复数与向量的关系
向量和复数的关系
向量和复数的关系向量和复数呀，就像是住在数学这个大公寓里的两个邻居，关系那叫一个微妙又有趣。
向量就像一个精力充沛的运动员，总是跑来跑去的。
它有大小有方向，就像一个人带着自己的力量朝着某个特定的方向前进。
比如说，向量就像是在迷宫里知道自己该往哪条路冲的小老鼠，方向明确，大小就是它奔跑的速度或者力量。
复数呢，就像是一个神秘的魔法师。
它由实部和虚部组成，这虚部呀，就像是魔法师手里的魔法棒，看不见摸不着但却有着神奇的魔力。
复数在平面上的表示，就像是魔法师在一个特殊的舞台（复平面）上施展魔法，实部是舞台的横轴，虚部是纵轴。
向量和复数有时候就像失散多年的兄弟。
你看，复数在复平面上表示的时候，其实就和向量有着千丝万缕的联系。
向量可以看作是复数在平面上的一种表现形式，这就好像魔法师的魔法在某种程度上和运动员的奔跑路线重合了一样。
复数的模就像是向量的长度，都是衡量它们某种“大小”的概念。
想象一下，向量是在一个普通操场跑步的人，而复数是在一个充满奇幻色彩的魔法操场跑步的精灵。
虽然他们所在的环境不太一样，但他们的运动轨迹（在一定程度上）和速度（大小）的概念是相似的。
向量要是有自己的社交账号，估计会说：“我这么实在的家伙，到处跑来跑去表示各种物理量，复数那家伙怎么还神神秘秘地弄个虚部出来呢？”而复数则会回应：“我这是高端大气上档次，我的虚部可是打开另一个数学世界的钥匙，你这个只知道大小和方向的愣头青。
”不过呢，在数学这个大家庭里，它们又会互相帮忙。
就像两个人一起合作完成一个大项目。
比如在一些工程计算或者物理问题里，向量和复数就像两个超级英雄联手，向量负责那些实实在在的力的表示，复数则在一些需要特殊计算的地方发挥它的魔法作用。
有时候我觉得向量是复数的一个简化版，去掉了虚部这个神秘的外衣，只保留了最基本的方向和大小。
但复数又像是向量的一个升级款，加入了虚部这个神奇的元素，让它能够在更复杂的数学世界里畅游。
向量和复数的关系就像是一场有趣的喜剧，它们有着各自的特点和性格，但又在数学的舞台上时不时地互动、合作，给我们这些看客带来无尽的惊喜和乐趣。
复数和向量的关系
复数和向量的关系复数和向量是有着密切关系的两个概念。
在物理学、工程学以及数学的各个方面都用到了这两个概念。
复数的符号含义为a + bi，其中i为虚数单位，a和b分别为实部和虚部。
而向量是物理学里最基本的概念之一，它是有大小和方向的量。
本文将介绍复数和向量之间的关系。
一、复数可以表示向量复数和向量在某种意义上是等价的。
我们可以用一个复数来表示一个二维向量。
具体来说，如果将一个复数a + bi看作是一个有序数对(a,b)，那么这个复数可以表示平面上的一个向量(以原点为起点)。
其中a为向量的横坐标，b为向量的纵坐标。
而向量则可以用复数表示，它的实部表示向量在横坐标上的投影，虚部表示向量在纵坐标上的投影。
二、复数的求模与向量的长度复数的求模表示对应复平面上，从原点到复数对应的点的距离。
而对于向量来说，长度则表示向量的大小。
因此，复数的模和向量的长度有一一对应的关系。
具体来说，对于一个复数a + bi，其模为|a+bi| = √(a²+b²)。
而对于一个向量v(x,y)，其长度为|v| = √(x²+y²)。
四、复数的四则运算与向量的运算复数和向量都可以进行加、减、乘、除等各种运算。
具体来说，复数a+bi和c+di的加减法规则如下：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i而复数的乘法规则是：而向量的加、减、乘等运算也有对应的规律。
向量v(x,y)和w(u,v)的加减法规则如下：v + w = (x+u, y+v)而向量的乘法规则则有两种：点积和叉积。
其中点积的公式为：v · w = |v| |w| cosθ而叉积的公式为：其中θ为v和w之间的夹角。
综上所述，复数和向量有着密不可分的关系。
无论是求模、幅角，还是进行四则运算和向量的加、减、乘等运算，都存在着一一对应的关系。
这一关系在各种物理学和工程学的计算中都有着非常重要的应用。
因此，深入理解复数和向量的关系，对于学习数学、物理学、工程学等相关学科都有着重要的帮助。
复数的矢量表示法
复数的矢量表示法
复数的矢量表示法是指用一个二维向量来表示复数。
一个复数可以表示为a + bi 的形式，其中a 和b 分别是实部和虚部。
我们可以将这个复数表示为一个二维向量 (a, b)。
在矢量表示法中，实部a 对应着向量在x 轴上的投影，虚部b 对应着向量在y 轴上的投影。
因此，我们可以将一个复数看作是一个在二维平面上的点，它的坐标就是实部和虚部构成的向量。
例如，复数 3 + 2i 可以表示为 (3, 2) 这个向量。
这个向量在二维平面上的位置就是在 x 轴上向右移动 3 个单位，在 y 轴上向上移动 2 个单位。
复数的矢量表示法在进行复数的运算时非常方便。
例如，两个复数的加法可以通过将它们的实部和虚部分别相加得到。
同样地，复数的减法、乘法和除法也可以通过对应的矢量运算得到。
复数的矢量表示法是一种将复数看作二维向量的方法，它可以方便地进行复数的运算，并且在图形化表示复数时也很直观。
复数与平面向量的应用知识点总结
复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。
一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。
