第8章 均值-方差分析
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在这种假设的经济中，向量 ~r (~rj)Jj1 表示J 种风险证
券的随机收益率。矩阵V表示J 种风险证券收益率的方 差和协方差矩阵。
V是非奇异的、对称的。 矩阵V是正定的。
前沿证券组合
前沿证券组合：如果在所有具有相同预期收益率的证券组
合中，有一支证券组合具有最小的方差值，则这支证券组合 就定义为前沿证券组合。 证券组合p是一支前沿证券组合的充分必要条件是它的证券 组合权重hp 是下面二次规划问题的解
讨论经济行为主体的效用偏好为任意偏好的情况
在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以 表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方 差分析来考察经济行为主体的效用函数。
在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以 上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的
函数。因此，E[u(w ~)]就可以完全地由均值和方差表示。
任意的前沿证券组合的协方差都不为0。
假定 p 是有效证券组合， zc( p) 就是一支无效证券组合。
将 p 同 zc( p) 的位置互换，则相反的结果成立
从几何学的角度看，zc( p)的位置的确定：
在标准差－预期收益率的坐标系平上 E[~rzc(p)]是过证券前
沿组合 p(mvp除外) 的切线在预期收益率坐标轴上的截距。
行合在为射e。线，r同f 时以H其收(~rp益)买上入的无证风券险组证合券涉的及投卖资空行风为险。证券组
如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集
位于射线 rf H(~rp) 。
情形2：rf A C
这是图8－5表示的图形。 （图见下页）
射线 rf H(~rp)上证券组合是通过卖空风险证
对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期 收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值－方差分 析的运用是存在限制条件的。
用泰勒展开式对均值－方差运用的局限性进行说明
w~ 随其机效变用量函数w ~ 是经u(在济w~行) 为的主预体期在值时周期围1的展全开部可收得入或财富，
E[u(w~)]u(E[w~])21!u(E[w~])2(w ~)E[R3] 其中 u(E[w~])为常,数 2 E(w~E[w])2
E [ ~ r q ] r f q ( E p [ ~ r p ] r f) ( 8 .3 )1
~ r q ( 1 q ) ~ r f p q ~ r p p ~ qp ( 8 .3 )2
其中 C(~ r o p ,~ q v )p E [~ q]p 0
第二，对于密度函数的分布来说，均值－方差分析并 没有考虑其偏斜度。
最后，仅仅用均值和方差也不能刻画函数分布中的峭 度。
8.2 证券组合前沿
假定： 在一个无摩擦的经济中有 J 2 支风险证券，这些证券可以
自由地卖空，并且，所有证券的未来收益率都具有有限的方差 和彼此差异的预期均值。 任何一支证券的随机收益率都不能由其他证券收益率的线性组 合来表示，即这些证券的随机收益率是彼此线性独立的。
的前沿证券组合的权重向量。
证券组合前沿
证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的集合，我 们称之为证券组合前沿。
命沿题证：券全 组部 合证g券和组g合前w沿的上线的性证组券合组得合出都。可以由两个前
证明见书P113－114
更强的命题：整个证券组合前沿可以由任意两支收益率 不同的前沿证券组合得出。（证明见书P114 ）
2 (~ r p ) D 1 ( C (E [~ r p ]2 ) 2 A [~ r p E ] B ) ( 8 .1 b )1
最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组合（不单是前沿证 券组合）的收益率的协方差，总是同最小方差证券组合收益率的 方差相等。
有效证券组合：在整个证券组合前沿曲线中，所有那些预期收益
h p g w [ ~ r p ] E ( 8 .8 )
其中 g 1D [B (V 1 1 )A (V 1 e)]
w 1D [C (V 1 e)A (V 1 1 )]
从以上（8.8）式人们可以看出， g 是预期收益率为0
的前沿证券组合的权重向量； gw是预期收益率为1
任意两支前沿证券组合 p 和 q之间的协方差为
C ( ~ r p ,o ~ r q ) h v p T V q C D h ( E [ ~ r p ] C A )E [ ( ~ r q ] C A ) C 1 ( 8 .1 )
均值－方差平面中的前沿组合
关系式（8.11a）也可以等价地写成
