2020-2021学年河南省重点高中高二上学期阶段性测试(一)数学(理)试题 PDF版
2020-2021学年河南省重点高中高二上学期阶段性测试(一)物理试题及答案解析
绝密★启用前河南省重点高中2020∽2021学年高二年级上学期阶段性测试(一)物理试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中第l~6题只有一个选项符合题目要求,第7~10题有多个选项符合要求。
全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
1．如图所示是一幅科普漫画,漫画中的英文意思是“（电子）不能被分成两半”,这幅科普漫画要向读者传达的主要物理知识应该是（）A．电子带负电荷B．电子是构成原子的粒子C．电荷既不会创生,也不会消灭D．所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍2．如图所示,真空中有A、B两点,在A点固定一个电荷量为q的点电荷,在B点固定一个电荷量为4q的点电荷,则在A、B连线之间C点的电场强度为零。
则关于C 点的位置,下列说法正确的是（ ）A ．C 位于A 、B 连线的正中间B ．C 、 A 间的距离等于C 、B 间距离的2倍C ．C 、A 间的距离等于C 、B 间距离的12D ．C 、A 间的距离等于C 、B 间距离的14 3．有一个孤立的平行板电容器,两个极板带有等量的正、负电荷。
在保持所带电量不变的情况下,仅改变两极板间的距离d ,下列说法正确的是（ ）A ．极板间的距离d 加倍,极板间的场强E 变为原来的12B ．极板间的距离d 加倍,极板间的场强E 变为原来的2倍C ．极板间的距离d 减半,极板间的场强E 变为原来的4倍D 极板间的距离d 减半,极板间的场强E 没有发生变化4．如图所示,倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上,空间存在水平向左的匀强电场,若在斜面上放一电荷量为q 的带正电小球A ,小球A 刚好能够平衡。
2020-2021学年河南省重点高中高二阶段性测试(一)数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年河南省重点高中高二阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．在ABC 中，10BC =，1sin 3A =，则ABC 的外接圆半径为（ ）A ．30B ．C ．20D ．15【答案】D【解析】结合已知条件，由正弦定理即可求ABC 的外接圆半径. 【详解】若外接圆半径为R ，由正弦定理知：||2sin BC R A=， ∴310152R =⨯=， 故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理，由2sin aR A=结合已知边角求外接圆半径，属于简单题. 2．已知数列{}n a 满足11a =，16n n a a +=+，在5a =（ ） A ．25 B ．30 C ．32 D ．64【答案】A【解析】根据题中条件，得出数列的公差，进而可求出结果. 【详解】由16n n a a +=+得16n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以6为公差的等差数列， 又11a =，所以514625a a =+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.3．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2221013a b c bc =+-，则cos A =（ ） A ．726B ．513C ．1726D ．1213【答案】B【解析】根据题中条件，由余弦定理，可直接得出结果. 【详解】因为2221013a b c bc =+-， 由余弦定理可得，222cos 221051313A bc b b c bcc a ==+=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由余弦定理进行边角互化，属于基础题型.4．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，20sin 0A -=，1sin 10C =，则c =（ ） AB．2C．5D．10【答案】A【解析】根据题中条件，由正弦定理，可直接得出结果. 【详解】20sin 0A -=得sin aA= 又1sin 10C =，由正弦定理可得sin sin a cA C==c =故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且38a a m +=，10S pm =，则p =（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．10【答案】B【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式，由题中条件，即可得出结果.因为数列{}n a 为等差数列，由38a a m +=，10S pm =可得，()()110103810552a a S a a m pm +==+==，则5p =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前n 项和的基本量运算，属于基础题型. 6．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ） A ．“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B ．“宫”“微”“商”的频率成公比为32的等比数列 C ．“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D ．“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 【答案】C【解析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果． 【详解】设“宫”的频率为a ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为32a ， “徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为98a ， “商”经过一次“损”，可得“羽”频率为2716a ， 最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a ， 由于a ，98a ，8164a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为98，【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 7．已知等比数列{}n a 的首项1a e =，公比q e =，则数列{}ln n a 的前10项和10S =（ ） A ．45 B ．55 C ．110 D ．210【答案】B【解析】先求出等比数列{}n a 的通项，从而可求出数列{}ln n a 的通项，进而可求出结果 【详解】解：因为等比数列{}n a 的首项1a e =，公比q e =，所以111n n nn a a q e e e --==⋅=， 所以ln ln nn a e n ==，所以10101112310552S ⨯=+++⋅⋅⋅+==， 故选：B 【点睛】此题考查等比数列的基本量计算，考查对数的化简，考查计算能力，属于基础题 8．已知等差数列{}n a 的首项是2，公差为()d d Z ∈，且{}n a 中有一项是14，则d 的取值的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．7【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式有(1)12n d -=，由12作因数分解可得6个整数，即为d 的可能取值. 【详解】等差数列{}n a 的首项是2，公差为()d d Z ∈，有一项是14，∴设第n 项为14，有1(1)2(1)14n a a n d n d =+-=+-=，即(1)12n d -=， 又*n N ∈知：10n ->，*1n N -∈，而121122634=⨯=⨯=⨯ ∴d 的取值有{1,2,3,4,6,12}， 故选：C本题考查了等差数列，由等差数列通项公式,结合数列中*n N ∈即可确定所求参数的可能取值.9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a Bb A=，sin sin A B >，则ABC 的形状一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】由cos cos a B b A=，利用正弦定理化简可得sin 2sin 2A B =，再由sin sin A B >，即可得出结果． 【详解】 ∵cos cos a B b A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A BB A=， ∴sin cos sin cos A A B B =， ∴sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=， ∴A B =或2A B π+=，又sin sin A B >，所以A B ≠，因此2A B π+=.∴ABC 是直角三角形. 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10．一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A ．5海里 B ．4海里C ．3海里D ．2海里【答案】D【解析】根据方位角可知120CAB ∠=，利用余弦定理构造方程，即可解得结果.记轮船最初位置为A ，灯塔位置为B ，10分钟后轮船位置为C ，如下图所示：由题意得：11836AC =⨯=，1804218120CAB ∠=--=，19BC =由余弦定理可得，222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，即：2919162AB AB +-=-，解得：2AB =或5AB =-（舍）， 即灯塔与轮船原来的距离为2海里. 故选：D. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，熟记余弦定理即可，属于基础题型. 11．已知数列{}n a 满足()()*622,6,6n n p n n a n pn -⎧--≤=∈⎨>⎩N ，且对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ）A ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101,7⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．10,27⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>， 则数列{}n a 单调递增；又()()*622,6,6n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ， 所以只需67201p p a a ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，即21106p p p p<⎧⎪>⎨⎪-<⎩，解得1027p <<. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.12．在钝角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，且其面积为)222a b c +-，则b a 的取值范围是（ ）A．⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．)⎛⋃+∞ ⎝⎭C．10,23⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．)10,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据钝角三角形ABC的面积为()22212a b c +-，利用三角形面积公式和余弦定理转化得到3tan 3C，进而求得角C，再利用正弦定理和两角和正弦公式转化12tan b a A =+，然后根据三角形是钝角三角形，得到A 范围利用正切函数的性质求解. 【详解】因为钝角三角形ABC 的面积为)22212a b c +-，所以()2221sin 2cos 21212ab C a b c ab C =+-=， 所以3tan 3C， 因为()0,C π∈，所以6C π=，所以51sin cos sin sin 1622sin sin sin 2tan A A Ab B a A A A A π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====， 因为三角形是钝角三角形， 当A 为钝角时，5,26A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，此时tan ,3A ⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭， 当A 为锐角时，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时(tan A ∈，所以0,,23b a ⎛⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::1:1:2A B C =，则ac=___________.【解析】根据题中条件，先求出角A 和角C ，再由正弦定理，即可得出结果. 【详解】因为::1:1:2A B C =，所以4A B C A π++==， 则4A π=，2C π=，因此，由正弦定理可得，sin sin 2a A c C ==.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查用正弦定理进行边角互化，属于基础题型.14．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________.【解析】由423S S =可知公比1q ≠，所以直接利用等比数列前n 项和公式化简，即可求出q 【详解】解：因为423S S =，所以1q ≠， 所以4121(1)13(1)1a q qa q q--=--，所以4213(1)q q -=-，化简得22q =， 因为等比数列{}n a 的各项为正数，所以0q >，所以q =【点睛】此题考查等比数列前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题15．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，4b =，c =则BC 边上的高为________________.【答案】3【解析】先由题中条件，根据余弦定理，求出cos C ，得出sin C ，进而可求出结果. 【详解】因为3a =，4b =，c =所以222916331cos 22343a b c C ab +-+-===-⨯⨯，则sin 3C ==， 过点A 向BC 的延长线作垂线，垂足为D ，则22sin sin ACD C ∠==， 所以BC 边上的高为2sin 3AD b ACD =∠=. 故答案为：823. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题型.16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次得到数列1，1x ，2x ，…，i x ，4，并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________.【答案】31n +【解析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，结合题意得到132n n a a +=-，再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-，得到数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，进而可求出结果. 【详解】由题意，根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭， 设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得1t =-，则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=，公比为3的等比数列，故13nn a -=，所以31,n n a n N +=+∈.故答案为：31n +. 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.三、解答题17ABC 中，120B C =︒-，1AC =. （1）求AB 的长； （2）求sin C 的值.【答案】（1）4；（2【解析】（1）先由题意，得到60A =︒；再由三角形面积公式，列出方程，即可求出结果；（2）先由余弦定理，求出BC =. 【详解】（1）因为120B C =︒-，即120B C +=︒，则60A =︒；在ABC 中，1sin 2ABC S AC AB A =⋅⋅=△所以112AB ⨯⨯=，所以4AB =； （2）由余弦定理得222212cos 14214132BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC = 由正弦定理得sin sin AB BCC A=，则sin sin AB A C BC ==. 【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形，熟记公式即可，属于基础题型.18．已知数列{}n a 满足13a =-，且()*124n n a a n +=+∈N .（1）证明：{}4n a +是等比数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）214nn S n =--.【解析】（1）对所给条件进行变形，并利用定义法证明{}4n a +是等比数列； （2）根据（1）的结论求解出{}n a 的通项公式，采用分组求和的方法即可求解出n S . 【详解】（1）由题易知140a +≠，且()12442442444n n n n n n a a a a a a +++++===+++， 所以{}4n a +是等比数列.（2）由（1）可知{}4n a +是以141a +=为首项，2为公比的等比数列，所以142n n a -+=，所以124n n a -=-.所以()()()()011111122424242224421412n n n n n S n n n---=-+-++-=+++-=-=---. 