复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。
2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。
共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。
3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。
4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。
欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。
二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。
平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。
减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。
2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。
数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。
3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。
4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数与向量的运算
复数与向量的运算复数与向量是数学中的重要概念，在不同的数学领域和物理学中都有广泛的应用。
本文将探讨复数和向量的基本概念以及它们之间的数学运算。
第一部分：复数的定义和运算复数由实部和虚部组成，可以用二维数学对象来表示。
复数具有以下的形式：z = a + bi (其中a和b为实数，i为虚数单位)。
在复数中，实部和虚部可以分别进行加法和减法运算。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的和为z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i，差为z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
第二部分：复数的乘法和除法复数的乘法涉及到实部和虚部的乘法计算。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的乘积可以通过以下方式计算：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
复数的除法可以通过乘以共轭复数并除以模的平方来实现：z1 / z2 = (a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2) + (a2b1 -a1b2)i / (a2^2 + b2^2)。
第三部分：向量的定义和运算向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中表示为一组有序实数或复数。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积运算。
向量的加法可以通过将对应分量相加来实现。
假设有两个向量v1 = (x1, y1, z1)和v2 = (x2, y2, z2)，它们的和为v1 + v2 =(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
向量的减法可以通过将对应分量相减来实现，即v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
第四部分：向量的数量乘法和点积运算向量的数量乘法即将一个向量的每个分量与一个实数相乘。
如果有一个向量v = (x, y, z)和一个实数k，则v * k = (kx, ky, kz)。
高一数学复数与平面向量的联系
例2、 分别画出复平面上满足下列
条件的区域 : (1) z的实部不小于1 (2) z的虚部不小于2 (3) z的实部绝对值小于2
(4) z (2 3i) 3
(5) z 4 z 4 10 (6) z和它的共轭复数的积小于 等于2大于等于1
；欧亿注册 / 欧亿注册
点Z (a,b)， 向量OZ是复数
z a bi(a,b R)的另外两种
表示形式， 它们都是复数z的 几何表示。
z a bi(a,b R)
复平面上的点
向量OZ
这种对应关系的建立，为我们 用向量方法解决复数问题，或 用复数方法解决向量问题创造 了条件。
二、复数的模：
向量OZ的模r叫做复数z a bi的
(7)( z1 z2
)
ห้องสมุดไป่ตู้
z1 z2
(z2
0)
例1、 已知复数z1 m2 1 (m2 m)i
与z2 2 (1 3m)i(m R)是共轭
复数， 求m.
四、复数加减法的几何意义：
（1）复数z a bi(a,b R)的几何 表示为点Z (a,b)或向量OZ ,由向量
例、1 2i 2 4i的几何表示。
请问： 向量的三角形法则在这
还适不适用?
（3）复数减法的几何意义 :
请同学们根据向量的减法去考虑，
应该怎样做呢 ?
