椭圆型方程的有限差分法4
有限差分法
两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cfd椭圆型方程 双曲线方程
椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。
它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。
本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。
一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。
具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。
当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。
1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。
（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。
（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。
1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。
在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。
二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。
具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。
当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。
2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。
（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。
2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。
在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。
椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。
椭圆型方程
§1
差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
d 2u Lu 2 qu f , a x b, dx u (a) , u (b) , (1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, , 为给定常数. 将其分成等分，分点为
称
uh 收敛到边值问题的解 u .
对于差分方程
Lhvi fi , i 1, 2,3,L , N 1,
定义1.3
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数
数 M 和 h0 , 使 || vh || M || f h ||R ,
0 h h0
称差分方程关于右端稳定.
第二章
椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值
方法.
有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按
特定方式选取.
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.9) (2.10)
W (a) W ( x1 ) 2 qudx
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx 3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2,, N 1 ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
椭圆微分方程及其求解方法
椭圆微分方程及其求解方法椭圆微分方程是常见的一类偏微分方程，它在自然科学、工程技术、金融数学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆微分方程的基础概念、分类、本征值问题及求解方法等内容。
一、椭圆微分方程的基本概念椭圆微分方程通常具有形如$$\begin{cases}Lu(x)=f(x), & x\in \Omega, \\u(x)=g(x), & x\in \partial\Omega, \\\end{cases}$$其中，$Lu(x)$是一线性偏微分算子，$\Omega$为区域（一般指开集上的连通子集），$\partial\Omega$为$\Omega$的边界，$f(x)$和$g(x)$为已知函数，求解$u(x)$满足上述条件。
椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$通常具有形如$$Lu(x)=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum_{k=1}^nb_k(x)\frac{\partial}{\partialx_k}u(x)+c(x)u(x),$$其中，$n$为空间维数，$a_{i,j}(x)$、$b_k(x)$和$c(x)$都是已知函数。
二、椭圆微分方程的分类根据椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$的性质，椭圆微分方程可分为一般椭圆型、二阶椭圆型和高阶椭圆型三类。
