材料力学第12篇能量方法

(
2 x
2 xy
2 xz
)dV
V 2E 2G 2G
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) F N (x)
dx 图12.9
组合变形时的应变能
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) FN (x)
dx
图12.9
dV
dW
1 2
FN (x)d(l)
1 2
M T (x)d
dF1l EA
F 2l 2EA
1 2
Fl
V
1 2
F l
FN2l 2EA
F
(a)
如果杆件的轴力 FN 分段为常量时
V
n FN2i li i 1 2Ei Ai
△l
l
F
F1
dF1
F A
B △l
O
△ l1 d(△ l1)
△l
(b)
图12.1
杆件轴线的轴力为变量 FN (x) 时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
V
V
v
dV
l
A
1 2G
FbSISzz*图122.d6 A
dx
(d)
γdx
dx
(c) 图12.6
FS( x)
梁的应变能
V
V v dV
{
l
A
[
M 2(x)y
2EI
2 z
2
FS
2
(
x)
S
*2 z
2GI z2b 2
]dA}dx
令
k
A
I
2 z
A
Sz* b
2
dA
称为剪切形状系数
k——与截面形状有关的切应力不均匀分布修正系数。如截面 为矩形k=1.2，圆形k=10/9，薄壁圆环形k=2，共字型k=A/AW。
(4）在运算时，一般不要将体系的应变能求出来后再求偏 导数，应当先求偏导数再进行积分运算（简称“先求
导 后积分”）；
（5）区分不同的荷载类型，分别应用有关公式，还需要 弄清楚，写内力方程需要将杆件（或简单结构）分为 几段，来进行正确的描述（应变能的计算同样需要分 为几段来计算）。
(6)广义力与广义位移间的相应关系：
由 V
[ FN 2 (x) dx] l 2EA
得
i
Fi
[
FN 2 (x)dx ] [ FN (x) FN (x) dx]
l 2EA
l EA Fi
2.圆轴扭转时的位移计算
V
M
2 T
(
x)dx
l 2GI P
i
V Fi
[ MT (x) MT (x)dx]
l GI p
Fi
3.平面弯曲梁的位移计算
dx
例
v 求，V
FN
注：应变能(比能) 的计算一般不能用 叠加原理。
(二)、剪切变形时的应变能及应变能密度
如图示的纯剪切单元体， 其应变能和应变能密度是：
单元体所做元功为
dW 1 ( dxdz) ( dy) 1 dxdydz
2
2
应变能密度为
v
dV dV
1
2
2
2G
剪切应变能
2
V V dVε V vdV V 2G dV
12.5 余能与余能原理
一、余能概念
考察图示非 线性弹性材 料的轴向拉 杆，荷载伸 长关系曲线 和应力应变 关系曲线。 显然，荷载 与位移、应 力与应变之 间不再服从 线性弹性关 系。
由于
W
Fd 与
W*
F
dF
0
0
具有相同的量纲。
且 W W* P 矩形的面积
余能概念
W W* F
即在和数 PD 下，W* 为 W 的余数。因 此习惯上称W*为余功。
一个力相应的位移为该力作用点沿力矢正向的线位移； 一个力偶相应的位移为作用有该力偶的平面沿力偶转向的角位 移； 一对力相应的位移为该对力两作用点沿力矢正向的相对线位移； 一对力偶相应的位移为作用有该对力偶的两平面间沿力偶转向 的相对角位移。 分别如图a、b、c、d所示。
例：
12.44 功的互等定理和位移互等定理
dV
V
1
d1
V
2
d2 L
V
i
di L
V
n
dn
从外力功 来Vi看d，i 当位移增加 di 时，对应的广义力 Fi 将
做功，而其他广义力都不做功，则外力功增量为
dW Fi d i
根据功能原理 ，得
V
i
Fi
卡氏第二定理
