2013年高考重庆卷文科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
（重庆卷）
一、选择题
1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}
D ．{4}
答案 D
解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D
解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D.
3．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(2,3)∪(3，＋∞)
D ．(2,4)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 由题意得，⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2>0，
x －2≠1，即x >2且x ≠3，故选C.
4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
答案 B
解析 由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.
5．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案 C
解析 由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出的k 值为5.
6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为( )
1 8 9
2 1 2 2 7 9 3
3
A.0.2 B ．0.4
答案 B
解析 10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29共4个，因此，所求的频率为
4
10＝0.4.故选B.
7．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52
B.72
C.15
4
D.152
答案 A
解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝5
2.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．180
B ．200
C ．220
D ．240
答案 D
解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，底面梯形的面积为1
2(2＋8)×4
＝20，梯形的腰长为
32＋42＝5，棱柱的四个侧面的面积之和为(2＋8＋5＋5)×10＝200.
所以棱柱的表面积为200＋2×20＝240.
9．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5
B ．－1
C ．3
D ．4
答案 C
解析 lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3.
10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1
和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦
⎤
233，2
B.⎣⎡⎭⎫
233，2
C.⎝⎛
⎭
⎫233，＋∞
D.⎣⎡
⎭
⎫233，＋∞ 答案 A
解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．由双曲线的对称性知，直线A 1B 1与A 2B 2
关于坐标轴对称，否则不会有|A 1B 1|＝|A 2B 2|，设双曲线的两条渐近线的夹角为2θ，由题意知2θ>(60°，120°]，否则，若2θ<60°，则不存在满足题意的直线对，若2θ>120°，则直线对不唯一．因此双曲线渐近线的斜率满足关系式tan 60°≥b a >tan 30°，即3≥b a >33，
平方得：3≥e 2－1>13，解得e ∈⎝⎛⎦
⎤
233，2.
二、填空题
11．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 答案
5
解析 因为z ＝1＋2i ，所以|z |＝
12＋22＝ 5.
12．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c －a ＝________. 答案 72
解析 设等差数列2，a ，b ，c,9的公差为d ，则9－2＝4d ， ∴d ＝74，c －a ＝2d ＝2×74＝72
.
13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 答案 23
解析 甲、乙、丙三人站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种情况，其中甲、乙丙人相邻而站共4种情况，故P ＝46＝23
. 14．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →
＝(－2，k )，则实数k ＝________. 答案 4
解析 AB →＝OB →－OA →
＝(1，k －1)， 因OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0， 即－3＋k －1＝0，所以k ＝4.
15．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．
答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦
⎤5π
6，π 解析 由题意，得Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0， 化简得cos 2α≥1
2，
∵0≤α≤π，∴0≤2α≤2π， ∴0≤2α≤π3或5π
3
≤2α≤2π，
∴0≤α≤π6或5π
6≤α≤π.
三、解答题
16．设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
(2)已知{b n }是等差数列，T n 为前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.
解 (1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝1
2(3n
－1)．
(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，
故T 20＝20·3＋20·19
2
·5＝1 010.
17．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝1
10
x i ＝80，∑i ＝1
10
y i ＝20，∑i ＝1
10
x i y i ＝184，∑i ＝1
10
x 2i ＝720.
(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1n
x 2i －n x
2
，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样
本平均值，线性回归方程也可写为y ^
＝b ^
x ＋a ^
. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1
n x i ＝80
10
＝8，
y ＝1n ∑i ＝1
n y i ＝20
10
＝2，
又l xx ＝∑i ＝1
n
x 2i －n x 2＝720－10×82
＝80，
l xy ＝ i ＝1
n
x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，
由此得b ＝l xy l xx ＝24
80
＝0.3，
a ＝y －
b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.
(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；
(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 解 (1)由余弦定理得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－3
2.
又因0<A <π，所以A ＝5π
6.
(2)由(1)得sin A ＝1
2，
又由正弦定理及a ＝3得
S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(B －C )．
所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12
时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.
19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π
3
.
(1)求证：BD ⊥平面P AC ；
(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积． (1)证明 因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC . 因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .
从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面P AC .
(2)解 三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积 S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π
3＝ 3.
由P A ⊥底面ABCD ，得
V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝1
3
·3·23＝2.
由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为1
8P A ，
故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13·3·18·23＝1
4，
所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝7
4
.
20．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元．
所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝1
5r (300－4r 2)，
从而V (r )＝πr 2h ＝π
5
(300r －4r 3)．
因r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因V (r )＝π
5(300r －4r 3)，
故V ′(r )＝π
5
(300－12r 2)，
令V (r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．
21．如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝2
2
，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．
解 (1)由题意知A (－c,2)在椭圆上， 则(－c )2a 2＋22
b 2＝1.
从而e 2＋4
b
2＝1.
由e ＝
22得b 2＝41－e 2
＝8， 从而a 2
＝b 2
1－e 2
＝16.
故该椭圆的标准方程为x 216＋y 2
8＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭
⎫1－x 2
16
＝12
(x －2x 0)2－x 20
＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点， 因此，上式当x ＝x 1时取最小值，
又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值， 从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.
由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|， 所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×2
8⎝⎛⎭
⎫1－x 2
1
16|x 0| ＝2
(4－x 20)x 20＝2
－(x 20－2)2
＋4.
当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，
因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为 (x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.。