数学建模概率模型
概率统计数学模型
概率统计数学模型在数学领域，概率统计是一个非常重要的分支，它涉及到各种随机现象的数学描述和统计分析。
概率统计数学模型则是这些分析的基础，它能够准确地描述和预测各种随机现象的结果。
一、概率统计数学模型的基本概念概率统计数学模型是建立在随机试验基础上的数据分析方法。
在概率论中，随机试验的结果通常被视为不可预测的，但可以通过概率分布来描述它们。
而统计方法则是对数据进行收集、整理、分析和推断的方法，它依赖于概率论的知识。
二、概率统计数学模型的应用概率统计数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如在金融领域中，它可以帮助我们预测股票价格的波动；在医学领域中，它可以帮助我们理解疾病的传播方式；在工程领域中，它可以帮助我们优化设计方案。
三、概率统计数学模型的建立过程建立概率统计数学模型通常包括以下几个步骤：1、确定研究问题：首先需要明确研究的问题是什么，以及我们想要从中获得什么样的信息。
2、设计随机试验：针对研究问题，设计合适的随机试验，以便收集数据。
3、收集数据：通过试验或调查等方式收集数据，并确保数据的准确性和可靠性。
4、分析数据：利用统计分析方法对收集到的数据进行处理和分析，提取有用的信息。
5、建立模型：根据分析结果，建立合适的概率统计模型，以描述数据的分布规律和预测未来的趋势。
6、验证模型：对建立的模型进行验证，确保其准确性和适用性。
7、应用模型：将建立的模型应用于实际问题的解决和预测中。
概率统计数学模型是处理和分析随机现象的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用前景。
通过建立合适的概率统计模型，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的结果，从而为实际问题的解决提供有力的支持。
概率统计数学模型在投资决策中的应用在投资决策的制定过程中，准确理解和应用概率统计数学模型是至关重要的。
概率统计数学模型为投资者提供了定量分析工具，帮助他们更准确地预测投资结果，从而做出更合理的决策。
一、概率模型的应用概率模型在投资决策中的应用广泛。
数学建模概率模型
2
记为X ~ N（， 2 )
背景:如果决定试验结果X的是大量随机因素的总和，假设
各个因素之间近似独立，并且每个因素的单独作用相对均匀 地小，那么X的分布近似正态分布。
如：同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。
3、数学期望的概念和计算 描述了随机变量的概率取值中心—均值
数学期望
Y gX
E( X ) xk pk k 1
E( X ) xf ( x)dx E(Y ) EgX g( xk ) pk k 1
E(Y ) Eg( X )
g( x) f ( x)dx
4、MATLAB中相关的的概率命令
常见的几种分布的命令字符为： 正态分布：norm 指数分布：exp 泊松分布：poiss 二项分布：bino
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)drຫໍສະໝຸດ n(ab)np(r
)dr
dG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
例3 有10台机床,每台发生故障的概率为0.08,而10台机床工作 独立,每台故障只需一个维修工人排除.问至少要配备几个维修 工人,才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。
解：随机变量X示发生故障的机床的台数,则 X ~ B(10,0.08)
即P{X n} 0.95
数学建模—概率模型 ppt课件
数学建模—概率模型
v3统计图(examp05-03) v箱线图（判断对称性） v频率直方图（最常用） v经验分布函数图 v正态概率图（+越集中在参考线附近，越近似正态分布）
v4分布检验 vChi2gof,jbtest,kstest,kstest2,lillietest等 vChi2gof卡方拟合优度检验，检验样本是否符合指定分布。它把观测数据分 组，每组包含5个以上的观测值，根据分组结果计算卡方统计量，当样本够 多时，该统计量近似服从卡方分布。 vjbtest,利用峰度和偏度检验。
3 单因素一元方差分析步骤
（ example07_01.m 判断不同院系成绩均值是否相等）
