第八章第八节
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菜 单
课 时 知 能 训 练
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
p p p (2)F( ，0)，则 B( ，1)，∴12＝2p× ，即 p2＝2，∴p＝ 2， 2 4 4 ∴B( 2 2 2 3 2 ，1)，则点 B 到抛物线准线的距离为 ＋ ＝ . 4 4 2 4
典 例 探 究 · 提 知 能
C．y2＝6x
(2)设抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 A(0,2)．若线段 FA 的 中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为________．
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【解析】 (1)
自 主 落 实 · 固 基 础 高 考 体 验 · 明 考 情
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
1 9 ∴|PA|＋|PM|有最小值 5－ ＝ . 2 2
【答案】 (1)A (2)C
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自 主 落 实 · 固 基 础
1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到 准线距离处理． 2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|
【尝试解答】
(1)设抛物线方程为 y2＝2px，
p 当 x＝ 时，y2＝p2，∴|y|＝p， 2 |AB| 12 ∴p＝ ＝ ＝6， 2 2 又点 P 到 AB 的距离始终为 6，
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
1 ∴S△ ABP＝ ×12×6＝36. 2 (2)由题意知，抛物线 C 的焦点坐标为(－ 2，0)或( 2，0)， ∴p＝2 2， ∴抛物线的方程为 y2＝4 2x 或 y2＝－4 2x.
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
p ＝x0＋ ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦 2 长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的关系整体求出；若遇到 其他标准方程， 则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地 得到．
(1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到
点的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．
(2)利用抛物线定义，将|PM|转化为到焦点的距离，再数形结合求
解． 【尝试解答】 (1)设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离
高 考 体 验 · 明 考 情
为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心
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【答案】 (1)C (2)D
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自 主 落 实 · 固 基 础
1．抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距 离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数 2p 的关系． 2．求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方
自 主 落 实 · 固 基 础
(1)(2012· 济南质检)直线 l 过抛物线 y2＝2px(p＞0) 的焦点，且与抛物线交于 A、B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中 点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( A．y2＝12x B．y2＝8x D．y2＝4x )
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第八节
典 例 探 究 · 提 知 能
抛物线
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自 主 落 实 · 固 基 础
(见学生用书第 170 页) 1.了解抛物线的实际背景， 了解抛物线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用． 考纲 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及
3 2 【答案】 (1)B (2) 4
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【提示】 p 抛物线 y2＝2px 的准线方程是 x＝－ ，根据抛物线 2
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p 的定义知|MF|＝x1＋ . 2
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自 主 落 实 · 固 基 础
1．(教材改编题)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1， 则点 M 的纵坐标是( 17 A. 16 15 B. 16 ) 7 C. 8 D．0
如图，分别过点 A、B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 M、N， 由抛物线的定义知， |AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，
典 例 探 究 · 提 知 能
又四边形 AMNB 为直角梯形， 故 AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度 4， p 又抛物线的准线方程为 x＝－ ， 2 p 所以 4＝2＋ ⇒p＝4，故抛物线的方程为 y2＝8x. 2
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【思路点拨】 (1)只需求出焦点到准线的距离即可， 可画图分析． (2)确定抛物线的焦点，从而求出 P 即可．
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【解析】 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程
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1 1 15 为 y＝－ ，设 M(x，y)，则 y＋ ＝1，∴y＝ . 16 16 16
【答案】 B
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2．(2011· 陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2， 则抛物线的方程是( A．y2＝－8x C．y2＝－4x ) B．y2＝8x D．y2＝4x
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p 【解析】 因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以 ＝2，所以 p 2
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＝4，所以抛物线的方程是 y2＝8x.所以选 B.
