如何求非齐次线性方程组A=b的通解
非齐次方程的通解
定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.
要
注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得：0－0－8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解：特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解： 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8
4-3.非齐次线性方程组PPT
1 1 2 1 1 0 0 2 4 0 0 3 t 5 1 2 3
(k1 , k2 R)
练习 k为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 x2 2 x3 2 x4 6 x5 k
有解，并在有解时求通解.
解
1 A 3 0 1 r2 3r1 0 0
唯一解 x1 d1 , x2 d 2 , xn d n
x1 c1r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2 2 r 1 r 1 2n n 2 xr crr 1 xr 1 crn xn d r 其中 xr 1 ,, xn 为自由变量，故方程组有依赖于
4-2=2个独立参量的无穷多解
1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 . 0 0 0 0 0
所以方程组的通解为
同解方程组为 x1 x2 x4 1 2 x2 x2 2 x4 1 2 x3 x4 x4
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B 3 1 p 15 3 1 5 10 12 t
2 3 1 1 1 4 2 2 0 2 ~ 0 4 p6 6 0 0 6 12 9 t 1
n-r 个独立参量的无穷多解.
例1 设有线性方程组
(1 ) x1 x2 x3 0, x1 (1 ) x2 x3 3, x x (1 ) x . 3 1 2
问 取何值时，此方程组 （1）无解； （2）有唯一解； （3）有无穷多解.
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组A x=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
线性代数-非齐次线性方程组
充分性:若r(A)=r(A|b) ，即d r+1 =0,则（*）有解。
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n r个作为自由未知量,
即可得方程组的一个解． 并令 n r 个自由未知量任意取值，
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
Ch3 矩阵的秩与线性方程组
第 二节
(非)齐次线性方程组
一、线性方程组有解的 判定
二、线性方程组的解法
对于m个方程n个未知数的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 ........................................... a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
2 当 1时,
1 1 2 A ~ 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 2 ~ 0 1 1 0 0 ( 2 ) 1 2
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
A 1 1
1
如何求非齐次线性方程组Ab的通解
如何求非齐次线性方程组
A b的通解
The following text is amended on 12 November 2020.
如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
§4[1].6__非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
![§4[1].6__非齐次线性方程组有解的条件及解的结构](https://img.taocdn.com/s3/m/6db0e3db6f1aff00bed51ea7.png)
为 求 A X=β 的 一 个 特 解 ， 把 x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0代 入 方 程 组 即 可
7 1 1 2 2 2 1 3 1 2 2 2 AX=β的通解 0 + c1 1 + c2 0 + c3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 2 1 2
定理2 n 元非齐次线性方程组 As×n X = β :
1) 无解的充要条件 R ( A ) < R ( A , b ) ;
2) 有唯一解的充要条件 R( A) = R( A, b) = n ;
3) 有 无 穷 多 解 的 充 要 条 件 是 R ( A ) = R (A,b AX=β 的 通 解 为
2
2) λ = 2时,
1 B ~ 0 0 1 3 0 2 3 0 4 6 3
R ( A ) ≠ R ( B ),故方程组无解 . 故方程组无解
练习 : a, b取何值时, 方程组 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2 2x + 3x + x + x 3x = a 1 2 3 4 5 x1 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 6 4x1 + 5x2 + 3x3 + 3x4 x5 = b 无解, 有唯一解, 有无穷多解 ? 有解时 求出所有解.
1 0） 1） （ ， ，（0， 得到导出组的基础解系 =（ 1， T X1 =（ 1，0）, X2 = (1,0,1)T .让自由为知量x2 , x3代入
T (0,0)得 =（ (0,0)得到AX=β的一个特解X0 =（1，0，0）.
其通解为 X0 + c1 X1 + c2 X2 , c1 , c2任意。
2-3工程数学非齐次线性方程组
x1 = x2 + x4 在对应的齐次线性方程 组 中，取 x3 = 2x4 x2 1 0 = 及 x4 0 1
x1 1 1 则 = 及 x 0 2 3 得对应的齐次线性方程 组的基础解系 1 1 1 0 ξ1 = ， ξ 2 = 0 2 0 1
9
例1 求解方程组
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x − 2 x = 3. 1 2 3 4
解 对增广矩阵 B施行初等行变换
1 − 2 3 − 1 1 B = 3 − 1 5 − 3 2 2 1 2 − 2 3
系，∗是方程组A X = b的一个特解，则 η X = K1ξ1 + K 2 ξ 2 + L + K n − r ξ n − r + η ,
∗
K1 , K 2 , L, K n为任意实数. 的通解.
