数学建模中可能用到的概率知识
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
数学建模基础知识
数学建模基础知识引言：数学建模是一门以数学为工具、以实际问题为研究对象、以模型为核心的学科。
它通过将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法对模型进行分析和求解，从而得到问题的解决方案。
在数学建模中，有一些基础知识是必不可少的，本文将介绍数学建模的基础知识，包括概率与统计、线性代数、微积分和优化算法。
一、概率与统计概率与统计是数学建模的基础。
概率论用于描述随机现象的规律性，统计学则用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中，需要根据实际问题的特点选择合适的概率模型，并利用统计方法对模型进行参数估计。
1.1 概率模型概率模型是概率论的基础，在数学建模中常用的概率模型包括离散型随机变量模型和连续型随机变量模型。
离散型随机变量模型适用于描述离散型随机事件，如投硬币的结果、掷骰子的点数等；连续型随机变量模型适用于描述连续型随机事件，如身高、体重等。
在选择概率模型时，需要根据实际问题的特点进行合理选择。
1.2 统计方法统计方法用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中，经常需要根据样本数据对总体参数进行估计。
常用的统计方法包括点估计和区间估计。
点估计用于估计总体参数的具体值，如均值、方差等；区间估计则用于给出总体参数的估计范围。
另外，假设检验和方差分析也是数学建模中常用的统计方法。
二、线性代数线性代数是数学建模的重要工具之一。
它研究线性方程组的解法、向量空间与线性变换等概念。
在线性方程组的求解过程中，常用的方法包括高斯消元法、矩阵的逆和特征值分解等。
线性代数还广泛应用于图论、网络分析等领域。
2.1 线性方程组线性方程组是线性代数的基础，它可以用矩阵和向量的形式来表示。
求解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵的逆矩阵和克拉默法则等。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形式，从而求得方程组的解。
2.2 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的核心概念，它由若干个向量组成，并满足一定的运算规则。
概率论在数学建模中的应用数学建模论文
概率论在数学建模中的应用摘要：概率论作为数学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用，无论是经济管理还是工业工程，其中都少不了概率的身影。
人们通过对概率论和数理统计的研究成果来指导生产生活，对实际中出现的问题进行分析并寻求最好的解决方案。
概率论在数学建模中也有着重要的地位，本文主要就彩票模型和空中交通管理两个实例对其在数学建模中的应用进行分析。
引言：概率的研究从实际生活问题起源，在研究中升华，今日的概率论已被广泛应用于各个领域，成为一颗参天大树，枝多叶茂，硕果累累。
正如钟开莱1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深远，概率论发展的每一步都凝结着数学家的心血，正式一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论的今天”。
关键词：概率论；数学建模；彩票问题；空中交通管理；（模型一）问题：彩票中的数学要求对各种彩票的设置方案，计算各个奖项的中奖概率、奖金额，以及对彩民的吸引力，评价各种方案的合理性，设计一种“更好”的方案，给彩票管理部门提出建议。
目前流行的彩票主要有下列两种类型：（1）“传统型”分析：投注者从0～9这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4这5个号码中选出1个特别号码，构成一注。
开奖时，从0～9中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级。
假设：假设实际中彩民中奖情况与计算概率值相同建模：如下表所示（其中abcdef为摇出的基本号码，g为摇出的特别号码，X为其他号码）：求 解：投注者选的每个基本号码，与摇出号码相符的概率都是101，不符的概率是109。
选的特别号码，与摇出号码相符的概率是51，选错的概率是54。
