数学实验作业题目(赛车跑道)

数学实验报告实验题目：赛车车道路况分析问题

小组成员：

填写日期2012 年 4 月20 日

一．问题概述

赛车道路况分析问题

现要举行一场山地自行车赛，为了了解环行赛道的路况，现对一选手比赛情况进行监测，该选手从A地出发向东到B，再经C、D回到A地（如下图）。现从选手出发开始计时，每隔15min观测其位置，所得相应各点坐标如下表（假设其体力是均衡分配的）：

由D→C→B各点的位置坐标（单位：km）

假设：1. 车道几乎是在平原上，但有三种路况（根据平均速度v(km/h)大致区分）：

平整沙土路（v>30）、坑洼碎石路（10

2. 车道是一条连续的可以用光滑曲线来近似的闭合路线；

3．选手的速度是连续变化的.

求解：1. 模拟比赛车道曲线和选手速度曲线；

2．估计车道的长度和所围区域的面积；

3．分析车道上相关路段的路面状况（用不同颜色或不同线型标记出来）； 4．对参加比赛选手提出合理建议.

二．问题分析

1. 模拟比赛车道的曲线P ：因为赛道散点分布不规则，我们需要用光滑曲线来近似模拟赛道。由于数据点较多，为了避免龙格现象，应采用三次样条插值法来对曲线进行模拟（spline 命令）。全程曲线为环路，我们需要对上下两部分分别

模拟，设模拟出的曲线为P ：{y =f ADCB

y =f AB

。

2. 把A 到B 点的曲线分成若干小段：

赛道的路程L ：取dL=√(dx)2+(dy)2，对模拟出的整条曲线求线积分，即

L =∮dL (C)=∑√22n

i=1

。

所围区域的面积S ：用上下部分曲线的差值对x 求定积分，即

S =∫[f AB (x )−f DCB (x )]dx x B

x A

。

3.用样条插值法模拟出比赛车道曲线后，根据曲线分别计算出原数据中每两点P i (x i ,y i )，P i+1(x i+1,y i+1)（i =1,2,…,n ）间的路程s i ，即求线积分

∫ds (C i )

，其中C i 为P i ，P i+1两点间曲线。

由于每两点间时间间隔相同且已知（15min ），故可求出每段路程s i 的平均速度

v i ̅=s i

15min

=s i ×4h −1，

易知v i ̅即为v (t )的积分中值

1

i+1i

∫v (t )dt t i+1

t i 。

将此速度近似作为两点间中点时刻t i 中=

t i +t i+1

2

的速度v i 中，然后再次采用样条

插值法，模拟出全过程的v −t 图像Q 。而根据求出s i 的与t i 之间的关系，再次采用样条插值法，即可模拟出全过程的s −t 图像S 4. 由赛道曲线P 可求出赛道上任一点M 到A 点的路程

s AM =

∫ds ，(C AM )

同时v −t 图像Q 也可以求出赛道上任一点M 到A 点的路程

s AM=∫v(t)dt

t M

因此，我们可以通过s AM来将曲线P和Q建立联系，得到一个新的函数v=g(x,y)。

从而对赛道曲线上P任一点M(x,y)都有一个v与之对应，根据已知路况：平整沙土路（v≥30km∙h−1）、坑洼碎石路（12km∙h−1≤v<30km∙h−1）、松软泥泞路（0≤v<12km∙h−1），我们便可得知M点处的路况，进而对整个赛道进行标记颜色。

三．建立模型求解：

1.赛道拟合及长度和面积的求解：

数据点已知，根据MATLAB中的spline函数模拟比赛车道的曲线P: ：{y=f ADCB y=f AB。

图1：赛道拟合曲线

求得：S=733.08 , L=175.90。

由图像可以看出，曲线的上下两部分交接除不光滑，这不是我们希望得到的结果。因为曲线本身只是一种模拟，我们不妨在赛道上建立几个虚拟点对曲线进行优化。在A点和B点附近，我们加上几个虚拟点，这两点附近的几个原始点与这几个虚拟点满足一个二阶导数连续的曲线方程，再利用spline命令对整条曲线进行模拟，就可以发现曲线在交接处变得光滑了。

图2：优化过的赛道拟合曲线（蓝色点为虚拟点）

求得：S=739.24 , L=174.12。 2.速度-时间曲线的求解：

根据曲线P 计算原数据中每两点P i ，P i+1间的路程s i 。因为

ds =√(dx )2+(dy )2=√1+(dy

dx

)2dx ，

所以有

s i =∫ds (C i )

=

{

∫√1+(f AB ′)2dx x P i+1

x P

i

（P i ，P i+1在上部分）

∫√(DCB )dx x P i+1

x P i

（P i ，P i+1在下部分）（i =1,2,…,n ）

将

表1：s的计算值

表2 ：v i中的计算值

然后用样条插值法，模拟出全过程的v−t图像Q（由于两端速度无法求出，所以我们假定v（0）=0，v（末端）=66：

图3：v-t图像

黑色点表示原始数据点对应的函数点，红色点为每段的中点时刻时的函数点。紫红色线下部区域：0≤v<12km∙h−1；绿色线上部区域：v≥30km∙h−1;两线之间区域：12km∙h−1≤v<

30km∙h−1。

3．路程-时间曲线的求解：

由上一部分我们已知路程与时间的关系，再次使用样条插值法即可得到全过程的s-t 曲线S：