【点睛】本题考查定义法证明等比数列、分组求和法求解数列前n 项和，难度一般.证明等差、等比数列常用的方法有：定义法、中项法.19．已知递增的等差数列{}n a 满足12a a +，41a a -，5a 成等比数列，且35a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2,1,2n n n b a n =⎧=⎨≥⎩求{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n S n =+.【解析】（1）先设{}n a 的公差为d ，由题中条件列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据等差数列的求和公式，求出2n ≥时，21n S n =+，再验证1n =也满足该式，即可得出结果. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题中条件可得()()()1211254230a d a d a d d d +=⎧⎪++=⎨⎪>⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩，∴()12121n a n n =+-=-；（2）当2n ≥时，()()222312212n n n a a n S a a a n +-=++++=+=+，当1n =时，2n S =，适合上式，综上所述，21n S n =+.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，考查等差数列的求和，涉及等比中项的应用，属于基础题型.20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，sin sin b A B +=，且B 为锐角. （1）求角B 的大小；（2）若AC，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）根据正弦定理，以及题中条件，可先得到sin sin 2a B B +=，再由2a =，求出sin B =，进而可求出角B ； （2）根据题意，得到2BA BC +=222cos 28c a ac B ++=，求出4c =，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）由正弦定理可得sin sin b A a B=. 因为sin sin b A B +=，所以sin sin a B B +=， 又2a =，所以sin B =.因为B 为锐角，所以3B π=；（2）由（1）得3B π=，又AC ，所以2BA BC +=所以22228BA BC BA BC ++⋅=，即222cos 28c a ac B ++=， 所以2228c a ac ++=.又因为2a =，所以4c =或6c =-（舍）.所以ABC 的面积为1242⨯⨯=【点睛】本题主要由正余弦定理解三角形，考查求三角形的面积，涉及平面向量模的运算，属于常考题型.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，且对任意正整数n ，点()1,n n a S +都在直线320x y ++=上.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()2nn a =-；（2）()12112939n n T n +⎛⎫=--+⋅- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由()1,n n a S +在320x y ++=上有递推式1320n n a S +++=，即可得12n n a a +=-，说明此等量关系在*n N ∈上都成立，则可求{}n a 的通项公式；（2）结合（1）知()2nn b n =-，利用错位相减法求{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）由点()1,n n a S +在直线320x y ++=上，有1320n n a S +++=， 当2n ≥时，1320n n a S -++=，两式相减得11330n n n n a a S S +--+-=，即130n n n a a a +-+=，12n n a a +=-， 又当1n =时，212132320a S a a ++=++=而24a =，解得12a =-，满足212a a =-， 即{}n a 是首项12a =-，公比2q =-的等比数列， ∴{}n a 的通项公式为()2nn a =-.（2）由（1）知，()2nnb n=-，则()()()()()()231122232122n nnT n n-=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-，()()()()()()()2341 2122232122n nnT n n+-=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-.两式相减得()()()()231322222n nnT n+=-+-+-++--⋅-()()112223nnn++---=-⋅-()121233nn+⎛⎫=--+⋅-⎪⎝⎭所以()12112939nnT n+⎛⎫=--+⋅-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了应用n a与n S的递推关系求通项公式，由新数列与已知数列关系求通项，再利用错位相减法求前n项和.22．在平面四边形ABCD中，2DABπ∠=，3ADC ACBπ∠=∠=，2AB=.（1）若233BC=，求CAD∠的大小；（2）求边CD长度的最大值.【答案】（1）3π；（22343+.【解析】（1）在ABC中，由正弦定理，以及题中条件，求出1sin2CAB∠=，得出6CABπ∠=，即可求出CAD∠；（2）设02CAB παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，在ABC中，由正弦定理，得到23AC πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理，得出42sin 233CD πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的性质，即可得出最值. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AB BCACB CAB=∠∠，因为2AB =，3ACB π∠=，BC =，所以1sin 2CAB ∠=.又因为0,2CAB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以6CAB π∠=. 又因为2DAB π∠=，所以3π∠=CAD .（2）设02CAB παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则23ABC πα∠=-，2DAC πα∠=-. 在ABC 中，sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，可得233AC πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD △中，sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，可得2sin sin 8232sin cos sin 33sin3AC DAC CD ADC ππααπααπ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪∠⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪∠⎝⎭42242sin sin 2sin 233333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为02πα<<，所以222333πππα-<-<， 所以2sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的最小值为1-. 所以CD43. 【点睛】本题主要考查正弦定理在几何图形中的应用，涉及由求正弦型函数的最值，属于常考题型.。
2020-2021学年河南省高二(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若数列{a n }满足a 2n =a 2n−1+a 2n+1(n ∈N ∗)，则称{a n }为“Y 型数列”，则下列数列不可能是“Y 型数列”的是( )A. −1，0，1，0，−1，0，1，……B. 1，2，1，3，5，2，3，……C. 0，0，0，0，0，0，0，……D. 2，1，−1，0，1，2，1，……2. 已知锐角△ABC 的面积为√2，AB =BC =2，则角B =( )A. π6B. π3C. π4D. 3π43. 拓扑结构图是指由网络节点设备和通信介质构成的网络结构图．某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则第10层节点的个数为( )A. 100B. 128C. 512D. 10244. 已知m <0，n >0，m +n <0，则下列不等式中正确的是( )A. n >−mB. m 2>n 2C. −n >−mD. 1m +1n <05. 函数f(x)=22x +2−x 的值域为( )A. (0,1]B. (0,2]C. (−∞,1]D. [1,+∞)6. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m =8，S 9=72，则m =( )A. 4B. 5C. 6D. 77. 若x ，y 满足约束条件{2x +y ≤6x −y ≤0x ≥a，且z =x +4y 的最大值为31，则a =( )A. −5B. −4C. −2D. −18. 已知数列{a n }的首项a 1=12，a n −an+1a n+1a n =2，则a 10=( )A. 20B. 10C. 120D. 1109. 已知在△ABC 中，点M 在线段AC 上，若AM =BM ，AB =2，BC =6，sinC =√26，则BM =( )A. 0B. 1C. 无数个D. 0或无数个11.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=λa n+1(λ>1)，a2=−2，则S10=()A. −2047B. −1023C. 1025D. 204912.截至2020年6月3日，南水北调中线一期工程已经安全输水2000天，累计向北输水300亿立方米，已使沿线6000万人口受益．如图，A，B，C，D四个工厂位于中线一期沿线附近，且B，D，C三厂在同一直线上，AB=40米，CD=40米，∠B=30°，∠ADB=45°，若A，C两厂沿直线AC铺设供水管道AE，CF，且EF=6√10米，则AE+CF=()A. 20√10米B. 18√10米C. 16√10米D. 14√10米二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地．若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为34，则该“圭田”的底边长为______．14.若x，y满足约束条件{x+y−3≤03x−2y+3≥0y+1≥0，则z=2x+y的最小值为______．15.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，a−bcosB=0，则a=______．16.已知数列{a n}的首项a1=4，a n+1a n =2(n+1)n，则{a n}的前n项和S n=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于x的不等式ax2+bx−10<0的解集为{x|−2<x<5}．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若关于x的不等式ax2+2x+b<0的解集为A，关于x的不等式2ax+bm>0的解集为B，且A∩B=⌀，求m的取值范围．18.已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，等差数列{b n}的公差d=2，且b n=a n+1−a n．(Ⅰ)求{b n}的通项公式及前n项和S n；(Ⅱ)求a21．19.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足√3asinAcosB−bcos2A+b=0．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若△ABC的周长为6+4√2，b=4√2，求△ABC的面积．20.设x，y满足约束条件{2x−y−1≤0 x−y+1≥0x≥0y≥0．(Ⅰ)在如图所示的网格中画出不等式组表示的平面区域，并求该平面区域的面积；(Ⅱ)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为3，求12a +13b的最小值．21. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB =AD =1，∠BAD =∠BCD =60°．(Ⅰ)若∠ADC =135°，求CD 的长； (Ⅱ)求四边形ABCD 的周长的最大值．22. 已知首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ，√2S n ，S n+1−S n 成等比数列，数列{b n }满足2a n+2⋅∑b i n i=1=a n ． (Ⅰ)求{a }的通项公式；(Ⅱ)若c n=√1b n ⋅(√a n+1+√a n+2)，求{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵数列{a n}满足a2n=a2n−1+a2n+1(n∈N∗)，称{a n}为“Y型数列”，即数列的每个偶数项都等于其相邻两项的和，故不符合条件的只有B，故选：B．直接根据数列的特点判断即可．本题考查了通过观察分析得到数列的规律，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：锐角△ABC的面积为√2，AB=BC=2，×|AB||BC|sinB=√2，可得12，所以sinB=√22所以B=π．4故选：C．直接利用已知条件，列出方程求解即可．本题考查三角形的面积的求法，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：由图可知，每一层的节点数组成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第10层节点的个数是a10=1×210−1=512．故选：C．由题意知每一层的节点数组成等比数列，由此求出对应的项．本题考查了等比数列的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由m+n<0，可得n<−m，故A错误；由m<0，n>0，m+n<0，可得|m|>|n|，所以m2>n2，故B正确；由m<0，n>0，可得−m>0，−n<0，所以−n<−m，故C错误；由m<0，n>0，m+n<0，可得mn<0，所以1m +1n=m+nmn>0，故D错误．故选：B．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意，f(x)>0，∵2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2，当且仅当x=0时取等号，所以f(x)=22x+2−x ≤22=1，故得函数f(x)=22x+2−x的值域为(0,1]．故选：A．分母利用基本不等式，从而可求解函数f(x)的值域．本题考查了函数值域的求法．利用了基本不等式；高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．6.【答案】B【解析】解：∵S9=9(a1+a9)2=9a5=72，∴a5=8，∴m=5，故选：B．根据求和公式和等差数列的性质即可求出．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．【解析】解：作出约束条件的可行域如图，可知z =x +4y 的最大值在点C(a,6−2a)处取得， 故z max =a +4×(6−2a)=31， 解得a =−1， 故选：D ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值即可求出a ．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：a n −a n+1a n+1a n =2，可得1an+1−1a n=2，所以数列{1a n}是等差数列，首项为2，公差为2，所以1a n=1a 1+(n −1)×d =2+2(n −1)=2n ，所以a n =12n ， 所以a 10=120． 故选：C ．利用已知条件推出数列{1a n}是等差数列，然后求解通项公式，推出结果．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是基本知识的考查．【解析】解：因为在△ABC中，点M在线段AC上，若AM=BM，AB=2，BC=6，sinC=√26，所以由正弦定理BCsinA =ABsinC，可得sinA=BC⋅sinCAB=6×√262=√22，所以A=π4，或3π4，因为若A=3π4，由AM=BM，可得△ABM中，∠ABM=3π4，则∠A+∠ABM>π，矛盾，所以△ABM中，A=∠ABM=A=π4，可得∠AMB=π2，所以由勾股定理可得：2BM2=AB2，即BM=√AB22=√2．故选：A．由已知利用正弦定理可得sinA=√22，可得A=π4，或3π4，分类讨论，当A=3π4，由AM=BM，可得∠ABM=3π4，推出与三角形内角和定理矛盾，可得A=∠ABM=A=π4，可得∠AMB=π2，进而由勾股定理可得BM的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：当公比q=1时，S n=na1=0，因为a1=0，故S n=0无解，当公比q≠1时，则S n=a1(1−q n)1−q=0，即1−q n=0，∴q n=1，解得q=1，此时与q≠1矛盾，故选：A．分情况讨论，当q=1时，此时无解，当q≠1时，此时S n=0不成立．本题考查了等比数列的求和公式，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，S n=λa n+1(λ>1)，当n=1时，解得S1=a1=λa1+1，整理得a1=11−λ，当n=2时，S2=a1+a2=11−λ−2=−2λ+1，解得λ=2或12．由于λ>1，所以λ=2．故S n=2a n+1①．当n≥2时，S n−1=2a n−1+1②，①−②得：a n=2a n−2a n−1，整理得a na n−1=2(常数)，所以数列{a n}是以−1为首项，2为公比的等比数列．所以a n=−1×2n−1=−2n−1，所以S10=−(210−1)2−1=−1023．故选：B．