这样，如果经济行为主体的任意偏好是在正态分布的时 期1的财富上定义的，并且所有证券未来收益满足多元 正态分布，经济行为主体的效用函数就都可以由时期1 的收益的期望和方差来刻画。
这种情况下，均值和方差对个体行为描述有相当 大的局限性，主要表现在以下几个方面：
第一，资产收益率服从正态分布的假定与现实中资产 未来收益往往偏向正值相矛盾。
min 1 hTVh h2
约束条件为 h T e E [~ r p]和 h T 1 。1
其中：e表示J支风险证券的预期均值组成的向量，E[~rp ] 表示证券组合的预期回报率，1表示分量为1的J维向量。
构造一个拉格朗日函数，h p 是以下函数式的解：
{ m h , （,} 其L 中i1 2 ，h n T V 和( h E [ ~ r p ] 是h T 两e ) 个 正( 1 值 h 的T 1 常)数。( 8 ）.4 )
这个关系对于除了无风险证券之外的任意证券组合 q和任
构造一个拉格朗日函数，可求得
E[~rp]rf
(~rp){E[~rpH ]rf H
如果 E[~rp]rf 如果 E[~rp]rf
(8.2)9
也即是，在 (~ rp)E[~ rp] 坐标平面上，包括无风险
证券在内的所有证券的证券组合前沿是以 (0, rf ) 为 顶点，斜率分别为 H 和 H 的两条射线。
率严格大于最小方差证券组合收益率 A C 的证券组合称之为有
效证券组合；
无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又不是最小方差组合 的证券组合称之为无效证券组合。
前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。
任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有效证券组合。因此 有效证券组合的集合是一个凸组合。
8.3 证券组合前沿的一些数学性质
q 任意证券组合 （不要求是前沿组合）的预期收益率同一支前
沿证券组合的预期收益率之间的关系特征：
E 其[ 中~ r q ：] p 是( 1 mvq p之) E 外p [ 的~ r z 任( 意p ) c ] 一 支前q 沿E 证[ p 券~ r p 组] 合， ( 8 . 2 )
E[R3]
n3
1u(n) n!
(E[w~])mn(w~)
其中E[R3 ] 则表示经济行为主体的预期效用并不能仅仅由 对时期1财富的期望均值和方差这两个元素完全刻画，而 是应该包括泰勒展开式的高阶矩部分。
均值－方差分析方法的使用条件和范围
考察未来收益分布为任意分布的情况
此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完
全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一
个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以
表达为 u(z)z(b2)z2
。
此时 E[R3]0
于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
E [ u ( w ~ ) ] E [ w ~ ] b (E [ ( w ~ ]2 )2 ( w ~ )) ( 8 .2 ) 2
q pC(~ r o q,~ rp v )/ 2(~ rp)
（8.20）式也可以写成 E [ ~ r q ] ( 1 q ( p ) z ) E [ c ~ r p ] q ( p ) z E [ ~ r c z ( p ) c ] ( 8 . 2 ) 1 E [ ~ r q ] q ( p ) z E [ c ~ r z ( p ) c ] q E [ p ~ r p ] ( 8 . 2 )3
《现代金融经济学》
第8章 均值－方差分析
本章制作：陈召洪
本章大纲
偏好与分布 证券组合前沿 证券组合前沿的一些数学性质
8.1 偏好与分布
一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预期回报率的 方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。
但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假 设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为证 券组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。
券 e 并运用收益买入无风险证券组合而得。
在射线 rf H(~rp) 上的证券组合涉及正值地
购买风险证券组合 e 。
如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合
的有效集位于射线 rf H(~rp) 。
情形3： rf A C
这是图8－6表示的图形。 （图见下页）