五、 复平面上两点的距离公式 :
d
z1
z2
,
其中z1与z
是复平面内
2
的两点z1, z2所对应的复数，d 表示
z1
,
z
间的距离。
2
中学数学认识复数与向量的运算法则
中学数学认识复数与向量的运算法则数学是一门令人惊叹的学科，它涵盖了各种各样的概念和运算法则。
在中学数学中，复数与向量是两个重要的主题。
本文将介绍复数与向量的运算法则，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、复数的运算法则复数是由实数和虚数组成的数，其中虚数是指具有形式为bi的数，其中b是实数而i是虚数单位。
复数可以表达为a+bi的形式，其中a是实部，bi是虚部。
下面是复数的运算法则：1. 复数的加法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的和等于(a+c)+(b+d)i。
2. 复数的减法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的差等于(a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘积等于(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 复数的除法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的商等于[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
5. 复数的共轭：一个复数a+bi的共轭等于a-bi。
这些运算法则为我们解决复数相关的问题提供了便利。
复数在电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用。
二、向量的运算法则向量是有大小和方向的量，它可以用有序数对(x, y)来表示。
向量的运算法则如下：1. 向量的加法：对于两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的和等于A+B=(x1+x2, y1+y2)。
2. 向量的减法：对于两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的差等于A-B=(x1-x2, y1-y2)。
3. 向量的数乘：对于一个向量A(x, y)和一个实数k，它们的数乘等于kA=(kx, ky)。
4. 向量的数量积：对于两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的数量积等于A·B=x1x2+y1y2。
5. 向量的夹角：对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ的余弦等于cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模。
复数与向量的关系
重视复平面上复数与向量得联系作用平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。
随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。
复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、然后复数作商:代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)［sｉn(θ-θ）]= (4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、(2) 向量内积:·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、若复数代数式得三角式分别就是,然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、二复数向向量表示上得转化联系利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、∵对应得复数就是x∴，∠ｚoz=60,ﻩ本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且|,则有,∵ 图2∴＝=≥=∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上得转化联系利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,且、o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ＝0 (2)由(１）,（2)解得不共线,可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;又、分别对应复数、∵ ,图3 ∴ ,∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++=２n-２=2n,为定值、在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,∴ 、这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。