首先利用S n=λa n+1(λ>1)，a2=−2，求出首项和λ的值，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：在△ABD中，由正弦定理可得ADsinB =ABsin∠ADB，即AD12=40√22，所以AD=20√2，又∠ADC=180°−∠ADB=135°，所以在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅cos135°=800+ 1600−2×20√2×40×(−√22)=4000，则AC=20√10，可得AE+CF=AC−EF=2√10−6√10=14√10(米)．故选：D．本题主要考查了正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．13.【答案】2√2【解析】解：设该“圭田”的底边长为x ，则由题意，利用余弦定理可得：x 2=42+42−2×4×4×34=8， 解得x =2√2，故该“圭田”的底边长为2√2． 故答案为：2√2．设该“圭田”的底边长为x ，利用余弦定理即可求解． 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.【答案】−133【解析】解：设x ，y 满足约束条件{x +y −3≤03x −2y +3≥0y +1≥0，在坐标系中画出可行域△ABC ，由{3x −2y +3=0y +1=0，解得C(−53,−1)，由图可知，当x =−53，y =−1时，目标函数在y 轴上的截距取得最小值， 则目标函数z =2x +y 的最小，z 的最小值为−133．故选：A ．先根据条件画出可行域，设z =2x +y ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z =2x +y ，过可行域内的点C(−53,−1)时的最小值，从而得到z 最小值即可．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15.【答案】√10【解析】解：因为b=4，c=6，a−bcosB=0，可得cosB=ab =a2+c2−b22ac，所以a4=a2+36−162×a×6，解得a2=10，所以a=√10，或−√10(舍去)．故答案为：√10．由已知利用余弦定理可得ab =a2+c2−b22ac，代入相关数据即可解得a的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】(n−1)⋅2n+2+4【解析】解：∵a n+1a n =2(n+1)n，∴a n+1n+1=2×a nn，∵a11=4，∴数列{a nn}是首项为4，公比为2的等比数列，∴a nn=4×2n−1=2n+1，∴a n=n⋅2n+1，∴S n=1×22+2×23+⋯+n⋅2n+1，2S n=1×23+⋯+(n−1)⋅2n+1+n⋅2n+2，两式相减得：−S n=22+23+⋯+2n+1−n⋅2n+2=22(1−2n)1−2−n⋅2n+2=(1−n)⋅2n+2−4，∴S n=(n−1)⋅2n+2+4，故答案为：(n−1)⋅2n+2+4．先由题设构造等比数列{a nn}，求得其通项公式，进而求得a n，再利用错位相减法求得其前n项和．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)不等式ax 2+bx −10<0的解集为{x|−2<x <5}，所以−2和5是方程ax 2+bx −10=0的两个实数解， 由根与系数的关系知，{−2+5=−ba−2×5=−10a ，解得a =1，b =−3；(Ⅱ)不等式ax 2+2x +b <0可化为x 2+2x −3<0， 解得−3<x <1， 所以A =(−3,1)；不等式2ax +bm >0化为2x −3m >0， 解得x >3m 2， 所以B =(3m 2,+∞)；由A ∩B =⌀，得3m 2<1，解得m <23；所以m 的取值范围是(−∞,23).【解析】(Ⅰ)利用不等式与对应方程的关系，列方程组求出a 、b 的值； (Ⅱ)求出对应不等式的解集，根据集合的运算列不等式求出m 的取值范围．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了集合的运算问题，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题设可知：等差数列{b n }的首项b 1=a 2−a 1=3−1=2，又∵d =2，∴b n =2n ，S n =n(2+2n)2=n 2+n ；(Ⅱ)∵b n =a n+1−a n ，∴a 21=b 20+a 20=b 20+(b 19+a 19)=⋯=b 20+b 19+⋯+b 1+a 1=S 20+a 1=202+20+1=421．【解析】(Ⅰ)由题设求得等差数列{b n }的首项b 1，即可求得结果； (Ⅱ)由(Ⅰ)中求得的b n 和S n 利用迭代法求得结果．本题主要考查等差数列基本量的计算及迭代法在求数列的项中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)因为√3asinAcosB−bcos2A+b=0，可得√3asinAcosB+bsin2A=0，因为sinA≠0，所以bsinA+√3acosB=0，由正弦定理可得sinBsinA+√3sinAcosB=0，所以sinB+√3cosB=0，可得tanB=−√3，因为B∈(0,π)，所以B=2π3．(Ⅱ)由余弦定理可知b2=a2+c2−2accosB=a2+c2+ac=32，由题意可得a+c=6，所以(a+c)2=a2+c2+2ac=36，所以ac=4，所以△ABC的面积S=12acsinB=12×4×√32=√3．【解析】(Ⅰ)利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0可得tanB=−√3，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．(Ⅱ)由已知利用余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)画出约束条件{2x−y−1≤0x−y+1≥0x≥0y≥0表示的平面区域，如图阴影四边形AOBC所示；由题意知，A(0,1)，B(12,0)，由{2x −y −1=0x −y +1=0，解得{x =2y =3，即C(2,3)；所以四边形AOBC 的面积为S 四边形AOBC =S △AOC +S △BOC =12×1×2+12×12×3=74；(Ⅱ)目标函数z =ax +by 经过可行域上的点C 时取得最大值3，即2a +3b =3； 所以12a+13b =13(2a +3b)(12a +13b )=13(2+2a3b +3b2a )≥13(2+2√2a3b ⋅3b2a )=43， 当且仅当2a =3b =32时取等号； 所以12a +13b 的最小值为43．【解析】(Ⅰ)画出约束条件表示的平面区域，用阴影表示； 结合图形利用分割补形法求出对应区域面积；(Ⅱ)由题意知目标函数过可行域上的点C 时取得最大值，再利用基本不等式求出12a +13b 的最小值．本题主要考查了线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．21.【答案】解：如图，连接BD ，在△ABD 中，因为∠BAD =60°，AB =AD ，所以△ABD 为等边三角形，所以BD =1．(Ⅰ)因为∠ADC =135°，所以∠BDC =135°−60°=75°， 在△BCD 中，∠CBD =180°−60°−75°=45°，由正弦定理可得BDsin∠BCD =CDsin∠CBD ，即1sin60∘=CDsin45∘，解得CD =√63．(Ⅱ)在△BCD 中，由余弦定理可得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CD ⋅cos60° =BC 2+CD 2−BC ⋅CD =(BC +CD)2−3BC ⋅CD≥(BC +CD)2−3(BC+CD 2)2=14(BC +CD)2，当且仅当BC =CD 时取等号，所以(BC +CD)2≤4BD 2=4， 所以(BC +CD)max =2，所以四边形ABCD 的周长的最大值为1+1+2=4．【解析】(Ⅰ)连接BD ，由题意可求△ABD 为等边三角形，可得BD =1.利用三角形的内角和定理可求∠BDC ，∠CBD 的值，进而根据正弦定理可得CD 的值．(Ⅱ)在△BCD 中，由余弦定理，基本不等式可求(BC +CD)max =2，即可求解四边形ABCD 的周长的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，2S n =a n ⋅(S n+1−S n )=a n ⋅a n+1①，又2S n+1=a n+1⋅a n+2②，由②−①可得：2a n+1=a n+1⋅(a n+2−a n )， ∵a n+1≠0，∴a n+2−a n =2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成公差为2的等差数列， ∵2S 1=a 1⋅a 2，∴a 2=2， 又a 1=1， ∴a n =n ；(Ⅱ)∵2a n+2⋅∑b i n i=1=a n ，∴∑b i n i=1=a n 2an+2=n2(n+2)， 又当n ≥2时，有∑b i n−1i=1=n−12(n+1)，两式相减可得：b n =n2(n+2)−n−12(n+1)=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2， 又b 1=16也适合上式， ∴b n =1n+1−1n+2，∵c n =√1b n⋅(√a n+1+√a n+2)=√(n+1)(n+2)(√n+1+√n+2)=√n+2−√n+1)√(n+2)(n+1)=2(√n+1√n+2，∴T n =2(√2√3√3−√4⋯+√n+1√n+2)=2(√22−√n+2=√2−2√n+2n+2．【解析】(Ⅰ)先由题设⇒a n+2−a n =2，从而说明数列{a n }的奇数项、偶数项分别成公差为2的等差数列，再求得a 2，即可求得a n ；(Ⅱ)先由(Ⅰ)求得b n ，进而求得c n ，再利用裂项相消法求得数列{c n }的前n 项和T n ． 本题主要考查等差、等比数列的定义及裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题．。
河南省郑州市重点高中2020-2021学年高二上学期12月阶段性调研考试(二) 数学(文)含答案
2020－2021学年高二年级阶段性测试(二)文科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两根为2，－3，那么关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为A.{x|x>3或x<－2}B.{x|x>2或x<－3}C.{x|－2<x<3}D.{x|－3<x<2}2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.抛物线y2＝4x的焦点到直线x＋y－3＝0的距离d＝A.2C.1D.24.若x，y满足约束条件x y2x y2y3+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z＝2x＋y的最大值是A.0B.1C.10D.135.已知命题p：∀x∈R且x≠kπ(h∈Z)，都有sinx＋1sin x≥2；命题q：∃x0∈R，x02＋x0＋1<0。
则下列命题中为真命题的是A.p ∧(⌝q)B.p ∧qC.(⌝p)∧qD.(⌝p)∧(⌝q)6.在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝n n1a 1a +-，则a 2021＝ A.－2 B.－13 C.－12D.3 7.在等比数列{a n }中，a 1，a 5是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 3＝A.4B.－4C.±4D.±28.若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则224b a+的最小值为A.3B.1C.3D.2 9.在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝400，则数列{a n }的前13项和S 13＝A.260B.520C.1040D.208010.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c 。
河南省重点高中2020-2021学年高二上学期期中考试试题 数学(文) Word版含答案
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若数列{a n }满足a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ∈N *)，则称{a n }为“Y 型数列”，则下列数列不可能是“Y 型数列”的是A.－1，0，1，0，－1，0，1，…B.1，2，1，3，5，2，3，…C.0，0，0，0，0，0，0，…D.2，1，－1，0，1，2，1，…2.已知锐角△ABC 的面积为2，AB ＝BC ＝2，则角B ＝A.6πB.3πC.4π D.34π 3.拓扑结构图是指由网络节点设备和通信介质构成的网络结构图.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则第10层节点的个数为A.100B.128C.512D.10244.已知m<0，n>0，m ＋n<0，则下列不等式中正确的是A.n>－mB.m 2>n 2C.－n>－mD.11m n+<0。
河南省郑州市八校2020-2021学年高二第一学期期中联考数学(理)试题解析版
2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ； （2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围； （2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题 【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”， 所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<， 所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=， 所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =， 则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-， 因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±， 又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-， 所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-， 平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-， 经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=， 则2x y -的最大值为：2． 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误； 对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >； 即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a； 综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】 【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==， 因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确； 对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误； 对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立， 因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】 【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】 【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 因此1211a b+--＝121114aa+--， ＝18141a a a +--， ＝12(41)2141a a a -++--， ＝122141a a ++--， ＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭， ＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭， ＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3， 当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<， 又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=， 解得12q =或13q =-（舍）， 又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6， 故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解； 的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． 则122n n S a +=①， 当1n =时，11122S a +=， 解得112a =． 当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-， 整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列． 所以121222n n n a --=⋅=， 故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-， 由于n n n b c a =， 则24216822n n nn n c ---==， 所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =， 故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=， 则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=， 当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =， 当1n >时，15302n n +-<， 故n d 的最大值为1， 不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立， 只需21114m m --≥即可， 故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。