包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿的预 期收益率方程为
关系式（8.20）、（8.21）、（8.23）是等价的关系式。
我们总可以将证券组合 q 的收益率写成
~ r q ( 1 q ) ~ r z p ( p ) c q ~ r p p ~ q ( 8 . 2 )6
其中 C ( ~ r p ,~ o q ) C v ( ~ r z ( p o ) c ,~ q ) v E [ ~ q ] 0
求解可得
C[E ~ rp]A (8.6) BAE [~ rp] (8.7)
D
D
来自百度文库
其中 A1 TV 1eeTV 11 BeTV1e
C1TV11
DBC A2
且B＞0，C＞0，并且可以断定D＞0。
我们可以得出一个预期收益率为 E[~rp ] 的前沿证券组合 的唯一权重集合
情形1：rf A C
这是图8－4表示的图形。（图见下页）
在图中 e点是射线 合前沿相切的切点。
rf H(~rp)
与风险证券的组
r e e 和线无段风险f 证券上的任凸意组一合支。证券组合都是风险证券组合
卖在空线无段风r险f e证券之并外运的用射收线益rf买入H 风险(~r证p)券上组证合券组e合的都投涉资及
在引入无风险证券情况下进行讨论
现假定 p是一支由所有J＋1种证券组合而成的前沿证券
组J 维合向，量h。p这表样示，这h支p 前是沿以证下券规组划合问中题的的一风个险解证券权重的
min 1 hTVh h2
s .t. h T e (1 h T 1 )r f E [~ r p ]
e 其中 仍然表示风险证券的预期收益率的J 维向量，r f 表示 无风险证券的收益率。
E[~ rp]C A C D(~ rp)
前沿证券组合的有效集应当是位于射线 A
上的前沿组合。
C
D
C
(~rp
)
在此情形下，连接无风险证券和风险证券组合的切线
的“切点”不存在。
引入无风险证券情况下考察任意一支证券与前沿证券组 合之间的关系（假设 rf A C）：
当存在一支无风险证券时，
二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻
画存在着以下两个主要的缺点：
第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富 具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这 点之后，收益增加的边际效用为负。
证明（见书P110）
第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存 在矛盾。
p 证券组合前沿的一个重要数学性质就是：除了最小方差证券组合 之外，对于证券组合前沿上的任意一支证券组合 ，都必然存 在着唯一的一支前沿证券组合 zc( p) （即零协方差证券组合）， 它的收益率同证券组合 的协p方差为0。 最小方差证券组合与其它任意前沿证券组合之间的协方差等
于 1 C ，这也是严格正定的。从而得到，最小方差证券组合与
券的随机收益率。矩阵V表示J 种风险证券收益率的方 差和协方差矩阵。
V是非奇异的、对称的。 矩阵V是正定的。
前沿证券组合
前沿证券组合：如果在所有具有相同预期收益率的证券组
合中，有一支证券组合具有最小的方差值，则这支证券组合 就定义为前沿证券组合。 证券组合p是一支前沿证券组合的充分必要条件是它的证券 组合权重hp 是下面二次规划问题的解
讨论经济行为主体的效用偏好为任意偏好的情况
在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以 表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方 差分析来考察经济行为主体的效用函数。
在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以 上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的
函数。因此，E[u(w ~)]就可以完全地由均值和方差表示。
任意的前沿证券组合的协方差都不为0。
假定 p 是有效证券组合， zc( p) 就是一支无效证券组合。
将 p 同 zc( p) 的位置互换，则相反的结果成立
从几何学的角度看，zc( p)的位置的确定：
在标准差－预期收益率的坐标系平上 E[~rzc(p)]是过证券前
沿组合 p(mvp除外) 的切线在预期收益率坐标轴上的截距。
行合在为射e。线，r同f 时以H其收(~rp益)买上入的无证风券险组证合券涉的及投卖资空行风为险。证券组
如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集
位于射线 rf H(~rp) 。
情形2：rf A C
这是图8－5表示的图形。 （图见下页）
射线 rf H(~rp)上证券组合是通过卖空风险证
对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期 收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值－方差分 析的运用是存在限制条件的。