从一道高考题谈平面向量与复数的关系
沈联 晖 ： 从 一道高考题谈平 面向量 与复数的关 系
・ ４ ５・
从 一 道 高 考 题 谈 平 面 向 量 与 复 数 的 关 系
●沈联 晖 （ 兰溪市教研室 浙江兰溪 ３ ２ １ １ ０ ２ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在 高 中数学 中 ， “ 平 面 向量 ” 和“ 复数 ” 是 看 似无关 的 ２块 知识 ， 前者 出现 在必 修 ４， 后 者 在 选修 ２ － ２中．
图１
面 向景
的点 Ｚ（ 口， ｂ ） 表示 ， 它实 际上是 一 有序 实 数对 ． 在ｆ 和－ ｊ 『 是 单 位正 交基 底 的前 提 下 ， 向量 口 ｆ ＋ 可用 平 面直 角坐 标 系 中 的点 （ 口 ， ｂ ） 表示 ， 因 此复数 ｚ 也 可 用 向 量表 示 ， 只要 以 ｏ＋６ ｉ 对 应 的点 Ｚ （ 口 ， ｂ ） 为终点 ， 以原 点 ０为起 点 画 向量 即可 ， 于是 有 如 图 １ 所 示 的关 系 ．
小， 具 体 可参 考文 献 ［ １ ］ ； ２个 复数 相 等充 要条 件为 ： 口＋ｂ ｉ ＝ Ｃ ＋ｄ ｉ ｃ ： ， ａ＝ｃ ， ｂ＝ｄ （ ｎ ， ｂ ， Ｃ ， ｄ∈Ｒ） ． 利 用 复数 相 等 的充 要 条件 ， 可 以得到关 于实数 的方程 （ 组） ， 通过 解方 程 （ 组） ， 求 出待定 系数 的值 ． 向量 是 近代 数学 中重 要 和基 本 的数 学 概 念 之 一 ， 有深刻的几何背景 ， 是 解决 几 何 问题 的有 力工 具 ， 运用 向量方 法 可将 几 何 性 质 的研 究 转化 为 向 量 的运 算 ， 使 几 何 问 题 通 过 向量 运 算 得 到 解 决 Ｊ ． 人 教 Ａ版 《 数学 （ 必 修
复数与向量的
复数与向量的复数与向量的关系及应用复数与向量都是数学中的重要概念，它们在各个学科领域中都有广泛的应用。
本文将探讨复数与向量之间的关系以及它们在实际问题中的具体应用。
一、复数与向量的定义及表示方法1. 复数的定义与表示方法复数是由实部和虚部组成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
实部和虚部都是实数。
例如，3+4i就是一个复数，其中实部为3，虚部为4。
2. 向量的定义与表示方法向量是由大小和方向组成的量，可以用有序数对表示。
我们通常用加粗的小写字母或带箭头的小写字母表示向量，例如v或→v。
向量可以在平面内或空间中表示，可以用点的坐标表示，也可以用向量的模和方向表示。
二、复数与向量的关系1. 复数与有序数对的关系复数的实部和虚部分别对应有序数对的横坐标和纵坐标，可以将复数看作是平面上的点。
实部和虚部的关系确定了复数在平面上的位置。
2. 复数与向量的关系复数也可以看作是一个向量，实部和虚部可分别看作向量在x轴和y轴上的分量。
因此，复数的模和方向可以表示一个向量的大小和方向。
三、复数与向量的应用1. 复数在电路分析中的应用复数在电路分析中有广泛的应用，特别是在交流电路中。
复数的实部和虚部分别表示电流和电压的实部和虚部，可以通过相量法对电路进行计算和分析。
2. 向量在几何学中的应用向量在几何学中经常用于表示线段、线、面等几何对象，计算和描述它们的特性。
例如，在计算线段的长度、线的方程或面的法向量时，都需要用到向量的相关知识。
3. 复数与向量在物理学中的应用复数和向量在物理学中也有广泛的应用。
例如，在力学中，向量经常用于表示力、速度和加速度等物理量；在电磁学中，复数用于描述电场和磁场的相位差和振幅。
四、复数与向量的扩展应用1. 复数与向量在信号处理中的应用复数和向量在信号处理中有重要的应用，例如在频域分析中，信号可以用复数表示，通过复频域处理可以对信号进行滤波、变换等操作。
2. 复数与向量在机器学习中的应用复数和向量在机器学习领域中也有应用，例如在图像处理中，可以将图像看作是复数矩阵或向量，可以使用复数的性质进行图像的处理和分析。
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
平面向量的复数表示
平面向量的复数表示复数是数学中的一个重要概念，它既可以表示实数，也可以表示虚数。
而在平面向量的表示中，复数的使用也有着独特的意义和作用。
本文将介绍平面向量的复数表示方法，并探讨其应用。
一、复数与平面向量的关系复数是由实部和虚部构成的数，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
我们可以将复数看作是一个有序对(a,b)，与平面上的一个向量非常类似。
这种类比关系为我们理解复数与平面向量之间的联系奠定了基础。