2020-2021学年河南省天一大联考高二阶段性测试(一)数学(理)试题及答案
2020－2021学年高二年级阶段性测试(一)数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.152.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝A.25B.30C.32D.643.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 2 2 2 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝A.3B.5C.6D.106.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶。
据此可推得A.“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为32的等比数列 C.“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D.“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 7.已知等比数列{a n }的首项a 1＝e ，公比q ＝e ，则数列{ln a n }的前10项和S 10＝A.45B.55C.110D.2108.已知等差数列{a n}的首项是2，公差为d(d∈Z)，且{a n}中有一项是14，则d的取值的个数为A.3B.4C.6D.79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosa Bb A=，sinA>sinB，则△ABC的形状一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形10.一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，则灯塔与轮船原来的距离为A.5海里B.4海里C.3海里D.2海里11.已知数列{a n}满足a n＝()n62p n2n6p n6-⎧--≤⎪⎨>⎪⎩，，，(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有a n＋1>a n，则实数p的取值范围是A.(1，74) B.(1，107) C.(1，2) D.(107，2)12.在钝角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且其面积为12(a2＋b2－c2)，则ba的取值范围是A.(0，2)∪(3，＋∞) B.(0，2)∪)C.(0，12)∪，＋∞) D.(0，12)∪，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试(一)理科数学 含答案
河南省2020—2021学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）理科数学考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}|23,U x x x Z =−≤≤∈，{}1,2A =−−，{}2|230,B x x x x N =−−<∈，则()U C A B 中元素的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数z 满足()2z i i i −=+，则z =（ ）A.B.C.D.3. 已知平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a =，223a b +=，则b =（ ）A. 1B. C. 3 D. 24. 已知3log 5x =，2log y =323z =，则（ ） A. x y z <<B. y z x <<C. z y x <<D. y x z <<5. 从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为（ ） A. 40B. 60C. 100D. 1206. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体1111ABCD A B C D −，随机在线段1AC 上取一点，过该点作垂直于1AC 的平面α，则平面α“解”正方体1111ABCD A B C D −所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为（ ） A.16B.13C.12D.237. ()1xf x x e x ⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象大致为（ ） A. B. C. D.8. 在ABC △中，B C =，且22sin 2(1)sin AA B=，则tan A =（ ）A.43B. 1C.D.139. 若x ，y 满足约束条件534x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则1x y z x +=+的取值范围为（ ）A. 5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 714,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知向量()4cos ,1a x =，cos ,23b x π⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x a b =⋅在,63ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为（ ） A.3π B.2π C. 23π D.π11. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，且经过点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.B.C.D.12. 若对任意x R ∈，不等式20x ax a +−>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (]ln 2,0e − B. [)0,ln 2e C. (]2ln 2,0e −D. [)0,2ln 2e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 下表是x ，y 之间的一组数据：且y 关于x 的回归方程为 3.2 3.6y x =+，则表中的c =______.14. 已知2sin cos αα−=，则tan 2α=______.15. 四面体ABCD 中，AC AD ⊥，24AB AC ==，BC =AD =当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是______.16. 抛物线C ：()220y px p =>的焦点为()1,0F ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，C 的准线与x 轴的交点为M ，若MAB △的面积为3，则AF BF=______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a =−，且2S ，1S ，3S 成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）比较2n S 与12n n S S +++的大小.18. 如图，四棱锥P ABCD −的底面是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AP PD ⊥.（Ⅰ）求证：PD PB ⊥；（Ⅱ）设AB BC λ=，若PB PC =，且二面角A PB C −−的余弦值为5−，求λ的值. 19. 已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，直线l ：10x my +−=过E 的右焦点F .当1m =时，椭圆的长轴长是下顶点到直线l 的距离的2倍. （Ⅰ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得当m 变化时，总有OPA OPB∠=∠（O 为坐标原点）？若存在，求P 点的坐标；若不存在，说明理由.20. 甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.（Ⅰ）求甲获得冠军的概率；（Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 21. 已知函数()2ln 1x x f x e−+=，()()'g x xf x =，其中()'f x 是()f x 的导数. （Ⅰ）求()f x 的最值；（Ⅱ）证明：0x ∀>，()211e g x x +<+.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为234x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为26cos 4sin 120ρρθρθ−−+=.（Ⅰ）求圆C 的圆心的直角坐标和半径； （Ⅱ）已知直线l 交圆C 于A ，B 两点，点7,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求PA PB ⋅. 23. [选修4-5：不等式选讲] 已知集合{}|213A x x =−>.（Ⅰ）若存在x A ∈使不等式22x m +≤成立，求m 的取值范围；（Ⅱ）取m 为（Ⅰ）所求范围中的最小正整数，解不等式312x x m −−+<.河南省2020—2021学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）理科数学答案—、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1.【答案】B【命题意图】本题考查集合的表示与运算，以及不等式的解法. 【解析】{}2,1,0,1,2,3U =−−，{}0,1,2B =，{}2,1,0,1,2A B =−−，所以(){}3U C A B =，只有一个元素. 2.【答案】A【命题意图】本题考查复数的概念和运算性质. 【解析】由题意可得2211iz i i i i i+=+=−++=−，则z z == 3.【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算. 【解析】()22224cos60412a b a a b b +=+︒+=，所以220b b +−=，解得1b =（负值舍去）.4.【答案】D【命题意图】本题考查指数、对数函数的性质以及不等式的性质. 【解析】3log 5(1,2)x =∈，2log (0,1)y =，3233z =>. 5.【答案】B【命题意图】本题考查排列组合的综合应用.【解析】不同的选派方法有21153260C C C =种.6.【答案】D【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征.【解析】如图所示，由正力体的性质可知，1AC 垂直于平面1A BD 和平面11CB D ，设P 和Q 分别是平面1A BD和平面11CB D 与线段1AC 的交点，易知1111111116A ABD C CB D ABCD A BCD V V V −−−==，当平面α取平面1A BD 或平面11CB D 时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，要满足条件，应在线段AP或1QC 上取点，而1AP PQ QC ==，所以所求的概率为1123AP QC AC +=.7.【答案】C【命题意图】本题考查函数的图象与性质.【解析】因为()()f x f x =−−，所以()f x 为奇函数，排除B ，0x >时，()1xf x x e x ⎛⎫=−⎪⎝⎭，()21'11xe x x xf x ⎛⎫++− ⎝=⎪⎭110xx e x e x x x ⎛⎫⎛⎫≥−=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，选C. 8.【答案】C【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用.【解析】由B C =得b c =，由22sin 2(1)sin A A B=及正弦定理得222(1)a b A =，又根据余弦定理2222cos a b c bc A +−=，得222(1cos )2(1)b A b A −=，所以cos A A =，于是tan 3A =. 9.【答案】B【命题意图】本题考查不等式与平面区域.【解析】作出约束条件534x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.1111x y y z x x +−==+++表示阴影部分上的动点(),x y 与定点()1,1D −连线的斜率加 1.易求得()1,4A ，()3,2B ，则413112AD k −==+，211314BD k −==+，所以5542z ≤≤.10.【答案】A【命题意图】本题考查向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质.【解析】()4cos cos 23f x x x π⎛⎫=−− ⎪⎝⎭14cos cos 22cos 212x x x x x ⎛⎫=−=+− ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫+− ⎪⎝⎭=，令()0f x =，则1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵63x ππ−≤≤，52666x πππ−≤+≤，∴266x ππ+=或56π，0x =或3x π=. 11.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系.，可知双曲线为等轴双曲线，a b =，将点代入双曲线方程得1a b ==.根据对称性，不妨设P 点在第一象限，P 到x 轴的距离为h .12F F =122PF PF −=，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+−⋅︒()21212PF PF PF PF =−+⋅，所以124PF PF ⋅=，由三角形面积公式可得121211sin 6022PF PF F F h ⋅=︒⋅，得2h =. 12.【答案】C【命题意图】本题考查不等式的概念以及利用导数研究函数.【解析】不等式即()21xa x >−−，则曲线2xy =位于直线()1y a x =−−的上方，当0a >时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.当0a =时，直线与曲线没有交点，满足条件.当0a <时，当直线与曲线相切时，设切点为(),2m m ，切线方程为22ln 2()m my x m −=−，切线过点()1,0，代入方程得211log 2ln 2m e =+=，此时切线斜率为2ln 2e ，由图可知，02ln 2a e <−<，即2ln 20e a −<<.综上2ln 20e a −<≤.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】11【命题意图】本题考查回归方程的概念与性质. 【解析】∵回归直线经过样本中心点(),x y ，0123425x ++++==，∴ 3.22 3.610y =⨯+=，∴57819105c ++++=，解得11c =.14.【答案】43【命题意图】本题考查三角函数求值，三角恒等变换的应用.【解析】由题意得222224sin cos 4sin cos (2sin cos )sin cos αααααααα+−−=+224tan 4tan 15tan 1ααα−+==+，整理得2tan 4tan 40αα++=，解得tan 2α=−.所以22tan 4tan 21tan 3ααα==−. 15.【答案】28π【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征，多面体与球的关系.【解析】由已知可得222BC AC AB =+，所以AC AB ⊥，又因为AC AD ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积11sin 32V AC AB AD BAD =⋅⋅∠，当90BAD ∠=︒时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，()2222228AC AB R AD ++==，所以外接球的表面积为2428R ππ=. 16.【答案】3或13【命题意图】本题考查抛物线的方程和性质、抛物线与直线的位置关系.【解析】由条件可得抛物线的方程为24y x =，设AB 的方程为1x my =+，联立抛物线方程消去x 得2440y my −−=①，则44A B A B y y m y y +=⎧⎨=−⎩，因此12MAB A B A B S MF y y y y =−=−△==3=，解得213m =，代入①，解得3A B AF y BF y ==或13. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查等差数列，等比数列的性质，求和公式. 【解析】（Ⅰ）因为2S ，1S ，3S 成等差数列，所以1232S S S =+， 整理可得322a a =−，所以{}n a 的公比为-2. 又451(2)32a a =⨯−=−，得12a =−， 所以()2nn a =−，*n N ∈. （Ⅱ）因为()2nn a =−，*n N ∈，所以1(2)1(2)2(2)1(2)3n n n S +⎡⎤−−−−−−⎣⎦==−−.于是24(2)23n n S +−+−=，又因为23122(2)2(2)3n n n n S S ++++−−−−−−+=24(2)3n +−+−=， 所以122n n n S S S ++=+.18.【命题意图】本题考查四棱锥的结构特征，空间位置关系的证明，空间角的计算，以及空间向量的应用. 【解析】（Ⅰ）因为四棱锥P ABCD −的底面是矩形，所以AB AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，所以AB ⊥平面PAD . 所以AB PD ⊥.又因为AP PD ⊥，且PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB .所以PD PB ⊥.（Ⅱ）由PB PC =和（Ⅰ）可知Rt BAP Rt CDP ≅△△，所以PA PD =，PAD △为等腰直角三角形. 如图，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A xyz −. 