第二章椭圆型方程的有限差分法

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差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容，并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 ， 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 ， 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减，得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；
无 关 的 正M 常和数 h0， 使
vh
M fh
,
R
当0hh0,
(1.17)
其
中fh
是
R
右f端 h的
某
一
范
数
，
它 相 可同 以， 和
也 可 以 不v同 h(x， i )vi,i 1,2,,N1.
不 等 (1.1 式 7)表 明v， h连解 续 依f赖 h，右 即端 右 端 变 化 小 时 解。 的 变 化 也 小
第二章椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念 §2 一维差分格式 §3 矩形网的差分格式 §4 三角网的差分格式 §5 极值原理
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§1差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方边程值的问题
Lu
d2u dx2
qu
f
a xb, (1.1)
u(a) ,u(b)
(1.2)
其中q, f为[a,b]上的连续函,q数 0;
(1.13 )
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定义1.1
设是 某 一 充 分 光 滑，函 Rh(数 u)是 类由 截 断 误 差 (1.7)定 义 的 网 格 函 数任，何若对 ， 恒 有
l i mRh(u) 0,
(1.14)
则 说 差 分L算h逼子近 微 分L算，子而 (称 1.14)为 相 容
条 件.
由(1.5)便知，差(分 1.6)逼 算近 子微分算 子的， 阶 是 : Rh(u)c o(h2),Rh(u)0 o(h2),Rh(u)1 o(h).
Lhei e0
e
R
N
i(
u) 0
i 1,2, , N 1, (1.16 )
于是收敛性及收敛速度 的估计问题。
就归结带通过右端 R i ( u（) 截断误差）估计
误差函数
e
的
h
问
题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
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定义1.3
称 差 分 方 Lhv程 i fi(i 1,2,,N1),v0 vN 0
关 于 右 端 稳 定 ，在如与果网存 Ih格 及 右f端 h( fh(xi ) fi )
.
当h足够小R，i (u)是h的二阶无穷小量。去若 Ri (舍 u)， 则得逼近方(1.程 1)的差分方程：
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,(1.6)
式中qi q(xi ),fi f(xi ).称Ri(u)为差分方(1程 .6)的截
断误差。
截断误Ri差 (u)Lhu(xi)[Lu ]i (1.7) 所 以 Ri(u)是 用 差 分 Lh代 算替 子微 分 L所算 引子 起 的 截 断 (1.6误 )式差 关h， 的 于阶0(h为 2).
,为给定常数。
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1 区间的剖分
将区间 [a,b]分成n等分，分点为 xj aih i 0,1,2, N h(ba)/ N.于是我们得到I区[间 a,b]的一个 网格剖分x， j称为网格结点（节，点间）距 h称 为步长。
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1 微分方程离散(差分方程）
现 在 将 方(1程.1)在 节 点xi离 散 化 ， 为 此 ， 对光充滑
.
定义1.2
称 差 分 uh收 解敛 到 边 值 问 u，题如的果 h解 充 当分 时 (1.8),(1.9)的 解 uh存 在 ， 且 按 某 有一 范 数
lhim 0 uhu 0. (1.15) 这 里 u看 成 Ih网 函 数 。
可将方程(1.4)写成
Lhu(
xi
)
u(
xi1
)
2u( xi h2
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定理1.1（相容+稳定=收敛）
若 边 值 问 题 的u充 解分 光 滑 ， 差 分 方 程
按 满 足 相 容 条 件 ， 且右关端于稳 定 ， R
则 差 分 解 uh按 收 敛 到 边 值 问 题 的且解 ，
有
和Rh(u)
相
R
同
的
收
敛.
阶
为 了 建 立 差 分 解 的性收，敛就 需 要 检 验 相件容和条建
数 uh ( x i ) ui 称为 I（h 相应的 I h )上的网函数 . 我们对 Ih上的网函数引进范数
uh
c
max
1 i N 1
u
i
,
(1.10 )
N 1
uh
2 0
hu
2 i
,
i1
(1.11 )
uh
2 1
uh
2
0
uh
2 1
,
(1.12 )
于是
uh
2 1
N h( ui
i1
ui1 ), h
此格式称为中心差分式格。
注 意 : 方(程 1.8)的 个 数 等 于 x1,网 x2,格 ,xN 内 1的点 个 ,数 因 此 N 它 1是 阶 方 .程 组
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以 Ih表示网格内点
x1, x2 ,
,
x
N
的集合，
1
I表示网格内点
和界点 x0 a , x N b的集合。定义在 I（h 相应的 I h )上的函
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题：
Lu d (pdu)r duqu f a xb, (2.1)
dx dx dx
u(a) ,u(b)
(2.2)
其中pC1[a,b],p(x) pmin0,r,q, f C[a,b],