《金融数学》ppt课件(1-2)利息度量

重新整理得
1-
d
1
d (m) m
m
d
1-
1
d (m) m
m
d(m)
1 1
m1-(1-d)mm1-vm
a
20
Example：Find the present value of $1000 to be paid at the end of six year at 6% per annum payable in advance and convertible semiannually.
i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息 d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息
a
27
思考题
某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利 率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。 请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利 率不变，为0.72%。 1年按360天计算，每月按30天计算。
a
29
回顾：
年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。
名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长 强度（月平均）。
问题：
哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实 际利率？
如何度量资金在每一个时点上的增长强度？
在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了 资金在一个时点上的增长强度。
a
25
nominal annual rate of discount is 10%
Compounding times per year 1(每年)
2(每半年) 4(每季) 12(每月) 52(每周)
365(每天)
∞
Effective annual rate of discount 0.10000 0.09750 0.09631 0.09554 0.09525 0.09517
例： i (4) = 8％ 表示每个季度结转一次利息，且每个季度的 实际利率为2％。
例： i (12) = 6％ 表示每个月结转一次利息，且每月的实际利 率为0.5％。
问题：三个月定期存款的年利率为1.8％ ，含义是什么？
答案：表明i (4) ＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存 1000元满3个月可得利息 1000 × 1.8% / 4 = 4.5 元。
1- e-0.1= 0.09516
dm li m 1- 1-dm (m ) m m li m 1- a 1-dm (m ) -dm (m ) -d(m ) 1-e-d(m ) 26
小结：
期初的1元在期末的累积值（等价度量工具之间的关系）： (1i) 1im (m ) m 1-dp (p) -p(1-d)- 1v- 1
a
30
1.8 利息力(force of interest)
定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小 的时间区间内）增长的强度。 在时间区间[ t, t + h ]的实际利率为
a(t h) - a(t) a(t)
年名义利率为（1年包含1/h个小区间）
a(t h) - a(t)
h a(t)
求 t＝1 / 2 时的利息力。
解：
1/ 2
A(t) A(t)
t 1/ 2
16t 2 8t 2 2 t 1 0 0 t1/2
相关术语 利息结转期：interest conversion period； 每月结转一次：convertible monthly； 每季支付一次：payable quarterly； 每半年复利一次： compound semiannually；
a
9
名义利率的定义
年名义利率 i (m)（m ≥1，为整数）表示每年结转m次利息， 即每 1/m 年支付一次利息，每次的实际利率为 i (m) / m。
利息的度量：
名义利率、名义贴现率、利息力
孟生旺 中国人民大学统计学院
1
a
上节主要内容回顾
实际利率（i）＝利息/期初本金 实际贴现率（d）＝利息/期末累积值
期初本金
利息＝期末累积值－期初本金
i 与 d 之间的关系（下页）：
a
期末累积值
2
d i 1 i
i d 1- d
v1-d
0
1
i
1
1+ i
d
年复利次数
1 2 4 12 52（每周） 365(每天)
年实际利率
0.10000 0.10250 0.10381 0.10471 0.10507 0.10516
年初的1000元在年末的累积值
1100.00 1102.50 1103.81 1104.71 1105.07 1105.16
a
13
问题：年名义利率i(m)一定的情况下，如果复利次数m为无 穷大，年实际利率会是多少？
14
每年的结转次数小于1时的名义利率
在 n 个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息） 可以表示为 i (1/ n) ，其中 n 是大于1的正整数。
名义利率 i (1/ n) 是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期 的实际利率为 i (1/ n) × n
例：2年期定期存款的年利率为 3.06%，其含义为i (1/ 2) = 3.06% 2年期的实际利率为 i (1/ 2) × 2 = 3.06% × 2 = 6.12% 问题：等价的1年期的实际利率为多少？
a
10
名义利率与实际利率的关系： 名义利率与等价的实际利率有如下关系：
或者
1
i
1
i(m) m
m
i
1
i(m) m
m
-1
由实际利率 i 也可以计算名义利率 i (m) ，即
i(m ) m [(1i)1/m-1]
a
11
例：贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息， 每次支付1万。求等价的年实际利率是多少？
i(4)
1
4
4
1-01.026-12
i(4) 1
0.995-3
4
i(4)4 [0.995- 3-1 ]6.06%
a
23
例：已知 i (12) = 5.58%。求 i、d、 d (12)
解：
1i (1 i(12) )12 12
i 1 .0 0 4 6 5 1 2- 1 5 .7 2 %
（2）m＝p
1im (m) m
1-dm(m)
-m
（3）把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 年内的实际利率和实际 贴现率，则
i(m) d(m) i(m) d(m) -
m m mm
a
22
例：确定每季度复利一次的名义利率，使它等价于每月复 利一次的6％的名义贴现率。
解：d(12) 6%，
结论：直接投资1年合算。
a
17
如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期 存款，则应有
i(4) 4
1
4
12.52%
由此可得
i(4) 2.4965%
a
18
存款利率：名义利率和实际利率的比较
活期
年名义利率 0.72 实际年利率 0.723
3个月 1.80 1.812
6个月 2.25 2.263
这两个利率有何不同？你愿意选择哪笔贷款？为什么？
答案：第一个12％是年实际利率，第二个是年名义利率, 对应的年实际利率为12.68％。
a
7
名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个 季度等）的实际利率。例如：
假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应 的年名义利率被定义为1%×12 = 12%。
im li m 1im (m )m-1 m li m 1im (m )i(m m)i(m)
-1 ei(m)
-1
年复利次数
1 365(每天)
∞
年实际利率
0.10000
0.10516 e0.1-1=0.10517
a
年初的1000元在年末的累积值
1100.00
1105.16 1105.17
a
31
lima(th)-a(t)a'(t) 为在时刻 t 的利息增长强度（即
h0 ha(t)
a(t)
利息力）。
定义：设积累函数连续可导，则时刻 t 的利息力为
t
a '( t ) a (t)
问题：为什么不用a (t)直接度量利息的增长强度？
a
32
例： 已知金额函数为 A(t)8t22t100
的关系。
Hale Waihona Puke a5何谓名义利率？
实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利 一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转 为下期的本金。
名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率。
a
6
考虑下述两笔贷款：
贷款100万，年利率为12％，每年末支付一次利息，每 次支付12万。
贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每 次支付1万。
定期
1年
2年
2.52 3.06
2.52 3.015
3年 5年 3.69 4.14 3.562 3.834
注：
• 小于1年时，实际利率大于名义利率； • 超过一年时，实际利率小于名义利率。
a
19
名义贴现率(nominal annual rate of discount)
名义贴现率 d (m) （m > 1） 定义：d (m) 是指每 1/m 时期的实际贴现率为d (m) / m 。 由等价的定义