因为各位号码的选对与否，是相互独立的，所以，一组投注号码中奖的概率，等于各位号码选对与否的概率的乘积，即有0000002.051)101(}{6=⨯=一等奖P ； 0000008.054)101(}{6=⨯=二等奖P ； 000018.0109)101(2}{5=⨯⨯=三等奖P ； 000243.0109)101(3}{24=⨯⨯=）（四等奖P ； 002916.0109)101(4}{33=⨯⨯=）（五等奖P ； 032805.0109)101(5}{42=⨯⨯=）（六等奖P 。
概率知识点总结汇总
设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
，
则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：
1°。
2°。
（3）离散与连续型随机变量的关系
积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
，。
第二章随机变量及其分布
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1），，（2）。
（17）伯努利概型
我们作了次试验，且满足
u每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
u次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
u每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，
（5）八大分布
0-1分布
数学建模中的概率统计模型1
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
如何在数学建模中运用概率统计知识
如何在数学建模中运用概率统计知识在数学建模中，概率统计是一项非常重要的知识。
概率统计是数学中的一个分支，主要研究随机事件的概率问题。
概率统计是一门极其实用的学科，不仅能够用在科研领域，也能够应用在日常生活中。
随着计算机技术不断发展，概率统计的应用越来越广泛。
接下来我们将探讨如何在数学建模中运用概率统计知识。
一、概率基础知识在数学建模中运用概率统计知识，首先需要了解概率基础知识。
概率是一个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来估计概率值。
在数学建模中，我们通常使用统计数据来估算概率值。
因此，对于收集和整理数据的能力至关重要。
二、统计分析概率统计的核心是统计分析。
统计分析是指通过采集、整理、展示数据，从中发现数据之间的关系和规律性，并以此来作出预测或者推断的过程。
数学建模往往需要进行统计分析，以确定数据之间的关系以及影响的因素，从而建立模型。
通过统计分析，我们可以找出数据之间的相关关系。
例如，如果我们想研究温度和降水量之间的相关性，那么我们需要收集一定的数据，然后通过统计学方法计算出它们之间的相关系数。
这样就可以通过建立模型来预测未来的降水量。
三、分布和抽样在实际应用中，我们通常会进行大量的数据采集和统计分析，但是由于数据量非常大，我们无法对所有数据进行统计分析。
因此，我们需要进行抽样，即从总体数据中随机选择一部分进行分析。
而抽样的合理性很大程度上取决于样本的分布情况。
因此，在进行抽样时，必须要了解分布的特点。
分布是指随机变量的取值情况概率分布，是对一系列可能的取值的概率的描述。
在数学建模中，我们通常通过对数据的分布进行分析来判断所采用的统计方法是否合理。
例如，在正态分布的情况下，我们可以用平均数来描述数据的中心位置，用标准差来描述数据的分布情况。
四、模型建立在进行数学建模时，我们需要通过分析数据的规律性来建立模型。
模型是指用公式或者图形等方法来描述或者预测实际问题的方法。
概率论与数理统计在数学建模中的应用
概率在数学建模中:的应用姓名：邓洪波高强庞宁班级：文电082-2专业：电子计算机与科学技术电话：?概率论与数理统计在数学建模中的应用通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识，包括：概率模型，统计回归模型，以及马氏链模型。
通过这三个方面的学习，大体上了解了概率在数学建模中的应用以及它所能解决的问题类型。
下面就这三个方面的内容做一下简单的介绍 。
首先对概率模型做一下简单的介绍。
对于实际问题我们所研究的对象无非是制定计划使效率最高，收入最高，费用最小，浪费最小以及变化趋势的估计等问题。
在这类问题中，题目往往给出的是实际背景，我们需要从这些实际背景中，抽象出数学模型，设出所需要的变量，然后用所学的知识解决问题，并且每一个模型都要进行“模型假设”，这是用数学知识解决问题的一个前提条件，下面就一个实际的题目进行各个方面的分析。