二、向量的复数表示与几何意义1. 向量与复数的对应关系假设平面上有一个向量AB，其坐标分别为(x1,y1)，可以表示为复数z1=x1+iy1。
同样地，向量BA可以表示为z2=x2+iy2。
则向量AB与复数z1之间存在一一对应的关系。
2. 向量的模与幅角向量的模是指向量的长度，可以通过勾股定理来计算得到。
而复数的模定义为它与原点之间的距离，可以用公式|z|=√(a^2+b^2)来表示。
因此，向量的模与复数的模是等价的。
向量的幅角是指向量与x轴的夹角，可以用反三角函数来计算得到。
同样地，复数的幅角可以用反三角函数来计算得到。
向量AB的幅角即为与复数z1的幅角相对应。
三、平面向量的加减和数量积的复数表示1. 向量的加法与复数的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
同样地，复数的加法是指将两个复数的实部与虚部分别相加得到一个新的复数。
假设有两个向量AB和AC，其复数表示分别为z1和z2。
则向量AB+AC的复数表示为z1+z2。
2. 向量的减法与复数的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
同样地，复数的减法是指将两个复数的实部与虚部分别相减得到一个新的复数。
假设有两个向量AB和AC，其复数表示分别为z1和z2。
则向量AB-AC的复数表示为z1-z2。
3. 向量的数量积与复数的乘法向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个实数。
同样地，复数的乘法是指将两个复数的实部与虚部分别相乘再相加得到一个新的复数。
使用复数解决向量问题
使用复数解决向量问题复数是数学中非常重要的概念之一，它不仅在代数和分析中有着广泛的应用，而且在向量问题的解决中也能起到重要的作用。
本文将介绍如何使用复数来解决向量问题，并通过具体的例子来说明其应用。
一、复数及其性质在复数中，一个复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实数，i为虚数单位。
复数具有一系列重要的性质，包括：1. 复数的加法和减法：对两个复数的实部和虚部进行相应的加法和减法运算。
2. 复数的乘法：对两个复数进行乘法运算，实部和虚部分别相乘并对应相加。
3. 复数的除法：将两个复数进行倒数运算，然后进行乘法运算即可。
二、向量问题中的复数表示在向量问题中，我们通常使用箭头表示向量。
类似地，我们也可以使用复数来表示向量。
具体来说，对于一个平面上的向量a，我们可以将其表示为一个与之等效的复数z=a+bi。
其中，实部表示向量在x轴上的分量，虚部表示向量在y轴上的分量。
三、向量的加法和减法在解决向量的加法和减法问题时，我们可以将向量表示为复数，并使用复数的加法和减法运算规则。
具体来说，设有两个向量a和b，其复数表示分别为z1=a1+a1i和z2=b1+b2i。
那么它们的和z3=a1+b1+(a2+b2)i，差为z4=a1-b1+(a2-b2)i。
例如，设有两个向量a(3, 4)和b(2, -1)，则其复数表示分别为z1=3+4i和z2=2-1i。
根据复数加法运算规则，我们可以得到它们的和z3=3+2+3i-1i=5+2i，差z4=3-2+3i+1i=1+4i。
因此，向量a和b的和为(5,2)，差为(1, 4)。
四、向量的乘法在解决向量的乘法问题时，我们可以将向量表示为复数，并使用复数的乘法运算规则。
具体来说，设有一个向量a和一个实数k，其复数表示为z=a+bi。
那么它们的乘积kz即为k(a+bi)=ka+kbi。
例如，设有一个向量a(2, -3)和一个实数k=2，则其复数表示分别为z=2-3i。
复数的向量表示
y b
o
x
|Im(z)| b
三、例题分析
例1:试求实数m的值或取值范围,使复数z=(m2-m+2)+
(m2-3m+2)i在复平面内的对应点在
(1)实轴的负半轴上;
(2)第二象限.
m2 m 2 0 1 m 2
解:(1)
m
2
3m
2
0
m 1或2
m 1.
-1
O
1x
1
例4:画出满足下列条件的复数z的对应点的图形:
(1)1≤Re(z)≤2;
(2)|z|=2且Re(z)>Imz;
(3)z=-1+ai且|z|≤ 2.
y
解:(1) y
(2)
O1 2x
(3)由已知得 (1)2 a2 2 | a | 1.
所以轨迹是连接(-1,-1) 与(-1,1)的线段(包括端 点).
显然有| z || z | . z 0 | z | 0.
注意:任意两个复数不一定可以比较大小,但它们的模 由于都是非负的实数,所以一定能比较大小.
z=a+bi
Z(a,b)
OZ
一一对应
4.复平面上的区域或轨迹问题
复数与点的一一对应,使复数问题与解析几何问题相互 转化.如果复数的实部与虚部是一对实变量,那么对应 的点在复平面上就是动点.如果变量按某种条件变化, 那么复平面上对应点就构成具有某种特征的点的集合 或轨迹,这样就把数与形有机地结合起来了.
平面向量OZ b
我们常把复数z=a+bi说成点Z或向
Z:a+bi
量OZ,并规定,相等的向量表示同 一个复数.