用泰勒展开式对均值－方差运用的局限性进行说明
w~ 随其机效变用量函数w ~ 是经u(在济w~行) 为的主预体期在值时周期围1的展全开部可收得入或财富，
E[u(w~)]u(E[w~])21!u(E[w~])2(w ~)E[R3] 其中 u(E[w~])为常,数 2 E(w~E[w])2
E [ ~ r q ] r f q ( E p [ ~ r p ] r f) ( 8 .3 )1
~ r q ( 1 q ) ~ r f p q ~ r p p ~ qp ( 8 .3 )2
其中 C(~ r o p ,~ q v )p E [~ q]p 0
第二，对于密度函数的分布来说，均值－方差分析并 没有考虑其偏斜度。
最后，仅仅用均值和方差也不能刻画函数分布中的峭 度。
8.2 证券组合前沿
假定： 在一个无摩擦的经济中有 J 2 支风险证券，这些证券可以
自由地卖空，并且，所有证券的未来收益率都具有有限的方差 和彼此差异的预期均值。 任何一支证券的随机收益率都不能由其他证券收益率的线性组 合来表示，即这些证券的随机收益率是彼此线性独立的。
的前沿证券组合的权重向量。
证券组合前沿
证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的集合，我 们称之为证券组合前沿。
命沿题证：券全 组部 合证g券和组g合前w沿的上线的性证组券合组得合出都。可以由两个前
证明见书P113－114
更强的命题：整个证券组合前沿可以由任意两支收益率 不同的前沿证券组合得出。（证明见书P114 ）
2 (~ r p ) D 1 ( C (E [~ r p ]2 ) 2 A [~ r p E ] B ) ( 8 .1 b )1
最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组合（不单是前沿证 券组合）的收益率的协方差，总是同最小方差证券组合收益率的 方差相等。
有效证券组合：在整个证券组合前沿曲线中，所有那些预期收益
h p g w [ ~ r p ] E ( 8 .8 )
其中 g 1D [B (V 1 1 )A (V 1 e)]
w 1D [C (V 1 e)A (V 1 1 )]
从以上（8.8）式人们可以看出， g 是预期收益率为0
的前沿证券组合的权重向量； gw是预期收益率为1
任意两支前沿证券组合 p 和 q之间的协方差为
C ( ~ r p ,o ~ r q ) h v p T V q C D h ( E [ ~ r p ] C A )E [ ( ~ r q ] C A ) C 1 ( 8 .1 )
均值－方差平面中的前沿组合
关系式（8.11a）也可以等价地写成
这样，如果经济行为主体的任意偏好是在正态分布的时 期1的财富上定义的，并且所有证券未来收益满足多元 正态分布，经济行为主体的效用函数就都可以由时期1 的收益的期望和方差来刻画。
这种情况下，均值和方差对个体行为描述有相当 大的局限性，主要表现在以下几个方面：
第一，资产收益率服从正态分布的假定与现实中资产 未来收益往往偏向正值相矛盾。
min 1 hTVh h2
约束条件为 h T e E [~ r p]和 h T 1 。1
其中：e表示J支风险证券的预期均值组成的向量，E[~rp ] 表示证券组合的预期回报率，1表示分量为1的J维向量。
构造一个拉格朗日函数，h p 是以下函数式的解：
{ m h , （,} 其L 中i1 2 ，h n T V 和( h E [ ~ r p ] 是h T 两e ) 个 正( 1 值 h 的T 1 常)数。( 8 ）.4 )
这个关系对于除了无风险证券之外的任意证券组合 q和任
构造一个拉格朗日函数，可求得
E[~rp]rf
(~rp){E[~rpH ]rf H
如果 E[~rp]rf 如果 E[~rp]rf
(8.2)9
也即是，在 (~ rp)E[~ rp] 坐标平面上，包括无风险
证券在内的所有证券的证券组合前沿是以 (0, rf ) 为 顶点，斜率分别为 H 和 H 的两条射线。
率严格大于最小方差证券组合收益率 A C 的证券组合称之为有
效证券组合；
无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又不是最小方差组合 的证券组合称之为无效证券组合。
前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。
任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有效证券组合。因此 有效证券组合的集合是一个凸组合。
8.3 证券组合前沿的一些数学性质
q 任意证券组合 （不要求是前沿组合）的预期收益率同一支前
沿证券组合的预期收益率之间的关系特征：
E 其[ 中~ r q ：] p 是( 1 mvq p之) E 外p [ 的~ r z 任( 意p ) c ] 一 支前q 沿E 证[ p 券~ r p 组] 合， ( 8 . 2 )
E[R3]
n3
1u(n) n!