比如有如下问题：以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
用到的知识是（s ，S ）存贮策略，即制丁下界s ，上界S ，当周末库存小于s 时订货，是下周初的库存达到S;否则，不订货。
要解决的问题是考在虑订货费，存贮费，缺货费，购进费的情况下，制订（s ，S ）存贮策略，使总费用最小。
首先我们进行模型的假设，设出建模中所用到的变量，如下：1.每次订货费0c ,每件商品的购进价为1c ,每件商品一周贮存费2c ，每件商品缺货损失费3c （1c <3c ）；2.每周销售量r 随机，连续，概率密度p(r)；3.每周库存量x ，订货量u ，周初库存量u x +；4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等，当然有些问题再“模型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设，比如在《传送系统的效率》中我们曾假设：生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的等。
当然有些问题在做一般假设的时候还不能解决问题，还要进行进一步的假设，比如在《随机人口模型》中，在我们假设出生率x b 与t ∆成正比之后，又做了进一步的假设，假设出生率x b 与人口的总数n 成正比。
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计中有广泛的应用。
下面列举一些常见的应用：
1. 随机过程建模：随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型，在概率论中有重要应用。
例如，布朗运动是一种随机过程，可以用来模拟金融市场的价格变动。
2. 概率模型建立：概率模型是用来描述随机事件发生的概率分布的数学模型。
在数理统计中，我们可以通过拟合数据来估计概率模型的参数，然后利用这些模型进行预测和推断。
常用的概率模型有正态分布、泊松分布、指数分布等。
3. 统计推断：统计推断是利用样本数据对总体特征进行估计和推断的方法。
通过建立合适的统计模型，可以根据样本数据对总体参数进行估计，以及对总体分布进行假设检验。
4. 决策分析：决策分析是一种基于概率模型的决策方法，用于在不确定条件下进行决策。
通过建立决策模型，并考虑各种可能的结果和概率，可以选择最佳的决策方案。
5. 置信区间估计：置信区间是对总体参数的估计结果给出的一个范围，该范围内的真实值的概率称为置信度。
通过建立合适的统计模型，可以根据样本数据计算出置信区间，从而对总体参数进行估计。
这些只是数学建模在概率论与数理统计中的一些应用，实际上数学建模在概率论与数理统计领域应用非常广泛，涉及的问题和方法非常多样化。
概率论在数学建模中的若干应用
概率论在数学建模中的若干应用
概率论在数学建模中的若干应用：
一、信息理论
1、信息的衡量：概率理论提出了不确定性的概念，可衡量信息的量化，如信息熵、相对熵、KL散度等，准确反映信息的熵增减。
2、多媒体的压缩编码：通过香农定理刻画了在有限的信道条件下，信
号在被接收者传达之前的压缩编码等过程。
二、预测控制
1、马尔可夫决策过程：概率理论和Markov决策理论，帮助分析者以
随机模型预测政策、企业战略以及决策过程，有利于做出最佳决策。
2、预测控制：将概率概念运用于动态系统，可以用来预测和控制系统
性能，如时序预测和机器学习中的状态估计工作，帮助分析者预测和
识别控制系统的特性。
三、社会科学中的应用
1、政策分析：概率论在社会科学中也有一定的应用，它可以用来处理
和分析不确定的政策参数，以便分析政策的影响，社会研究者可以建
立模型并利用概率论来获得最佳决策。
2、社会统计学：如网络概率模型、隐马尔可夫模型、概率图模型等，
可以利用概型论来研究社会因素、社会实体之间的传播影响，以及分
析协作行为的作用。
四、其他领域的应用
1、金融研究：概率论可以为金融投资者提供投资分析依据，例如投资
者可以根据马尔科夫过程对股票价格变化进行预测，根据泊松分布来
研究证券交易中的事件发生率，从而使投资决策可靠性更大。
2、生物学：生物学家可以利用概率模型来预测和分析生物系统和过程，如基因表达分析、蛋白质结构预测等。
总之，概率论在数学建模中发挥着重要的作用，可以作为一种通用的
工具来分析与推导模型，它在多个领域中都有着广泛的应用，在未来
也将受到更多的关注。
概率论在数学建模中的若干应用
概率论在数学建模中的若干应用概率论是一个重要的数学分支，它用来描述各种事件出现的可能性。
它的定义简洁明了：一个事件的概率就是发生这个事件的概率。