是方程组 A X = b
6
根据以上定理可知，当方程组（ 根据以上定理可知，当方程组（2.3.1）有解时，它 ）有解时， 有唯一解的充要条件是其导出组只有零解； 有唯一解的充要条件是其导出组只有零解；它有无 穷多组解的充要条件是其导出组（ 穷多组解的充要条件是其导出组（2.2.1）有无穷多 ） 组解。 组解。
第三节
非齐次线性方程组
一、解的判定和解的结构 二、用初等行变换求线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组有解的判定条件
对非齐次线性方程组
怎么求非齐次线性方程组的通解法则
怎么求非齐次线性方程组的通解法则答：非齐次线性方程组Ax=b的求解方法：
1、对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵；
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系；
3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。
（为简捷，可令自由变量全为0）
4、按解的结构ξ（特解）+k1a1+k2a2+…+krar（基础解系）写出通解。
注意：当方程组中含有参数时，分析讨论要严谨不要丢情况，此时的特解往往比较繁。
扩展资料：
对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
设
R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。
当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。
但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。
4.3非齐次线性方程组
(k1,k2∈R)
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x4 = 1 例2 求解方程组 3 x1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = 2 2 x + x + 2 x − 2 x = 3 2 3 4 1
1 3 解: B = 2 1 − 2 ~ 0 5 − 0 0
方程组(1)的系数阵 方程组 的系数阵: 的系数阵
a11 ⋯ A= a m 1
a11 ⋯ B= a m 1
a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ a m 2 ⋯ a mn
a12 ⋯ ⋯ a1n ⋯ ⋯ b1 ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ bn
方程组(1)的增广阵 方程组 的增广阵: 的增广阵
a m 2 ⋯ a mn
方程组(1)有解 ⋅⋅⋅,x 方程组 有解x1,x2,⋅⋅⋅ n 有解 ⋅⋅⋅ 存在一组数x ⋅⋅⋅,x ⋅⋅⋅+x ⇔存在一组数 1,x2,⋅⋅⋅ n,使x1β1+⋅⋅⋅ nβn=b ⋅⋅⋅ 使 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⇔b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 可由 ⋅⋅⋅ 下面四种提法可互为充要条件: 下面四种提法可互为充要条件 1° 方程组 有解 有解. ° 方程组(1)有解 2° b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 ⋅⋅⋅, ° 可由 ⋅⋅⋅ 3° 向量组β1,⋅⋅⋅ βn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b等价 ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅, ° ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 等价 4° R(A)=R(B) ° 定理二 非齐次线性方程组(1)有解 有解⇔ 非齐次线性方程组 有解⇔R(A)=R(B)
1 λ 1 ~ 0 λ − 1 1 − λ − 0 1 − λ 1 − λ2
非齐次线性方程组ax =b的解的判断定理
非齐次线性方程组ax =b的解的判断定理
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解。
该定理认为，如果矩阵A的行列式不等于零，则非齐次线性方程组ax = b有唯一解；如果矩阵A的行列式等于零，则非齐次线性方程组ax = b无解或有无穷多个解。
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解。
该定理认为，如果矩阵A的行列式不等于零，则非齐次线性方程组ax = b有唯一解；如果矩阵A的行列式等于零，则非齐次线性方程组ax = b无解或有无穷多个解。
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种科学、工程和社会问题。
例如，在经济学中，可以用它来分析市场竞争；在工程学中，可以用它来设计机器人；在社会学中，可以用它来研究社会结构。
此外，非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理还可以用来解决数学问题，例如求解线性规划问题、求解最优化问题等。
总之，非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解，并且在科学、工程和社会等领域有着广泛的应用。