(E[w~])mn(w~)
其中E[R3 ] 则表示经济行为主体的预期效用并不能仅仅由 对时期1财富的期望均值和方差这两个元素完全刻画，而 是应该包括泰勒展开式的高阶矩部分。
均值－方差分析方法的使用条件和范围
考察未来收益分布为任意分布的情况
此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完
全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一
个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以
表达为 u(z)z(b2)z2
。
此时 E[R3]0
于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
E [ u ( w ~ ) ] E [ w ~ ] b (E [ ( w ~ ]2 )2 ( w ~ )) ( 8 .2 ) 2
q pC(~ r o q,~ rp v )/ 2(~ rp)
（8.20）式也可以写成 E [ ~ r q ] ( 1 q ( p ) z ) E [ c ~ r p ] q ( p ) z E [ ~ r c z ( p ) c ] ( 8 . 2 ) 1 E [ ~ r q ] q ( p ) z E [ c ~ r z ( p ) c ] q E [ p ~ r p ] ( 8 . 2 )3
《现代金融经济学》
第8章 均值－方差分析
本章制作：陈召洪
本章大纲
偏好与分布 证券组合前沿 证券组合前沿的一些数学性质
8.1 偏好与分布
一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预期回报率的 方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。
但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假 设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为证 券组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。
券 e 并运用收益买入无风险证券组合而得。
在射线 rf H(~rp) 上的证券组合涉及正值地
购买风险证券组合 e 。
如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合
的有效集位于射线 rf H(~rp) 。
情形3： rf A C
这是图8－6表示的图形。 （图见下页）
包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿的预 期收益率方程为
关系式（8.20）、（8.21）、（8.23）是等价的关系式。
我们总可以将证券组合 q 的收益率写成
~ r q ( 1 q ) ~ r z p ( p ) c q ~ r p p ~ q ( 8 . 2 )6
其中 C ( ~ r p ,~ o q ) C v ( ~ r z ( p o ) c ,~ q ) v E [ ~ q ] 0
求解可得
C[E ~ rp]A (8.6) BAE [~ rp] (8.7)
D
D
来自百度文库
其中 A1 TV 1eeTV 11 BeTV1e
C1TV11
DBC A2
且B＞0，C＞0，并且可以断定D＞0。
我们可以得出一个预期收益率为 E[~rp ] 的前沿证券组合 的唯一权重集合
情形1：rf A C
这是图8－4表示的图形。（图见下页）
在图中 e点是射线 合前沿相切的切点。
rf H(~rp)
与风险证券的组
r e e 和线无段风险f 证券上的任凸意组一合支。证券组合都是风险证券组合
卖在空线无段风r险f e证券之并外运的用射收线益rf买入H 风险(~r证p)券上组证合券组e合的都投涉资及
在引入无风险证券情况下进行讨论
现假定 p是一支由所有J＋1种证券组合而成的前沿证券
组J 维合向，量h。p这表样示，这h支p 前是沿以证下券规组划合问中题的的一风个险解证券权重的
min 1 hTVh h2
s .t. h T e (1 h T 1 )r f E [~ r p ]
e 其中 仍然表示风险证券的预期收益率的J 维向量，r f 表示 无风险证券的收益率。
E[~ rp]C A C D(~ rp)
前沿证券组合的有效集应当是位于射线 A
上的前沿组合。
C
D
C
(~rp
)
在此情形下，连接无风险证券和风险证券组合的切线
的“切点”不存在。
引入无风险证券情况下考察任意一支证券与前沿证券组 合之间的关系（假设 rf A C）：
当存在一支无风险证券时，
二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻
画存在着以下两个主要的缺点：
第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富 具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这 点之后，收益增加的边际效用为负。
证明（见书P110）
第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存 在矛盾。
p 证券组合前沿的一个重要数学性质就是：除了最小方差证券组合 之外，对于证券组合前沿上的任意一支证券组合 ，都必然存 在着唯一的一支前沿证券组合 zc( p) （即零协方差证券组合）， 它的收益率同证券组合 的协p方差为0。 最小方差证券组合与其它任意前沿证券组合之间的协方差等
于 1 C ，这也是严格正定的。从而得到，最小方差证券组合与