其中，一般椭圆型指的是$Lu(x)$的主部分系数矩阵在$\overline{\Omega}$上正定（即对于任意$x\in\overline{\Omega}$和非零$u\in\mathbb{R}^n$，均满足$u^T A(x)u>0$），二阶椭圆型指的是$Lu(x)$仅包含二次微分项，而高阶椭圆型则指的是$Lu(x)$中至少包含有三次或以上的微分项。
三、椭圆微分方程的本征值问题对于某些特殊的椭圆微分方程，我们可以考虑它们的本征值问题。
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。
一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。
一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。
对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。
2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。
3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。
二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。
该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。
通过求解离散方程组，得到近似解。
有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。
2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。
将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。
fdm有限差分法不能求解的方程
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。
然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。
本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。
一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。
这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。
二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。
以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。
2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。
3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。
4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。
2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。
3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。
2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。
椭圆形偏微分方程的数值方法
椭圆形偏微分方程的数值方法\[\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y)\]其中，\(f(x,y)\)是给定的函数。
求解椭圆形偏微分方程的传统方法，如有限差分法、有限元法等，需要将偏微分方程离散化成一组代数方程，然后通过求解这组方程得到数值解。
下面将介绍两种常用的数值方法：有限差分法和有限元法。
1.有限差分法：有限差分法是将空间和时间上的变量用网格离散化，然后通过代数关系来近似偏微分方程。
对于椭圆形偏微分方程，我们可以采用二维网格进行离散化。
假设网格大小为\(h_x\)和\(h_y\)，则在坐标点\((x_i,y_j)\)，偏微分方程可以近似为：\[\frac{{u_{i+1, j} - 2u_{ij} + u_{i-1,j}}}{{h_x^2}} +\frac{{u_{i, j+1} - 2u_{ij} + u_{i, j-1}}}{{h_y^2}} = f(x_i,y_j)\]其中，\(u_{ij}\)表示在网格点\((x_i, y_j)\)处的数值解。
通过将偏微分方程的离散化代入不同的边界条件（如Dirichlet边界条件、Neumann边界条件等），可以得到一组线性代数方程。
通过求解这组方程，即可获得数值解。
2.有限元法：有限元法是一种利用一组有限元进行近似求解的方法。
在椭圆形偏微分方程的求解中，我们需要将求解域分割成一组互不重叠的有限元，然后在每个有限元中构造适当的数学模型，如线性、二次等。
以线性有限元为例，假设在每个有限元中使用线性插值，那么在每个节点上可以用插值函数表示数值解。
即数值解可以表示为：\[u(x, y) = \sum_{j=1}^N c_j \phi_j(x, y)\]其中，\(\phi_j(x, y)\)是第j个节点上的插值函数，\(c_j\)表示相应节点处的系数。
第二章椭圆型方程的有限差分法
.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容，并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 ， 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 ， 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减，得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；