(2)(2012· 安徽八校联考)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的动点， P 点 7 在 y 轴上的射影是 M，点 A( ，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( 2 7 A. 2
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)
B．4
9 C. 2
D．5
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【思路点拨】
1 (2)设抛物线的焦点为 F，则|PF|＝|PM|＋ ， 2
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1 ∴|PM|＝|PF|－ ， 2 1 ∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－ ， 2
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7 将 x＝ 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 7， 2 ∵ 7＜4，∴点 A 在抛物线的外部， ∴当 P、A、F 三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值， 1 ∵F( ，0)，∴|AF|＝ 2 7 12 － ＋4－02＝5， 2 2
【答案】 B
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3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10
C．6
B．8
D．4
【解析】 由题意知p＝2，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
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(2)已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶点在原 点，则抛物线 C 的方程是( A．y2＝± 2x 2 C．y2＝± 4x )
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B．y2＝± 2x D．y2＝± 2x 4
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程有时可设为 y2＝mx 或 x2＝my(m≠0)． 3．焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线 y2＝2px(p＞0)上的 y2 点常设为( ，y)，便于简化计算． 2p
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7 ∴|PA′|＋|PM|的最小值为 . 2
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(1)(2011· 课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且 与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A、B 两点，|AB|＝12，P 为 C 的准线 上一点，则△ABP 的面积为( A．18 B．24 ) C．36 D．48
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2．抛物线的标准方程与几何性质
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【答案】 B
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4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m， －2)到焦点的距离为4，则m的值为( A．4 C．4或－4 )
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(见学生用书第 171 页)
(1)(2011· 广东高考)设圆 C 与圆 x2＋(y－3)2＝1 外切，与 直线 y＝0 相切，则 C 的圆心轨迹为( A．抛物线 )
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B．双曲线 D．圆
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C．椭圆
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1．在抛物线的定义中，若定点 F 在直线 l 上，动点 P 的轨迹还 是抛物线吗？
【提示】 不是．当定点 F 在定直线 l 上时，动点的轨迹是过点 F 且与直线 l 垂直的直线．
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2．抛物线 y2＝2px(p＞0)上任一点 M(x1，y1)到焦点 F 的距离|MF| 与坐标 x1 有何关系？
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7 若将本例(2)中点 A 变为 A′( ， 则|PA′|＋|PM| 2)， 2 的最小值是多少？
7 【解】 点 A′( ，2)在抛物线内部， 2 则|PA′|＋|PM|≥|A′M|， 当且仅当 P、 A′、 三点共线即直线 PA′垂直于 y 轴时取等号， M
高 考 体 验 · 明 考 情
B．－2 D．12或－2
【解析】 设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)， p 由题意知 ＋2＝4， 2
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∴p＝4， ∴抛物线方程为 x ＝－8y， ∴m2＝16， ∴m＝± 4.
2
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【答案】 C
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C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和
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它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛
物线．
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传真 简单几何性质． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合的思想.
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1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离 相等 的 点的轨迹叫做抛物线．
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p p p (2)F( ，0)，则 B( ，1)，∴12＝2p× ，即 p2＝2，∴p＝ 2， 2 4 4 ∴B( 2 2 2 3 2 ，1)，则点 B 到抛物线准线的距离为 ＋ ＝ . 4 4 2 4
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C．y2＝6x
(2)设抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 A(0,2)．若线段 FA 的 中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为________．
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【解析】 (1)
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1 9 ∴|PA|＋|PM|有最小值 5－ ＝ . 2 2
【答案】 (1)A (2)C
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1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到 准线距离处理． 2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|
【尝试解答】
(1)设抛物线方程为 y2＝2px，
p 当 x＝ 时，y2＝p2，∴|y|＝p， 2 |AB| 12 ∴p＝ ＝ ＝6， 2 2 又点 P 到 AB 的距离始终为 6，
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1 ∴S△ ABP＝ ×12×6＝36. 2 (2)由题意知，抛物线 C 的焦点坐标为(－ 2，0)或( 2，0)， ∴p＝2 2， ∴抛物线的方程为 y2＝4 2x 或 y2＝－4 2x.