数字的复数与向量
数字的复数与向量在数学领域中，我们经常会遇到数字的复数和向量的概念。
虽然它们有不同的定义和用途，但在某些情况下，我们可以将它们联系起来。
本文将介绍数字的复数与向量之间的关系，并进一步探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、数字的复数数字的复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
实部a表示复数在实数轴上的位置，而虚部bi则表示复数在虚数轴上的位置。
复数在数学中有广泛的应用，特别是在代数和分析中。
它们可以用于解决方程、表示波动和振荡现象等。
复数还具有求模、共轭和幂等等运算属性，使得我们能够更方便地进行计算和推导。
在实际应用中，复数也扮演着重要的角色。
例如，复数的幅度和相位可以描述电路中的交流信号，从而帮助我们分析电路的行为。
此外，复数还可以用于描述波函数、频域分析等领域。
二、向量向量是具有大小和方向的量，通常用箭头或粗体字母表示。
向量可以在二维或三维空间中进行表达，也可以用更高维度的向量表示。
向量的重要性在于它可以用于表示物理量的方向和大小。
例如，位移、速度和加速度等都可以用向量进行描述。
向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算，以及与矩阵和标量的运算。
在几何学和物理学中，向量被广泛应用于描述物体的运动和力的作用。
通过向量运算，我们可以计算物体的位移、速度、加速度等，从而更好地理解物体的运动规律和行为。
三、数字的复数与向量的联系虽然数字的复数和向量本身是不同的概念，但在某些情况下，我们可以将它们联系起来。
例如，在二维平面中，可以将复数a+bi表示为向量(a, b)。
这种联系的好处是我们可以利用向量的性质来研究复数的性质。
例如，我们可以将复数的加法和乘法表示为向量的加法和数量乘法，从而更直观地理解和计算复数的运算。
此外，复数和向量都具有模的概念。
复数的模表示复数到原点的距离，而向量的模表示向量的大小。
我们可以使用向量的模来计算复数的模，从而更方便地求解复数的性质和运算。
复数的向量表示
复数模的性质： （） = z 1 z （2）z1 − z 2 ≤ z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 （3） 1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 z z1 z1 （4） = （z 2 ≠ 0） z2 z2
1 例1.求复数z1 = 3 + 4i及z 2 = − − 2i的模, 2 并且比较它们的模的大小.
是复数z= 点Z(a,b), 向量 OZ 是复数 a + bi ( a , b∈R) ∈ 的另外两种表示形式,它们都是复数 它们都是复数z= 的另外两种表示形式 它们都是复数 a + bi 的几何表示. 的几何表示
复数z= 复数 a + bi ( a , b∈R) ∈
一一对应
复平面上的点Z(a,b) 复平面上的点
2 2
4.复数 复数模的图形问题 复数,复数模的图形问题 复数 复数z=icosθ,θ∈[0,2π)的几何表示是 ) 的几何表示是( 例1.复数 复数 ∈ 的几何表示是 (A)虚轴 (B)虚轴除去原点 虚轴; 虚轴除去原点; 虚轴 虚轴除去原点 (C) 线段 线段PQ,点P,Q的坐标分别为 的坐标分别为(0,1),(0,-1); 点 的坐标分别为 (D) C中线段 中线段PQ,但应除去原点 但应除去原点. 中线段 但应除去原点 C 例2.设z= x + yi ( x , y∈R),在复平面上画出满 设 ∈ 在复平面上画出满 足下列条件的点Z的集合所表示的图形 的集合所表示的图形: 足下列条件的点 的集合所表示的图形 (1)x∈R＋且y∈R; (2) │x│≤4且0<│y│<2; (3) ∈ ∈ 且 │z│≤2且x+y=2; 且 (4)z= x + yi, x<0, y>0,且x2 +y2 <9. 且
复数与向量的关系与应用案例
Part One
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Part Two
复数与向量的基本 概念
复数的定义与表示
复数是由实部 和虚部组成的 数学对象，一 般形式为a+bi， 其中a和b分别 为实部和虚部， i为虚数单位。
复数可以用平 面坐标系中的 点来表示，实 部为横坐标， 虚部为纵坐标。
复数可以用向量 表示，其实部是 向量的x分量， 虚部是向量的y 分量。
向量可以用复数 表示，向量的模 长是复数的模， 向量的角度是复 数的辐角。
复数与向量的关 系是密切相关的， 它们在许多领域 都有广泛的应用， 例如物理学、工 程学、计算机科 学等。
Part Three
复数与向量在数学 中的应用
复数在解析几何中的应用
复数在平面几何中的应用：利用复数表示平面上的点，可以方便地计算距离、角度等几何量。
复数在解析几何中的应用：通过引入复数，可以将一些难以解决的几何问题转化为代数问题， 简化计算过程。
复数在向量运算中的应用：利用复数表示向量，可以方便地进行向量的加、减、数乘等运算， 简化计算过程。
复数在矩阵运算中的应用：利用复数表示矩阵，可以方便地进行矩阵的加、乘、转置等运算， 简化计算过程。
机器学习算法：在支持向量机、神经网络等算法中，向量用于表示样本特征和权重
复数与向量在经济分析中的应用
复数与向量在 金融建模中的 应用，如股票 价格预测和风
险评估。
在经济计量学 中，复数与向 量用于描述多 元时间序列数 据，并进行预 测和因果分析。
在国际经济中， 复数与向量用 于研究汇率变 动、国际贸易 流量等问题的
复数与向量的关系与应 用案例
XX,a click to unlimited possibilities
复数的向量积
复数的向量积引言复数是由实部和虚部组成的数，可以用向量的形式表示。
在数学中，我们常常需要对复数进行运算，其中一个重要的运算就是向量积。
本文将介绍复数的向量积的概念、性质以及计算方法。
复数与向量在复平面上，我们可以将一个复数表示为一个有序对(a, b)，其中a为实部，b为虚部。
这样，我们可以将复数看作是一个二维向量。
实际上，在二维欧几里得空间中，我们可以使用向量来表示复数。
向量积的定义在二维空间中，两个向量的向量积（也称叉乘）是一个标量，用来衡量两个向量之间的夹角关系。
对于两个复数a和b，它们的向量积定义为：a ×b = |a| |b| sin(θ)其中|a|和|b|分别表示a和b的模长，θ表示a和b之间夹角。