概率论主要应用于概率实验，统计图表绘制，预测数据，模拟实验，推理推断等。
在数学建模中，概率论也都有应用，它能够使数学建模更加精准、准确。
概率论可以用来估计未知出现的概率。
例如，在金融行业，投资者可以利用概率论来估计投资回报，企业可以利用概率论来估计市场行为，决策者可以利用概率论来估计决策的可能性。
此外，概率论还可以用来估计不确定性或混乱性，例如公司重大决策、上市公司的股票投资机会、灾难威胁和信息安全攻击风险等。
此外，概率论还可以用来解决组织控制与管理问题。
在组织控制方面，概率论可以帮助组织领导者有效地管理组织行为、识别未来发展方向，并确定有效的组织控制机制。
在管理安排方面，概率论可以帮助组织安排复杂的项目，确定最佳的资源分配方式，并确定有效的管理机制。
另外，概率论还可以用来解决故障诊断和风险评估的问题。
为了更好地控制故障，概率论可以帮助计算出各个故障发生的可能性，从而有助于制定更有效的检修计划。
此外，概率论也可以帮助管理者进行风险评估，它可以帮助管理者预测某一项目可能出现的风险，并作出预防措施。
总之，概率论在数学建模中有着广泛的应用，它可以帮助我们估计未知出现的概率，解决组织控制与管理问题，以及进行故障诊断和风险评估。
由于概率论的定义简洁明了，在数学建模中它的应用可以使模型更加精准、准确。
此外，概率论同样适用于统计和抽象数学建模，只要有正确的概率论介绍，任何数学建模工作都可以正确和准确地完成。
综上所述，概率论在数学建模中有着重要的实际应用，它可以帮助我们实现非常准确的数学建模，并获得有效的管理和决策结果。
因此，概率论在数学建模中的若干应用应当受到重视和充分的认识。
分布函数与概率密度函数研究：随机事件的数学建模
分布函数与概率密度函数研究：随机事件的数学建模随机事件是概率论研究的核心内容之一，它通过数学建模来对不确定的事件进行描述和分析。
在概率论中，分布函数和概率密度函数是用来描述随机变量的两个重要概念。
本文将探讨分布函数和概率密度函数的定义、性质以及它们在数学建模中的应用。
一、分布函数的定义与性质1.1 定义分布函数是随机变量的一种描述方式，它反映了随机变量在某一取值点之前所有可能值所对应的概率之和。
设X是一个随机变量，其分布函数记为F(x)，表示X≤x的概率，即F(x)=P(X≤x)。
分布函数的定义域为实数区间。
1.2 性质（1）F(x)是一个非降函数，即随着x的增大，F(x)不减。
（2）当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。
（3）F(x)是右连续的，即对于任意的实数a，有limx→a+ F(x)=F(a)。
（4）分布函数是一个概率分布，因此0≤F(x)≤1。
二、概率密度函数的定义与性质2.1 定义概率密度函数是描述连续型随机变量的一种方式，它是一个函数，用来描述随机变量在不同取值上的概率密度。
设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数记为f(x)，表示X在x处的概率密度。
2.2 性质（1）f(x)大致表示在以x为中心的一个小区间内事件发生的概率。
（2）f(x)非负，即在定义域内的任意点x，有f(x)≥0。
（3）概率密度函数的总积分为1，即∫f(x)dx=1。
三、分布函数与概率密度函数的关系3.1 定义对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，其分布函数为F(x)。
则有F(x)=∫f(t)dt，其中t的积分区间从负无穷到x。
3.2 性质（1）在某一点x处，概率密度函数的导数等于分布函数在该点的值的导数，即f(x)=dF(x)/dx。
（2）由分布函数F(x)的性质可知，当x在某一区间(a,b]时，有P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a) = ∫[a,b]f(x)dx。
概率论在数学建模中的若干应用
- t ∞ - t -T t e dt + t T te dt =2 - (2 + T) e
(基金项目 : 上海市科委基金项目 071605123 )
一个周期内的损失记为 ,则
C= c1 , X Φ T c2 , X > T
T 0 1
【 参考文献 】
[ 1 ]姜启源 、 谢金星 、 叶俊 . 数学模型 (第三版 ) [M ]. 北京 : 高等教育出版
故一个周期内的平均损失为 :
E (C) = c ≈ ( t) dt +
∞
T
社 . 2003.
- T
c2 ≈ ( t) dt = 3 - 2 (1 + T) e
[ 2 ]李贤平 . 概率论基础 (第二版 ) [M ]. 北京 : 高等教育出版社 . 1997.
