数多.由y1<y2，即50＋12t<18t，.∵t为整数，∴t≥9.由图象可知至少9个月后小王的存款才能超过小张.。
一次函数知识点
一次函数基础知识点知识点1：一次函数的意义1、概念：一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，称y 是x 的一次函数。
正比例函数：形如kx y =（0≠k ）的函数，称y 是x 的正比例函数，此时也可说y 与x 成正比例，正比例函数是一次 函数，但一次函数并不一定是正比例函数2、说明：（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次” 意 义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数；当b=0，k=0时，它不是一次函数. (4)注意自变量的取值范围3、练习1、下列函数（1）y=3πx ；（2）y=8x-6；（3）1y x =；（4）1y 8x 2=-；（5）2y 541x x =-+中，是一次函数的有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个2、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；当k_____________时，()212k y k x=-+是一次函数知识点2：求一次函数的解析式1、待定系数法的含义：要确定变量间的函数关系式，设出某些未知系数，然后根据所给条件利用方程或者是方程组来确定这些未知系数的方法。
2、用待定系数法确定一次函数表达式（1）规律：①确定正比例函数y=kx 的解析式：只须一个条件，求出待定系数k 即可．②确定一次函数b kx y +=的解析式：只须二个条件，求出待定系数k 、b 即可． （2）步骤： A 、设：设出一次函数解析式，即b kx y +=；B 、代：把已知条件代入b kx y +=中，得到关于k 、b 的方程（组）；C 、求：解方程（组），求k 、b ；D 、写：写出一次函数解析式．3、例1：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．例2. 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；（3）当y=4时，求x 的值．知识点3：一次函数的图象及其性质1、知识点(1)函数图象的画法：列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； 描点：以表中每对对应值描点；连线：按自变量由小到大连接起来。
正比例、一次函数笔记
正比例函数、一次函数、反比例函数（一）正比例函数：1、一般形式：y=kx (其中k是比例系数，k≠0)2、图像：是一条经过原点的直线。
3、简单作图：（0,0）、（1，k）4、性质：当k＞0时，图像经过一、三象限；y随x的增大而增大；当k＜0时，图像经过二、四象限；y随x的减小而减小。
5、特殊的直线：一、三象限的角平分线：y=x;二、四象限的角平分线：y=-x（二）一次函数：1、一般形式：y=kx +b(其中k、b是常数，k≠0)2、图像：当b≠0时，是一条不经过原点的直线，当b=0时，图像是经过原点的直线。
3、直线与坐标轴的交点：与x轴的交点（bk-，0）；与y轴的交点（0，b）4、简单作图：（bk-，0）、（0，b）5、k、b的几何意义：k决定直线的倾斜程度：当k＞0时，图像从左向右上升；当k＜0时，图像从左向右下降。
b是直线与y轴交点的纵坐标：当b＞0时，直线与y轴的交点在正半轴；当b＜0时，直线与轴的交点在负半轴。
6、性质：（1）当k＞0时，图像从左向右上升， y随x的增大而增大；当k＜0时，图像从左向右下降， y随x的增大而减小。
（2）当b＞0时，直线与y轴的交点在正半轴；当b＜0时，直线与y轴的交点在负半轴。
（3）经过的象限：与k、b都有关。
一般根据k、b的几何意义，先确定b对应的大致位置，再确定k对应的倾斜程度,画出大概图像，从而决定经过的象限。
这也是画大致图像的方法。
（三）反比例函数：1、一般形式：y=kx(其中k是常数，k≠0)，还有：y=kx-1、xy=k 、x=ky、等。
2、图像：是双曲线。
3、性质：当k＞0时，图像位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图像位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4、k的几何意义：︱k︱=S矩形或︱k︱=2S△（其中，S矩形指过双曲线上任意一点作x、y轴的垂线，这两条垂线和坐标轴围城的矩形的面积。
而S△是（四）待定系数法具体步骤：1、设。
一次函数和正比例函数
一次函数和正比例函数一次函数和正比例函数是初中数学中常见的两种函数类型，它们在数学中具有重要的地位和作用。
本文将分别从理论和实际应用的角度对一次函数和正比例函数进行详细的介绍，并分析它们之间的联系和区别。
一、一次函数的基本概念1.1一次函数的定义一次函数又称为线性函数，其一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b分别为常数，且k ≠ 0。
其中x称为自变量，y称为因变量。
一次函数的图像是一条直线，因此又称为线性函数。
1.2一次函数的性质一次函数的图像是一条直线，因此具有以下性质：（1）经过直线上的任意两点(x1, y1)和(x2, y2)，连接这两点的直线段都在函数的图像上。
（2）一次函数的图像不会与x轴平行也不会与y轴平行。
（3）一次函数的图像的斜率k表示为函数y = kx + b的k，即斜率表示了函数图像的倾斜程度。
（4）一次函数的图像在b轴上的截距b表示为函数y = kx + b 的b，即截距表示了函数图像与y轴之间的距离。
1.3一次函数的应用一次函数在实际生活中有着广泛的应用，例如直线运动、成本与产量的关系、温度随时间的变化等。
另外，一次函数还是其他函数的基础，更多复杂的函数都可以通过一次函数进行逼近和分析。
二、正比例函数的基本概念2.1正比例函数的定义正比例函数又称为比例函数，其一般形式可以表示为y = kx，其中k为常数，且k ≠ 0。
正比例函数的图像是一条直线通过原点。
2.2正比例函数的性质正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此具有以下性质：（1）正比例函数的图像过原点。
（2）正比例函数的图像经过直线上的任意两点(x1, y1)和(x2, y2)，连接这两点的直线段都在函数的图像上。
（3）正比例函数的图像的斜率k表示为函数y = kx，即斜率表示了函数图像的倾斜程度。
2.3正比例函数的应用正比例函数在实际生活中同样有着广泛的应用，例如单位换算、图像相关性质分析、物体的数量与质量的关系等。
正比例函数与一次函数
一次函数：1、一次函数与正比例函数：一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，叫做正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、一次函数图象：⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0bk⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．3、一次函数性质：一次 函数 ()0k kx b k =+≠k ，b符号0k >0k < 0b >0b <0b =0b >0b <0b = 图象Ox y yx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小（1）一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中： ⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限． ⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． （2）一次函数图象的增减性 在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．