向量积的性质1.反交换律：a × b = - (b × a)2.分配律：(a + b) × c = a × c + b × c3.结合律：(k a) × b = k (a × b)，其中k为实数4.零向量：0 × a = 0，其中0表示零向量向量积的计算方法为了计算两个复数a和b的向量积，我们可以使用以下步骤： 1. 计算a和b的模长：|a|和|b| 2. 计算a和b之间的夹角θ 3. 计算sin(θ) 4. 将步骤1中的结果相乘得到向量积实例演示假设我们有两个复数a = 2 + 3i和b = 1 - i，现在我们来计算它们的向量积。
1. 计算模长： - |a| = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) - |b| = sqrt(1^2 + (-1)^2) = sqrt(2) 2. 计算夹角θ： - cos(θ) = (2 * 1 + 3 * (-1)) /(sqrt(13) * sqrt(2)) = (2 - 3) / (sqrt(13) * sqrt(2)) - sin(θ) = sqrt(1 - cos^2(θ)) = sqrt((sqrt(13)^2 * sqrt(2)^2 - (sqrt(13) * sqrt(2))^(-4)))= sqrt((26 - 39) / (26 * 39)) 3. 计算sin(θ) - sin(θ) ≈ 0.717 4. 计算向量积： - a × b = sqrt(13) * sqrt(2) * 0.717 ≈ 2.81所以，复数a和b的向量积为2.81。
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重视复平面上复数与向量的联系作用平面向量与复数就是高中数学的重要内容,联系紧密,联系就是在复平面进行的。
随着知识的发展,相互对应相互促进就是联系的主要体现。
复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量的运算,可以对应有关的复数运算、复数与向量的这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来,在计算推理中发挥它们的联系作用,将就是一件高效快乐的事情、一 复数商与内积的联系复数运算,向量运算之间的许多联系,在现有课本里就是可以学习到的,下面我们来瞧复数商与内积的联系、例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i,它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别就是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2)、然后复数作商: 代数式作商:21z z =2221122121||)()(z ib a b a b b a a -++;-------------(1) 三角式作商:21z z =||||21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z bb a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112||z ba b a -………(4) 则从中可得下列变式:(1) 复数对应向量间的夹角余弦公式:cos(θ1-θ2||||212121oz oz ⋅ ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围,使得|θ1-θ2|∈),0[π,所以1oz 与2oz 的夹角就就是|θ1-θ2|)、(2) 向量内积:1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2)、若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b2-a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|,这就是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,就是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式,向量的内积,平行四边形面积的公式、 若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别就是)sin (cos 1111θθi r z +=,=2z )],sin()[cos(222θθ-+-i r 然后,将它们的代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面的三个式子、数学中的这种相互包容联系,真就是体现了数学中的统一与谐之美、二 复数向向量表示上的转化联系利用复数与向量的联系,复数可以向向量表示上的转化,使有些复数的问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z 1、z 2的模为1,z 1+z 2i 2321+=,求复数21、z z 、 解:根据题意,设复数21、z z 对应的向量为21oz 、oz ,以这两个向量为邻边,边长为1,构作一个平行四边形,并建如图1的直角坐标系、记z z z =+21,对应向量、∵对应的复数就是i 2321+∴1||=,∠zoz 1=6001||1=oz ∴∆oz 1z 就是正三角形,∆ ozz 2≅z oz 1∆ 2ozz ∆∴就是正三角形、 ∴11=z ,i z 23212+-=,或1,232121=+-=z i z 、 本题在解题的思路上借助了复数向向量转化的作用、复数向向量转化就是较常用的思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大的、例3复平面内,已知动点A,B 所对应的复数的辐角为定值,分别θ、-θ,)20(πθ∠∠,O 为原点,ΔAOB 的面积就是定值S,求ΔAOB 的重心M 所对应的复数模的最小值、图2、解:根据题设,设向量OM OB OA对应复数、z 、z z 21且 ||||||||||||2211z 、r z 、r z =====,则有θ2sin 2121r r s =, θ2sin 221sr r = ∵)(31+= 图2∴ )()(91||91||22+⋅+=+==)2|||(|9122OB OA OB OA ⋅++=)2cos 2(91212221θr r r r ++ ≥θθθ221cos 22sin 292)2cos 1(92⨯⨯=+sr