设2BC =，则2AB λ=.则()0,0,0A ，()2,0,0B λ，()2,2,0C λ，()0,2,0D ，()0,1,1P .()2,1,1PB λ=−−，()0,2,0BC =，()0,1,1PD =−.因为PD ⊥平面PAB ，所以PD 是面PAB 的一个法向量. 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则2020n PB x y z n BC y λ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取()1,0,2n λ=. 所以cos ,2PD n PD n PD n ⋅==，5=−， 解得1λ=.19.【命题意图】本题考查直线、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系.【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，直线l 恒过定点()1,0，所以1c =. 当1m =时，直线l ：10x y +−=， 椭圆的下顶点()0,b −到直线l的距离d =由题意得221a a b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得a =1b =.所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）当0m =时，显然在x 轴上存在点P ，使得OPA OPB ∠=∠.当0m ≠时，由221210x y x my ⎧+=⎪⎨⎪+−=⎩消去x 可得()222210m y my +−−=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m =−+. 设点(),0P t 满足题设条件，易知PA ，PB 的斜率存在， 则1212121211PA PB y y y y k k x t x t my t my t +=+=+−−−−−−()()()121212(1)2011t y y my y my t my t −+−==−−−−， 则()1212(1)20t y y my y −+−=，即2(1)22(2)0m t m m t −+=−=，2t =时，上式恒成立.所以在x 轴上存在点()2,0P 满足题设条件.20.【命题意图】本题考查概率的概念、事件的关系以及概率的运算性质. 【解析】（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.所以甲获得冠军的概率为33331812444128⎛⎫⎛⎫+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜； 甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜. 所以甲与乙在决赛相遇的概率为331113312744224442128⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况： 乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜.同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为11131111113111542244424224442128⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为275537128128128128++=. 21.【命题意图】本题考查导数的计算，利用导函数研究函数的性质.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，()211l 'n x f x x x e−−−=. 令()'0f x =可得1x =，当01x <<时，11ln 0x x −−>，当1x >时，11ln 0x x−−<， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 1f x f e ==.即()f x 的最大值为e ，没有最小值.（Ⅱ）由题意知()21ln x x x g e x x −−−=. 由21()1e g x x +<+得211ln 11x e x x x x e ⎛⎫−−<+ ⎪+⎝⎭. 设()1ln h x x x x =−−，则()'2ln h x x =−−，令()'0h x =得21x e =， 当210x e <<时，()'0h x >，()h x 单调递增；当21x e >时，()'0h x <，()h x 单调递减. 所以2211()1h x h e e ⎛⎫≤=+⎪⎝⎭.① 设()()1x x e x ϕ=−+，当0x >时，()'10x x e ϕ=−>，所以()()00x ϕϕ>=，即1xe x >+，11xe x >+.② 由①②可得211ln 11x e x x x x e ⎛⎫−−<+ ⎪+⎝⎭，因此原命题正确. 22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标系，直线参数方程中参数的几何意义.【解析】（Ⅰ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可知圆C 的直角坐标方程为2264120x y x y +−−+=，即22(3)(2)1x y −+−=，所以圆C 的圆心的直角坐标为()3,2，半径为1.（Ⅱ）当12t =时，由直线l 的参数方程得37222x =+=，2y =， 所以点7,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在l 上，将l 的参数方程改写为7325425x m y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数）. 代入圆C 的方程中，整理得233054m m +−=， 由参数的几何意义得34PA PB ⋅=. 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式相关的综合问题.【解析】（Ⅰ）设{}222|222m B m m x x x x −−−≤≤⎧⎫=+≤=⎨⎬⎩⎭， 因为{}{}|213|21A x x x x x =−>=><−或，存在x A ∈使不等式22x m +≤成立，等价于A B ≠∅， 当212222m m −−⎧≥−⎪⎪⎨−⎪≤⎪⎩即20m −≤≤时，A B =∅，故所求的m 的取值范围是()(),20,−∞−+∞.（Ⅱ）由题意知1m =.当1x <−时，原不等式转化为1312x x −++<，无解； 当113x −≤≤时，原不等式转化为1312x x −−−<，解得1123x −<≤； 当13x >时，原不等式转化为3112x x −−−<，解得123x <<. 综上，不等式的解集为1,22⎛⎫− ⎪⎝⎭.。
河南省第一高级中学2020-2021学年高二数学上学期阶段性测试试题
河南省长葛市第一高级中学2020-2021学年高二数学上学期阶段性测试试题一、单选题（共20题；共40分）1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z=i+1|的最大值为（）A. 1B.C. 2D.2.函数f(x)的定义域为R，f(－1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（）A. (－1，1)B. (－1，+∞) C. (－∞，－1) D. (－∞，+∞)3.已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前12项和为（）A. 211B. 212C. 126D. 1474.分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：，，，……，依此类推得：，则（）A. 228B. 240C. 260D. 2735.已知集合A={（x，y）|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2， y1+y2）|（x1， y1）∈A，（x2， y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A. 49B. 45C. 69D. 736.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有，设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）A. B.C. D.7.已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（）A.B.C. 2D. 18.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，正确顺序的序号为（）A. ①②③B.③①② C. ①③② D. ②③①9.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线,为两切点，那么的最小值为( )A. B.C.D.10.如果等比数列的首项、公比之和为1且首项是公比的2倍，那么它的前n项的和为（）A. B.C.D.11.已知,当时, 在上( )A. 有最大值没有最小值B. 有最小值没有最大值C. 既有最大值也有最小值D. 既无最大值也无最小值12.某个命题与正整数有关，如果当时，该命题成立，那么可推得当时命题也成立．现在已知当时，该命题不成立，那么可推得( ) A. 当时该命题不成立 B. 当时该命题成立C. 当时该命题不成立 D. 当时该命题成立13.设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|最小值为( )A.B.C.D.14.的共轭复数是（）A.B.C.D.15.设函数，若实数a,b满足，则( )A. g(a)<0<f(b)B. f(b)<0<g(a)C. 0<g(a)<f(b)D. 0<f(b)<g(a)16.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°17.如下图，程序框图所进行的求和运算是( )A.B.C.D.18.函数)为增函数的区间是（）A. B.C.D.19.已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A. B.C.D.20.已知各项均为正数的等差数列{a n}的前20项和为100，那么a3•a18的最大值是（）A. 50B. 25C. 100D. 2二、填空题（共10题；共10分）21.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是________．22.已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当取最大值时l的方程为________．23.设是直线上的定点，M为直线l上的动点，若为定值（其中O为坐标原点），则该定值为________.24.曲线上的点到直线的距离的最大值是________．25.已知，若不等式对所有的都成立，则的取值范围是________.26.对于大于1的自然数m，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：对此，若的“分裂数”中有一个是2017，则m=________.27.已知平面向量，，满足，，，则的最大值为________．28.如图，在边长为2正方体中，为的中点，点在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点构成的图形的面积是________.29.当时，不等式恒成立，则的最大值是________．30.若函数（为自然对数的底数），，若存在实数，，使得，且，则实数的取值范围是________．三、解答题（共6题；共50分）31.如图，已知是椭圆的一个顶点，的短轴是圆的直径，直线，过点P且互相垂直，交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ求面积的最大值．32.已知函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值，且在点（1，f（1））处的切线的斜率为2．（Ⅰ）求a，b的值：（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．33.已知椭圆的左、右顶点为，点为椭圆上一动点，且直线的斜率之积为.（Ⅰ）求及离心率的值；（Ⅱ）若点是上不同于的两点，且满足，求证：的面积为定值.34.已知在与时都取得极值．（1）求的值；（2）若，求的单调区间和极值。
河南省八市重点高中2020—2021学年高二上学期12月联合考试数学(理)答案
高二数学（理科）答案与解析1．【答案】C 【命题意图】本题考查正余定理解三角形，意在考查学生对基础知识的掌握情况.是基础题.【解析】依题意，cos 2C =，所以1sin 2C =，由正弦定理可得，sin sin 2b C Bc ==，又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B = .故选C.2．【答案】D 【命题意图】本题考查不等式的性质，主要考查学生对不等式之间关系的判断，属于基础题.【解析】因为a b >，当0c =时，A 不成立，因为11b a a b ab--=，虽然有a b >，但是ab 的正负无法确定，故B 错误；当0a <时，C 错误；D 选项，3322()()0a b a b a ab b -=-++>，故选D.3．【答案】A 【命题意图】本题主要考查充分必要条件的判断以及空间中的位置关系.考查学生逻辑推理和空间想象等核心素养.是中档题.【解析】根据面面垂直的判定定理，可知因为//l α，必存在l α'⊂且//l l '，由l β⊥可推出αβ⊥，反之，若,//l αβα⊥，则l 与β的位置关系不确定，所以“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选A.4．【答案】C 【命题意图】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的基本运算能力.是中档题.【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的的渐近线方程为y x =，所以a b =，又焦距为4，所以224a b +=，解得a b ==，所以2y =，所以抛物线的准线方程是4x =-，故选C.5．【答案】C 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算，考查学生对等差数列基本量之间关系的掌握程度.是基础题.【解析】因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1252=15a a S ⋅=⎧⎨⎩，即111525()()152a a a a d =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解之得1114a a ==-或，当11a =，所以1d =，解得44a =；当14a =-时，72d =，此时4132a =.故选C.6．【答案】D【命题意图】本题考查四种命题以及命题的真假性判定.意在考查学生的逻辑推理素养，是中档题.【解析】A ．命题命题“若ln ln 0a b +=，则1a b ⋅=”的逆命题为“若1a b ⋅=，则ln ln 0a b +=，是假命题；B ．因为1a >时，01a >-，所以该命题是假命题在故B 错；C ．,A B 是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 不是互斥事件”．故C 错.D ．由椭圆的定义，可知命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题是真命题，故选D.【命题意图】本题考查等比数列的性质，意在考查学生对性质的灵活运用.是中档题.【解析】因为数列{}n a 为正项等比数列，因为2918a a ⋅=，所以295618a a a a ⋅=⋅=，而251625262562log log log log log ()3a a a a a a -=+=⋅=-，故选A.8．【答案】C【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查了学生的数形结合思想和逻辑推理能力.是中档题.【解析】由约束条件20,20,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图：由目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，当直线322zy x =-经过图中(2,4)时，z 最小，所以min 6z =-.故选C.9．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的数学抽象和数学运算素养.属于较难题.【解析】由题意可得，该椭圆的半焦距c =，取椭圆的右焦点)1F 以及PF 中点E ，连接1PF ，如图，因为OP OF ==，所以5cos 5∠=PFO ，所以||1,||2==EF OE ，所以14PF =，2FP =，所以126a PF PF =+=，即3a =，所以2224b a c =-=，所以椭圆方程为22194x y +=.故选B.10．【答案】B 【命题意图】本题考查基本不等式，意在考查学生对基本不等式的灵活运用，是中等题.【解析】∵m ，0n >，2m n +=，所以11111()()1311m n m n m n +=+++++∴1114(11)(23133n m m n +=+++≥+=+，当且仅当11n m m n +=+，即32m =，12n =时取等号，故111m n ++的最小值43.故选B.【命题意图】本题考查含参数的一元二次不等式，意在考查学生的分类讨论和函数思想的应用，属于中等题.【解析】因为一元二次不等式220x mx +->的解集为{|21}x x x <->或，所以21m -=-+，即1m =，所以不等式220x x m -++<即2210x x -++<，所以不等式220x x m -++<的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ .故选D.12．【答案】A 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，意在考查学生的数学抽象和数学运算能力，属于难题.【解析】根据抛物线的定义可知AF AC =，由于AC 垂直抛物线的准线，所以//AC x 轴，所以AFx CAF ∠=∠.设200,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则0,,,022p p C y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设D 是CF 的中点，则00,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线AD 的方程为()0002020202y y y y x y p--=--，即002y p y x y =+.