数据预处理
正态性检验 lillietest （p>0.05接受）
方差齐性检验 vartestn （p>0.05接受）
方差分析
anoval （ｐ＝0 有显著差别）
多重比较：两两比较，找出存在显著差异的学院，multcompare
构造观测值矩阵，每一列对应因素Ａ的一个水平，每一行对应因素Ｂ的一个
水平
方差分析
anova2 得到方差分析表
方差分析表把数据差异分为三部分（或四部分）： 列均值之间的差异引起的变差 列均值之间的差异引起的变差 行列交互作用引起的变差 （随机误差） 后续可以进行多重比较，multcompare，找出哪种组合是最优的
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数学建模—概率模型
目的：用一个函数近似表示变量之间的不确定关系。 1 一元线性回归分析 做出散点图，估计趋势；计算相关系数矩阵； regress函数，可以得到回归系数和置信区间,做残差分析，剔除异常点，重 新做回归分析 Regstats 多重线性或广义回归分析，它带有交互式图形用户界面，可以处 理带有常数项、线性项、交叉项、平方项等模型 robustfit函数：稳健回归（加权最小二乘法）
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
数学建模中的概率统计模型1
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模概率模型案例
数学建模概率模型案例概率模型是数学建模的重要工具之一，广泛应用于各个领域。
以下是一个基于概率模型的数学建模案例。
问题描述：医院的急诊科接诊员需要根据患者的症状来判断是否需要进行心电图检查。
根据以往的医疗记录，我们知道有一种患者患有心脏病的概率是0.1，有心脏病的患者在进行心电图检查时有90%的准确率，没有心脏病的患者在进行心电图检查时有95%的准确率。
急诊科接诊员在给患者进行评估时会根据患者的症状判断是否需要进行心电图检查，但出于经济和时间的考虑，每天只能对20%的患者进行心电图检查。
问题分析：在这个问题中，我们需要建立一个概率模型来评估患者是否需要进行心电图检查。
我们需要考虑两个因素：患者是否有心脏病以及是否进行了心电图检查。
建立概率模型：1.定义事件：-A：患者有心脏病-B：患者进行了心电图检查-C：急诊科接诊员推荐患者进行心电图检查2.计算概率：-P(A)=0.1，患者有心脏病的概率-P(A')=0.9，患者没有心脏病的概率-P(B，A)=0.9，有心脏病的患者进行心电图检查的准确率-P(B，A')=0.95，没有心脏病的患者进行心电图检查的准确率3.根据贝叶斯定理计算后验概率：-P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)-P(A'，B)=P(B，A')*P(A')/P(B)4.根据给定条件计算先验概率：-P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，A')*P(A')5.根据条件概率计算P(C，B)：-P(C，B)=P(C,B)/P(B)进一步分析：根据模型，我们可以进行一些进一步的分析。
1.如果患者没有进行心电图检查，根据模型我们可以计算出他是否有心脏病的概率。
2.如果患者进行了心电图检查，根据模型我们可以计算出他有心脏病的概率。
3.根据模型的输出，急诊科接诊员可以根据患者的症状和推荐指标来判断是否进行心电图检查。
总结：这个案例展示了如何建立一个基于概率模型的数学建模问题。
第九章 概率模型
34
*工作台上工件的逐件到达；
*机场跑道中飞机的逐架到达； *港口船舶的逐艘到达； *电话交换台电话的到达； *餐厅顾客的到达; N(t)是随 机变量
2 1 3 3 2 3 1 2 1 3
由测得数据可算出X 取各个数值的频率
X
频数
1
3
2
3
3
4
20
频率
0.3 0.3 0.4 《数学建模》精品课程
根据概率论中的贝努里大数定律,当试验次
数n充分大时，随机事件A发生的频率稳定
于概率P(A),可将
X 0 1 2 0.4
P(x) 0.3 0.3
作为X 的分布律的模拟. 注意 若试验次数太小,可能造成较大误差
《数学建模》精品课程
23
需掌握几种重要的概率理论分布
1．均匀分布
1 f ( x) b a 0
a x b, 其他.
d c 有 P {c X d } ba
均匀分布随 机变量X的 取值具有 “均匀性”.