r =θcot 94s ∴ |z|=|θcot 32|s OM ≥,即重心M 所对应的复数模的最小值θcot 32s (1z =θ2sin 2s )sin (cos 2sin 2),sin (cos 2θθθθθi s z i -=+时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上的转化的特点就是:能将复数条件化为特殊的向量图形, 或构造一个向量运算,然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上的转化联系利用复数与平面向量的联系,由向量向复数表示上的转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数的结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线的向量,,,且,=++证明:,,可构成一个三角形、 证明:不妨设,,对应复数的三角式分别为:),sin (cos 111θθi r +)sin (cos 222θθi r +,),sin (cos 333θθi r +且321r r r ≤≤、=++o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ )1......(0cos cos cos 332211=++∴θθθr r r 332211sin sin sin θθθr r r ++=0 (2)由(1),(2)解得)cos(22121222123θθ-++=r r r r r,, 不共线,)(21Z k k ∈≠-∴πθθ1)cos(121∠-∠-∴θθ2122212321222122r r r r r r r r r ++∠∠-+∴12312r r r r r +∠∠-∴,,∴可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立的,故此命题可写成充要条件的形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单的,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上的转化的特点就是:转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题的方法,在数学中就是常用的手段,而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通的重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示,对于这类命题的处理自然要选择合适的形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段AB 的中点C,以AC 与CB 为对角线作平行四边形AECD 与BFCG,又作平行四边形CFHD 与CGKE,求证H 、C 、K 三点在一条直线上,且CK=CH,如图3、证明:以C 为原点,AB 为X 轴建立直角直角坐标系、设向量、、对应复数321,z ，z z 那么,向量、CA 、对应复数分别为31211z z 、z 、z z ----;又CD CF CH +=、CE CG CK +=分别对应复数32z z +、)()(3121z z z z --+-∵1)()(312132-=--+-+z z z z z z ,图3 ∴1-=,∴CK CH 平行,但又有公共点C,故H 、C 、K 三点共线,且CK=CH 、 例6已知k P (k=1,2,……,n)就是单位圆上的n 个等分点,P 就是该圆上任意一点,求证22221||......||||n pp pp pp +++为一定值、如图4、证明:以单位圆的圆心O 为直角坐标的原点,OPn为X 轴,建立坐标系,则∠nkop p k n π2=(当k=n 时,假定此角为2π), ∵ 点i nkn k z p k k ππ2sin 2cos +=对应的复数三角式为,对应向量就是k op ,则其长为1,向量与01111==∑∑∑===nk k nk kn k kz zop 对应于复数和,即1=∑=nk k op 、∴ 22221||......||||n pp pp pp +++=22221||......||||n pp pp pp +++=()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅-=)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++ =2n-2⋅=2n,为定值、在这两个问题解决的过程中,我们既用了复数,又用到了向量及它们之间的等价结论、复数与向量并用的特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自的范围内有顺利进行计算推理的可能、在平面图中,证明点共线,直线平行,直线垂直,判断三角形的形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题的,从而实现共同之目的、复数与平面向量之间的联系就是很多的,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系的意义就是很大的、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习的积极性,提高学习的效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量的对应联系,并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例4已知),.....,2,1(n k p k =就是单位圆上的n 个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:o opnk k=∑=1证明:以单位圆的圆心O 为直角坐标的原点,OP n 为X 轴,建立直角坐标系,则∠nkop p k n π2=(当k=n 时,假定此角为2π)、 ∵ 点i nkn k z p k k ππ2sin 2cos +=对应的复数三角式为,对应向量就是k op ,则其长为1,向量与01111==∑∑∑===nk knk k nk k z z op 对应于, ∴1=∑=nk kop、这种等分圆周的有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。