由00222y p y x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得22202004y p x px y -+=，其判别式222020404y p p y ∆=-⨯⨯=，所以直线AD 与抛物线相切，故直线AD 与直线AT 重合，点E 与点D 重合，由于D 是CF 的中点，所以AD CF ⊥，也即AT CF ⊥，命题（2）成立.根据等腰三角形的性质可知2CAF TAF ∠=∠，所以AT 平分FAC ∠，命题（1）成立.进而可得ACE TFE ≅ ，综上所述，正确的命题个数为3个.故选A.13．【答案】224n n +--【命题意图】本题考查数列求和以及分组求和.属于基础题.【解析】依题意112221nn n a +=+++=- ，则231221212124n n n S n ++=-+-++-=-- ．14．【答案】6+【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力.【解析】由正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，又cos cos 2a C c A a +=得到sinAcos sin cos 2sin C C A A +=，即sin()2sin A C A+=在ABC ∆中，A B C π++=,所以sin 2sin 1B A =≤,故角A 最大即6A π=.此时sin 1B =，即2B π=，ABC ∆为直角三角形，2a =，所以4b =，32=c，所以三角形的周长为6+.15．【答案】1)+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的数学运算和数学抽象等核心素养，属于难题.【解析】依题意，可得四边形12F AF B 为平行四边形，1AF x ⊥轴，所以2BF x ⊥轴,将横坐标c 带入双曲线方程，可得22221c y a b -=，得2=±by a，则2(,)b B c a ，所以222212tan 22b BF c a a F F c acα-===，又12tan (0,1)BF F ∠∈，即22012c a ac -<<，整理得2220c a ac --<，两边同时除以2a ，得2210c c a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即2210e e --<，又∵1e >，解得11e <<+.16．【答案】(【命题意图】本题考查不等式思想，可以利用线性规划，三角换元和基本不等式来解决，同时也考查学生的数形结合思想,属于较难问题.【解析】由题意知2224x y +=，令2x y z +=,即122zy x =-+，而2224(0)+=>x y y 表示的是椭圆在x 轴上方部分，所以当直线122zy x =-+经过(0)时，2x y +最小，所以最小值为，由于0>y ，所以2x y +>，当直线122zy x =-+与2224x y +=在第一象限相切时，2x y +取得最大值，联立方程组2212224z y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，可得22940424z z x x -+-=，由0= ，可得z =±，所以2x y +的最大值为所以2x y +的取值范围为(.17．【命题意图】本题考查全称命题和特称命题以及命题的否定，充分必要条件等,是基础题.【解析】（1）对于命题p ：对任意[1,)x ∈+∞，不等式2350x m m -++-<恒成立，因为函数253y x m m =-+-+在[1,)x ∈+∞上单调递减，所以有1x =时，2max430ym m =-+<，.........................................................................................................2分解之得(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，...........................................................................................................................4分所以p 为假命题时，实数m 的取值范围[1,4]m ∈-...........................................................................................5分（2）依题意，对任意的[]2,1x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立，即二次函数2223y x mx m =--+在[]2,1x ∈-上的最小值大于0即可，..................................................................................................................7分当2≤-m 时，44230+-+>m m ，解得∈∅m ；当1≥m 时，12230--+>m m ，解得1>m ；当21-<<m 时，222320-+->m m m ，解之得∈∅m ，综上可得，解之得1>m ，....................................................................................................................................9分而p 为真时(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.................................................................................................................10分18．【命题意图】本题考查一元二次不等式，主要考查三个二次之间的关系以及分类讨论等思想，是中等题.【解析】（1）不等式232ax bx x ++<的解集为(,1)(3,)-∞-+∞ 即方程2(2)30ax b x +-+=的两根为121,3x x =-=.....................................................................................2分由韦达定理得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，.....................................................................................................................4分解之得，1,4a b =-=...........................................................................................................................................6分（2）由（1）可知，令2()23f x x x =-++，对称轴方程为1x =，所以()f x 在[,1]x m ∈上单调递增，.....................................................................................................................9分所以当x m =时，2()231f x m m =-++≥，即22201m m m ⎧--≤⎨<⎩，所以[1m ∈-......................................................12分19．【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算能力.是中等题.【解析】（1）因为2222a c b a b a+-=+，所以222a b c ab +-=-，............................................................2分所以1cos 2C =-，即23C π=..............................................................................................................................5分另解：因为2222a c b a b a +-=+，所以222222a c b a bac c+-+=，即2cos 2c B a b =+，由正弦定理得：2sin cos 2sin sin C B A B =+，...........................................................................................................................2分所以2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，故1cos 2C =-，故23C π=．............................................................................................................................................................5分（2）因为ABC的面积为4，所以16si 4n 2ab C =，即132462ab ⨯=，故ab =，............................................................................................................................................................8分由余弦定理可得222222212cos 2()2=+-=+--=+c a b ab C a b a b所以222222224a c a a b a b +=+++=++≥=，........................................10分b ==此时1a =.............................................................................................12分20．【命题意图】本题考查数列的综合应用，主要考查数列求通项，数列求和，错位相减法思想等，是中等题.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由2433S a a -=，即2423S S S -=，又21n n n a a a --=，可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，......................................................................................................3分解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，*N n ∈...........................................................................................6分（2）由题意知：422nn n b a ⋅+=，即()1221144n n n n a b n --⎛⎫==- ⎪⎝⎭，.........................................................8分所以1211111(2((1)()444n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ，所以()2311111214444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，..................................................................................10分两式相减得12131111()()()(1)(44444n n n T n -=+++-- ，所以1111()3144(1)(14414n n n T n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=---11111((1)(3344n n n -=-⨯--11111(3344n n --=-+，.............11分所以14311()994n n n T -+=-⨯所以数列{}n b 的前n 项和14311()994n n n T -+=-⨯...........................................................................................12分21．【命题意图】本题考查基本不等式和不等式的证明，意在考向学生的逻辑推理能力，属于较难题.【解析】（1）因为a ，b ，c 为正数，且22a b c ++=，可得11111(2)2a b c a b b c a b b c+=+++++++............................................................................................3分1(11)22b c a b a b b c++=+++≥++，...........................................................................................................................5分当且仅当b c a ba b b c++=++时取等号.........................................................................................................................6分（2）()()2222222221122222++=+++++≥++a b c a b c a b c ab bc ac ................................................8分当且仅当19===a b c 时等号成立.()()1122222ab bc ac ab bc ab ac bc ac ++=+++++(12222≥+==............................................................10分当且仅当19===a b c 时等号成立.所以222a b c ++≥.当且仅当19===a b c 时等号成立......................................................................12分22．【命题意图】本题考查椭圆的集合性质，直线与椭圆的位置关系，意在考查数学抽象，直观想象和数学运算等核心素养，属于难题.【解析】（1）依题意，设椭圆的长半轴长为a ，直线2c x =被抛物线()22:2 0C y px p =>截得的弦长为且2pc =.所以224pp =⨯，解得p =.所以c =........................................................................3分又因为2a b =，∴2,1a b ==所以椭圆1C 的方程为2214x y +=，.....................................................................................................................5分（2）设(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2OP OA OB λμ-=，得122x x x λμ=+，122y y y λμ=+∵点,,P A B 在椭圆2214x y +=上，∴所以221144x y +=，222244x y +=，2244x y +=........................................................................................7分故222212124(2)4(2)x y x x y y λμλμ+=+++22222211221212(4)4(4)4(4)4x y x y x x y y λμλμ=+++++=.设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率，由题意知，121214OA OB y y k k x x ⋅==-因此121240x x y y +=,所以2241λμ+=............................................................................................................9分所以Q 点是椭圆上22114μλ+=上的点，.又,0)2M ，点N 满足2112MN F F =，所以(,0)2N -.........................................................................11分所以,M N 恰为椭圆22114μλ+=的左、右焦点，由椭圆的定义，2QM NQ +=为定值......................12分。
河南省天一大联考2020-2021学年高二上学期阶段性测试(一)(11月)数学(理)试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 的内角 所对的边长分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 的三个内角 的大小依次成等差数列，角 的对边分别是 ，并且函数 的值域是 ，则 的面积是 （ ）
A． B． C． D．
12．2021年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北 的方向移动，距台风中心 千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响，则 和 的值分别为（附： ）（ ）
函数 的值域是 ，即函数 的最小值
则 的面积
故选A
12．A
【解析】
根据题意， 小时后台风中心距甲地 千米， 小时后距甲地 千米，乙地有 小时在台风范围内，根据余弦定理得 ，解得 ， ， ，故选A.