4、用待定系数法求一次函数解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．yxO 5、特殊一次函数：含有绝对值的一次函数对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．例题：【例1】 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴15x y +=-⑵5xy =- ⑶21y x =-- ⑷35xy =--⑸()()212y x x x =--- ⑹21x y -=【例2】 已知28(3)1my m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【例3】 一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ；当0k >，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k >，0b <时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k<，0b <时，直线y kx b =+过 象限．(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的交点分别为 、 ；其中 、 分别叫做该一次函数在x 轴、y 轴上的截距．【例4】 已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a 的取值范围是 ．【例5】 下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠）的图像是下图中的（ ）xyOxyO x yOO yxA B C D【例6】 一次函数(2)3y k x k =-+-的图象能否不经过第三象限?为什么?O2121-1xy 【例7】 若一次函数22222mm y x m --=+-的图象经过第一、第二、三象限，求m 的值．【例8】 已知0abc =/，并且a b b c c ap c a b+++===，则直线y px p =+一定通过 象限．【例9】已知一次函数()22312y a x a =-+-．求：①a 为何值时，一次函数的图象经过原点．②a 为何值时，一次函数的图象与y 轴交于点()0,9．【例10】已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A ．2y x =-B ．2(10)y x x =--<<C ．12y x =-D ． 1(10)2y x x =--<<【例11】已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =．求y 与x 之间的函数关系式．【例12】如果(0)y kx k =≠的自变量增加4，函数值相应地减少16，则k 的值为（ ） A ．4 B ．- 4 C ．14 D ． 14-【例13】一次函数y mx n =+（0m ≠），当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式．【例14】已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式．t/minS/km301694012O【例15】右图是某汽车行驶的路程()S km 与时间()min t 的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：⑴汽车在前9分钟内的平均速度是 ； ⑵汽车在中途停了多长时间？ ； ⑶当3016t ≤≤时，求S 与t 的函数关系式．练习题：1、已知函数1(2)k y k x -=- （k 为常数）是正比例函数，则k = ．2、已知y +m 与x +n （m,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？3、已知1(2)2m y m x m -=-++是一次函数，求它的解析式．4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是 ． O yxl 4l 3l 2l 1Oyxl 4l 3l 2l 15、如图，一次函数1y ax a =+的图象大致是（ ）AB C DyxO y x O y x O O x y6、函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠）在同一坐标系中的图像可能是（ ）7、若一次函数2(1)12ky k =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是 ．8、已知一次函数(3)(2)y k x k =-+- （k 为常数）的图象经过一、二、三象限，求k 取值范围．☆9、若11,A x y （），22(,)B x y 为一次函数，31y x =-的图象上的两个不同点，且120x x ≠，设111y M x +=，221y N x +=，则（ ） A ． M N > B ． M N < C ． M N = D ． 以上都不对10、已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围．11/已知一次函数的图象经过（3，2）和（1，-2）两点．求这个一次函数的解析式．12、求证：点A （2，2），B （1-，72），C （12，3-）在一条直线上．13、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式．A ．B ．C ．D ．②②②②①①①①O x y O x y O x y y x OF时间（小时）距离（千米）O ED C B4653212051015253014、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．yxO3214321A15、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （时）之间关系的函数图象．⑴根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？⑵小明出发两个半小时离家多远？⑶小明出发多长时间距家12千米？16、某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元； 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件． 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（份） 10 10 350 3020850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1．50元，每生产一件乙产品可得2．80元．根据以上信息，回答下列问题：⑴小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ ⑵小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？。
八年级上册4.2 一次函数与正比例函数课件
y=3+0.5x
做一 做
2.某辆汽车油箱中原有油100 L,汽车 每行驶50 km耗油9 L.
(1) 完成下表：
Байду номын сангаас
汽车行使路 0 50 100 150 200 300
程x/km
油箱剩余油
量y/L 100 91 82
73 64 46
(2) 你能写出x与y的关系吗?
y=100－0.18x
则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为
因变量.）
当b=0时，称y是x的正比例函数.