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p ＝x0＋ ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦 2 长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的关系整体求出；若遇到 其他标准方程， 则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地 得到．
(1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到
点的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．
(2)利用抛物线定义，将|PM|转化为到焦点的距离，再数形结合求
解． 【尝试解答】 (1)设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离
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为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心
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【答案】 (1)C (2)D
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1．抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距 离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数 2p 的关系． 2．求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方
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(1)(2012· 济南质检)直线 l 过抛物线 y2＝2px(p＞0) 的焦点，且与抛物线交于 A、B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中 点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( A．y2＝12x B．y2＝8x D．y2＝4x )
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(见学生用书第 170 页) 1.了解抛物线的实际背景， 了解抛物线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用． 考纲 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及
3 2 【答案】 (1)B (2) 4
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【提示】 p 抛物线 y2＝2px 的准线方程是 x＝－ ，根据抛物线 2
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p 的定义知|MF|＝x1＋ . 2
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1．(教材改编题)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1， 则点 M 的纵坐标是( 17 A. 16 15 B. 16 ) 7 C. 8 D．0
如图，分别过点 A、B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 M、N， 由抛物线的定义知， |AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，
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又四边形 AMNB 为直角梯形， 故 AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度 4， p 又抛物线的准线方程为 x＝－ ， 2 p 所以 4＝2＋ ⇒p＝4，故抛物线的方程为 y2＝8x. 2
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【思路点拨】 (1)只需求出焦点到准线的距离即可， 可画图分析． (2)确定抛物线的焦点，从而求出 P 即可．
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【解析】 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程
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1 1 15 为 y＝－ ，设 M(x，y)，则 y＋ ＝1，∴y＝ . 16 16 16
【答案】 B
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2．(2011· 陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2， 则抛物线的方程是( A．y2＝－8x C．y2＝－4x ) B．y2＝8x D．y2＝4x
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p 【解析】 因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以 ＝2，所以 p 2
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＝4，所以抛物线的方程是 y2＝8x.所以选 B.
(2)(2012· 安徽八校联考)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的动点， P 点 7 在 y 轴上的射影是 M，点 A( ，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( 2 7 A. 2
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B．4
9 C. 2
D．5
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【思路点拨】
1 (2)设抛物线的焦点为 F，则|PF|＝|PM|＋ ， 2
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1 ∴|PM|＝|PF|－ ， 2 1 ∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－ ， 2
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7 将 x＝ 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 7， 2 ∵ 7＜4，∴点 A 在抛物线的外部， ∴当 P、A、F 三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值， 1 ∵F( ，0)，∴|AF|＝ 2 7 12 － ＋4－02＝5， 2 2
【答案】 B
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3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10
C．6
B．8
D．4
【解析】 由题意知p＝2，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
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(2)已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶点在原 点，则抛物线 C 的方程是( A．y2＝± 2x 2 C．y2＝± 4x )
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B．y2＝± 2x D．y2＝± 2x 4
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程有时可设为 y2＝mx 或 x2＝my(m≠0)． 3．焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线 y2＝2px(p＞0)上的 y2 点常设为( ，y)，便于简化计算． 2p
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7 ∴|PA′|＋|PM|的最小值为 . 2
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(1)(2011· 课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且 与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A、B 两点，|AB|＝12，P 为 C 的准线 上一点，则△ABP 的面积为( A．18 B．24 ) C．36 D．48
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2．抛物线的标准方程与几何性质
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【答案】 B
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4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m， －2)到焦点的距离为4，则m的值为( A．4 C．4或－4 )
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(1)(2011· 广东高考)设圆 C 与圆 x2＋(y－3)2＝1 外切，与 直线 y＝0 相切，则 C 的圆心轨迹为( A．抛物线 )
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B．双曲线 D．圆
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C．椭圆
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1．在抛物线的定义中，若定点 F 在直线 l 上，动点 P 的轨迹还 是抛物线吗？
【提示】 不是．当定点 F 在定直线 l 上时，动点的轨迹是过点 F 且与直线 l 垂直的直线．
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2．抛物线 y2＝2px(p＞0)上任一点 M(x1，y1)到焦点 F 的距离|MF| 与坐标 x1 有何关系？
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自 主 落 实 · 固 基 础
7 若将本例(2)中点 A 变为 A′( ， 则|PA′|＋|PM| 2)， 2 的最小值是多少？
7 【解】 点 A′( ，2)在抛物线内部， 2 则|PA′|＋|PM|≥|A′M|， 当且仅当 P、 A′、 三点共线即直线 PA′垂直于 y 轴时取等号， M
高 考 体 验 · 明 考 情
B．－2 D．12或－2
【解析】 设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)， p 由题意知 ＋2＝4， 2
典 例 探 究 · 提 知 能
∴p＝4， ∴抛物线方程为 x ＝－8y， ∴m2＝16， ∴m＝± 4.
2
课 时 知 能 训 练
【答案】 C
菜 单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和
典 例 探 究 · 提 知 能
它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛
物线．
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
传真 简单几何性质． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合的思想.
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离 相等 的 点的轨迹叫做抛物线．