MATLAB求解非齐次线性方程组
MATLAB 求解⾮齐次线性⽅程组根据线性代数中求解⽅程组的基本知识，⾸先应判断系数矩阵的秩是否和增⼴矩阵的秩相等，若不等，则⽆解；若有解，根据秩和未知量个数的关系，判断是唯⼀解还是⽆穷多解；若为⽆穷多解，其通解为齐次⽅程组的通解加⾮齐次⽅程组的特解。
求⾮齐次线性⽅程组Ax=b 的特解，可直接使⽤命令A\b ，求解齐次线性⽅程组的通解，可以使⽤函数null 或rref 来实现。
命令含义B = null(A,'r')求系数矩阵为A 的齐次线性⽅程组Ax=0的基础解系，结果为有理数，B 的列向量即基础解系的列向量Z = null(A)求出Ax=0的基础解系后，将基础解系的向量正交单位化，存储在Z 中C = rref(A)求出矩阵A 的⾏最简形矩阵（reduced row echelon form ）function [S_H, S_P] = solveLS(A,b)% 输⼊参数A ：系数矩阵% 输⼊参数b ：Ax=b 的常数项列向量b% S_H ：齐次线性⽅程组的基础解系% S_P ：⾮齐次线性⽅程组的特解if size(A,1) ~= length(b) %size(A,1)求矩阵的⾏数error('输⼊数据错误，请重新输⼊！');return;elseB = [A,b]; %增⼴矩阵rank_A = rank(A); %求系数矩阵的秩rank_B = rank(B); %求增⼴矩阵的秩if rank_A ~= rank_B %⽆解情况disp('线性⽅程组⽆解！');S_H = [];S_P = [];else if rank_B == size(A,2) %若增⼴矩阵的秩 = 未知量个数%size(A,2)求矩阵的列数，相当于length(A)disp('线性⽅程组有唯⼀解！');S_P = A\b; %求唯⼀解S_H = [];elsedisp('线性⽅程组有⽆穷解！');S_H = null(A,'r');%求出齐次⽅程组的基础解系S_P = A\b; %求⾮齐次⽅程组的特解endendend例 使⽤Matlab 求解⽅程组A=[1 2 -2 3; 2 4 -3 4; 5 10 -8 11];b=[2 5 12]';format rat;[S_H, S_P]=solveLS(A,b)运⾏结果线性⽅程组有⽆穷解！S_H =-2 11 00 20 1S_P =7/4-1/2该线性⽅程组有⽆穷多解，通解为⎧⎩⎨+2−2+3=2x 1x 2x 3x 42+4−3+4=5x 1x 2x 3x 45+10−8+11=12x 1x 2x 3x 4x =++,,∈R k 1⎛⎝⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟k 2⎛⎝⎜⎜⎜1021⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜07/40−1/2⎞⎠⎟⎟⎟k 1k 2。
非齐次线性方程组ax=b无解例子
非齐次线性方程组ax=b无解例子
非齐次线性方程组ax=b是数学中一种常见的方程组，它的解决方法是求解矩
阵A的逆矩阵，然后乘以b，得到x的值。
但是，有时候，这种方程组是无解的，
这就是非齐次线性方程组ax=b无解的情况。
非齐次线性方程组ax=b无解的原因有很多，其中最常见的原因是矩阵A不可逆。
当矩阵A不可逆时，就无法求解非齐次线性方程组ax=b，因此就会出现无解
的情况。
另外，非齐次线性方程组ax=b无解的另一个原因是矩阵A的行列式为0。
当
矩阵A的行列式为0时，就无法求解非齐次线性方程组ax=b，因此也会出现无解
的情况。
此外，非齐次线性方程组ax=b无解的另一个原因是矩阵A的秩不够。
当矩阵
A的秩不够时，就无法求解非齐次线性方程组ax=b，因此也会出现无解的情况。
总之，非齐次线性方程组ax=b无解的原因有很多，其中最常见的原因是矩阵
A不可逆、矩阵A的行列式为0以及矩阵A的秩不够。
因此，在解决非齐次线性方
程组ax=b时，我们需要先检查矩阵A的可逆性、行列式和秩，以确保方程组有解。
线性代数第三章第五节 非齐次线性方程组(2014版)
若R(A) R(A|b),则方程组 Amn x b 无 解；
x1 x2 x3 x4 x5 1
例1 设线性方程组
3x1 2x2 x3 x2 2x3 2x4
x4 3x5 6x5 3
a
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b
由于 1,2 , ,nr 线性无关，故 k1 k2 knr 0
所以 *,1 *,2 *, ,nr * 线性无关。
故 线性*无,1关的*解,。2 *, ,nr * 是Ax=b的n-r+1个
3）设x为方程组Ax=b的任一解，则x可表示为：
x k11 k22 knrnr k1( 1 ) k2( 2 ) knr ( nr ) (1 k1 k2 knr ) k1( 1 ) k2( 2 ) knr ( nr )
个元素 Aij 0 (i, j 1,2, ,n) ，故 r( A*) 1
又 AA* A* A | A | I 0 知 A* 的每列元素均
为齐次方程组 Ax 0 的解，但 r( A) n 1 所
以 Ax 0
r( A*) 1
r( A*) 1
n r( A) 1 的基础解系所含解向量的个数不超
1 2 3
矩阵
B
2 3
4 6
6 k
（k为常数），且AB=0,求线
性方程组Ax=0的通解。 解：由于AB=0 故 r( A) r(B) 3 又由a,b,c 不全为零， 可知 r( A) 1
当 k 9 时，r(B) 2 于是 r( A) 1
证明 A1 b, A2 b
A b b 0.