【思路点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力、余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
D、 又c2≥0，本选项一定成立，
故选D
3．B
【解析】
由正弦定理可得
而 ，故有2解
选B
4．A
【解析】
由约束条件，做出可行域如图所示，令 ，表示平面区域内的点与原点连线的斜率，根据图形可知 的最小值为 ，联立 ，解得 ，所以 的最大值为 ，
2020-2021学年河南省郑州市高二上学期期末数学(理)试题及答案
2020-2021学年河南省郑州市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A ．1ab> B ．22ac bc > C ．22a b < D ．a c b c -<-答案：A根据不等式的性质，判断选项. 解：0a b >>，1ab∴>，故A 正确； 当0c时，22ac bc =，故B 不正确；2yx 在()0,∞+是单调递增函数，当0a b >>时，22a b >，故C 不正确；根据不等式的性质可知a b >时，a c b c ->-，故D 不正确. 故选：A2．2020是数列2，4，6，8，…的第（ ）项. A ．1008 B ．1009C ．1010D ．2020答案：C由已知可判断数列为等差数列，由前三项，得出首项和公差，写出它的通项公式，将2020代入求出项数n 即可.解：数列2，4，6，8，…为等差数列，设等差数列为{}n a ，由等差数列2，4，6可知其首项为2，公差为2，通项公式为2(1)22n a n n =+-⨯=，令22020n =，1010n =.故选：C.3．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a ac c b -+=，则角B 为（ ）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 答案：B根据余弦定理结合题中已知条件，可得222122c a c b osB ac +-==，结合三角形内角的范围，即可得出结果. 解：∵222a ac c b -+=,∴由余弦定理，得222122c a c b osB ac +-==，结合()0,B π∈ ，可得3B π=. 故选:B ．4．已知命题()0:0,p x ∃∈+∞，00sin 0x x +<，则p ⌝为（ ） A ．()0,x ∀∈+∞，sin 0x x +≥ B ．()0,x ∀∈+∞，sin 0x x +< C ．()00,x ∃∉+∞，00sin 0x x +< D ．()00,x ∃∉+∞，00sin 0x x +≥答案：A利用特称命题的否定可得出结论.解：命题p 为特称命题，该命题的否定为():0,p x ⌝∀∈+∞，sin 0x x +≥. 故选：A.5．“2x <”是“22320x x --<”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要答案：B解不等式22320x x --<，利用集合的包含关系判断可得出结论. 解：解不等式22320x x --<，可得122x -<<， {}2x x < 122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，因此，“2x <”是“22320x x --<”的必要不充分条件. 故选：B.6．设实数x 、y 满足约束条件2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8答案：B作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y =+，找出使得直线3z x y =+在x 轴上最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.解：作出不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立20250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，即点()3,1A ，平移直线3z x y =+，当直线3z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线3z x y =+在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 3316z =+⨯=. 故选：B.点评：思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．已知数列{}n a 是等比数列，满足51184a a a =，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则79b b +等于（ ） A ．24 B ．16 C ．8 D ．4答案：C利用等比数列和等差数列的性质计算．解：∵数列{}n a 是等比数列，∴2511884a a a a ==，又80a ，∴84a =，又{}n b 是等差数列，∴7988228b b b a +===． 故选：C ．点评：关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数,,,m n p l ，若m n p l +=+，{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =，特别地若2m n p +=，{}n a 是等差数列，则2m n p a a a +=，若{}n a 是等比数列，则2m n p a a a =．8．设1F 、2F 分别是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．C ．6D ．9答案：D设点()00,P x y ，求出20y 的值，由此可求得12PF F △的面积.解：在椭圆22:1259x y C +=中，5a =，3b =，则4c ==，所以，1228F F c ==，设点()00,P x y ，则22001259x y +=，可得220025259x y =-，4OP ===，解得208116y =，094y ∴=，因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D.点评：方法点睛：本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，常用以下两种方法求解： （1）求出顶点P 的坐标，利用三角形面积公式求解；（2）利用余弦定理和椭圆的定义求得12PF PF ⋅的值，利用三角形面积公式求解. 9．在ABC 中，2sin 22C a ba-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形答案：D利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论.解：21cos sin222C C a b a--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =， 所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，0A π<<，2A π∴=，因此，ABC 为直角三角形.故选：D.点评：方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 10．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B作出图形，过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ，由抛物线的定义得出1d MB MF ==，可得出12d d MF MA +=+，利用FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值，然后计算出点F 到直线3490x y ++=的距离，即为所求.解：如下图所示：过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ， 由抛物线的定义可得1d MB MF ==，则12d d MF MA +=+， 当且仅当FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值，点F 到直线3490x y ++=的距离为22130494234d ⨯+⨯+==+，因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2.点评：关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21nn S =-，n n b na =.若对任意*n ∈N ，不等式()15n n b b n λ+≥+恒成立.则满足条件的实数λ的取值范围是（ ） A ．323λ≤B ．20λ≤C ．21λ≤D ．643λ≤答案：C先利用n S 和n a 的关系求出通项公式n a ，然后将不等式恒成立转化为求解最值问题，构造函数5()(0)f x x x x=+>，利用导数研究()f x 的最值，求出其最值即可得到答案． 解：因为21nn S =-，当1n =时，111211a S ==-=，当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时也适合上式，所以12n na ，故12n n n b na n -==⋅，所以不等式()15n n b b n λ+≥+对任意*n ∈N 恒成立， 即（1(5)(1)22nn n n n λ-++⋅≥⋅⋅对任意*n ∈N 恒成立，等价于2655226n n n n n λ++⎛⎫≤⨯=⨯++ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 恒成立， 令5()(0)f x x x x =+>，则22255()1x f x x x-'=-=令()0f x '=，解得x = 所以()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增，因为23<<，又914(2),(3)23f f ==， 所以5n n +的最小值为92， 故92(6)212λ≤⨯+=. 故选：C ．点评：思路点睛：由已知求得12n n n b na n -==⋅，不等式()15n n b b n λ+≥+恒成立可转化为2652n n n λ++≤⨯，只需2min652n n n λ⎛⎫++≤⨯⎪⎝⎭即可. 12．已知m ，n 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在的直线与m ，n 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： （1）直线AB 与m 所成的角不可能为30； （2）直线AB 与m 所成角的最大值为90；（3）直线AB 与m 所成的角为60时，AB 与n 所成的角为30. 其中正确的是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（1）（3）D ．（1）（2）（3）答案：A由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能可求出结果解：由题意知，m 、n 、AC 三条直线两两相互垂直，不妨平移到同一个交点C ，放到一个正方形中，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC| = 1，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，设n 所在的直线为CD ，m 所在的直线为CB ，所以，以C 为坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D(1,0,0)，A(0,0,1)，直线n 的方向单位向量()1,0,0n =，1n =，直线m 的方向单位向量()0,1,0m =，1m =，设点B 在运动过程中的坐标为cos ,sin ,0B θθ，其中θ为B C '与CD 的夹角，[)0,2θ∈π，且22sin cos 1θθ+=，所以AB ' 在运动过程中的向量cos ,sin ,12ABABθθ，，设直线AB 与m 所成角为α，设直线AB 与n 所成角为β，因为线线角的范围为02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，02πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，令cos ,sin ,1(0,1,0)cos AB m ABmm ABθθα23sin cos302θ，所以3sin 12θ不成立，①正确；由cos ,sin ,1(0,1,0)2cos sin 2AB m ABmm ABθθαθ， 当0θ=时，cos 0α=，2πα=，所以②正确；直线AB 与m 所成的角为60时，21cossin 322AB m ABmπθ，2sin 2θ， 由22sin cos 1θθ+=，得221cos1sin 2θθ，2cos 2θ， cos ,sin ,1(1,0,0)21cos cos 22AB n ABnn ABθθβθ， 60β=，所以直线AB 与m 所成的角为60时，AB 与n 所成的角不是30，③错误故选：A.点评：本题考查异面直线所成的角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题. 二、填空题13．已知向量()1,3,2a =-，()1,1,0b =，则向量23a b +=___________. 答案：()5,3,4-将向量坐标的加法公式求解即可. 解：向量()1,3,2a =-，()1,1,0b =,∴()()()1,3,2+31,123,0=25,3,4a b -+=-.故答案为：()5,3,4-.14．已知正实数x ，y 满足48x y +=，则11x y+的最小值为___________. 答案：98由“1”的变换，变形为()1111148x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最小值. 解：由条件可知0,0x y >>，()11111144588y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19588⎛≥+= ⎝，当4y x x y =时等号成立，即2y x = 248y x x y =⎧⎨+=⎩，解得：48,33x y ==， 所以11x y +的最小值为98.故答案为：9815．设1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于A ､B 两点，且120AF AF ⋅=，2212AF BF =，则双曲线C 的离心率为___________.答案：3利用双曲线的定义分别表示1212,,,AF AF BF BF ，再利用勾股定义和双曲线的定义建立等量关系，求双曲线的离心率. 解：设2AF x =，22BF x =，1AF y =， 根据双曲线的定义可知1212AF AF BF BF -=-， 即12y x BF x -=-，得1BF y x =+，120AF AF ⋅=，12AF AF ∴⊥，()()2223y x y x ∴+=+，得4y x =，12Rt AF F △中，222124AF AF c +=，即22174x c =，得17x c =，根据双曲线的定义122AF AF a -=，即32x a =，得23x a =，所以2173a =，得3c e a ==.点评：方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.16．在ABC 中，点M 是边BC 的中点，AM =2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.答案：用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值． 解：记AMC α∠=，则AMB πα∠=-， 在AMC中，2222cos 314AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-，同理在AMB 中可得24AB α=+，∴228AB AC +=，设AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．则12cos )cos )2AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+，其中cosθθ==θ是锐角， 显然存在0(0,)22x ππθ=-∈，使得0sin()1x θ+=，∴2AC AB +的最大值为故答案为：点评：关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出,AB AC ，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值． 三、解答题17．已知命题1:,22p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦时，1a x x ≥+恒成立；命题q ：关于x的方程20x ax a -+=无实根.