若弹性体上作用有n个已知的广义力F1、F2、F3、…、Fn，在其 共同作用下，每个广义力作用点沿各自广义力方向上的广义位
应变能只与荷载的最 终值有关，而与加载 的中间过程或加载的 先后次序无关。
利用功能原理计算位移
由功能原理 W V
W 1
2
Fii
由于做功与加载次序无关
当结构上只作用一个作功的广义荷载F时，利用功能原理， 可方便地求得与F对应的广义位移d。
V
F
例：
12.3 卡氏定理
卡氏第一定理
若弹性体上作用有n个已知的广义力F1、F2、F3、…、Fn，在其共 同作用下，每个广义力作用点沿各自广义力方向上的广义位移分别
1 2
M
M 2l 2EIz
(2)横力弯曲梁的应变能
由于正应力不会引起切应变， M(x)
M (x) +dM (x) M (x)
dθ M (x)
切应力也不会引起线应变
整个梁的弯曲应变能为
V
l
M 2 (x) dx 2EIz
梁的剪切应变能为
FS ( x) dx
(b)
FS( x)
dθ M (x)
FS( x)
1 2
M (x)d
FN2 (x)
dx
M 2 (x) T dx
M
2 (x) dx
2EA
2GIp
2EI
积分可得整体杆件的应变能
V
l
FN2 (x) 2EA
dx
l
M
2 T
(
x)
2GIp
dx
l
M 2 (x) 2EI
dx
V
l
FN2 (x) 2EA
dx
l
M
2 T
(
x)
2GIt
dx
l
M
2 y
(
x)
2EI y
dx
l
M
性变形积蓄了能量，从而具有对外界作功的潜在能力，通 常 把这种形式的能量称为弹性应变能。
二、功能原理（Principle for work and energy） 在弹性体受力变形过程中，不考虑动力效应，能量损耗，
则外力所作的功，就全部转换为弹性体内部积蓄的应变能， 其表达式如下：
三、能量方法
W V
Wik=Wki
或
Fi.Dik=Fk.Dki
二、位移互等定理——麦克斯韦位移互等定理
由英国J.C.Maxwell于1864年提出。
由功的互等定理知：如果广义力数值上相等，Fi=Fk
则
Dik=Dki
如在某线弹性体上作用两个数值相等的广义力Fi 和Fk ，则 Fi单独作用下引起Fk作用点沿Fk方向的广义位移在数值上等 于Fk单独作用下引起Fi作用点沿Fi方向的广义位移。
V
[ M 2 (x) kFs2 (x)]dx= 1 M (x) M (x) dx
l 2EIz 2GA
l2
EI z
l
1 2
Fs
(
x)
kFs (x) GA
dx
=
1 M (x) d
l2
l
1 2
Fs
(
x)
*dx
实践和计算表明：对于高跨比较小的梁，切应力影响项较 小，一般可以略去。梁弯曲变形时的应变能可用下式计算。
第12章 能量方法
12.1 概述
一、外力功与弹性应变能
1.外力功W —— 在弹性体受力变形过程中，外力在沿其作 用方向的位移上做的功。
W
dW
F1 0
Fd (l1)
1 2
F1l1
2.弹性应变能（Dlastic strain energy）或弹性变形能
（Dlastic deformation energy） V ——弹性体伴随弹
V
M 2 (x) dx= 1 M (x) d
l 2EIz
l2
l
1 2
EI
z
(
y)2
dx
(五)、 杆件在组合变形时的应变能 根据实际情况，求出横截面上任一点的正应力及切应力。
应变能密度：
v
1 2
x
x
1 2
xy
xy
1 2
xz
xz
2 x
2E
2 xy
2G
2 xz
2G
应变能：
V V v dV
类似地有
V* W *
P
dP
0
称为余(应变)能
注意：杆件的余能没有明确的物理 意义，但有明确的几何意义，就是 曲线上方的面积。
余能概念
V* W *
P
dP
0
V W
Pd
0
余能通常表示为广义力的函数。 应变能通常表示为广义位移的函数。
V
dV
1
2
i
n 1
Fi
i
V Fi
dFi
弹性体的应变能只与荷载的最终值有关，而与加载的 中间过程或加载的先后次序无关。于是，总变形能为