— 128 — © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
1、 人群分为两类 : S类 (易感染者 )与 I类 (病人 ) ,人数分别为 s
化验 ,如呈阳性再对这 k个人的血逐一化验 。 解 设每个人化验呈阳性的概率为 p,呈阴性的概率为 q = 1 p。设第二种方法每个人所需的化验次数为 ξ ,则 : P (ξ = ( ξ= 1 k + 1) 1 - q 。 k 1 k 1 1 k k q +( + 1) (1 - q ) = 1 - q + 。因此第二种 k k k 1 )。 k 1 ) = qk , P k
1 = 0. 4,第二种方法比第一种方法可减少 40%的工作量 。 k
i = 1 - ( 1 - p1 ) ;
数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模
§4 足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。
在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。
已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。
实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。
另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。
下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。
二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。
球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。
影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。
对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。
也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。
某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。
事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。
稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。
将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。
然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。
这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。
数学建模之概率统计-1
概率与统计
概率论中所研究的随机变量的分布都是 已知的。 统计学中所研究的随机变量的分布是未 知的或部分未知的，必须通过对所研究 的随机变量进行重复独立的观察和试验， 得到所需的观察值（数据），对这些数 据分析后才能对其分布做出种种判断， 即“从局部推断总体”。
统计学
给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这
……
……
Matlab相关命令介绍
normfit 正态分布中的参数估计
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha) 对样本数据 x 进行参数估计，并计算置信度为 1-alpha 的置信区间 alpha 可以省略，缺省值为 0.05，即置信度为 95%
频率
随机试验进行次数
概率
基本知识
随机变量 数字特征（均值、方差、相关系数、特征函数…）
统计分析（假设检验、相关分析、回归分析…)
Matlab 中的随机函数
rand(m,n)
生成一个满足均匀分布的 m n 随机矩阵，矩阵的每
个元素都在 (0,1) 之间。
注：rand(n)=rand(n,n)
Matlab中的取整函数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数 : 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
取整函数举例
x1=fix(3.9);
x2=fix(-3.9); x3=floor(3.9); x4=floor(-3.2); x5=ceil(3.1); x6=ceil(-3.9); x7=round(3.9); x1=3 x2=-3 x3=3 x4=-4 x5=4 x6=-3 x7=4 x8=-3 x9=-4
数学建模概率模型
1
2
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5
• 练习题：一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街 叫卖。已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元。
如销售不出而屯积于仓库，则每吨需保养费1 万元。问题是要确定应组织多少货源，才能使 国家的收益最大。
7
解 若以y为组织某年出口的此种商品量 （显然可以只考虑 2000 y 4000的情况），则收益（单位万元）为源自H3y3
y
因为 的概率密度为
y y
f
x
1 2000
0
x 2000,4000 x 2000,4000
如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但 这时报童每100份报纸要赔4元。报童每天售出的
报纸数 是随机x 变量，概率分布表 x
售出报纸数x（百
份）
概率 p(x)
0 x1 2 3 4 5 0.05 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1
