幂法和反幂法

第九章 特征值与特征向量的数值求法
问题:是否任何矩阵的幂法，当k比较大时，一定有 vk 1( i ) 1 ? (i ) vk
即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值？
不一定. 先讨论以下情况：
情形1:
设n n阶实矩阵A的特征值i ( i 1, 2, , n)
满足 1 2 n 且与i ( i 1, 2, , n)相应的特征 向量x 1 , x 2 , , x n 线性无关。
第九章 特征值与特征向量的数值求法
3. 幂法的改进 用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果 1 1 , (或 1 1) ,迭代向量的各个不等于零的分量将随 k 而趋于无穷
（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克服这个问题， 利用向量的方向与长度无关这一性质, 将迭代向量的长度规范化 以改进幂法。 所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使 向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 || || 或 || ||2 , max(v) || v || max | (v)i | | (v)i0 | ，其中i0为所有绝对值最大的分量
(当源自文库 时, k 0)
第九章 特征值与特征向量的数值求法
(2) 对迭代向量序列: {vk }
k 1 (1 x1 k ) Ak v0 vk k 1 max( 1 (1 x1 k 1 )) max(Ak 1v0 )
1
于是，
1 x1 k max( 1 x1 k 1 )
第九章 特征值与特征向量的数值求法
对特征值的其他情况，讨论较为复杂。完整的幂法程序要 加上各种情况的判断。
一般地， 1. 若迭代向量的各分量单调变化且有关系式
vk 1 cvk
则属于第一种情况。
(3.5)
2.若迭代向量的各分量不是单调变化，且有关系式
vk r cvk
则属于第二种情况。 例1属于第一种情况的讨论。
第九章 特征值与特征向量的数值求法
1 2 m m 1 n 幂法是否有效？
（1）1是m重根，即1 2 m , 矩阵A仍有n个线性无 关的特征向量。此时有 vk 1k [ 1 x 1 m x m
m)
m 1 k n k ( ) m 1 x ( ) n xn ] 1 1 当然，只要1 , , m 不全为零，当k充分大时，就有
k max( vk )
max( 1 x1 k ) 1 1 , (当k ) max( 1 x1 k 1 )
即 vk 绝对值最大的分量当 k 时，趋向于特征根 1 。 注意：改进的幂法中主特征值 1 不是两相邻迭代向量 vk 1 , vk 的对应非零分量的比值。
称为迭代向量．由此计算按摸最大的特征值和特征向量。
第九章 特征值与特征向量的数值求法
例1
设实对称矩阵A为
1 4 A 1 5
1 5 1 6
利用幂法求A的按模最大特征值。 解：直接求解A的特征方程 | A I | 0 得
1 0.412627, 2 0.004.39
i 1
i 1
(3.8)
(1) 对规范化向量序列: {uk } 由(3.7)及(3.8)式有 k 1 (1 x1 k ) vk 1 x1 k x x 11 uk k k 1 (1 x1 k )) max( max( vk ) max( 1 x1 k ) m max( ax( x x )) 11
由于 v0
n i 2
(3.7)
n
k k k k x , x v A v A x 及 i i i i i 1 (1 x1 k )。 k 0 i i
n
n
i 1
其中 k i (
i k ) xi 0 (当k )。 1
改进的幂法
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理 2 （1）设 A R n n 有n个线性无关的特征向量；
（2）设A特征值满足 | 1 || 2 | | n |, 且 Axi i xi (i 1,, n); （3）
{uk }
及 k 由改进幂法得到的规范化向量序列 及迭代向量 序列((3.7)式),则有
v k 1k ( 1 x 1 m x m ) 因 1 x (1) m x ( m )也是矩阵A相应于1的特征向量，故有 ( v k 1 )i 1 2 m ( v k )i v k 为相应的特征向量，即对这种情况幂法仍然有效。
（2）1 2 , 1 3 , 且矩阵A有n个线性无关的特征向量。 第九章 特征值与特征向量的数值求法
第九章 特征值与特征向量的数值求法
T v (1, 0) 利用幂法求A的按模最大特征值，任取 0
迭代公式为
(1)
vk 1 Avk , k 0,1, 2,..., n
(2) T
vk (vk ,vk ) , k 0,1, 2,..., n k vk
(1)
vk
(2)
考虑两个相邻向量相应分量之比
[a1 x1 ai (i / 1 )k xi ] 1k [a1 x1 k ],
k 1 i 2
n
其中
i k ai xi i 2 1
n
k
由假设，知 i / 1 1(i 2,3, , n)
从而
k 0(k )
2
{ u 则有迭代向量序列{vk }及规范化向量序列 k } 。


u0 v0 0 (且1 0)
第九章 特征值与特征向量的数值求法
vk Auk 1 , k max( vk ) 迭 代 : ( k 1,2,) 规 范 化: uk vk / k 先考虑 {uk }, {vk } 与计算 1及x1 的关系。
9.3.1
幂法和加速方法
第九章 特征值与特征向量的数值求法
在一些工程，物理问题中，通常只 需要我们求出矩阵的按模最大的特征值 ( 称为 A 的主特征值 ) 和相应的特征向量， 对于解这种特征值问题，应用幂法是合 适的。 幂法是一种计算n阶实矩阵A的主特征 值的一种迭代法，它最大的优点是方法简 单，对稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度 很慢．
vk a11k x1
vk 1 Avk a11k 1 x1 1vk
即两个相邻迭代向量的对应非零分量成比例,且主特征值为
第九章 特征值与特征向量的数值求法
(vk 1 )i 1 (vk )i
其中(vk )i 为 vk的第i个分量。
(3.3)
即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值收敛到主特征值.