有限差分方法(2010-07-19)
椭圆型微分方程的有限差分法 主讲： 谭 林基本思想（步骤）：（1） 将求解区域（无限个点）限制在有限个离散点上，一般可通过网格剖分获得。
（2） 在离散点处，将求微分问题（无限计算问题）近似化为求若干（相邻）离散点上函数值的线性组合问题（有限计算问题），一般利用数值微商（分）（不同有限元法）。
形成所谓的差分方程。
（3） 差分方程的适定性、收敛性和稳定性分析。
（4） 差分方程的解法。
下面以两点边值问题为例介绍有限差分法全过程一、常见的有限差分方法 （1） 直接差分法模型问题1：椭圆型方程第一边值问题。
⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+-=,)( ,)(a ,22βαb u a u b x f qu dx ud Lu 其中，],[,0)(),(,b a I x q I C f q =≥∈ 模型问题2：⎪⎩⎪⎨⎧==<<=++-=,)( ,)(a ,)(βαb u a u bx f qu dx du r dx du p d d Lu 其中，],[,0)(),(,,,0],[min 1b a I x q I C f q r p p I C p =≥∈>≥∈○1首先对模型问题1 讨论其有限差分方法的基本步骤 ●求解区域的离散化做均匀网格剖分：b x x x a N =<<<=Λ10其中，分点ih x x i +=0剖分步长n ab h -=● 在节点i x 处，对微分方程离散化22()ii x d uqu f x dx -+= )(12 )()(2)(344222211h O dx u d h dx u d h x u x u x u ii i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+--+有[]112()2()():()()()i i i i i i i u x u x u x Lu qu x hf x R u +--+=-+=+其中2434()()12i ih d u R u O h dx ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦记u 在节点N k x k )1(0,=数值解为 N k u k )1(0,=， 则有1)1(1 ,2:211-==++--=-+N i f u q hu u u u L i i i i i i i h (*1)比较知)()(:)(u R x f x u L i i i h +=所以[]()()i h i i R u L u x Lu =-表示用差分算子h L 代替微分算子L 产生的误差称之为（局部）截断误差。
数学中的椭圆型偏微分方程
数学中的椭圆型偏微分方程在数学领域中，椭圆型偏微分方程是一类重要的方程类型。
它在物理学、工程学和计算机科学等各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆型偏微分方程的定义、性质和求解方法，从而帮助读者更好地理解和应用这一方程类型。
一、椭圆型偏微分方程的定义椭圆型偏微分方程是指具有标准形式的二阶偏微分方程，其中二次项系数的行列式不为零。
一般而言，椭圆型偏微分方程可以表示为：∑[i,j=1 to n] {aij(x) ∂²u/∂xi ∂xj} + ∑[i=1 to n] bi(x) ∂u/∂xi + cu = f其中，a_ij、b_i、c、f是相关系数或函数；u是未知函数，表示问题的解；x_1，x_2，…，x_n是自变量。
二、椭圆型偏微分方程的性质1. 正定性：椭圆型偏微分方程的二次项系数矩阵是正定矩阵。
这意味着椭圆型方程的解在定义域上满足一定的正定性条件。
2. 内部渐进性：椭圆型方程的解在区域的内部是光滑且渐进的。
3. 边界条件：椭圆型方程需要通过边界条件来获得唯一解。
常见的边界条件包括：泊松方程中的迪里切特边界条件和诺依曼边界条件。
三、椭圆型偏微分方程的求解方法1. 分离变量法：分离变量法是椭圆型偏微分方程求解的一种常见方法。
通过假设解可以表示为各个自变量分量的乘积形式，然后将未知函数与其各个自变量的分量进行分离，最终得到一个由各自变量分量的常微分方程组成的代数方程。
2. 特征线法：特征线法适用于一类特殊的椭圆型偏微分方程。
通过求解特征方程，我们可以找到解的参数化表示，从而将原方程化为一个更简单的常微分方程。
3. 有限差分法：有限差分法是一种通过在空间和时间上离散化方程来数值求解椭圆型偏微分方程的方法。
通过将偏微分方程转化为差分方程，可以用迭代方法求解离散问题。
四、椭圆型偏微分方程的应用1. 热传导方程：热传导方程可以描述物体内部温度分布随时间变化的情况。
通过求解热传导方程，我们可以研究热量在不同材料中的传导行为。
椭圆型方程差分方法
椭圆型方程差分方法
椭圆型方程是数学中的一种重要的偏微分方程类型，它的求解在科学计算和工程实践中有着广泛的应用。
而差分方法是求解偏微分方程的主要数值方法之一。
椭圆型方程的差分方法主要包括有限差分法、谱方法和有限元方法等。
其中，有限差分法是最常用的一种方法，它将偏微分方程转化为离散的代数方程组，通过数值迭代求解。
有限差分法的基本思想是将求解区域分成若干个网格，通过差分近似替代导数运算，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代方法求解。
在椭圆型方程的差分求解中，有限差分法具有计算简单、适用范围广等优点。
但是，它也有一些缺点，如误差随时间积累，收敛速度慢等问题。
因此，在实际应用中，需要权衡不同方法的优劣，选择最适合的方法进行求解。
总的来说，椭圆型方程的差分方法是求解偏微分方程的重要工具，它为科学计算和工程实践提供了有效的数值求解手段。
- 1 -。
椭圆型方程的有限差分法
第4章 椭圆型方程的有限差分法§2 一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。