其中 (c, d ) (a, b)
《数学建模》精品课程 24
n
(b c) p(r )dr (a b) p(r )dr
0 n
n
dG 0 dn
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
《数学建模》精品课程
n
15
结果解释
n
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
n
p(r )dr P , p(r )dr P
0 1 n
2
P a b 1 取 n使 P2 bc
数学建模随机模型
• 内部规律复杂数据统计分析 – 常用模型回归模型数学原理软件
• 30个销售周期数据： – 销售量、价格、广告费用、同类产品均价
销售周期 公司价 (元) 它厂价 (元) 广告(百万元)
1
3.85
3.80
5.50
2
3.75
4.00
6.75
…
…
…
…
29
3.80
Pn (t t) Pn1 (t)bn1t Pn1 (t)dn1t Pn (t)(1 bnt dnt) o(t) 10
建模
ห้องสมุดไป่ตู้
微分方程
dPn dt
bn1Pn1 (t) d P n1 n1 (t) (bn
dn )Pn (t)
bn=n，dn=n
dPn dt
(n 1)Pn1(t) (n 1)Pn1(t) ( )nPn (t)
• 价格差 x1=0.1 • 价格差 x1=0.3
yˆ x10.1 30.2267 7.7558x2 0.6712x22 yˆ x10.3 32.4535 8.0513x2 0.6712x22
x1 x2 7.5357 yˆ x10.3 yˆ x10.1
18
销售量预测
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2 x2 ˆ3x22
价差x1=它厂价x3-公司价x4 控制x1 估计x3，调整x4
预测y
控制价格差 x1=0.2元，投入广告费 x2=6.5 百万元
yˆ ˆ0 ˆ1 x1 ˆ2 x2 ˆ3 x22 8.2933(百万支)
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%） 上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流
数学建模概率模型
1
2
3
4
5
• 练习题：一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街 叫卖。已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元。
如销售不出而屯积于仓库，则每吨需保养费1 万元。问题是要确定应组织多少货源，才能使 国家的收益最大。
7
解 若以y为组织某年出口的此种商品量 （显然可以只考虑 2000 y 4000的情况），则收益（单位万元）为源自H3y3
y
因为 的概率密度为
y y
f
x
1 2000
0
x 2000,4000 x 2000,4000
如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但 这时报童每100份报纸要赔4元。报童每天售出的
报纸数 是随机x 变量，概率分布表 x
售出报纸数x（百
份）
概率 p(x)
0 x1 2 3 4 5 0.05 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1
• 问：报童每天订购多少份报纸最佳？
6
例4.10 假定在国际市场上每年对我国某种 出口商品的需求量是随机变量 （单位吨）， 它服从〔2 000，4 000〕的均匀分布。设售出 这种商品1吨，可为国家挣得外汇3万元，但假
8
于是收益的期望值为
E H x f x dx 1 4000 H x dx
2000 2000
1 y 4x y dx 1 4000 3ydx
2000 2000
2000 y
1 y2 7000 y 4000000
数学建模案例分析
4 n 数值方法可得 f ( x ) 的最小值点 x 16.92 。由此可得 C 6 5(0.997) n 的最小值点为 17， C 的最小值为 1.48(分／二极管)。
*
5、结果分析
对于检验次品二极管的质量控制步骤可以使用分组检验的方法做得非常 经济．逐个检验的花费是5分/个。次品的二极管出现得很少，每一千中只有 三个。使用每一组17个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可 以将检验的费用降低到三分之一(1.5分/二极管)。质量控制步骤的实行将依 赖于若干模型范围之外的因素。也许由于我们操作的特殊性对于10个或20个 一批的二极管或者n是4或5的倍数时检验起来更容易。好在对于我们的问题来 说，在n=10和n=35之间时检验的平均花费A没有明显的变化。在操作过程中的 次品率q＝o.003同样也是必须考虑的。例如，这个数值可能会随着工厂内的 环境条件而发生变化。
x p
i i
i
。这一组概率值{ p i }表明了随机变量 X 的分布。
•对于我们的问题，任何的n>1，随机变量C 取两个可能数值中的一个：如果所有 的二极管都是好的，则 C＝4+n 否则 C＝(4+n)+5n
因为我们必须重新检验每一个二极管。用 p表示所有的二极管都是 正品的概率，剩下的可能性(有一个或更多的次品二极管 )一定有概 率1-p。则C的平均或期望值是
3、建模
考虑随机一个变量X，它可以取一个离散数值集合中的任何一个数值
X {x1 , x2 ,}
同时假设 X xi 的概率是 p i ,我们记为 P{X= x i }＝p i ，显然这时有∑p i ＝1。因为 X 以 概率 p i 取数值 x i ，所以 X 的平均或期望值一定是所有可能的 x i 的加权平均，权值就是相应 的概率值 pi ．可以写为 E ( X )
数学建模血液检测建立概率模型的基本思想
数学建模血液检测建立概率模型的基本思想
「概率模型」：假设事先已经知道所需检测的个样本中有个是阳性的，其中；「组合模型」：假设事先已经知道所需检测的个样本中有个是阳性的，其中；「竞争模型」：事先既不知道也不知道。