辨析巩固
1.在函数(1) y
3 x
，（2）y=x-5,
(3)
y=-4x，
(4) y=2x 2 -3x, (5) y
x 2 , (6) y 1 中
x2
是一次函数的是 (2),(3)
的是 (3)
.
，是正比例函数
当b=0时，称y是x的正比例函数.
课本81页习题4.2 2， 3题
(3) 汽车行驶的路程x可以无限增大吗?
行驶路程有没有一个取值范围?
油箱剩余油量y呢?
议一议
上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5x (2) y=100－0.18x,大家讨论一下,这两个函
数关系式有什么共同特征?请小组间交流.
一次函数：若两个变量 x、y之间的关系可以表 示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0）的形式，
想一想
1. 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性
限度内，所挂物体的质量x每增加1千克， 弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时 的长度，并填入下表：
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綦江区石壕中学 黎刚
谢谢！
归纳总结
一次函数、正比例函数以及它们的关系： 函数的解析式都是用自变量的一次整
式表示的，我们称它们为一次函数．一次 函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式， 其中k、b是常数，k≠0．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx （常数k≠0）出叫正比例函数．正比例函 数也是一次函数，它是一次函数的特例．
课堂检测
解答过程：
分析: 因为在只打开进油管的8分钟内、后又打 开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油 管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时 间的函数关系式是不同的，所以此题因分三个 时间段来考虑．但在这三个阶段中，两变量之 间均为一次函数关系． 解 :在第一阶段：y＝3x(0≤x≤8)；
在第二阶段：y＝16＋x(8≤x≤16)； 在第三阶段：y＝－2x＋88(24≤x≤44)．
1.教科书87页1、2题 2.已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7
(1)写出y与x之间的函数关系． (2)y与x之间是什么函数关系． (3)计算y＝－4时x的值．
课堂检测: 3.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元， 每件另加手续费0.2元，求总邮资y（元） 与包裹重量x（千克）之间的函数解析 式，并计算5千克重的包裹的邮资．
函数
解析
式
s＝570－95t．
问题
2
小张准备将平时的零用钱节约一 些储存起来．他已存有50元,从现 在起每个月节存12元．试写出小 张的存款与从现在开始的月份之 间的函数关系式． 分析 我们设从现在开始的月份数 为x,小张的存款数为y元,得到所求 的函数关系式为：y＝50＋12x．
问题3：以上问题1和 问题2表示的这两个函
(2) y是x的一次函数． (3)当x＝2.5时，y＝ 3×2.5＝7.5．
思考
某油库有一没储油的储油罐，在开始的 8分钟时间内，只开进油管，不开出油 管，油罐的进油至24吨后，将进油管和 出油管同时打开16分钟，油罐中的油从 24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只 开出油管，直至将油罐内的油放完．假 设在单位时间内进油管与出油管的流量 分别保持不变．写出这段时间内油罐的 储油量y（吨）与进出油时间x（分）的 函数式及相应的x取值范围．
zuoyebuzhi
六、作业布置（基础组1题，提高组2题） 1.仓库内原有粉笔400盒．如果每个星期
领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q 与星期数t之间的函数关系． 2.按照我国税法规定：个人月收入不超 过800元，免交个人所得税．超过800元 不超过1300元部分需缴纳5%的个人所 得税．试写出月收入在800元到1300元 之间的人应缴纳的税金y（元）和月收入 x（元）之间的函数关系式．
例1 下列函数关系中，哪 些属于一次函数，其中哪 些又属于正比例函数？
a 20 h
L＝2b＋16 s＝40t
例2 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若 它是正比例函数，求k的值．若它是一 次函数，求k的值．
解: 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函 数,则2k＋1＝？,即k＝( )．
若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k －2≠?,即k≠( )．
例3 已知y与x－3成正比例，当x ＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．
解答过程：
解 ：(1)因为 y与x－3成正 比例,所以y＝k(x－3)． 又因为x＝4时，y＝3，所以 3＝ k(4－3)，解得k＝3， 所以y＝3(x－3)＝3x－9．
数有什都是 用自变量的一次整式表示的．函数的解 析式都是用自变量的一次整式表示的， 我们称它们为一次函数，一次函数通常 可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、 b是常数，k≠0．
特别地，当b＝0时，一次函数y＝ kx（常数k≠0）出叫正比例函数．正比 例函数也是一次函数，它是一次函数的 特例．
知识技能目标
1.理解一次函数和正比例函数的概念； 2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．
过程性目标
1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程， 体会数学与现实生活的联系；
2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学 应用能力．
情感态度
体会由实际问题到函数的过程，激发学生的学习 兴趣。
问题1 小明暑假第一次去北 京．汽车驶上A地的高速公路后, 小明观察里程碑,发现汽车的平均 车速是95千米/小时．已知A地 直达北京的高速公路全程为570 千米，小明想知道汽车从A地驶 出后,距北京的路程和汽车在高速 公路上行驶的时间有什么关系,以 便根据时间估计自己和北京的距 离．