解：考虑在[a,b]内任一小区间(1)(2)[,]x x ，将上式在此区间上积分得或 (2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)(2)()()x x x xx x duW x W x r dx qudx f dx dx-++=⎰⎰⎰（1.1） 其中，()()duW x p x dx= （1.2）特别地，取(1)(2)[,]x x 为对偶单元1/21/2[,]i i x x -+，则 将（1.2）改写成()()du W x dx p x =，再沿1/21/2[,]i i x x -+积分，得11()()ii x i i x W x u u dx p x ---=⎰，利用中矩形公式，得1111/21,[]()ii x i i i ii x i iu u dx W a a h h p x -----≈=⎰（1.3） 又 1/21/21/21/2112,()2i i i i x x i i i i i xx i i h h qudx d u d q x dx h h ++--+++≈=+⎰⎰ （1.4） 1/21/21/21/21112,()2i i i i x x i i i i x x i i u u du r dx b b r x dx dx h h ++--+-+-≈=+⎰⎰ （1.5） 1/21/212()i i x i x i i f x dx h h ϕ+-+=+⎰ （1.6）将（1.3）~（1.5）代入（1.1），即得微分方程的差分格式 如果系数p,q,r 以及右端f 光滑，则可用中矩形公式计算得 2、导出10111000101()()022u u h ha d u h ααϕ--+-+-+=对01()()()p a u a u a αα'-=+的逼近阶。
解：1011011()()x x dx a p p a h p x -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰， 记01()()()()Lu a p a u a u a αα'=---， 则逼近阶为2()O h 。
数学学院硕士研究生课程内容简介
数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课-------------------- 泛函分析--------------------课程编号：1 课程类别：学科基础课课程名称：泛函分析英文译名：Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。
内容简介：本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。
主要教材：张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。
参考书目（文献）：1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。
2．M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.3．K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。
5．V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.6．A. Pazy, Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, 1983.-------------------- 非线性泛函分析--------------------课程编号：2 课程类别：学科基础课课程名称：非线性泛函分析英文译名：Nonlinear Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：2 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。
一种椭圆形方程的差分格式及迭代法求解
一种椭圆形方程的差分格式及迭代法求解作者：于红张宏来源：《新课程学习·下》2015年第03期摘要：有限差分法是解偏微分方程的一个重要数值方法。
对正方形域上的Laplace方程的第一边值问题用差分法建立了其差分格式，并用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法（SOR法）对该差分格式进行求解。
对三种迭代法进行编程并上机实践，求得相应数值解，通过表格对运行结果进行了比较。
关键词：差分格式；Jacobi迭代法；Gauss-seidel迭代法；超松弛迭代法一、问题及其差分格式考虑正方形域上的Laplace方程的第一边值问题：uxx+uyy=0，（0容易验证方程（1）的精确解为：u（x，y）=■sinπy.在xoy平面上作两组平行直线：x=x0+ih，y=y0+jh（i，j=0，±1，±2…）.（x0，y0）是xoy平面上的任意一点，取（x0，y0）为坐标原点（0，0），步长h=■，这样，整个平面就被这两组平行直线构成的正方形网格所覆盖，两组平行直线的交点称为网格结点，只考虑属于正方形区域[0，1；0，1]的结点。
若一个结点的四个相邻接点都属于[0，1；0，1]，则称此结点为内部结点；若一结点的四个相邻结点至少有一个不属于[0，1；0，1]，则称此结点为边界结点。