若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围.答案：5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭求出当命题p 、q 分别为真命题时，实数a 的取值范围，由p q ∧为真可知命题p 、q 均为真命题，进而可得出实数a 的取值范围. 解：若p 真，则max 1a x x ⎛⎫≥+⎪⎝⎭. 下面证明函数()f x 在区间1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在区间(]1,2上为增函数，任取1x 、21,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12x x <，即12112x x ≤<<， 则()()()()21121212121212121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212121x x x x x x --=，12112x x ≤<<，120x x ∴-<，12114x x <<，()()12f x f x ∴>， 所以，函数()1f x x x =+在区间1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数， 同理可证函数()1f x x x=+在区间(]1,2上为增函数， ()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()max 52f x =，52a ∴≥，若q 真，240a a ∆=-<，解得04a <<，p q ∧是真命题，p 、q 都是真命题，所以，542a ≤<.因此，实数a 的取值范围是5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.点评：结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.18．设数列{}n a 是各项为正数的等比数列，1a 是2a 和36a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的公比； （2）若112a =，令()1n n b n a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：（1）12；（2）()1332nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭. （1）由12326a a a =+可知211126a a q a q =+化简计算即可求得结果；（2）求得通项公式12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用错位相减法即可求得{}n b 的前n 项和n T . 解：解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题得：12326a a a =+，即211126a a q a q =+，2620q q +-=，∴12q =或23q =-(舍) （2）1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()112nn b n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭()12111231222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()23111112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()211111112222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11311311322222nn n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()1332nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且3AD PD ==，33PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，点E 为线段PC 的中点.（1）求证：DE ⊥面PBC ； （2）若点F 在线段AB 上，且13AF AB =，求二面角C DE F --的平面角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）3913. （1）由面PCD ⊥面ABCD ，BC CD ⊥可得BC ⊥面PCD ，则BC DE ⊥，又DE PC ⊥，即可证得结论；（2）过D 点作DC 的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求得面DCE 的法向量为1n ，面DEF 的法向量为2n ，计算即可得出结果.解：证明：（1）∵PD AD DC ==，E 为PC 中点，∴DE PC ⊥. ∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD 面ABCD CD =，BC CD ⊥，∴BC ⊥面PCD ，∵DE ⊂面PCD ，∴BC DE ⊥. ∵PC BC C ⋂=，∴DE ⊥面PBC . （2）∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD面ABCD CD =，在面PCD 内，过D 点作DC 的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .如图，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为z 轴建立空间直角坐标系，∴()3,1,0F ，3330,4E ⎛ ⎝⎭，()0,3,0C ，()0,0,0D ，()0,3,0DC =，3330,,4DE⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1,0DF =.设面DCE 的法向量为1n ，由面PCD ⊥面ABCD ，可得()11,0,0n =，设面DEF 的法向量为()2,,n x y z =，2200n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3330430y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1x =，求得()21,3,3n =-，12cos ,13n n =，设二面角C DE F --的平面角为θ，∴239sin θ=.点评：思路点睛：解决线面角、二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠=，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，(m 为长度单位).陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M ，N 分别落在PA ，PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点P 到点R 的距离；（2）为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值. 答案：（1）4213；（2）83PM =，面积的最小值323. （1）连接ST ，PR ，在RST 中，利用余弦定理求出ST ，可求出cos STR ∠，可得出sin PTS ∠的值，在PST 中，利用正弦定理求出SP 的值，进而利用勾股定理可求得PR ；（2）利用三角形的面积公式可得出323PM PN PM PN ⋅=+，利用基本不等式可求得PM PN ⋅的最小值，进而可求得PMN 面积的最小值及其对应的PM 的值. 解：解：（1）连接ST 、PR ，在RST 中，60SRT ∠=，由余弦定理可得：22246246cos6028ST =+-⨯⨯⨯=，27ST ∴=在RST 中，由余弦定理可得，22227cos 2ST RT SR STR ST RT +-∠==⋅在PST 中，sin cos 7PTS STR ∠=∠=，由正弦定理可得：sin sin120SP ST PTS =∠，解得：sin sin120ST PTS SP ∠==.在直角SPR △中，22222112433PR RS SP ⎛=+=+= ⎝⎭，3PR ∴=； （2）13sin1202PMN S PM PN PM PN =⋅⋅=⋅△， 11462322PMN PRM PRN S S S PM PN PM PN =+=⨯+⨯=+△△△.23PN PM PN ⋅=+≥.128PM PN ∴⋅≥，当且仅当23128PM PNPM PN =⎧⎨⋅=⎩时，即当PM =因此，4PMN S PM PN =⋅≥△点评：方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()2,0P 是椭圆C 上一点，离心率为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()0,3Q m ，直线:0l x y m -+=与椭圆C 相交于A 、B 两点.当ABQ △面积最大时，求m 的值.答案：（1）22142x y +=；（2）（1）求出a 、c 、b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，求出AB 以及点Q 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式可求得ABQ △关于m 的表达式，利用基本不等式可求得ABQ △面积的最大值，利用等号成立的条件可求得m 的值.解：（1）由已知，将点P 的坐标代入椭圆C 的方程可得2a =，离心率为c e a ==，c ∴=，所以，b ==C 的标准方程为22142x y+=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22142y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234240x mx m ++-=，()()()22241224860m m m ∆=--=->，解得m <<由韦达定理得1243m x x -+=，212243m x x -⋅=，AB ∴==， 点()0,3Q m 到直线:0l x y m -+=的距离d =22114622332ABQm m S AB d m -+=⨯⨯=⨯=≤⋅△=226m m -=即m =即当ABQ △面积最大时，m 的值为点评：方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.22．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()0f x >的解集为{}12x x -<<，解关于x 的不等式()2430bx ax c b +-+≤；（2）若不等式()2f x ax b ≥+对x ∈R 恒成立，求2223b a c +的最大值.答案：（1）[]1,5-；（2）最大值为23. （1）由题意可知，1-、2是二次方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，根据韦达定理可得出1b a =-，2ca=-，化简所求不等式，利用二次不等式求解即可； （2）由题意可得出22044a b ac a>⎧⎨≤-⎩，令1ct a =-，推导出0t ≥，可得出()22224313b ta c t ≤+++，当0t =时，得出()24013t y t ==++，在0t >时，利用基本不等式可求得函数()2413ty t =++的最大值，由此可求得结果.解：（1）由于()0f x >的解集为{}12x x -<<，则1-、2是二次方程20ax bx c ++=的两根，由题可得：01212a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，即：012a ba ca⎧⎪<⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，()2430bx ax c b +-+≤等价于2340b c b x x a a a ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，即：2450x x --≤，解得：15x -≤≤，因此，不等式()2430bx ax c b +-+≤的解集为[]1,5-；（2）()2f x ax b ≥+恒成立，即()220ax b a x c b +-+-≥恒成立.()()20240a b a a c b >⎧⎪∴⎨∆=---≤⎪⎩，也即22044a b ac a >⎧⎨≤-⎩，222222221444333c b ac a a c a c a ca--∴≤=⨯+++， 令1c t a=-，则1ct a =+，2244b ac a ≤-，所以，20ac a -≥，1c a ∴≥，即0t ≥，令222144243c t a y c t t a -=⨯=+++，当0t =时，0y =；当0t >时，244242432t y t t t t==≤++++，当且仅当2t =，3c a=取最大值. 所以2223b a c +的最大值为23.点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。
河南百校联盟2020-2021学年高二上学期1月联考数学(理)试题含答案
河南百校联盟2020~2021学年高二1月联考理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：选修2-1。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“1x ∀，210x ->”的否定是（ ） A.1x ∀，210x - B.01x ∃，0210x -C.01x ∃<，0210x ->D.01x ∃<，0210x -2.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫⎪⎝⎭3.关于x 的方程1420xx m ++-=有正实数解的一个必要不充分条件是（ ）A.0mB.5mC.3m >D.4m4.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），直线l ：y x =与双曲线C 仅有一个公共点，则双曲线C 的离心率为（ ）A.25.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M 是BD 的中点，则1B M 与平面11AA D D 所成角的余弦值为（ ）A.6 B.3 C.6- D.66.已知椭圆2214x y m +=的离心率为12，则实数m 的值为（ ） A.2B.3C.3或163D.2或1637.若“(1,4]x ∀∈，2290x ax -+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A.(,3]-∞B.[3,)+∞C.(3,)+∞D.[5,)+∞8.设曲线C 的方程为441164x y +=，给出关于曲线C 的性质的结论：①曲线C 关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；②曲线C 上的所有点均在椭圆441164x y +=内部.下面判断正确的是（ ） A.①错误②正确B.①正确②错误C.①②都错误D.①②都正确9.如图，1F ，2F 是双曲线C ：22213x y a -=（0a >）的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若点A 为2F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12F F =（ ）A.4B.10.以(0,2)M 为圆心，4为半径的圆与抛物线C ：28x y =相交于A ，B 两点，如图，点P 是优弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，过P 作平行于y 轴的直线交抛物线于点N ，则PMN △的周长的取值范围是（ ） A.(8,12)B.(8,12]C.[8,12)D.[8,12]11.以下四个关于双曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，m 为正数，若动点P 使PA PB m -=，则动点P 的轨迹是双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ④若双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，若152PF =，则212PF =或92. 其中真命题的个数为（ ） A.1B.2C.3D.412.已知椭圆22143x y +=上存在两个不同的点A ，B 关于直线0x y m ++=对称，则实数m 的取值范围是（ ）A.(B.⎛ ⎝⎭C.⎡⎢⎣⎦D.⎛ ⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。