同时介绍了相应的三个理论结果，在什么情况下，组合检测法需要的检测次数比逐一检测法需要的检测次数少。
每次检测哪些样本组，要依赖以前的检测及其结果。
一个序贯方法如果需要做次检测才能检测出所有的坏样本，而每次检测需要时间的话，整个检测过程就可能需要时间。
如果想缩短时间，那么除了尽可能地减少检测次数，还有一个方法就是在时间内同时（并行地）检测若干（而不是一个）样本组。
数学建模常用算法模型
数学模型的分类按模型的数学方法分：几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等按模型的特征分：静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等按模型的应用领域分：人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等.按建模的目的分：预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往往也和建模的目的对应按对模型结构的了解程度分：有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型.按比赛命题方向分：国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016美赛六个题目离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策数学建模十大算法1、蒙特卡罗算法该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现4、图论算法这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用7、网格算法和穷举法当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具8、一些连续离散化方法很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的9、数值分析算法如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用10、图象处理算法赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理算法简介1、灰色预测模型必掌握解决预测类型题目.由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用.满足两个条件可用：①数据样本点个数少,6-15个②数据呈现指数或曲线的形式2、微分方程预测高大上、备用微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法.近几年比赛都有体现,但其中的要求,不言而喻.学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系.3、回归分析预测必掌握求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变化；样本点的个数有要求：①自变量之间协方差比较小,最好趋近于0,自变量间的相关性小；②样本点的个数n＞3k+1,k为自变量的个数；③因变量要符合正态分布4、马尔科夫预测备用类似的名词有,马尔科夫链、马尔科夫模型、,马氏链模型等一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的概率,只能得到概率.思考马尔科夫和元胞自动机之间的关系5、时间序列预测必掌握与马尔科夫链预测互补,至少有2个点需要信息的传递,ARMA模型,周期模型,季节模型等6、小波分析预测高大上数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据；可以做时间序列做不出的数据,应用范围比较广7、神经网络预测备用大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的办法8、混沌序列预测高大上比较难掌握,数学功底要求高9、插值与拟合必掌握拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们.10、灰色关联分析法必掌握与灰色预测模型一样,比赛不能优先使用11、模糊综合评判备用评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序12、主成分分析必掌握评价多个对象的水平并排序,指标间关联性很强13、层次分析法AHP必掌握作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策14、数据包络DEA分析法备用优化问题,对各省发展状况进行评判15、秩和比综合评价法高大上评价各个对象并排序,指标间关联性不强16、优劣解距离法TOPSIS法备用17、投影寻踪综合评价法高大上揉和多种算法,比如遗传算法、最优化理论等18、方差分析、协方差分析等备用方差分析：看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如：元素对麦子的产量有无影响,差异量的多少；1992年,作物生长的施肥效果问题协方差分析：有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因素,但注意初始数据的量纲及初始情况.2006年,艾滋病疗法的评价及预测问题21、线性规划、整数规划、0-1规划必掌握有约束,确定的目标比较简单,必须掌握22、非线性规划与智能优化算法智能算法至少掌握1-2个,其他的了解即可非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索算法、神经网络、粒子群等23、多目标规划和目标规划柔性约束,目标含糊,超过备用24、动态规划备用25、复杂网络优化多因素交错复杂备用,编程好的使用要掌握离散数学中经典的知识点——图论.26、排队论与计算机仿真高大上排队论包括、元胞自动机对编程能来要求较高,一般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用这也是大部分队伍使用元胞自动机不获奖的最大原因.27、模糊规划范围约束28、灰色规划难29、图像处理备用MATLAB图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系.