• 问：报童每天订购多少份报纸最佳？
6
例4.10 假定在国际市场上每年对我国某种 出口商品的需求量是随机变量 （单位吨）， 它服从〔2 000，4 000〕的均匀分布。设售出 这种商品1吨，可为国家挣得外汇3万元，但假
8
于是收益的期望值为
E H x f x dx 1 4000 H x dx
2000 2000
1 y 4x y dx 1 4000 3ydx
2000 2000
2000 y
1 y2 7000 y 4000000
数学建模中的概率统计
Z '常用数据分析函数corrcoef(x)---求相关函数；cov(x)---协方差矩阵；cross(x,y)---向量的向量积；diff(x)---计算元素之间差；dot(x,y)---向量的点积；gradient(z,dx,dy)---近似梯度；histogram(x)---直方图和棒图；max(x), max(x,y)---最大分量；mean(x)---均值或列的平均值；min(x), min(x,y)---最小分量；prod(x)---列元素的积；rand(x)---均匀分布随机数；rands(x)---正态分布随机数；sort(x)---按升序排列；std(x)---列的标准偏差；sum(x)---各列的元素和；subspace(A,B)---两个子空间之间的夹角。
常用统计函数一、参数估计（1）[N,X]=hist(data,k) 将区间[min(data),max(data)]分为k个区间（缺省为10），返回数据data落在每一个区间的频度数N和每一个区间的中点X。
（2）h=normplot(x)显示数据矩阵x的正态概率图，如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线性形态，而其他概率分布分布函数显示出曲线形态。
（3）h=weibplot(x) 显示数据矩阵x的weibull概率图，如果数据来自于weibull分布，则图形显示出直线性形态，而其他概率分布分布函数显示出曲线形态。
（4）[muhat,sigmahat,muci,sigamaci]=normfit(x) [muhat,sigmahat,muci,sigamaci]=normfit(x,alpha)对于正态分布，命令[muhat,sigmahat,muci,sigamaci]=normfit(x,alpha)在置信度（1-alpha）下估计数据x的参数，[muhat,sigmahat,muci,sigamaci]=normfit(x)在置信度0.95下估计数据x的参数，返回值muhat是x的均值，sigmahat是方差，muci是均值的置信区间，sigmaci是方差的置信区间。
概率统计在数学建模中的应用课件
人口发展方程
一阶偏微分方程
2019/11/27
太原理工大学
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背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
一个国家或地区
平均生育率 平均死亡率
确定性模型
一个家族或村落
出生概率 死亡概率
随机性模型
对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量. Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
e t
1
（7）
Dt的大小表示人口Zt在平均值 Et附近的波动
范围。（7）式说明这个范围不仅随着时间的延续和净
增长率r 的增加而变大，而且即使当r 不变时， 它也随着 和 的上升而增长，这就是说，当出生和死 亡频繁出现时，人口的波动范围变大。
E E(t)+(t)
进一步假设
4)bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
模型建立
由假设1~ 3，可知Z t t n可分解为三个互不相
容的事件之和：
Z t n 1且t 内出生一人； Z t n 1且t 内死亡一人； Zt n且t 内无人出生或死亡。
n0
E(t)-(t)
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
2019/11/27
太原理工大学
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实例1.3 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
6
1.2 常见概率分布及其数字特征
概率论与数理统计在数学建模中的应用【范本模板】
概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。
第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性,在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作）明显地,备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低。
因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量,使整个系统的工作可靠性最大？这是一个整体系统的可靠性问题。
我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ (9.1）来表示。
又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ,总重量不超过W ,则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏ （9。