在每一个内部结点上，用二阶中心差代替问题中的二阶导数：（uxx）■=（■）■≈■=■（uyy）■=（■）■≈■=■则有：（■）■+（■）■≈■由此得到（1）的差分格式为：uij=■（ui+1， j+ui-1， j+ui， j+1+ui， j-1）.（i，j=1，2，…n-1），其中u（0，y）=u（x，0）=u（x，1）=0，u（1，y）=sinπy.二、三种迭代方法及收敛性比较对线性方程组Ax=b，系数矩阵A=（aij）n×n非奇异，且A的主对角元aij≠0（i=1，2…n）.1.Jacobi迭代法将A分裂成A=D-（D-A），其中D=diag（a11，a22…ann），于是方程Ax=b可以写成Dx=（D-A）x+b或x=（E-D-1A）x+D-1b （2）令B=E-D-1A，g=D-1b，则（2）可写成：x=Bx+g这样得到了迭代公式：xk=Bxk-1+g（k=1，2…）（3）2.Gauss-Seidel迭代法将A分裂成：A=D（E-L）-DU其中：D=diag（a11，a22，…ann），L=0 0 … 0 0-■ 0 … 0 0-■ -■ … 0 0 … … …-■ -■ … -■ 0U=0 -■ … -■ -■0 0 … -■ -■ … … …0 0 … 0 -■0 0 … 0 0对比（2）和（3）则得出：B=L+U于是方程Ax=b可以写成：D（I-L）x=DUx+b （4）显然D和I-L都是非奇异的，因此可以用（I-L）-1D-1左乘上式的两端，得出：x=（I-L）-1+Ux+（I-L）-1D-1b由此得Gauss-Seidel迭代法的迭代公式：■由此可见Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的修正。
04有限差分法.ppt
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
有限差分方法
数学方程的建立
稳定过程： 稳定过程：泊松方程 静电场：电场的散度正比电流密度，等于势场u的梯度 静电场：电场的散度正比电流密度，等于势场 的梯度
静磁场： 静磁场：类似于静电场
√
物理问题和数学方程(2/5) 物理问题和数学方程(2/5)
输运过程： 输运过程：扩散方程 扩散：流体由于不均匀而发生扩散， 扩散：流体由于不均匀而发生扩散，扩散密度正比于 密度的梯度， 密度的梯度，同时满足质量守恒
√
物理问题和数学方程(5/5) 物理问题和数学方程(5/5)
第三类
∂u v (a0u + b0 ) = c0 (rb , t ), a0、b0和c0是已知函数 ∂n Γ 热传导，系统通过表面与外界交换热量： 例：热传导，系统通过表面与外界交换热量：表面 热流 ∂u 正比于表面温度 u 与外界温度 u0 之差，即 之差， ∂n ∂u = k (u − u0 ) ∂n 初始条件 v 在各处的值： 初始瞬间待求函数 u 在各处的值： u t =0 = f1 (r )
拉普拉斯方程
方程( ( , )=0 方程( f(x,y)=0 ) ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y 五点差商格式
√
迭代解法(1/6) 迭代解法(1/6)
差分方程组的特点
方程个数等于内点数，每条方程最多含5 方程个数等于内点数，每条方程最多含5个未知项 系数矩阵是稀疏和带状的 跌代法求解：同步法、 跌代法求解：同步法、异步法和逐次超松弛法
边界条件的差分格式
√
一维扩散方程(3/3) 一维扩散方程(3/3)
差分方程组及其求解
0.10
1.000 0.7500
0.08
0.5000 0.2500 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
明
，
解v
连
h
续
依
赖
右
端f h，
即
右
端
变 化 小 时 解 的 变 化 也 小。
定理1.1（相容+稳定=收敛）
若 边 值 问 题 的 解u充 分 光 滑 ， 差 分 方 程
按 满 足 相 容 条 件 ， 且 关 于右 端 稳 定 ， R
则 差 分 解uh按 收 敛 到 边 值 问 题 的 解 ，且
有和
Rh (u)
相 同 的 收 敛 阶.
R
为 了 建 立 差 分 解 的 收 敛性 ， 就 需 要 检 验 相 容 条件 和 建
第四章椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念
§2 一维差分格式 §3 矩形网的差分格式 §4 三角网的差分格式 §5 极值原理
§1差分逼近的基本概念
考 虑 二 阶 常 微 分 方 程 的边 值 问 题
Lu
d 2u dx2
qu
f
u(a) , u(b)
a x b, (1.1) (1.2)
此 格 式 称 为 中 心 差 分 格式 。
注意:
方 程(1.8)的 个 数 等 于 网 格 内 点x1 ,
x2 ,
,
x
N
的
1
个数,因此它是N 1阶方程组.
以I
表
h
示
网
格
内
点x1
,
x2 ,
,
x
N
的
1
集
合
，I表
示
网
格
内
点
和 界 点x0 a, xN b的 集 合 。 定 义 在I（h 相 应 的Ih )上 的 函
差 分 方 程(1.6)当i 1,2, N 1,时 成 立 ， 加 上 边 值 条 件 就 得 到 关 于 的 线 性 代 数方 程 组 ：
Lhui
ui 1
2ui h2
ui1
qi ui
fi , i 1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它 的 解ui是u( x)于x xi的 近 似 。 称(1.8),(1.9)为 逼 近(1.1) (1.2)的 差 分 方 程 或 差 分 格 式。
其 中q, f为[a, b]上 的 连 续 函 数, q 0;
, 为 给 定 常 数 。
1 区间的剖分
将 区间[a, b]分 成n等 分， 分 点为 x j a ih i 0,1,2, N h (b a) / N .于 是我 们 得 到区 间I [a, b]的 一个 网 格 剖 分 ，x j称 为 网 格 结 点 （ 节 点 ）， 间 距h称 为步长。
Lhui
ui 1
2ui h2
ui 1
qi ui
fi ,(1.6)
式 中qi q( xi ), fi f ( xi ).称Ri (u)为 差 分 方 程(1.6)的 截
断误差。
截 断 误 差 Ri (u) Lhu( xi ) [Lu]i (1.7) 所 以Ri (u)是 用 差 分 算 子Lh代 替 微 分 算 子L所 引 起 的 截 断 误 差(，1.6)式 关 于h的 阶 为0(h2 ).