例如2013年国赛B 题,2014网络赛B题.30支持向量机31多元分析1、聚类分析必掌握,参考192、主成分分析必掌握3、因子分析必掌握4、判别分析5、典型相关分析6、对应分析7、多维标度法8、偏最小二乘回归分析32、分类与判别主要包括以下几种方法,1、距离聚类系统聚类常用2、关联性聚类常用3、层次聚类4、密度聚类5、其他聚类6、贝叶斯判别统计判别方法7、费舍尔判别训练的样本比较多8、模糊识别分好类的数据点比较少33、关联与因果1、灰色关联分析方法样本点的个数比较少2、Sperman或kendall等级相关分析3、Person相关样本点的个数比较多4、Copula相关比较难,金融数学,概率密度5、典型相关分析因变量组Y1234,自变量组X1234,各自变量组相关性比较强,问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密6、标准化回归分析若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密7、生存分析事件史分析难数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响8、格兰杰因果检验计量经济学,去年的X对今年的Y有没影响。
概率论与数理统计在数学建模中的应用【范本模板】
概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。
第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性,在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作）明显地,备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低。
因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量,使整个系统的工作可靠性最大？这是一个整体系统的可靠性问题。
我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ (9.1）来表示。
又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ,总重量不超过W ,则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏ （9。
2）11..,1,2,Ni i i Ni i i i c x cs t w x cx N i N==⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪∈=⎪⎩∑∑问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数,属于非线性整数规划问题.2、传染病流行估计的数学模型问题分析和模型假设本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行.被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程,以便对这些问题做出回答。
这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程.假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人,即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的。
数学建模简明教程课件：概率模型
31
图 7-4
32
5.决策树的优缺点
•决策树方法的优点：可以生成可以理解的规则；计 算量相对来说不是很大；可以处理连续和种类字段；决策 树可以清晰地显示哪些字段比较重要.
•决策树方法的缺点：对连续性的字段比较难预测； 对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作；当类别太 多时，错误可能就会增加得比较快；一般算法分类的时候 ，只是根据一个字段来分类.
(a b)np(r) d r
0
n
计算
(7.2.2)
d G (a b)np(n)
n
(b c) p(r) d r (a b)np(n)
(a b) p(r) d r
dn
0
n
n
(b c)0 p(r) d r (a b)n p(r) d r
18
令 d G 0 ，得到 dn
n
0
p(r)d r p(r)d r
14
2.问题的分析及假设
众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机 的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需 求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量 为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就 可以建立关于购进量的优化模型了.
假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r 可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随 机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.