2）11..,1,2,Ni i i Ni i i i c x cs t w x cx N i N==⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪∈=⎪⎩∑∑问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数,属于非线性整数规划问题.2、传染病流行估计的数学模型问题分析和模型假设本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行.被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程,以便对这些问题做出回答。
这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程.假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人,即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的。
数学建模概率统计方法
则有
D
(x
E )2
f
(x)dx
9
2021年4月17日
３ .常用的概率分布及数字特征
（1）两点分布：
设随机变量 只取 0 或 1 两个值，它的分布列为 P( k) pk (1 p)1k , k 0,1，则称 服从于两点分 布，且 E p, D p(1 p) 。
（2）二项分布：
设随机变量 可能的取值为 0,1,2,, n ，且分布列为 P( k) Cnk p k (1 p)1k , k 0,1,2,, n
2. 常用的统计量
（3）表示分布形态的统计量
偏度： P1
1 S3
n i 1
Xi X
3。
当 P1 0 时称为右偏态；
当 P1 0 时，称为左偏态；
当 P1 0 时，则数据分布关于均值对称。
峰度： P2
1 S4
n i1
Xi X
4 ，是反映数据形态的另一个度量。
24
2021年4月17日
（4）均匀分布：
设
为连续随机变量，其分布密度为
f
(x)
b
1
a
,
x
[a, b]
，
0, x [a,b]
则称 服从[a,b] 上的均匀分布，且 E a b , D 1 (b a)2 。
2
12
11
2021年4月17日
３ .常用的概率分布及数字特征
（5）正态分布：
若随机变量 分布密度函数为
f , (x)
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2021年4月17日
2. 随机变量的数学期望与方差
（1）数学期望
设 为连续型随机变量，其分布密度函数为
f (x) ，如果 x f (x)dx 收敛，则称 xf (x)dx
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数据的统计与分析的两类方法
第一类：一般意义的统计（普查）
对生产的全部1000件产品逐一检验，发现18件次品 对全区居民逐一调查，得到月平均支出为828元 次品率：1.8%；月平均支出为828元
优点：结果完全确定，可信 缺点：调查、收集的数据量可能很大，经费投入大; 有些产品不允许全部检验，如灯泡、电器的寿命等
需求 量 100 — 120 — 140 — 160 — 180 — 200 — 220 — 240 — 260 — 280 —
天数
3
9
13
22
32
35
20
15
8
2
设a=0.8元，b=1元，c=0.75元，为报童提供最佳决策
6
实例1：报童的利润（续）
分析：每天报纸需求量随机，报童每天利润也随机； 以每天平均利润最大为目标，确定最佳决策。 数学模型近似： 每天需求为r的天数所占的百分比，记做f(r); 如200(-219)份所占的百分比为35/159=22% 决策变量：报童每天购进报纸的份数n 平均利润：V(n)
常用的概率分布
2分布(Chi square):
注意事项
[n,y]=hist(x)中 k取缺省值10 同上
std(x）
var(x） skewness(x)
标准差
方差 偏度 峰度
同上
同上 同上 同上
标准差s
方差s2 偏度g1 峰度g2
std(x,1): s1
var(x,1): s12
kurtosis(x)
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示例
求银行柜台高度的频数表、直方图及均值等统计量：
路政部门的问题：多长时间进行一次灯泡的全部更换? • 换早了，很多灯泡还没有坏； • 换晚了，要承受太多的罚款。
8
2. 数据的整理和描述
• • • • 数据的收集和样本的概念 数据的整理、频数表和直方图 统计量 MATLAB命令
9
数据的收集
• 银行随机选了50名顾客进行调查 • 测量每个顾客感觉舒适时的柜台高度(单位：厘米)
P(a X b)
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概率密度与分布函数
对于连续随机变量
P(a X b) p( x)dx
a b
概率密度函数(Probability density function，简称 概率密度) ： p ( x) 0 p( x)dx 1 概率分布函数（Cumulative distribution function， x 简称分布函数）
100 110 136 97 104 100 95 120 119 99
126
118 105
113
117 95
115
114 117
108
106 109
93
110 140
116
119 121
102
127 122
122
119 131
121
125 108
122
119 120
115
112
130
116
119
134
结 论：大致表明甲班的平均成绩稍高于乙班 现象2：甲班90分以上7人，但有2人不及格，分数分散 乙班全在73分到90分之间，分数相对集中
16
考试成绩直方图
14 18 16 12
甲
乙
14 12
10
8
10 8 6
6
4 4 2 2 0 40
0 40
60
80
100
60
80
100
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标准差
描述数据的分散程度（统计上称为变异） 样本x=(x1, x2, , xn)的标准差(Standard deviation)为：
三类统计量：位置，变异程度，分布形状
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表示位置的还有：
统计量