1
2
即x 1 2满足方程Ax 0.
非齐次线性微分方程求通解
非齐次线性微分方程求通解非齐次线性微分方程求通解：1. 什么是非齐次线性微分方程2. 非齐次线性微分方程的解的一般形式3. 非齐次线性微分方程的通解4. 利用Laplace变换求解非齐次线性微分方程通解1. 什么是非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(HEE)是指拥有常数系数、一阶以上及其高阶微分项的一个线性微分方程组。
它与一般线性齐次微分方程相比，被称为非齐次线性方程，其中常数系数不为零。
与此不同的是，线性齐次微分组在被实施时，会要求满足特定的条件，更精确地说，常数系数必须为零。
2. 非齐次线性微分方程的解的一般形式非齐次线性微分方程的解的一般形式可表示为：u(t) = ΣCi*exp(-αi*t), (i = 1,2,…,n)其中，Ci是常数，αi是系数。
3. 非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的通解可由有关齐次方程的特解与非齐次方程的特解相加而求得，即通解u（t）的形式可表示为：u(t) = u特(t) + u齐(t)其中u特（t）表示非齐次方程的特解，u齐(t)表示相关齐次方程的特解。
4. 利用Laplace变换求解非齐次线性微分方程通解Laplace变换是一种利用线性变换将微分方程变换为一种线性代数系统的方法。
此种变换能够有效地把不可积分的微分方程变换为可积分的线性代数系统，从而求出原来微分系统的解。
考虑微分方程，：u'' + u' + ku = f(t), k是常数，f（t）是自变量t的函数将其作Laplace变换，则可得U*(s) = F*(s)(s2 + s + k)-U(0)-U'(0)s其中s是Laplace变换的参数，U*(s)和F*(s)是u（t）和f（t）的Laplace变换，U(0)和U'(0)是未知的初值。
所以，U*(s)的形式可表示为：U*(s) = U(0)*F*(s)/(s2 + s + k) + U'(0)*F*(s)/((s2 + s + k)2)对U*(s)进行拉回变换，即可得到u（t）的通解，即：u(t) = C1*exp(-t)+C2*exp(-2t)+f(t)其中C1=U(0)，C2=U'(0)为非齐次线性微分方程组得通解所需的常数。
《非齐次方程的通解》课件
3解。
非齐次线性方程的特解求法
特解的求解方法因方程形式的不同而有所差异，常见的方法包括常数变易法、 待定系数法、降阶法等。选择合适的方法可以简化计算过程。
非齐次线性方程的通解表示
将特解和齐次线性方程的通解相加，可以得到非齐次线性方程的通解表示。 这种表示形式既简洁又能够概括方程的所有解。
非齐次线性方程的通解定义
非齐次线性方程的通解是指能够满足方程的所有解的集合。它由特解和齐次线性方程的通解组成，可以通过特 解加上齐次线性方程的通解得到。
非齐次线性方程的求解步骤
1
步骤一
将非齐次线性方程转化为齐次线性方程，
步骤二
2
求解其齐次部分得到通解。
寻找非齐次线性方程的特解，可以通过
待定系数法、常数变易法等方法求解。
案例分析和实例演示
通过具体案例的分析和实例的演示，我们可以更好地理解非齐次线性方程的通解及其应用。让我们一起来看看 实际问题中的应用场景。
《非齐次方程的通解》PPT课 件
探索非齐次线性方程的通解，从定义、求解步骤、特解求法到通解表示，以 案例分析和实例演示，帮助您深入理解。
问题引入
为什么我们需要了解非齐次线性方程的通解？它在数学和实际应用中的重要 性是如何体现的？让我们一起揭开这个问题的答案。
非齐次线性方程的定义