关
于
右
端
稳
定
，
如
果
存在
与
网
格I
及
h
右
端f h
(
fh
(
xi
)
fi )
无 关 的 正 常 数M和h0， 使
vh
M
fh
,
R
当0 h h0 ,
(1.17)
其中
fh
R
是
右
端f
的
h
某
一
范
数
，
它
可
以
和 相
同
，
也 可 以 不 同 ，vh( xi ) vi , i 1,2, , N 1.
不
等
式(1.17)表
定义1.1
设是 某 一 充 分 光 滑 函 数 类，Rh(u)是 由 截 断 误 差 (1.7)定 义 的 网 格 函 数 ， 若 对任 何 ， 恒 有
lim Rh(u) 0,
(1.14)
则 说 差 分 算 子Lh逼 近 微 分 算 子L， 而 称(1.14)为 相 容
条 件.
由(1.5)便 知 ， 差 分 算 子(1.6)逼 近 微 分 算 子 ， 且 逼 近的 阶 是: Rh(u) c o(h2 ), Rh(u) 0 o(h2 ), Rh(u) 1 o(h).
)
u(
xi 1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f ( xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui 1
2ui h2
ui 1
qi ui
fi
相 减 ， 得 Lh (u( xi ) ui ) Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则 误 差 函 数eh ( xi ) ei满 足 下 列 差 分 方 程 ；
定义1.2
称 差 分 解uh收 敛 到 边 值 问 题 的 解u， 如 果 当h充 分 时 ， (1.8), (1.9)的 解uh存 在 ， 且 按 某 一 范 数 有
lim
h0
uh
u
0.
这
里u看
成I
网
h
函
数
。
(1.15)
可 将 方 程(1.4)写 成
Lhu(
xi
)
u(
xi1
)
2u( xi h2
其 中[ ]i 表 示 括 号 内 函 数xi点 取 值 。 于 是 在 可 将 方 程(1.1)写 成
u(
xi
1
)
2u( xi h2
)
u(
xi
1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f ( xi ) Ri (u),(
其中
Ri
(u)
h2 12
h2u( x) [ dx2 ]
o(h3
),
(1.5)
当h足够小，Ri (u)是h的二阶无穷小量。若舍去Ri (u)， 则 得 逼 近 方 程(1.1)的 差 分 方 程 ：
Lhei e0
e
Ri (u) N 0
i 1,2, , N 1, (1.16)
于 是 收 敛 性 及 收 敛 速 度的 估 计 问 题 。
就 归 结 带 通 过 右 端Ri (u（) 截 断 误 差 ） 估 计 误 差 函 数eh的 程Lhvi fi (i 1,2, , N 1),v0 vN 0
1 微分方程离散(差分方程）
现 在 将 方 程(1.1)在 节 点xi离 散 化 ， 为 此 ， 对 充 分光 滑
的 解u， 由Taylor展 式 可 得
u( xi1 ) 2u( xi ) u( xi1 ) h2
[d
2u( x) dx2 ]i
h2 h2u( x)
[ 12
dx2
]
o(h3
),(1.3)
数uh ( xi ) ui称 为I（h 相 应 的Ih )上 的 网 函 数.
我
们
对I
上
h
的
网
函
数
引
进
范
数
uh
c
max
1i N 1
ui
,
(1.10)
N 1
uh
2 0
hui2 ,
i 1
(1.11)
uh
2
1
uh
2
0
uh
2 1
,
(1.12)
于 是
uh
2 1
N h( ui
i 1
ui1 ), h
(1.13)