中位数(median)：将数据由小到大排序后处于中间位置 的那个数值。 n为奇数时，中位数唯一确定； n为偶数时，定义为中间两数的平均值
表示变异程度的还有： 极差(range)：x1, x2, , xn的最大值与最小值之差。 方差(variance)：标准差的平方s2。 表示分布形状的： 1 n g1 3 ( xi x )3 偏度(skewness)：分布对称性 ns1 i 1 1 n 峰度(kurtosis )：分布形状 g 2 4 ( xi x ) 4 ns1 i 1
100.05 104.75 109.45 114.15 118.85 123.55 128.25 132.95 137.65
4
3
6
8
12
5
4
2
2
作用：推测出总体的某些简单性质。 如上表表明选择柜台高度在107.10至125.90的有31人， 占总人数的62%，柜台高度设计在这个范围内，会得到 大多数顾客的满意。
x 1 e , x0 p( x) 0, 其他
EX , DX
2
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相应的密度函数
U(0,2) 0.5 0.4 0.3
U(1,5)
0.2
0.1
0 -1
0
1
2
3
4
5
6
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Exp(4) Exp(2)
0
2
4
6
8
10
28
n 1
V (n) [(b a)r (a c)(n r )] f (r ) [(b a)n] f (r )
r 0 r n
7
实例2：路灯更换策略
路政部门: 路灯维护 条件: 需要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡; 向相应管理部门提出电力使用和道路管制申请; 向雇用的各类人员支付报酬等 更换策略: 整批更换 管理部门：不亮灯泡，折合计时进行罚款。
2
第二类：数理统计（抽查） 全部产品中随机抽取100件，发现2件次品
随机调查了200位居民，得到月平均支出为788元 次品率：2%；月平均支出788元
优点：调查、收集的数据量小，经费投入小，适合 不允许全部检验的产品，如灯泡、电器的寿命等 缺点：结果是随机的，是否可信？ 任务：怎样用它来估计整体的状况（全部产品的 次品率，全体居民的月平均支出）
x 115 .26
可作为设计柜台高度的参考值
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例：两个班的一次考试成绩
序号
甲班 乙班
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
92 88 85 92 95 79 84 87 88 65 93 73 88 87 94 80 84 83 82 85 82 81 82 90 84 78 75 83 78 85 84 79
1 n s [ ( xi x ) 2 ]1 / 2 n 1 i 1 1 n s1 [ ( xi x ) 2 ]1/ 2 n i 1
甲班的标准差为10.98分，乙班的标准差为3.98分， 表明甲班成绩的分散程度远大于乙班。 统计量：由样本加工出来的、集中反映样本数量特 征的函数。
26
n
常用的概率分布
均匀分布(Uniform distribution) ：X~U (a,b)
1 , p ( x) b a 0, x [a, b], 其他。
ab (b a) 2 EX , DX 2 12
指数分布(Exponential distribution)： X~Exp ()
13
直方图(histogram)：频数分布图
12
10
8
6
4
2
0 90
95
100
105
110
Hale Waihona Puke 115120125
130
135
140
柜台高度直方图
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平均值
频数表和直方图给出某个范围的状况，
无法直接给出具体值，如确定柜台具体高度 平均值 (mean，简称样本均值)定义为
1 n x xi n i 1
常用的概率分布
正态分布(Norm distribution)：
p ( x)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6 N(0,22) -4 -2 0 2 4 6
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X ~ N ( , 2 )
(x )2 exp( ) 2 2 2 1
EX ,
DX 2
N(0,1)
标准 正态 分布
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3. 随机变量的概率分布及数字特征
• • • • • 频率与概率 概率密度与分布函数 期望和方差 常用的概率分布 MATLAB命令
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频率与概率
频率: 样本数据在一个确定区间（a, b] 的频数k与样 本容量n的比值
k f ( a X b) n
保证抽取样本的随机性和独立性: 样本容量无限增大时，频率会趋向一个确定值; 这个值称为随机变量 X 落入区间（a,b]的概率 (Probability), 记作
3
本实验基本内容
1. 实例及其分析 2. 数据的整理和描述 3. 随机变量的概率分布及数字特征 4. 用随机模拟计算数值积分 5. 实例的建模和求解
4
1. 实例及其分析
5
实例1： 报童的利润
报童每天购进报纸零售，晚上将卖不掉的报纸退回; 每份报纸购进价a，零售价 b，退回价c: b≥a≥c; 为获得最大利润，该报童每天应购进多少份报纸？ 159天报纸需求量的情况
一组相互独立的、同分布的随机变量。
11
数据的整理
北京地区SARS患者的统计数据（截至2003年5月5日）
10岁以 11-20 年龄 下 岁 145 人数 24 比例 1.27% 7.64% 21-30 岁 677 31-40 岁 382 41-50 岁 332 51岁以 总数 上 337 1897 17.77% 100 %