26
(4)设定变量： A——试销成功，——试销失败 B——大量销售成功，——大量销售失败
27
3.建立模型 先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6 ，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：
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解：随机变量X示发生故障的机床的台数,则 X ~ B(10,0.08)
即P{X n} 0.95
4．均值与方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)
随机模型 确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
概率模型
一、概率论基本知识 二、概率模型的典型案例
一、概率论基础知识
1、古典概型
条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率
P( A | B) P( AB) P(B)
E( X ) xf ( x)dx E(Y ) EgX g( xk ) pk k 1
E(Y ) Eg( X )
g( x) f ( x)dx
4、MATLAB中相关的的概率命令
常见的几种分布的命令字符为： 正态分布：norm 指数分布：exp 泊松分布：poiss 二项分布：bino
k!
n重贝努利试验中小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布.
指数分布
e x ,
f (x)
x 0 ( 0为常数）
0,
x0
❖ 背景:指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，
动物的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等.
正态分布
f (x)
1
( x)2
e
2 2
,
2
记为X ~ N（， 2 )
2 分布：chi2
t 分布：t F 分布：F
MATLAB工具箱对每一种分布都提供5类函数，其命令字符为：
概率密度：pdf 概率分布：cdf 逆概率分布：inv 均值与方差：stat 随机数生成：rnd
当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布 命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是 标量、数组或矩阵）和参数即可.
背景:如果决定试验结果X的是大量随机因素的总和，假设
各个因素之间近似独立，并且每个因素的单独作用相对均匀 地小，那么X的分布近似正态分布。
如：同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。
3、数学期望的概念和计算 描述了随机变量的概率取值中心—均值
数学期望
Y gX
E( X ) xk pk k 1
例5 求正态分布N(3,52)的均值与方差. 命令为：[m,v]=normstat(3,5) 结果为：m=3,v=25
5．随机数生成：normrnd(mu,sigma,m,n).产生m×n阶 的正态分布随机数矩阵.
设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，且有P(Bi)>0， i=1,2,…,n,则对E的任一事件A，有:
n
P( A) P(Bi )P( A｜Bi ) i 1
全概率公式
P(Bi
A)
P(ABi ) P( A)
P(A Bi )P(Bi ) ,
n
P(A Bj )P(Bj )
i 1,2, , n
概率模型
现实世界的变化受着众多因素的影响，包括 确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手 段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略， 或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用 出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因 素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模 型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随 机因素的影响，建立随机模型——概率模型。
(2)由贝叶斯公式:
25
P(B1|A)
P( A B1 )P(B1 ) P( A)
0.02 0.15 0.0125
0.24
同理 P(B2|A)=0.64, P(B3|A)=0.12 .
以上结果表明，这只次品来自乙厂的可能性最大。
2、随机变量及其分布
二项分布
P{
X
k}C
k n
pk
(1
p)nk
,
k 0,1, , n
(2)若已知取到的是次品,问此次品是哪个厂生产的可能性更大？
解 设A=“取到的是一只次品”,Bi=“所取产品由第i厂提供”,
易知B1,B2,B3是样本空间的来自个划分。3(1)由全概率公式: p( A) P(Bi )P( A｜Bi ) i 1 =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.01
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)
例 2． 计算标准正态分布的概率 P{-1<X<1}. 命令为：P=normcdf(1)-normcdf(-1) 结果为：P =0.6827
3．逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出x ，使得P{X<x}=P，此命令可用来求分位数.
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
贝叶斯公式
j 1
例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂
提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂 次品率 提供份额
设这三家的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志。现在仓库中随机地抽
甲厂 0.02 0.15 乙厂 0.01 0.80
取一只晶体管, (1)求它是次品的概率； 丙厂 0.03 0.05
贝努利试验: 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A ,且
P(A)=p,（0<p<1), 将试验E独立地重复进行n次, 简称n重贝努 利试验(Bernoulli)。 n重贝努利试验中事件A出现的次数服从 二项分布
泊松分布 P{ X k} k e ,(k 0,1,2,..., 0为 常 数)