且主特征向量
x1 vk
(3.4)
这种由已知非零向量 v0 及矩阵 A 的乘幂 Ak 构造向量序列 { vk } 计算A的主特征值 及相应特征向量的方法称为幂法。 1
幂法的收敛速度依赖于比值
2 ， 比值越小，收敛越快。 1
第九章 特征值与特征向量的数值求法
(vk 1 )i /( vk )i 1 的收敛速度由比值 r | 2 / 1 | 来确定 由(3.3)式知， r 越小收敛越快，但当 r | 2 / 1 |≈1时收敛可能就很慢.
总结上述讨论，有 足 定理1设 A R nn 有 n 个线性无关的特征向量，主特征值1 满
1 ＞ 2 ≥ 3 ≥…≥
n ，
则对任何非零初始向量 v0 (a1 0) ，
(vk 1 )i 1 , 及 (vk )i
x1 vk
均成立．
两种特殊情况
前面假定 1 2 .如果按模最大的特征值有多个，即
由上式可知， vk 是个摆动序列，当k充分大时，有 x2k 1 12 k 1 (1 x1 2 x2 ) ( v k 2 )i ( v k )i
2 1
3 k n k vk [1 x1 ( 1) 2 x2 ( ) 3 x3 ( ) n xn ] 1 1
0 1 0 1 0.25 0.2 2 0.10250 0.08337 3 0.042292 0.034389 4 0.017451 0.014190
v2 (1) 0.41 , (1) v1
v2(2) 0.41666, (2) v1
v3(1) v3(2) 0.41260, (2) 0.41249, (1) v2 v2 v4 (1) v4(2) 0.41263, (2) 0.41263, (1) v3 v3
第九章 特征值与特征向量的数值求法
幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量 v0 ，由矩阵A 构造一向量序列{vk}k=0,1,2,…,n
v1 Av0 , 2 v Av A v0 , 1 2 v k 1 Av A v0 , k k 1
(3.1)
则对R n中的任一非零向量（如v0）第九章 ,必存在 n个不全为零的数ai 特征值与特征向量的数值求法 (i 1, 2, , n), 使得
v0 a1 x1 a2 x2 an xn
v0 ai xi ,
i 1
n
(设 a1 0 ),
(3.2)
于是
k k vk Avk 1 Ak v0 a1 1 x1 a2 2 x2 an k n xn
{v }
x1 (a ) limuk ; k max(x1 )
k 1 k
x 2k 12 k (1 x1 2 x2 )
1,2
( v k 2 )i ( v k )i
又由
vk 1 1k 1 [1 x1 ( 1)k 1 2 x2 ] vk 1k [ 1 x1 ( 1)k 2 x2 ]
vk 1 1vk 21k 11 x1 k 1 k 1 v v 2 ( 1) 2 x2 1 k 1 1 k 故在这种情况下，仍可按幂法产生向量序列。
v u 中最小的指标。 v max(v) v (或u 等) v2
归范化
1i n
第九章 特征值与特征向量的数值求法
A v0 max(Av0 ) 令 u0 v0 0 (且1 0) 任取初始向量： u2 2 A v0 迭代 规范化 max( ) A v v max(Av0 ) 0 1 u v1 Au0 Av0 , 1 2 m ax( v1 ) max(Av0 ) A v0 v2 A2 v 0 A2v0 m ax(Av0 ) u2 v2 Au1 , 2 max( v2 ) max(A2v0 ) max(Av0 ) m ax(A v0 ) m ax(Av0 ) v k Ak v0 A v k 0 vk Auk 1 , u k max(Ak 1v0 ) max( vk ) max(Ak v0 ) (3.6)
第九章 特征值与特征向量的数值求法
9.3
幂法和反幂法
9.3.1 幂法和加速方法
9.3.2 反幂法和原点位移
第九章 特征值与特征向量的数值求法
幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值
与相应的特征向量的迭代方法。 适合于大型稀疏矩阵
反幂法是计算Hessenberg阵或对角阵
的对应一个给定近似特征值的特征向量 的有效方法.