非齐次线性方程是指包含一个或多个非零项的线性方程。它与齐次线性方程 的区别在于存在一个非零项，使方程变得不一致。
非齐次方程组的通解
非齐次方程组的通解在数学中，方程是研究数值关系的基础。
方程组则是由多个方程组成的一组关联式，它们共同描述了一系列变量之间的关系。
一个方程组可以是齐次的，也可以是非齐次的。
在本文中，我们将重点讨论非齐次方程组的通解。
我们来回顾一下什么是非齐次方程组。
非齐次方程组是指其中至少有一个方程的右侧不为零的方程组。
与之相对的是齐次方程组，其所有方程的右侧都为零。
对于一个非齐次方程组，我们通常通过求解其对应的齐次方程组的通解和一个特解的和来得到其通解。
这是因为齐次方程组的解空间是一个向量空间，我们可以通过求解其对应的齐次方程组来得到其一般解。
为了更好地理解非齐次方程组的通解，让我们通过一个简单的例子来说明。
考虑以下非齐次方程组:2x + y = 5x - y = 1我们求解其对应的齐次方程组:2x + y = 0x - y = 0通过高斯消元法或矩阵运算，我们可以得到齐次方程组的解为：x = t, y = -t，其中 t 为任意实数。
接下来，我们需要找到一个特解。
通常，我们可以通过猜测特解的形式，并代入方程组中来求解。
对于这个例子，我们可以猜测特解的形式为x = 2, y = 1。
将其代入方程组中，我们可以验证它是一个特解。
现在，我们可以得到非齐次方程组的通解。
通过将齐次方程组的通解和特解相加，我们可以得到：x = t + 2y = -t + 1这就是非齐次方程组的通解。
它包含了齐次方程组的通解和一个特解。
除了通过求解齐次方程组的通解和特解的和来得到非齐次方程组的通解外，我们还可以使用矩阵的方法来求解。
通过将非齐次方程组表示为矩阵形式，我们可以使用矩阵的运算来求解其通解。
总结起来，非齐次方程组的通解由齐次方程组的通解和一个特解的和组成。
我们可以通过求解齐次方程组的通解和特解，或使用矩阵的方法来求解非齐次方程组的通解。
非齐次方程组的通解在数学和工程领域中具有广泛的应用。
它可以用来描述多个变量之间的关系，并解决实际问题。
非齐次方程的通解
r1 4, r2 2,
4x 2 x 对应的齐次方程的通解为 Y C1e C 2e .
* y k, 设原方程的特解为
代入原方程得：0－0－8 k =24
* 原方程的一个特解为 y 3
k=- 3
故原方程的通解为 例2.求通解
y C1e 4 x C 2e 2 x 3.
r1 r2 1,
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C 2 x )e x . 设原方程的特解为 y* (a x 3 b x 2 ) e x , 关键的一步
将 y* , 12 x e
x x
6a 12 2b 0 a2 b0
* 2
故原方程的通解为
1 1 y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x x sin 2 x . 8 8
作业：P406
6(1,4,5)
8
2 x
y( x) C2e 2 x (C1 C2 x)e 2 x (2)
将初始条件代入可求得C1＝2，C2=0
y( x) 2e
2 x
0
y( x )dx 2e
0
2 x
dx e
2 x 0
1
二、二阶常系数非齐次线性方程通解
1、解的结构定理:
1 y x; 8 b 0，
* 1
1 a ， 8
* (2) 设 y2 x(c cos 2 x d sin 2 x ),
则 ( y ) (c 2dx) cos 2 x (d 2cx ) sin 2 x,
* 2
* ( y2 ) (4d 4cx ) cos 2 x (4c 4dx) sin 2 x,